Seçim işlevi - Choice function

Bir seçim işlevi ( seçici , seçim ) a, matematiksel fonksiyon f bir toplama tanımlanır X boş olmayan bir setleri ve devir her set arasında bir eleman S bu toplama S tarafından f ( S ); f ( S ) eşler S bazı elemana S . Başka bir deyişle, f için bir seçim fonksiyonudur X ve eğer ait yalnızca doğrudan ürünün içinde X .

Bir örnek

Let X  = {{1,4,7}, {9}, {2,7}}. O zaman {1,4,7} kümesine 7, 9 ila {9} ve 2 ila {2,7} atayan fonksiyon X üzerinde bir seçim fonksiyonudur .

Tarih ve önemi

Ernst Zermelo (1904), seçim aksiyomunun (AC) yanı sıra seçim fonksiyonlarını da tanıttı ve her kümenin iyi sıralanabileceğini belirten iyi sıralama teoremini kanıtladı . AC, her boş olmayan küme kümesinin bir seçim işlevi olduğunu belirtir. AC'nin daha zayıf bir biçimi olan sayılabilir seçim aksiyomu (AC _ω ), her sayılabilir boş olmayan küme kümesinin bir seçim işlevi olduğunu belirtir . Bununla birlikte, AC veya AC _ω yokluğunda , bazı kümelerin hala bir seçim fonksiyonuna sahip olduğu gösterilebilir.

• Eğer boş olmayan kümelerin sonlu bir kümesi ise , bu kümenin her bir elemanından bir eleman seçerek bir seçim fonksiyonu oluşturulabilir . Bu sadece sonlu sayıda seçim gerektirir, dolayısıyla ne AC ne de AC _ω gerekli değildir.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$
• Eğer kümenin her bir elemanı boş olmayan bir küme ise ve birleşim iyi sıralı ise, her bir elemanın en küçük elemanı seçilebilir . Bu durumda, birliğin iyi sıralamasından sadece bir seçim yaparak her üyeyi aynı anda iyi sıralamak mümkündü , bu nedenle ne AC ne de AC _ω gerekliydi. (Bu örnek, iyi sıralama teoreminin AC'yi ima ettiğini gösterir. Tersi de doğrudur, ancak daha az önemsizdir.)${\görüntüleme stili X}$ ${\displaystyle \bigcup X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$

Çok değerli bir haritanın seçim işlevi

İki set Verilen X ve Y , let F bir olmak çok değerli haritası gelen X ve Y (eşit biçimde, bir işlevdir X için güç kümesi içinde Y ). ${\displaystyle F:X\sağ ok {\mathcal {P}}(Y)}$

Bir fonksiyon , bir olduğu söylenir seçimi arasında F , eğer: ${\displaystyle f:X\sağ ok Y}$

${\displaystyle \forall x\in X\,(f(x)\in F(x))\,.}$

Daha düzenli seçim fonksiyonlarının varlığı, yani sürekli veya ölçülebilir seçimler, diferansiyel kapanımlar , optimal kontrol ve matematiksel ekonomi teorisinde önemlidir . Bkz. Seçim teoremi .

Burbaki tau işlevi

Nicolas Bourbaki , belirli bir önermeyi karşılayan bir nesneyi (varsa) seçmek olarak yorumlanabilecek bir sembolü olan temelleri için epsilon hesabını kullandı . Öyleyse, eğer bir yüklem ise, o zaman tatmin eden belirli bir nesnedir (eğer varsa, aksi takdirde keyfi bir nesne döndürür). Bu nedenle, seçim fonksiyonundan niceleyiciler elde edebiliriz, örneğin eşdeğerdi . ${\görüntüleme stili\tau }$${\görüntüleme stili P(x)}$${\displaystyle \tau _{x}(P)}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili P(\tau _{x}(P))}$${\görüntüleme stili (\vardır x)(P(x))}$

Bununla birlikte, Bourbaki'nin seçim operatörü normalden daha güçlüdür: küresel bir seçim operatörüdür. Yani, küresel seçim aksiyomunu ima eder . Hilbert bunu epsilon hesabını tanıtırken fark etti.

Ayrıca bakınız

• sayılabilir seçim aksiyomu
• Hausdorff paradoksu
• yarı süreklilik

Notlar

Referanslar

Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath'teki Seçim işlevinden materyal içermektedir .