Hausdorff paradoksu - Hausdorff paradox

Hausdorff paradoks bir paradoks matematik adını Felix Hausdorff . Küreyi içerir (içinde 2 boyutlu bir küre ). Belirli bir sayılabilir alt küme çıkarılırsa , geri kalanın üç ayrık alt kümeye bölünebileceğini ve öyle ki ve hepsi uyumlu olduğunu belirtir . Özellikle, ilgili olduğu sonucu hiçbir olan katkı ölçü sonlu bu ölçüsü anlamına çünkü tüm alt-gruplar tanımlanır (uyuşan setleri ölçüsü eşit olduğu şekilde eşzamanlı olarak , ve bütün kürenin sıfır olmayan ölçü ). ${\ displaystyle {S ^ {2}}}$${\ displaystyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}$${\ displaystyle {S ^ {2}}}$${\ displaystyle {A, B}}$${\ displaystyle {C}}$${\ displaystyle {A, B, C}}$${\ displaystyle {B \ cup C}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle {B \ cup C}}$${\ displaystyle 1/3}$${\ displaystyle 1/2}$${\ displaystyle 2/3}$

Paradoks 1914'te Mathematische Annalen'de ve aynı yıl Hausdorff'un Grundzüge der Mengenlehre kitabında yayınlandı . Çok daha ünlü Banach-Tarski paradoksunun kanıtı, Hausdorff'un fikirlerini kullanır. Bu paradoksun kanıtı Seçim Aksiyomuna dayanır .

Bu paradoks, uyumlu parçalar üzerinde eşit olan tüm alt kümelerde tanımlanan bir küre üzerinde sonlu bir toplamsal ölçü olmadığını gösterir . (Hausdorff ilk olarak aynı makalede, tüm alt kümelerde tanımlanmış sayılabilecek bir toplamsal ölçü olmadığının daha kolay sonucunu gösterdi .) Küre üzerindeki dönme grubunun yapısı burada çok önemli bir rol oynar - ifade düzlemde veya düzlemde doğru değildir. hat. Aslında, Banach'ın daha sonra gösterdiği gibi, Öklid düzlemindeki tüm sınırlı alt kümeler için bir "alan" (ve gerçek doğrudaki "uzunluk"), uyumlu kümelerin eşit olacağı bir şekilde tanımlamak mümkündür " alan ". ( Bununla birlikte, bu Banach ölçüsü yalnızca sonlu toplamsaldır, bu nedenle tam anlamıyla bir ölçü değildir , ancak ikincisinin var olduğu kümelerdeki Lebesgue ölçüsüne eşittir .) Bu, düzlemin iki açık alt kümesinin (veya gerçek çizgi) eşit parçalanabilir ve sonra eşit alana sahiptirler.

Ayrıca bakınız

• Banach-Tarski paradoksu
• Hausdorff Paradoksu ProofWiki'de

Referanslar

daha fazla okuma

• Hausdorff, Felix (1914). "Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen" . Mathematische Annalen . 75 : 428–434. doi : 10.1007 / bf01563735 . (Orijinal makale; Almanca)
• Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre (Almanca).