Schur ayrışması - Schur decomposition

Olarak matematiksel bir disiplin lineer cebir , Schur ayrışma veya Schur nirengi adını, Issai Schur , a, matris ayrışma . Birinin , köşegen elemanları orijinal matrisin özdeğerleri olan bir üst üçgen matrise tekil olarak eşdeğer olarak keyfi bir karmaşık kare matris yazmasına izin verir .

Beyan

Schur ayrıştırması aşağıdaki gibidir: A , karmaşık girişleri olan bir n × n kare matris ise , A şu şekilde ifade edilebilir:

${\ Displaystyle A=QUQ^{-1}}$

burada Q , üniter bir matristir (böylece bunun tersi Q- ¹ , aynı zamanda Q'nun eşlenik devrik Q *' udur ) ve U , A'nın Schur formu olarak adlandırılan bir üst üçgen matristir . Yana u olan benzer için A , aynı sahip spektrumu ve üçgen biçiminde olduğu için, onun özdeğerler köşegen girişleri olan U .

Schur ayrışma iç içe geçmiş bir sekans var olduğunu ima bir -invariant bölme odasının {0} = V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ⋯ ⊂ V _{, n} = Cı ^{, n} ve sıralı var olduğu ortonormal standardı ( Hermitsel şeklinde bir Cı- ⁿ ) öyle ki, ilk i temel vektörleri , iç içe dizide meydana gelen her bir i için V _i'yi kapsar . Biraz farklı bir şekilde ifade edilen ilk kısım, karmaşık sonlu boyutlu bir vektör uzayı üzerindeki doğrusal bir operatör J'nin tam bir bayrağı ( V ₁ ,…, V _n ) stabilize ettiğini söyler .

Kanıt

Schur ayrıştırması için yapıcı bir kanıt aşağıdaki gibidir: Karmaşık bir sonlu boyutlu vektör uzayı üzerindeki her A operatörü , bir V _λ özuzayına karşılık gelen bir λ özdeğerine sahiptir . Let V _λ ^⊥ ortogonal tamamlayıcısı. Ortogonal ayrışma ile ilgili olarak, açıktır bir (burada herhangi bir ortonormal baz almak için bir matris ile temsil sahiptir , Z _1. ve Z, ₂ yayılan V _λ ve V _X ^⊥ sırasıyla)

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{ \lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}}$

burada I _λ , V _λ üzerindeki kimlik operatörüdür . Yukarıdaki matris, A ₂₂ bloğu dışında üst üçgen olacaktır . Ancak tam olarak aynı prosedür alt matris uygulanabilir A ₂₂ , bir operatörün olarak görülen, V _X ^⊥ , ve submatrices. Elde edilen matris üst üçgen olana kadar bu şekilde devam edin. Her bir konjugasyon, üst üçgen bloğun boyutunu en az bir artırdığından, bu işlem en fazla n adım alır . Böylece boşluk Cı ⁿ tükenmiş olur ve prosedür, istenen sonucu vermiştir.

Yukarıdaki argüman şu şekilde biraz yeniden ifade edilebilir: λ , bir V _λ özuzayına karşılık gelen A'nın bir özdeğeri olsun . Bir indükler, bir operatörün , T ile bölüm alanı Cı ⁿ / V _X . Bu operatör tam olarak yukarıdan A _{22 alt} matrisidir. Daha önce olduğu gibi, T'nin bir öz uzayı olurdu, diyelim ki W _μ ⊂ C ⁿ modulo V _λ . Bölüm haritasının altındaki W _μ ön görüntüsünün , A'nın V _λ içeren değişmez bir altuzayı olduğuna dikkat edin . Ortaya çıkan bölüm uzayı 0 boyutuna sahip olana kadar bu şekilde devam edin. Daha sonra her adımda bulunan özuzayların ardışık ön görüntüleri, A'nın stabilize ettiği bir bayrak oluşturur .

Notlar

Her kare matrisin bir Schur ayrıştırması olmasına rağmen, genel olarak bu ayrıştırma benzersiz değildir. Örneğin, V _λ öz uzayı > 1 boyutuna sahip olabilir, bu durumda V _λ için herhangi bir ortonormal taban istenen sonuca yol açacaktır.

