Banach-Tarski paradoksu - Banach–Tarski paradox

"Bir top, sonlu sayıda nokta kümesine ayrıştırılabilir ve orijinaliyle aynı iki top halinde yeniden birleştirilebilir mi?"

Banach-Tarski paradoks bir olan teoremi de set-teorik geometri olarak şöyle demektedir: katı Verilen top 3 boyutlu uzayda, vardır bir sonlu sayıda topun bir ayrışmasını ayrık alt kümeleri daha sonra geri konabilir, orijinal topun iki özdeş kopyasını elde etmek için farklı bir şekilde bir araya getirin. Gerçekten de, yeniden birleştirme işlemi, yalnızca parçaları hareket ettirmeyi ve şekillerini değiştirmeden döndürmeyi içerir. Bununla birlikte, parçaların kendileri olağan anlamda "katı" değil, noktaların sonsuz saçılımlarıdır. Yeniden yapılanma en az beş parça ile çalışabilir.

Teoremin daha güçlü bir biçimi, herhangi iki "makul" katı nesne (küçük bir top ve büyük bir top gibi) verildiğinde, birinin kesilen parçalarının diğerine yeniden birleştirilebileceğini ima eder. Bu genellikle gayri resmi olarak "bir bezelye doğranabilir ve Güneş'e yeniden monte edilebilir" olarak ifade edilir ve " bezelye ve Güneş paradoksu " olarak adlandırılır.

Banach-Tarski teoreminin paradoks olarak adlandırılmasının nedeni, temel geometrik sezgiyle çelişmesidir. Kısma ayırdıktan ve etrafında taşıyarak "topu iki katına" rotasyonlar ve çevirileri bütün bu operasyonlar beri olmaksızın, germe bükme veya yeni noktalar ekleyerek, imkansız gibi görünüyor herhangi gerektiğini , sezgisel korumak için, konuşma hacmi . Bu tür işlemlerin hacimleri koruduğu sezgisi matematiksel olarak saçma değildir ve hatta hacimlerin resmi tanımına dahil edilmiştir. Ancak bu burada uygulanamaz çünkü bu durumda dikkate alınan alt kümelerin hacimlerini tanımlamak mümkün değildir. Bunları yeniden birleştirmek, başlangıçtaki birimden farklı olan bir hacme sahip bir kümeyi yeniden üretir.

Geometrideki çoğu teoremden farklı olarak, bu sonucun kanıtı, küme teorisi için aksiyomların seçimine kritik bir şekilde bağlıdır. Ölçülemeyen kümelerin , yani sıradan anlamda hacmi olmayan ve inşası sayılamayan sayıda seçenek gerektiren nokta koleksiyonlarının oluşturulmasına izin veren seçim aksiyomu kullanılarak kanıtlanabilir .

2005 yılında, ayrıştırmadaki parçaların birbirleriyle karşılaşmadan sürekli olarak yerlerine hareket ettirilebilecek şekilde seçilebileceği gösterildi.

Leroy ve Simpson tarafından bağımsız olarak kanıtlandığı gibi, Banach-Tarski paradoksu, topolojik uzaylardan ziyade yerellerle çalışıyorsa hacimleri ihlal etmez. Bu soyut ortamda, noktası olmayan ama yine de boş olmayan alt uzaylara sahip olmak mümkündür. Paradoksal ayrışmanın parçaları, yereller anlamında çok fazla kesişir, bu kesişmelerin bazılarına pozitif bir kütle verilmelidir. Bu gizli kütlenin hesaba katılmasına izin veren yereller teorisi, Öklid uzayının tüm alt kümelerinin (ve hatta tüm alt yerellerinin) tatmin edici bir şekilde ölçülmesine izin verir.

