Karakteristik polinom - Characteristic polynomial

${\görüntüleme stili I}$

${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \lambda IA}$

${\görüntüleme stili A}$

${\displaystyle \det(\lambda IA),}$

${\görüntüleme stili \lambda .}$

Resmi tanımlama

Bir matris düşünün ile gösterilen karakteristik polinom, ile tanımlanan polinomdur. ${\görüntüleme stili n\kez n}$${\görüntüleme stili A.}$${\görüntüleme stili A,}$${\ Displaystyle p_{A}(t),}$

$${\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)}$$

${\görüntüleme stili I}$

${\görüntüleme stili n\kez n}$

Bazı yazarlar, karakteristik polinomu şu şekilde tanımlarlar: Polinom, burada bir işaret ile tanımlanandan farklıdır, dolayısıyla özdeğerlerinin kök olarak olması gibi özellikler için hiçbir fark yaratmaz ; ancak yukarıdaki tanım her zaman

${\görüntüleme stili \det(A-tI).}$

${\görüntüleme stili (-1)^{n},}$

${\görüntüleme stili A}$

${\görüntüleme stili n}$

Örnekler

Matrisin karakteristik polinomunu hesaplamak için

$${\displaystyle A={\başlangıç{pmatrix}2&1\\-1&0\son{pmatrix}}.}$$

$${\displaystyle tI-A={\başlangıç{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,}$

${\görüntüleme stili A.}$

Diğer bir örnek, kullanan hiperbolik fonksiyonlar a hiperbolik açısı cp. matris almak için

$${\displaystyle A={\başlangıç{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.}$$

$${\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(te^{\varphi })(te^{-\varphi }).}$$

Özellikler

Karakteristik polinom a matrisi (öncü katsayısıdır tognomoniktir ) ve derecesidir karakteristik polinom zaten motivasyon paragrafta belirtildiği en önemli yanı ise: özdeğerlerinin tam olan

${\displaystyle p_{A}(t)}$

${\görüntüleme stili n\kez n}$

${\görüntüleme stili 1}$

${\görüntüleme stili n.}$

${\görüntüleme stili A}$

${\displaystyle p_{A}(t)}$

${\görüntüleme stili A,}$

${\görüntüleme stili n}$

${\ Displaystyle p_{A}(0)}$

${\görüntüleme stili \det(-A)=(-1)^{n}\det(A),}$

${\görüntüleme stili t^{n}}$

${\görüntüleme stili t^{n-1}}$

${\görüntüleme stili A.}$

${\görüntüleme stili \det(A)}$

Bir matris için karakteristik polinom böylece verilir ${\görüntüleme stili 2\kez 2}$${\görüntüleme stili A,}$

$${\displaystyle t^{2}-\operatöradı {tr} (A)t+\det(A).}$$

Dış cebir dilini kullanarak, bir matrisin karakteristik polinomu şu şekilde ifade edilebilir: ${\görüntüleme stili n\kez n}$${\görüntüleme stili A}$

$${\displaystyle p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{nk}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{ k}A\sağ)}$$

${\displaystyle \operatöradı {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\sağ)}$

${\görüntüleme stili k}$

${\görüntüleme stili A,}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}.}$

${\görüntüleme stili A}$

${\görüntüleme stili k.}$

Tüm karakteristik bir alan katsayıları olan her bir iz, alternatif olarak tek bir determinanta olarak hesaplanabilir, bu matris, ${\görüntüleme stili 0,}$${\görüntüleme stili k\kez k}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\ cdots &\\\operatöradı {tr} A^{2}&\operatöradı {tr} A&k-2&\cdots &\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatöradı {tr} A^{k -1}&\operatöradı {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatöradı {tr} A^{k}&\operatöradı {tr} A^{k-1}&&\cdots &\ operatöradı {tr} A\end{vmatrix}}~.}$$

Cayley-Hamilton teoremi değiştirilmesi bildiren göre karakteristik polinom içinde (matris güçleri olarak ortaya çıkan güçleri yorumlama ve sabit terim olarak kez birim matris) sıfır matris elde edilir. Gayri resmi olarak konuşursak, her matris kendi karakteristik denklemini karşılar. Bu bildiride denk olduğunu

${\görüntüleme stili t}$

${\görüntüleme stili A}$

${\görüntüleme stili c}$

${\görüntüleme stili c}$

${\görüntüleme stili A}$

${\görüntüleme stili A.}$

İki benzer matris aynı karakteristik polinoma sahiptir. Ancak bunun tersi genel olarak doğru değildir: aynı karakteristik polinomlu iki matrisin benzer olması gerekmez.

