Çok değerli işlev - Multivalued function

Bu diyagram, değerli bir multi-, ama uygun bir değil (tek değerli) temsil etmektedir işlevi elemanı 3 için, X iki eleman ile ilişkilidir b ve c de, Y .

Gelen matematik , bir çok değerli fonksiyonu olarak da adlandırılan, çok fonksiyonlu , çok değerli fonksiyonu , resim değerli işlev , bir benzer fonksiyonu , ancak her bir giriş için çeşitli değerler ilişkilendirebilir. Daha kesin olarak, bir gelen çok değerli bir işlev alanı X a değer kümesi Y her ilişkilendiren X içinde X , bir ya da daha fazla değerleri y olarak Y ; bu nedenle bir seri ikili ilişkidir . Bazı yazarlar, çok değerli bir fonksiyonun bazı girdiler için hiçbir değeri olmamasına izin verir (bu durumda çok değerli bir fonksiyon sadece ikili bir ilişkidir).

Ancak, karmaşık analiz ( X = Y = C ) gibi bazı bağlamlarda yazarlar, sıradan (tek değerli) fonksiyonların kavramlarını genişlettikçe fonksiyon teorisini taklit etmeyi tercih ederler. Bu bağlamda, karışıklığı önlemek için sıradan bir işleve genellikle tek değerli bir işlev denir .

Çok değerli fonksiyon terimi , analitik süreklilikten gelen karmaşık analizden kaynaklanmıştır . Bir noktanın bazı komşuluklarında karmaşık bir analitik fonksiyonun değerinin bilindiği sıklıkla görülür . Bu, örtük fonksiyon teoremi veya etrafında bir Taylor serisi tarafından tanımlanan fonksiyonlar için geçerlidir . Böyle bir durumda, tek değerli fonksiyonun tanım kümesi, 'den başlayarak karmaşık düzlemdeki eğriler boyunca genişletilebilir . Bu yüzden, bir noktada uzun bir fonksiyon değeri, bu bir bulur yaparken seçilen eğrisine bağlıdır için ; Yeni değerlerin hiçbiri diğerlerinden daha doğal olmadığından, hepsi çok değerli bir fonksiyona dahil edilmiştir.

Örneğin, pozitif gerçek sayılarda normal karekök işlevi olsun. Alanı , karmaşık düzlemdeki bir komşuluğa ve daha sonra 'den başlayan eğriler boyunca genişletilebilir , böylece belirli bir eğri boyunca değerler sürekli olarak 'den değişir . Negatif gerçek sayılara genişletildiğinde, alanın karmaşık düzlemin üst yarısından mı yoksa alt yarısından mı uzatıldığına bağlı olarak karekök için iki zıt değer elde edilir - örneğin -1 için ± i - . Bu olgu için ortaya çıkan, çok sık olan n inci kökleri , logaritma ve ters trigonometrik fonksiyonlar .

Karmaşık çok değerli bir fonksiyondan tek değerli bir fonksiyon tanımlamak için, belirli sınır eğrileri boyunca süreksiz olan tüm düzlemde tek değerli bir fonksiyon üreterek , çoklu değerlerden biri ana değer olarak ayırt edilebilir . Alternatif olarak, çok değerli fonksiyonla uğraşmak, kapalı bir yol ( monodromi ) izlediğinde olası değer değişiklikleri pahasına her yerde sürekli olan bir şeye sahip olmayı sağlar . Bu problemler Riemann yüzeyleri teorisinde çözülür : çok değerli bir fonksiyonu herhangi bir değeri atmadan sıradan bir fonksiyon olarak düşünmek için , etki alanı çok katmanlı bir kaplama uzayıyla çarpılır , bu Riemann yüzeyi ile ilişkili bir manifolddur .

Örnekler

  • Sıfırdan büyük her gerçek sayının iki gerçek karekökü vardır , bu nedenle karekök çok değerli bir fonksiyon olarak kabul edilebilir. Örneğin şunu yazabiliriz ; sıfırın yalnızca bir karekökü olmasına rağmen, .
  • Her sıfır olmayan bir karmaşık sayı iki karekök üç tane, küp kök , ve genel olarak , n , n inci kökleri . Sadece n 0 inci kök 0'dır.
  • Karmaşık logaritma fonksiyonu birden çok değerli olduğunu. Değerleri ile kabul reel sayılar için ve olan herkes için tamsayılar .
  • Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğu için ters trigonometrik fonksiyonlar çoklu değerlidir. Sahibiz
    Sonuç olarak, arctan(1) birkaç değerle sezgisel olarak ilişkilidir: π /4, 5 π /4, −3 π /4, vb. Bu kahve renkli etki alanını sınırlayan bir tek değerli fonksiyonu olarak açının tedavi edebilir x için - π / 2 < x < π / 2 - alan, üzerinde açık kahverengi X monoton olarak artmaktadır. Böylece, arctan( x ) aralığı π /2 < y < π /2 olur . Sınırlı bir etki alanındaki bu değerlere ana değerler denir .
  • Antitürevi çok değerli fonksiyon olarak kabul edilebilir. Bir fonksiyonun ters türevi, türevi o fonksiyon olan fonksiyonlar kümesidir. Entegrasyon sabit , sabit bir fonksiyonun türevi 0 olduğu gerçeğinin bir sonucudur.
  • Hiperbolik fonksiyonlar sanal eksen boyunca periyodik olduğundan, karmaşık alan üzerindeki ters hiperbolik fonksiyonlar çoklu değerlidir. Gerçekler üzerinde, arkosh ve arsch hariç, tek değerlidirler.
  • Argmax örneğin, birden çok değerli olduğu

Bunların hepsi, injektif olmayan fonksiyonlardan ortaya çıkan çok değerli fonksiyonların örnekleridir . Orijinal işlevler girdilerinin tüm bilgilerini korumadığı için geri döndürülemezler. Çoğu zaman, çok değerli bir fonksiyonun kısıtlaması , orijinal fonksiyonun kısmi tersidir .