Banach ve Tarski yayını

1924 yılında yayınlanan bir makalede, Stefan Banach ve Alfred Tarski böyle bir bir yapıya verdi paradoksal ayrışma temelinde, daha önceki çalışmaları ile Giuseppe Vitali ilişkin birim aralığı ve ile kürenin paradoksal ayrısımlarla üzerine Felix Hausdorff ve ilgili bir dizi tartışılan çeşitli boyutlarda Öklid uzaylarının alt kümelerinin ayrıştırılması ile ilgili sorular. Banach-Tarski paradoksunun güçlü biçimi olan aşağıdaki daha genel ifadeyi kanıtladılar :

Her ikisi de boş olmayan bir iç alana sahip olan en az üç boyutlu bir Öklid uzayının herhangi iki sınırlı A ve B altkümesi verildiğinde , A ve B'nin sonlu sayıda ayrık altkümeye bölünmesi vardır , (bazı tamsayılar için k ), böyle her bir (tamsayı) için i arasında 1 ve k setleri, A _ı ve B _i olan uyumlu .${\displaystyle A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{k}}$${\displaystyle B=B_{1}\cup \cdots \cup B_{k}}$

Şimdi A orijinal top olsun ve B orijinal topun çevrilmiş iki kopyasının birleşimi olsun. O zaman önerme, orijinal A topunu belirli sayıda parçaya bölebileceğiniz ve daha sonra bu parçaları döndürüp çevirebileceğiniz ve sonuç, A'nın iki kopyasını içeren tüm B kümesi olacak şekilde çevirebileceğiniz anlamına gelir .

Banach-Tarski paradoksunun güçlü biçimi, bir ve iki boyutlarda yanlıştır, ancak Banach ve Tarski, sayılabilir sayıda alt kümeye izin verilirse benzer bir ifadenin doğru kaldığını gösterdi . Öte yandan boyutları 1 ve bir yandan, 2 ve 3 ve daha yüksek arasındaki fark, grup zengin yapısına bağlı olarak ortaya E ( n ) ait Öklid hareket 3 boyutlu. İçin , n = 1, 2 grubudur çözülebilir , ama için n ≥ 3 bir içeren serbest bir grup iki jeneratör ile. John von Neumann , paradoksal bir ayrıştırmayı mümkün kılan eşdeğerlik grubunun özelliklerini inceledi ve uygun gruplar kavramını ortaya koydu . Ayrıca düzlemde , olağan uyumlar yerine alan koruyan afin dönüşümleri kullanan bir paradoks biçimi buldu .

Tarski, uygun grupların kesinlikle paradoksal ayrışmaların olmadığı gruplar olduğunu kanıtladı . Banach-Tarski paradoksunda yalnızca serbest alt gruplara ihtiyaç duyulduğundan, bu , 1980'de çürütülmüş olan uzun süredir devam eden von Neumann varsayımına yol açtı .

resmi tedavi

Banach-Tarski paradoksu, sıradan Öklid uzayındaki bir topun yalnızca alt kümelere bölme, bir kümeyi uyumlu bir kümeyle değiştirme ve yeniden birleştirme işlemleri kullanılarak ikiye katlanabileceğini belirtir. Onun matematiksel yapısı büyük ölçüde oynadığı rolü vurgulayarak aydınlatılmıştır grubun içinde Öklid hareketleri ve kavramlarını tanıtan equidecomposable setleri ve paradoksal bir set . G'nin bir X kümesine etki eden bir grup olduğunu varsayalım . En önemli özel durumda, X , n -boyutlu bir Öklid uzayıdır ( n integrali için ) ve G , X'in tüm izometrilerinden , yani X'in , genellikle E ( n ) ile gösterilen mesafeleri koruyan kendisine dönüşümlerinden oluşur . Birbirine dönüştürülebilen iki geometrik şekle uyumlu denir ve bu terminoloji genel G- eylemini kapsayacak şekilde genişletilecektir . İki alt-gruplar A ve B arasında , X olarak adlandırılan G -equidecomposable ya göre equidecomposable G ise, A ve B , sırasıyla, aynı sonlu sayıda bölümlenmiş olabilir G -congruent parçalar. Bu, X'in tüm alt kümeleri arasında bir denklik ilişkisi tanımlar . Biçimsel olarak, boş olmayan kümeler varsa , öyle ki ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}}$${\displaystyle B_{1},\dots ,B_{k}}$

