Matris benzerliği - Matrix similarity
Olarak lineer cebir , iki N -by- n matrisler bir ve B olarak adlandırılan benzer bir mevcutsa tersi n -by- n matris P şekildedir
Benzer matrisler aynı şeyi temsil doğrusal ilk iki (muhtemelen) farklı altında bazlar ile, p olan baz değişimi matrisi.
Bir dönüşüm bir ↦ p -1 AP olarak adlandırılan bir benzerlik dönüşüm ya da birleşme matris A . Olarak genel lineer grubu , benzerlik, bu nedenle aynı eşleşme ve benzer matrisler de denir konjugat ; bununla birlikte, genel lineer grubun belirli bir H alt grubunda, P'nin H içinde yer alacak şekilde seçilmesini gerektirdiğinden, eşlenik kavramı benzerlikten daha kısıtlayıcı olabilir .
motive edici örnek
Doğrusal bir dönüşüm tanımlarken, bir temel değişikliğinin aynı dönüşümün daha basit bir biçimiyle sonuçlanabilmesi söz konusu olabilir. Örneğin, bir dönme temsil eden matris R 3 olduğunda dönme ekseni koordinat ekseni ile uyumlu değildir bilgi işlem için karmaşık olabilir. Dönme ekseni pozitif z ekseni ile hizalanmış olsaydı, o zaman basitçe şöyle olurdu:
dönme açısı nerede . Yeni koordinat sisteminde dönüşüm şu şekilde yazılacaktır:
burada x' ve y' , dönme eksenine paralel bir vektör içeren yeni bir temelde sırasıyla orijinal ve dönüştürülmüş vektörlerdir. Orijinal temelde, dönüşüm şu şekilde yazılacaktır:
burada x ve y vektörleri ve bilinmeyen dönüşüm matrisi T orijinal bazdadır. Yazmak için T basit matris açısından, değiştirme bölgesinin bazında matris kullanın P dönüştüren x ve y olarak ve :
Böylece orijinal bazdaki matris ile verilir . Orijinal temeldeki dönüşümün, türetilmesi kolay üç matrisin ürünü olduğu bulunmuştur. Gerçekte, benzerlik dönüşümü üç adımda çalışır: yeni bir temele geç ( P ), basit dönüşümü gerçekleştir ( S ) ve eski temele geri dön ( P -1 ).
Özellikler
Benzerlik, kare matrislerin uzayı üzerinde bir denklik bağıntısıdır .
Matrisler, ancak ve ancak (muhtemelen) farklı tabanlara göre aynı lineer operatörü temsil ettikleri takdirde benzer olduklarından, benzer matrisler ortak temel operatörlerinin tüm özelliklerini paylaşırlar:
- Rütbe
- Karakteristik polinom ve ondan türetilebilecek nitelikler:
- Özdeğerlerin geometrik çoklukları (fakat kullanılan taban değişim matrisi P'ye göre dönüştürülen özuzaylar değil ).
- minimal polinom
- Frobenius'un normal formu
- Jordan bloklarının bir permütasyonuna kadar Jordan normal formu
- nilpotans indeksi
- Temel bir ideal alan üzerindeki matrislerin benzerliği için tam bir değişmezler kümesi oluşturan temel bölenler
Bu nedenle, belirli bir matris için A , tek bir basit, "normal formu" bulmakta ilgilenilmesi B benzer A alınmış çalışma A daha sonra basit bir matris çalışma azaltır B . Örneğin, bir köşegen matrise benziyorsa A , köşegenleştirilebilir olarak adlandırılır . Tüm matrisler köşegenleştirilebilir değildir, ancak en azından karmaşık sayılar (veya cebirsel olarak kapalı herhangi bir alan ) üzerinde, her matris Jordan biçimindeki bir matrise benzer . Bu formların hiçbiri benzersiz değildir (köşegen girişler veya Jordan bloklarına izin verilebilir), bu nedenle gerçekten normal formlar değildirler ; üstelik bunların belirlenmesi, A'nın minimum veya karakteristik polinomunu çarpanlarına ayırabilmeye (eşdeğer olarak onun özdeğerlerini bulmaya) bağlıdır. Rasyonel kanonik formu bu sakıncaları yok: o, herhangi bir alanın üzerine var olan eşsiz olduğunu ve sahada sadece aritmetik işlemleri kullanılarak hesaplanabilir; A ve B , ancak ve ancak aynı rasyonel kanonik forma sahiplerse benzerdir. Rasyonel kanonik form, A'nın temel bölenleri tarafından belirlenir ; bunlar Ürdün biçimindeki bir matristen hemen okunabilir, ancak herhangi bir matris için doğrudan Smith normal biçimini hesaplayarak, matrisin polinomlar halkası üzerinde (polinom girişleriyle) XI n − A ( polinom girişleriyle) belirlenebilir. belirleyicisi karakteristik polinomu tanımlayanla aynı). Bu Smith normal biçiminin, A'nın kendisinin normal bir biçimi olmadığına dikkat edin ; ayrıca XI n − A'ya da benzemez, ancak ikincisinden farklı ters çevrilebilir matrislerle (polinom girişleriyle) sol ve sağ çarpımlarla elde edilir.
Matrislerin benzerliği, temel alana bağlı değildir: L , alt alanı olarak K içeren bir alansa ve A ve B , K üzerinde iki matris ise , o zaman A ve B , K üzerindeki matrisler olarak benzerdir, ancak ve ancak aşağıdakiler ile benzerlerse L üzerindeki matrisler . Bunun nedeni, K üzerindeki rasyonel kanonik formun aynı zamanda L üzerindeki rasyonel kanonik form olmasıdır . Bu, verilen matrislerin benzer olup olmadığını belirlemek için yalnızca daha geniş bir alanda var olan Jordan formlarının kullanılabileceği anlamına gelir.
Matris halinde benzerlik tanımında, p seçilebilir bir olmak permütasyon matrisi daha sonra bir ve B olan permütasyon-benzeri; Eğer P bir olması seçilebilir yekpare matrisi daha sonra bir ve B olan birimsel olarak eşdeğer. Spektral teoremi her söylüyor , normal matris bazı diyagonal matrise tekparça eşdeğerdir. Specht'in teoremi , iki matrisin ancak ve ancak belirli iz eşitliklerini sağlamaları durumunda üniter olarak eşdeğer olduğunu belirtir.
Ayrıca bakınız
Notlar
Referanslar
- Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Lineer Cebirde İlk Ders: Gruplara, Halkalara ve Alanlara İsteğe Bağlı Giriş ile , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
- Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction , New York: Academic Press , LCCN 70097490
- Horn ve Johnson, Matris Analizi, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 . (Benzerlik birçok yerde tartışılıyor, sayfa 44'ten başlıyor.)