Karmaşık bir değişkenin çok değerli fonksiyonlarının dal noktaları vardır . Örneğin, için n kökü ve logaritma fonksiyonları inci, 0 dal noktası olduğu; arktanjant fonksiyonu için, sanal birimler i ve - i dal noktalarıdır. Dal noktaları kullanılarak, bu işlevler, aralığı kısıtlayarak tek değerli işlevler olarak yeniden tanımlanabilir. Uygun bir aralık , dallanma noktası çiftlerini birbirine bağlayan ve böylece fonksiyonun çok katmanlı Riemann yüzeyini tek bir katmana indirgeyen bir tür eğri olan dal kesimi kullanılarak bulunabilir . Gerçek işlevlerde olduğu gibi, sınırlı aralık , işlevin ana dalı olarak adlandırılabilir .

Set değerli analiz

Küme değerli analiz , kümelerin matematiksel analiz ve genel topoloji ruhuyla incelenmesidir .

Küme değerli analiz, yalnızca noktaların toplamlarını dikkate almak yerine, kümelerin topluluklarını dikkate alır. Bir küme koleksiyonuna bir topoloji verilmişse veya altta yatan bir topolojik uzaydan uygun bir topoloji miras alıyorsa, kümelerin yakınsaması incelenebilir.

Küme değerli analizlerin çoğu , kısmen dışbükey analizin genelleştirilmesi olarak, matematiksel ekonomi ve optimal kontrol çalışmaları yoluyla ortaya çıktı ; " Varyasyonel analiz " terimi, R. Tyrrell Rockafellar ve Roger JB Wets , Jonathan Borwein ve Adrian Lewis ve Boris Mordukhovich gibi yazarlar tarafından kullanılmaktadır . Optimizasyon teorisinde, alt diferansiyelleri bir alt diferansiyele yaklaştırmanın yakınsaması, herhangi bir minimizasyon noktası için gerekli veya yeterli koşulları anlamada önemlidir.

Nokta değerli analizden şu kavramların küme değerli uzantıları vardır: süreklilik , türev , entegrasyon , örtük fonksiyon teoremi , daralma eşlemeleri , ölçü teorisi , sabit nokta teoremleri , optimizasyon ve topolojik derece teorisi .

Denklemler inklüzyonlara genelleştirilir .

Çok değerli işlev türleri

Kapalı grafik özelliği ve üst ve alt yarı süreklilik gibi sürekliliği genelleştiren birden çok kavram ayırt edilebilir . Çok işlevli ölçülere ilişkin çeşitli genellemeler de vardır .

Uygulamalar

Multifunctions ortaya optimal kontrol teorisi , özellikle ayırıcı inklüzyonlar ve benzeri gibi ilgili konular oyun teorisi , Kakutani teoremi noktası sabit varlığını kanıtlamak için uygulanmıştır multifunctions için Nash denge oyun teorisi bağlamında (çok değerli fonksiyonu genellikle adlandırılır bir şekilde karşılık ). Bu, sürekli fonksiyonlar aracılığıyla üst yarı-sürekli çok fonksiyonların yaklaşıklığı ile gevşek bir şekilde ilişkili diğer birçok özellik arasında, üst yarı sürekliliğin alt yarı süreklilikten daha fazla tercih edilmesini açıklar.

Bununla birlikte, daha düşük yarı-sürekli çok işlevler genellikle , parakompakt uzayların başka bir karakterizasyonunu sağlayan Michael seçim teoreminde belirtildiği gibi sürekli seçimlere sahiptir . Bressan-Colombo yönlü sürekli seçim, Kuratowski ve Ryll-Nardzewski ölçülebilir seçim teoremi , Aumann ölçülebilir seçim ve ayrıştırılabilir haritalar için Fryszkowski seçimi gibi diğer seçim teoremleri, optimal kontrol ve diferansiyel kapanımlar teorisinde önemlidir .

Fizikte, çok değerli fonksiyonlar giderek daha önemli bir rol oynamaktadır. Bunlar için matematiksel temelini oluşturan Dirac sitesindeki manyetik kutuplar teorisine, kusurlar kristallerde ve elde edilen plastisite için, malzeme girdapların içinde süper akışkanlar ve süper iletkenler ve için faz geçişleri , örneğin bu sistemlerde eritme ve kuark hapsi . Fiziğin birçok dalındaki ayar alanı yapılarının kökenidir .

İle kontrast

Ayrıca bakınız

Referanslar

Notlar

daha fazla okuma