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{k}A_{i},\quad B=\bigcup _{i=1}^{k}B_{i},}$

${\displaystyle \quad A_{i}\cap A_{j}=B_{i}\cap B_{j}=\emptyset \quad {\text{hepsi için}}1\leq i<j\leq k,}$

ve öyle unsurlar var ki ${\displaystyle g_{i}\G} içinde$

${\displaystyle g_{i}(A_{i})=B_{i}{\text{ tümü için }}1\leq i\leq k,}$

daha sonra söz konusu olabilir bir ve B olan G -equidecomposable kullanılarak k adettir. Bir dizi halinde E , iki ayrık alt kümelerini sahip bir ve B bu şekilde bir ve e , hem de B ve D , olan G , -equidecomposable sonra D olarak adlandırılan paradoksal .

Bu terminolojiyi kullanarak Banach-Tarski paradoksu aşağıdaki gibi yeniden formüle edilebilir:

Üç boyutlu bir Öklid topu, kendisinin iki kopyasıyla eşit olarak birleştirilebilir.

Aslında bu durumda Raphael M. Robinson'dan kaynaklanan keskin bir sonuç var : Topu ikiye katlamak beş taşla yapılabilir ve beşten az taş yeterli olmayacaktır.

Paradoksun güçlü versiyonu şu iddialarda bulunuyor:

3-boyutlu Öklid uzayının herhangi iki sınırlı altkümesi, içi boş olmayan eşit birleştirilebilir.

Görünüşe göre daha genel, bu açıklama bir genelleme kullanarak bir topun iki katına basit bir şekilde elde edilir iken Bernstein-Schroeder teoremi ima nedeniyle Banach eğer o bir bir alt kümesi ile equidecomposable olan B ve B 'A' ile equidecomposable olduğunu A'nın alt kümesi , ardından A ve B eşit olarak birleştirilebilir.

Banach-Tarski paradoksu, paradoksun güçlü biçimindeki iki küme için, her zaman bir şekildeki noktaları bire bir şekilde eşleştirebilen bir bijective işlevi olduğuna işaret edilerek bağlam içine alınabilir. . Dilinde Georg Cantor 'ın küme teorisinin bu iki set eşit olması önem düzeyi . Bu nedenle, eğer grup X'in keyfi bijeksiyonlarına izin verecek şekilde genişletilirse, içi boş olmayan tüm kümeler uyumlu hale gelir. Aynı şekilde, bir top gerdirilerek veya başka bir deyişle benzerlik dönüşümleri uygulanarak daha büyük veya daha küçük bir top haline getirilebilir . Bu nedenle, eğer G grubu yeterince büyükse, "boyutu" değişen G- eşit olarak birleştirilebilir kümeler bulunabilir. Ayrıca, sayılabilir bir küme kendisinin iki kopyası haline getirilebildiğinden, sayılabilir sayıda parçanın kullanılmasının bir şekilde işe yarayacağı beklenebilir.

Öte yandan, Banach-Tarski paradoksunda, parça sayısı sonludur ve izin verilen eşdeğerlikler, hacimleri koruyan Öklid uyumlarıdır. Yine de, bir şekilde, topun hacmini ikiye katlıyorlar! Bu kesinlikle şaşırtıcı olsa da, paradoksal ayrıştırmada kullanılan parçaların bazıları ölçülemeyen kümelerdir , bu nedenle hacim kavramı (daha doğrusu Lebesgue ölçüsü ) onlar için tanımlanmamıştır ve bölümleme pratik bir şekilde gerçekleştirilemez. Aslında, Banach-Tarski paradoksu , Öklid hareketlerine göre değişmez olan üç (ve daha büyük) boyutlu bir Öklid uzayının tüm alt kümeleri üzerinde tanımlanmış sonlu toplamsal bir ölçü (veya bir Banach ölçüsü ) bulmanın imkansız olduğunu gösterir. birim küpte bir değerini alır. Tarski, daha sonraki çalışmasında, tersine, bu tür paradoksal ayrıştırmaların yokluğunun, sonlu katkılı değişmez bir ölçünün varlığını ima ettiğini gösterdi.