Üçgensel matris Yazın U olarak U = D + N , D diyagonal ve N kesinlikle üst üçgen (ve dolayısıyla bir nilpotentlik matris ). Diyagonal matris D arasında öz içeren A isteğe göre bir sırada (dolayısıyla Frobemino norm, kare, eigen karesi modüllerinin toplamıdır A bölgesinin Frobemino normu ise, A , kare, kare toplamı tekil değerler bir A ). Nilpotent kısım N de genellikle benzersiz değildir, ancak Frobenius normu benzersiz bir şekilde A tarafından belirlenir (çünkü A'nın Frobenius normu, U = D + N'nin Frobenius normuna eşittir ).

İse açıktır bir a, normal matris , daha sonra u olmalıdır onun Schur ayrışmasından bir köşegen matris ve sütun vektörleri Q olan özvektörler ve A . Bu nedenle, Schur ayrışması spektral ayrışmayı genişletir . Özel olarak, bir olduğunu kesin pozitif , Schur ayrışma A kendi alansal ayrıştırma, ve tekil değer ayrışımı bir arada bulunur.

Bir gidip aile { A _ı , üniter bir matris vardır, yani matris} eş zamanlı olarak, triangularized edilebilir Q her için, öyle ki A _ı verilen ailede, QA _i Q * üst üçgendir. Bu, yukarıdaki kanıttan kolayca çıkarılabilir. { A _i } öğesinden A öğesini alın ve tekrar bir özuzay V _A düşünün . Daha sonra V _bir {tüm matrisler altında değişmez A _i }. Bu nedenle, {tüm matrisler A _i } tek ortak özvektörü paylaşmalıdır V _A . Tümevarım daha sonra iddiayı kanıtlar. Sonuç olarak, normal matrislerin her gidip gelen ailesi aynı anda köşegenleştirilebilir .

Sonsuz boyutlu ortamda, bir Banach uzayındaki her sınırlı operatörün değişmez bir alt uzayı yoktur. Bununla birlikte, keyfi bir kare matrisin üst üçgenleştirmesi, kompakt operatörlere genelleme yapar . Karmaşık bir Banach uzayındaki her kompakt operatör , kapalı değişmez alt uzaylardan oluşan bir yuvaya sahiptir .

Hesaplama

Belirli bir matrisin Schur ayrıştırması, QR algoritması veya varyantları tarafından sayısal olarak hesaplanır . Başka bir deyişle, matrise karşılık gelen karakteristik polinomun kökleri , Schur ayrıştırmasını elde etmek için mutlaka önceden hesaplanmaz. Tersine, QR algoritması , eşlik eden matrisinin Schur ayrışmasını bularak verilen herhangi bir karakteristik polinomun köklerini hesaplamak için kullanılabilir . Benzer şekilde, QR algoritması , Schur ayrıştırmasının üst üçgen matrisinin köşegen girişleri olan herhangi bir matrisin özdeğerlerini hesaplamak için kullanılır. QR algoritması resmi olarak sonsuz bir işlem dizisi olmasına rağmen, işlemlerde pratik olarak makine hassasiyetine yakınsama sağlanır . LAPACK Kullanıcı Kılavuzundaki Simetrik Olmayan Özproblemler bölümüne bakın . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}(n^{3})}$

Uygulamalar

Yalan teorisi uygulamaları şunları içerir:

• Her ters çevrilebilir operatör bir Borel grubunda bulunur .
• Her operatör, bayrak manifoldunun bir noktasını sabitler .

Genelleştirilmiş Schur ayrışması

Verilen kare matrisler A ve B , genel Schur ayrışma hem de matrisler factorizes ve , S ve Z olan yekpare ve S ve T olan üst üçgen . Genelleştirilmiş Schur ayrıştırması bazen QZ ayrıştırması olarak da adlandırılır . ${\ Displaystyle A=QSZ^{*}}$${\ Displaystyle B=QTZ^{*}}$

Genelleştirilmiş özdeğer çözmek genelleştirilmiş özdeğer problemi (burada x , bilinmeyen bir sıfır olmayan vektördür) çapraz elemanların oranı olarak hesaplanabilir S kişilerce T . Bu anlamında olabildikleri matris elemanları için simgeler kullanarak, bir i inci genelleştirilmiş özdeğer tatmin . ${\ Displaystyle \ lambda }$ ${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda B\mathbf {x} }$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}$

Referanslar