Matris ve

${\görüntüleme stili A}$

${\görüntüleme stili A}$

${\görüntüleme stili K}$

${\görüntüleme stili A}$

İki matrisin çarpımının karakteristik polinomu

Eğer ve iki kare matris ise, o zaman karakteristik polinomları ve çakışır: ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili n\kez n}$${\ Displaystyle AB}$${\görüntüleme stili BA}$

$${\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,}$$

Tüm olan

${\görüntüleme stili A}$

${\ Displaystyle AB}$

${\görüntüleme stili BA}$

$${\displaystyle BA=A^{-1}(AB)A.}$$

Hem ve hem de tekil olduğu durumda , istenen özdeşlik, matrislerdeki polinomlar ve katsayılar arasında bir eşitliktir . Böylece, bu eşitliği kanıtlamak için, tüm katsayıların uzayının boş olmayan bir

${\görüntüleme stili A}$

${\görüntüleme stili B}$

${\görüntüleme stili t}$

Eğer Daha genel olarak, sırayla bir matrisidir ve düzenin bir matris sonra olduğu ve bir matris ve bir yer alır ${\görüntüleme stili A}$${\ Displaystyle m\times n}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili n\kez m,}$${\ Displaystyle AB}$${\görüntüleme stili m\ kere m}$${\görüntüleme stili BA}$${\görüntüleme stili n\kez n}$

$${\displaystyle p_{BA}(t)=t^{nm}p_{AB}(t).\,}$$

Bunu kanıtlamak için, bir varsayalım olabilir gerekirse alışverişi tarafından ve sınır suretiyle Sonra tarafından altındaki sıfırların satır ve sağda, tarafından sıfırların sütunlar, bir veya iki alır matrisleri ve öyle ki ve eşittir tarafından sınırlanmıştır sıfırlardan oluşan satırlar ve sütunlar. Sonuç, kare matrislerin durumundan, karakteristik polinomları karşılaştırarak takip eder ve${\görüntüleme stili n>m,}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B.}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili nm}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili nm}$${\görüntüleme stili n\kez n}$${\ Displaystyle A^{\prime }}$${\ Displaystyle B ^ {\ asal }}$${\displaystyle B^{\prime }A^{\prime }=BA}$${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$${\ Displaystyle AB}$${\görüntüleme stili nm}$${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$${\ Displaystyle AB.}$

A ^k'nin karakteristik polinomu

Eğer bir kare matrisin bir özdeğeridir özvektör ile daha sonra açıkça bir özdeğeridir${\ Displaystyle \ lambda }$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \mathbf {v} ,}$${\displaystyle \lambda ^{k}}$${\görüntüleme stili A^{k}}$

$${\displaystyle A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\ noktalar =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.}$$

Çoklukların da aynı fikirde olduğu gösterilebilir ve bu, aşağıdakilerin yerine herhangi bir polinom için genelleştirilir : ${\görüntüleme stili x^{k}}$

Teorem  -  Izin bir kare şeklinde matris ve let bir polinom olmak. Karakteristik polinomunun çarpanlara ayırması varsa ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili n\kez n}$${\görüntüleme stili f(t)}$${\görüntüleme stili A}$

$${\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})}$$

daha sonra matrisin karakteristik polinomu ile verilir ${\görüntüleme stili f(A)}$

$${\displaystyle p_{f(A)}(t)=(tf(\lambda _{1}))(tf(\lambda _{2}))\cdots (tf(\lambda _{n}))). }$$

Kendisine, cebirsel çokluğu içinde cebirsel çokluklar toplamına eşittir içinde fazla bu şekilde özellikle, içinde ve burada bir polinom örneğin bir matriks üzerinde değerlendirilir basitçe${\ Displaystyle \ lambda }$${\görüntüleme stili f(A)}$${\displaystyle \lambda '}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \lambda '}$${\displaystyle f(\lambda ')=\lambda .}$${\displaystyle \operatöradı {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})}$${\displaystyle \operatöradı {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i}).}$${\displaystyle f(t)=t^{3}+1,}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle f(A)=A^{3}+1.}$

Teorem, herhangi bir alan veya değişmeli halka üzerindeki matrisler ve polinomlar için geçerlidir . Bununla birlikte, matris karmaşık sayılar gibi