Aşağıda sunulan paradoksun "topu ikiye katlama" formunun kanıtının özü, bir Öklid izometrisi (ve öğelerin yeniden adlandırılması) ile belirli bir kümenin (esas olarak, bir birim kürenin yüzeyinin) bölünebileceği dikkate değer gerçektir. dört parçaya bölün, sonra bunlardan birini kendisi ve diğer parçalardan ikisi olacak şekilde döndürün. Bu gelen yerine kolayca aşağıdaki F ₂ arasında -paradoxical ayrışma F ₂ , serbest grubun iki jeneratörler ile. Banach ve Tarski'nin ispatı, birkaç yıl önce Hausdorff tarafından keşfedilen benzer bir gerçeğe dayanıyordu: uzayda bir birim kürenin yüzeyi, üç küme B , C , D ve sayılabilir bir E kümesinin ayrık birleşimidir, öyle ki, bir yandan B, , C , D ikili olarak uyumludur ve diğer yandan B , C ve D' nin birleşimiyle uyumludur . Buna genellikle Hausdorff paradoksu denir .

Daha önceki çalışmalarla bağlantı ve seçim aksiyomunun rolü

Banach ve Tarski, Giuseppe Vitali'nin 1905 yılında kendi adını taşıyan seti inşa etmesini , Hausdorff'un paradoksunu (1914) ve Banach'ın daha önceki bir (1923) makalesini çalışmalarının habercileri olarak açıkça kabul eder . Vitali'nin ve Haussdorf en yapılar bağlıdır Zermelo 'ın seçim belitinin ( ' AC kendi paradoksunu ispat için ve başka sonuç ispatı için, hem de Banach-Tarski kağıt için çok önemlidir'):

Biri diğerini kesin olarak içeren iki Öklid poligonu equidecomposable değildir .

Şunları belirtiyorlar:

Le rôle que joue cet aksiyom dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention

(Bu aksiyomun akıl yürütmemizde oynadığı rol, bize dikkati hak ediyor gibi görünüyor)

İkinci sonucun geometrik sezgiyle tamamen aynı fikirde olmasına rağmen, kanıtının AC'yi paradoksun kanıtından bile daha önemli bir şekilde kullandığına dikkat çekiyorlar. Böylece Banach ve Tarski, AC'nin yalnızca paradoksal bir ayrışma ürettiği için reddedilmemesi gerektiğini ima eder, çünkü böyle bir argüman aynı zamanda geometrik olarak sezgisel ifadelerin kanıtlarını da zayıflatır.

Bununla birlikte, 1949'da AP Morse, Öklid poligonları hakkındaki ifadenin ZF küme teorisinde kanıtlanabileceğini ve bu nedenle seçim aksiyomunu gerektirmediğini gösterdi. 1964 yılında Paul Cohen seçim aksiyomu bağımsız olduğunu kanıtladı ZF , ondan ispat edilemez olduğunu - ZF . Seçtiğiniz bir aksiyomun daha zayıf versiyonudur bağımlı seçim beliti , DC , ve gösterilmiştir DC olduğu değil iki Banach-Tarski paradoksu, ispat için yeterli,

Banach-Tarski paradoks bir teoremi değildir ZF , ne de bir ZF + DC .

Büyük miktarda matematik AC kullanır . As Stan Vagon o araştırma için verimli yeni bir yön motive ilgisi yoktur grupların amenability: monografîk sonunda işaret temel sorular yerine, Banach-Tarski paradoks saf matematik onun rolü için daha önemli olmuştur temel sorularla yapın.

1991'de, Matthew Foreman ve Friedrich Wehrung'un o zamanki son sonuçlarını kullanan Janusz Pawlikowski, Banach-Tarski paradoksunun ZF artı Hahn-Banach teoreminden geldiğini kanıtladı . Hahn–Banach teoremi, tam aksiyom seçimine dayanmaz, ancak ultrafiltre lemma adı verilen daha zayıf bir AC versiyonu kullanılarak kanıtlanabilir . Pawlikowski küme teorisi daha güçlü iken, Banach-Tarski paradoksu kanıtlamak için gerekli olduğunu kanıtladı Yani ZF , tam daha zayıf olduğu ZFC .

