İyi sıralama teoremi - Well-ordering theorem

In matematik , iyi sipariş teoremi olarak da bilinen, Zermelo teoremi , her o devletler kümesi olabilir iyi sıralı . Bir dizi X edilir iyi sıralı bir tarafından sıkı toplam siparişe her boş olmayan bir alt kümesi ise X bir sahiptir az eleman sipariş altında. Zorn lemması ile birlikte iyi sıralama teoremi , seçim aksiyomuna eşdeğer olan en önemli matematiksel ifadelerdir (genellikle AC olarak adlandırılır, ayrıca bkz . Seçim aksiyomu § Eşdeğerler ). Ernst Zermelo , iyi sıralama teoremini kanıtlamak için seçim aksiyomunu "tartışmasız bir mantıksal ilke" olarak tanıttı. İyi sıralama teoreminden her kümenin, matematikçiler tarafından güçlü bir teknik olarak kabul edilen transfinit tümevarıma duyarlı olduğu sonucuna varılabilir . Teoremin ünlü bir sonucu Banach-Tarski paradoksu .

Tarih

Georg Cantor , iyi sıralama teoremini "düşüncenin temel ilkesi" olarak değerlendirdi. Bununla birlikte, iyi bir sıralamayı görselleştirmek zor hatta imkansız olarak kabul edilir ; böyle bir görselleştirme, seçim aksiyomunu içermek zorunda kalacaktı. 1904'te Gyula Kőnig , böyle bir iyi düzenin olamayacağını kanıtladığını iddia etti. Birkaç hafta sonra, Felix Hausdorff ispatta bir hata buldu. Yine de, iyi sıralama teoreminin seçim aksiyomuna eşdeğer olduğu ortaya çıktı, şu anlamda Zermelo-Fraenkel aksiyomları ile birlikte biri diğerini kanıtlamak için birinci dereceden mantıkta yeterlidir (aynısı Zorn'un teorisi için de geçerlidir). lemma ). Gelen ikinci derece mantık Ancak teoremi Seçim aksiyomu daha sıkı güçlüdür iyi sipariş: iyi sıralama teoremi bir seçme aksiyomu şunları çıkarabilir gelen, ancak seçim birinin aksiyomundan iyi sipariş teoremini anlamak mümkün değil.

Üç ifade ve bunların sezgiye göreli yatkınlıkları hakkında iyi bilinen bir fıkra vardır:

Seçim aksiyomu açıkça doğrudur, iyi sıralama ilkesi açıkça yanlıştır ve Zorn'un lemmasını kim söyleyebilir ?

AC Kanıtı

Seçim Aksiyomu, iyi sıralama teoreminden aşağıdaki gibi kanıtlanabilir.

Boş olmayan kümeler koleksiyonu için bir seçim işlevi yapmak için E , kümelerin birleşimini E'de alın ve X olarak adlandırın . X'in iyi bir sıralaması vardır ; izin R, örneğin bir sipariş olabilir. Fonksiyon her bir grubu için bu S ve E en küçük elemanına ilişkilendiren S olarak (kısıtlama tarafından sipariş S arasında) R , toplama için bir seçim işlevi E .

Bu ispat temel bir nokta ki, sadece tek bir keyfi bir seçim olduğunu içerir R ; her üye tarafından iyi sipariş teoremini uygulayarak S ait E teoremi sadece iyi sipariş varlığını iddia beri, değil ayrı çalışmalarını olur, ve her biri için seçme S iyi sipariş unsurunu seçerken daha kolay olmaz.

Notlar

  1. ^ Kuczma, Marek (2009). Fonksiyonel denklemler ve eşitsizlikler teorisine giriş . Berlin: Springer. P. 14. ISBN'si 978-3-7643-8748-8.
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (2001). Matematik Ansiklopedisi: Ek . Berlin: Springer. P. 458. ISBN 1-4020-0198-3.
  3. ^ a b Thierry, Vialar (1945). Matematik El Kitabı . Norderstedt: Springer. P. 23. ISBN'si 978-2-95-519901-5.
  4. ^ Georg Cantor (1883), “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten”, Mathematische Annalen 21, s. 545–591.
  5. ^ Sheppard, Barnaby (2014). Sonsuzluğun Mantığı . Cambridge Üniversitesi Yayınları. P. 174. ISBN 978-1-1070-5831-6.
  6. ^ Plotkin, JM (2005), "Giriş " " Küme Teorisinde Güç Kavramı " ", Sıralı Kümelerde Hausdorff , Matematik Tarihi, 25 , American Mathematical Society, s. 23–30, ISBN 9780821890516
  7. ^ Shapiro, Stewart (1991). Temelcilik Olmadan Temeller: İkinci Dereceden Mantık İçin Bir Vaka . New York: Oxford University Press. ISBN'si 0-19-853391-8.
  8. ^ Krantz, Steven G. (2002), "The Axiom of Choice", Krantz'da, Steven G. (ed.), Handbook of Logic and Proof Techniques for Computer Science , Birkhäuser Boston, s. 121–126, doi : 10.1007 /978-1-4612-0115-1_9 , ISBN 9781461201151

Dış bağlantılar