${\displaystyle p_{A}(t)}$

Kanıt

Bu ispat sadece karmaşık sayılar (veya cebirsel olarak kapalı herhangi bir alan) üzerindeki matrisler ve polinomlar için geçerlidir. Bu durumda, herhangi bir kare matrisin karakteristik polinomu her zaman şu şekilde çarpanlarına ayrılabilir: $${\displaystyle p_{A}(t)=\left(t-\lambda _{1}\right)\left(t-\lambda _{2}\right)\cdots \left(t-\lambda _{ n}\sağ)}$$ muhtemelen tekrarlananların özdeğerleri nerede . Ayrıca, Ürdün ayrışma teoremi bir kare matris garantiler olarak ayrışabilir burada bir bir tersinir bir matris ve bir üst üçgen ile (her özdeğer onun cebirsel çeşitliliğine göre tekrar) ile Diagonal'da. (Jordan normal formu daha güçlü özelliklere sahiptir, ancak bunlar yeterlidir; alternatif olarak daha az popüler olan ancak kanıtlanması daha kolay olan Schur ayrıştırması kullanılabilir). ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots,\lambda _{n}}$${\görüntüleme stili A,}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle A=S^{-1}ABD,}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots,\lambda _{n}}$ O zaman izin ver${\displaystyle f(t)=\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}t^{i}.}$ $${\displaystyle f(A)=\textstyle \sum \alpha _{i}(S^{-1}ABD)^{i}=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}USS^ {-1}ABD\cdots S^{-1}ABD=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S=S^{-1}(\textstyle \sum \ alpha _{i}U^{i})S=S^{-1}f(ABD)S.}$$ Bir üst üçgen matris için diyagonal matris çapraz üst üçgendir içinde ve bu nedenle çapraz üst üçgendir özdeğerlerinin nedenle olan yana olan benzer için aynı öz sahip aynı ön çokluklar ile. ${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle \lambda _{1},\dots,\lambda _{n},}$${\ Displaystyle U^{i}}$${\displaystyle \lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}}$${\ Displaystyle U^{i},}$${\görüntüleme stili f(U)}$${\displaystyle f\left(\lambda _{1}\sağ),\dots ,f\left(\lambda _{n}\sağ).}$${\görüntüleme stili f(U)}$${\displaystyle f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n}).}$${\displaystyle f(A)=S^{-1}f(U)S}$${\görüntüleme stili f(U),}$

Seküler fonksiyon ve laik denklem

laik işlev

Seküler fonksiyon terimi , günümüzde karakteristik polinom olarak adlandırılan şey için kullanılmıştır (bazı literatürde seküler fonksiyon terimi hala kullanılmaktadır). Terim, karakteristik polinomun,

laik denklem

Seküler denklemin birkaç anlamı olabilir.

• Olarak lineer cebir bazen karakteristik denkleminin yerine kullanılır.
• Gelen astronomi kısa bir dönem eşitsizlikler için izin verildi sonra kalan bir gezegenin hareket eşitsizliklerin büyüklükte cebirsel veya sayısal ifadesidir.

• Olarak moleküler orbital elektron enerjisi ve dalga fonksiyonuna ilişkin hesaplamaları da yerine karakteristik denkleminin kullanılır.

Genel çağrışımsal cebirler için

Bir alandaki girişleri olan bir matrisin karakteristik polinomunun yukarıdaki tanımı , yalnızca

${\displaystyle A\in M_{n}(F)}$

${\görüntüleme stili F}$

${\görüntüleme stili F}$

${\görüntüleme stili F}$

Ayrıca bakınız

• Karakteristik denklem (anlam ayrımı)
• Minimal polinom (doğrusal cebir)
• Tensörlerin değişmezleri
• tamamlayıcı matris
• Faddeev-LeVerrier algoritması
• Cayley-Hamilton teoremi
• Samuelson-Berkowitz algoritması

Referanslar

• TS Blyth & EF Robertson (1998) Temel Lineer Cebir , s 149, Springer ISBN  3-540-76122-5 .
• John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) Lineer Cebir 2. baskı, s 246, Addison-Wesley ISBN  0-201-11949-8 .
• Garibaldi, Skip (2004), "Karakteristik polinom ve determinant geçici yapılar değildir", American Mathematical Monthly , 111 (9): 761–778, arXiv : math/0203276 , doi : 10.2307/4145188 , JSTOR  4145188 , MR  2104048
• Werner Greub (1974) Lineer Cebir 4. baskı, s 120–5, Springer, ISBN  0-387-90110-8 .
• Paul C. Shields (1980) İlköğretim Lineer Cebir 3. baskı, s 274, Worth Publishers ISBN  0-87901-121-1 .
• Gilbert Strang (1988) Lineer Cebir ve Uygulamaları 3. baskı, s 246, Brooks/Cole ISBN  0-15-551005-3 .