Kanıtın bir taslağı

Burada Banach ve Tarski tarafından verilene benzer ancak aynı olmayan bir kanıt taslağı çizilmiştir. Temel olarak, topun paradoksal ayrışması dört adımda gerçekleştirilir:

1. İki üreteçte serbest grubun paradoksal bir ayrışmasını bulun .
2. İki jeneratörde serbest gruba izomorfik 3 boyutlu uzayda bir dönüş grubu bulun .
3. İçi boş birim kürenin paradoksal bir ayrışmasını üretmek için bu grubun paradoksal ayrışmasını ve seçim aksiyomunu kullanın.
4. Kürenin bu ayrışmasını, katı birim topun ayrışmasına genişletin.

Bu adımlar aşağıda daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

Aşama 1

Cayley grafik arasında F ₂ set halinde ayrışma gösteren S ( a ) ve aS ( a ^-1 ). Sağa doğru yönde Grafiğin yatay kenarı çaprazlayan bir elemanının sol çoğalmasını temsil F ₂ tarafından bir ; yukarı doğru grafiğin dikey kenar geçme bir elemanının sol çoğalmasını temsil F ₂ ile b . S ( a ) kümesinin elemanları yeşil noktalardır; aS ( a ^-1 ) kümesinin elemanları mavi noktalar veya mavi kenarlıklı kırmızı noktalardır. Mavi kenarlıklı kırmızı noktalar , aS'nin ( a ^-1 ) bir alt kümesi olan S'nin ( a ^-1 ) öğeleridir .

İki a ve b üreteci olan serbest grup, a , a ^-1 , b ve b ^-1 dört sembolünden oluşturulabilen tüm sonlu dizilerden oluşur, öyle ki a a ^-1'in hemen yanında hiçbir a görünmez ve hiçbir b doğrudan görünmez. a b ^{-1 yanında} . Bu tür iki dize birleştirilebilir ve "yasak" alt dizeleri boş dizeyle tekrar tekrar değiştirerek bu tür bir dizeye dönüştürülebilir. Örneğin: abab ^-1 Bir ^-1 birleştirilmiş olan abab ^-1 bir verim abab ^-1 Bir ^-1 abab ^-1 bir , alt içeren bir ^-1 a , ve bu yüzden azaltılmış olur abab ^-1 bab ^-1 a , ki alt içeren B ^-1 b azaltılmış olur, abaab ^-1 a . Bu işlemle, bu dizelerin kümesinin, kimlik öğesi boş dize e olan bir grup oluşturduğu kontrol edilebilir . Bu grup F ₂ olarak adlandırılabilir .

Grup aşağıdaki gibi "paradoksal olarak ayrıştırılabilir": S ( a ) a ile başlayan ve S ( a ^-1 ), S ( b ) ve S ( b ^-1 ) 'yi benzer şekilde tanımlayan tüm yasak olmayan dizelerin kümesi olsun . Açıkça, ${\ Displaystyle F_{2}}$

${\displaystyle F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})}$

ama aynı zamanda

${\displaystyle F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a),}$

ve

${\displaystyle F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b),}$

burada aS ( a ^-1 ) notasyonu S ( a ^-1 ) içindeki tüm dizgileri almak ve bunları sol tarafta a ile birleştirmek anlamına gelir .

Kanıtın temelinde bu vardır. Örneğin , kümede , yanında görünmemesi gereken kural nedeniyle dizeye indirgenen bir dize olabilir . Benzer şekilde, ile başlayan tüm dizeleri içerir (örneğin, 'ye indirgenen dize ). Bu şekilde , ve ile başlayan tüm dizeleri içerir . ${\ Displaystyle aa^{-1}b}$${\ Displaystyle as(a^{-1})}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili a^{-1}}$${\görüntüleme stili b}$${\ Displaystyle as(a^{-1})}$${\görüntüleme stili a^{-1}}$${\displaystyle aa^{-1}a^{-1}}$${\görüntüleme stili a^{-1}}$${\ Displaystyle as(a^{-1})}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili b^{-1}}$${\görüntüleme stili a^{-1}}$

Grup F ₂ dört parçaya bölünmüştür (artı tekil { e }), sonra ikisi a veya b ile çarpılarak "kaydırılır" , sonra bir kopyasını oluşturmak ve diğer ikisini oluşturmak için iki parça olarak "yeniden birleştirilir". başka bir kopyası . Bu tam olarak topa yapılmak istenen şeydir. ${\ Displaystyle F_{2}}$${\ Displaystyle F_{2}}$

Adım 2

Bulmak amacıyla serbest grubu 3D uzayda, yani dönme sadece (veya "gibi davranır izomorfik " e) serbest grup F ₂ iki ortogonal eksen alınır (örneğin, x ve z eksenleri). Daha sonra, bir bir dönme olarak alınır ilgili X ekseni ve B bir dönme olduğu hakkında z eksenine (burada da kullanılabilir tt akıldışı birçok diğer birçok uygun çifti vardır). ${\textstyle \theta =\arccos \sol({\frac {1}{3}}\sağ)}$${\görüntüleme stili\teta }$

A ve B tarafından üretilen döndürme grubuna H adı verilir . Izin bir eleman H olduğu ilgili olumlu rotasyon ile başlar z formun bir elemanıdır eksen ile . Bu indüksiyonla gösterilebilir noktayı harita için bazıları için, . Analiz ve modulo 3, biri bunu gösterebilir . Tekrarlanan aynı argüman (sorunun simetrisi ile), z ekseni etrafında negatif bir dönüş veya x ekseni etrafında bir dönüş ile başladığında geçerlidir . Bu, A ve B'de önemsiz olmayan bir Word tarafından verilirse , o zaman . Bu nedenle, grup lH izomorf serbest grubu, F ₂ . ${\görüntüleme stili\omega }$${\displaystyle \omega =\ldots B^{k_{3}}A^{k_{2}}B^{k_{1}}}$${\displaystyle k_{1}>0,\ k_{2},k_{3},\ldots ,k_{n}\neq 0,\ n\geq 1}$${\görüntüleme stili\omega }$${\görüntüleme stili (1,0,0)}$${\textstyle \left({\frac {k}{3^{N}}},{\frac {l{\sqrt {2}}}{3^{N}}},{\frac {m}{ 3^{N}}}\sağ)}$${\displaystyle k,l,m\in \mathbb {Z} ,N\in \mathbb {N} }$${\görüntüleme stili k,l}$${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili l\neq 0}$${\görüntüleme stili\omega }$${\görüntüleme stili\omega }$${\displaystyle \omega \neq e}$

İki döndürme , F ₂ grubundaki a ve b öğeleri gibi davranır : şimdi H'nin paradoksal bir ayrışması vardır .

Bu adım, üç boyutlu döndürmeler içerdiğinden iki boyutlu olarak gerçekleştirilemez. Aynı eksen etrafında iki dönüş yapılırsa, elde edilen grup değişmeli daire grubudur ve 1. adımda gereken özelliğe sahip değildir.

İntegral kuaterniyonları kullanan bazı özel ortogonal gruplarda serbest grupların varlığının alternatif bir aritmetik kanıtı, döndürme grubunun paradoksal ayrışmalarına yol açar .

Aşama 3

Birim küre S ² bölünür yörüngeleri tarafından harekete eden grup , H : iki nokta aynı yörüngede ait , ancak ve ancak bir dönüş olur ve bu H , birincisinin ikincinin içine nokta taşır. (Not bir noktanın yörünge olduğu belirlenen yoğun olarak S ² ). Seçme aksiyomu her yörüngeden tam olarak bir nokta almak için kullanılabilir; bu noktaları bir M kümesinde toplayın . H'nin belirli bir yörünge üzerindeki eylemi serbest ve geçişlidir ve bu nedenle her yörünge H ile tanımlanabilir . Diğer bir deyişle, her bir nokta S ² den uygun bir dönme uygulanarak tam bir şekilde ulaşılabilir , H den uygun bir elemana M . Bu nedenle, paradoksal ayrışma arasında H paradoksal bir ayrışma veren S ² dört parçaya bir ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ , aşağıdaki gibi:

${\displaystyle A_{1}=S(a)M\cup M\cup B}$

${\displaystyle A_{2}=S(a^{-1})M\setminus B}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle A_{3}=S(b)M}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle A_{4}=S(b^{-1})M}$

nerede tanımlıyoruz

${\displaystyle S(a)M=\{s(x)|s\S(a),x\M\}}$

ve aynı şekilde diğer kümeler için ve tanımladığımız yer için

${\displaystyle B=a^{-1}M\cup a^{-2}M\cup \dots }$

( F _2'nin beş "paradoksal" kısmı , tekli { e }!' nin varlığı nedeniyle ikiye katlandıktan sonra M'yi fazladan bir parça olarak bırakacaklarından doğrudan kullanılmadı !)

Küre (çoğunluk) şimdi dört kümeye bölünmüştür (her biri küre üzerinde yoğundur) ve bunlardan ikisi döndürüldüğünde, sonuç öncekinin iki katıdır:

${\displaystyle aA_{2}=A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}}$

${\displaystyle bA_{4}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{4}}$

4. Adım

Son olarak, S ² üzerindeki her noktayı yarı açık bir segmentle orijine bağlayın ; paradoksal ayrışma S ² daha sonra katı birim top eksi topun merkezindeki noktasının paradoksal ayrışma oluşur. (Bu merkez noktasının biraz daha özen göstermesi gerekiyor; aşağıya bakın.)

NB Bu taslak, bazı ayrıntıları vurgulamaktadır. Bir de bazı dönme ekseni üzerinde yalan olur kürenin üzerindeki noktaların kümesi hakkında dikkatli olmak zorunda H . Bununla birlikte, bu tür yalnızca sayılabilir sayıda nokta vardır ve topun ortasındaki nokta gibi, hepsini açıklamak için kanıtı yamalamak mümkündür. (Aşağıya bakınız.)

Bazı ayrıntılar, ayrıntılı

3. Adımda, küre H grubumuzun yörüngelerine bölündü . Kanıtı kolaylaştırmak için, bazı döndürmelerle sabitlenen noktaların tartışılması atlandı; F _2'nin paradoksal ayrışması belirli alt kümelerin kaydırılmasına dayandığından, bazı noktaların sabit olması bazı sorunlara neden olabilir. Herhangi bir dönme yana S ² (boş dönme hariç) tam olarak iki sahip sabit noktalar ve o zamandan beri , H izomorf, F ₂ , olduğu sayılabilir , birçok noktaları sayılabilir vardır S ² bazı dönüşü ile sabitlenir H . Bu sabit nokta kümesini D olarak belirtin . Adım 3, S ² − D'nin paradoksal bir ayrışmayı kabul ettiğini kanıtlar .

Ne gösterilir kalır olan İstem : S ² - D ile equidecomposable olan S ² .

Kanıt. λ, başlangıç ​​noktasından geçen ve D' deki herhangi bir noktayı kesmeyen bir doğru olsun . D sayılabilir olduğundan bu mümkündür . Let J açıları, a, grubu olduğu bazı bu tür bir doğal sayı , n , ve bazı P olarak D , r, ( n- α) P da D , r, ( n- α) ve X etrafında bir dönme olduğu , n a. O zaman J sayılabilir. Yani J'de olmayan bir θ açısı var . ρ, λ ile θ arasındaki dönüş olsun. O zaman ρ , D'de sabit noktaları olmaksızın S ² üzerinde hareket eder , yani, ρ ⁿ ( D ) D' den ayrıktır ve doğal m < n için ρ ⁿ ( D ) ρ ^m ( D )' den ayrıdır . Let D olmak ayrık birleşimi p'ye ve ^n, ( D ) üzerinden n = 0, 1, 2, .... O zaman S ² = E ∪ ( S ² − E ) ~ ρ( E ) ∪ ( S ² − E ) = ( E − D ) ∪ ( S ² − E ) = S ² − D , burada ~ "eşit olarak birleştirilebilirdir" ".

4. adım için, top eksi bir noktanın paradoksal bir ayrışmayı kabul ettiği zaten gösterilmiştir; top eksi bir noktanın topla eş-ayrıştırılabilir olduğu gösterilmelidir. Topun ortasındaki noktayı içeren topun içinde bir daire düşünün. İddiayı kanıtlamak için kullanılan böyle bir argümanı kullanarak, tam dairenin, daire eksi topun merkezindeki nokta ile eşit olarak birleştirilebilir olduğunu görebiliriz. (Temel olarak, daire üzerindeki sayılabilir bir nokta kümesi kendisine artı bir nokta daha verecek şekilde döndürülebilir.) Bunun orijinden başka bir nokta etrafında dönüşü içerdiğine dikkat edin, bu nedenle Banach-Tarski paradoksu Öklid 3-uzayının izometrilerini içerir. sadece SO(3) yerine .

A ~ B ve B ~ C ise A ~ C olduğu gerçeğinden yararlanılır . Ayrışma A içine C parça sayısı almak için gerekli sayı ürüne eşit kullanılarak yapılabilir A içine B ve alınması için B içine C .

Yukarıda taslağı çizilen ispat 2 × 4 × 2 + 8 = 24 parça gerektirir - sabit noktaları kaldırmak için 2 faktörü, adım 1'den 4 faktörü, sabit noktaları yeniden oluşturmak için 2 faktörü ve ikinci topun merkez noktası için 8 . Ancak {taşırken aşama 1 'de e } ve formun tüm dizileri bir ⁿ içine S ( a ^-1 ), biri hariç tüm yörüngeleri için yapılır. Bu son yörüngenin { e } sini ikinci topun orta noktasına getirin. Bu da toplamı 16+1 parçaya indiriyor. Daha fazla cebirle, sabit yörüngeler de 1. adımda olduğu gibi 4 takıma ayrılabilir. Bu 5 parça verir ve mümkün olan en iyisidir.

Birinden sonsuz sayıda top elde etmek

Banach–Tarski paradoksunu kullanarak, herhangi bir n ≥ 3 ve k ≥ 1 tamsayı için , Öklidyen n uzayındaki bir topun k kopyasını birden elde etmek mümkündür , yani bir top k parçaya bölünebilir, böylece her biri orijinali ile aynı boyutta bir topa eşit olarak birleştirilebilirler. Gerçeğini kullanarak serbest grup F ₂ 2 serbest alt grubunu kabul değerde sayılabilir sonsuz sıralaması, birim küre olmalı ve bir izolasyon verimi S ^{, n -1} iki ile (equidecomposable her biri sayılabilir sonsuz sayıda parçalar halinde bölünebilir adet) döndürmeler kullanılarak S ^{n -1'e} dönüştürülür. Bağlı bir analitik Lie grubu olan SO( n ) dönme grubunun analitik özelliklerini kullanarak , S ^{n -1} küresinin gerçek sayılar (yani, parçalar) olduğu kadar çok parçaya bölünebileceğini daha da kanıtlayabiliriz. , böylece her parça, döndürmeler kullanılarak S ^{n −1'e} iki parça ile eşit olarak birleştirilebilir . Bu sonuçlar daha sonra orijinden yoksun bırakılan birim bilyeye kadar uzanır. Valeriy Churkin'in 2010 tarihli bir makalesi, Banach-Tarski paradoksunun sürekli versiyonunun yeni bir kanıtını sunuyor. ${\ Displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Öklid düzleminde Von Neumann paradoksu

Gelen Öklid düzleminde , grubuna göre equidecomposable iki şekil Öklid hareket , bu nedenle kullanımları ancak Öklid kongrüanslar imkansız olduğu Banach Tarski tipi bir kare veya diskin paradoksal ayrışma zorunlu olarak aynı alan ve benzerleridir. Düzlemsel ve yüksek boyutlu durumda arasındaki ayrımın kavramsal bir açıklama ile verildi , John von Neumann : grup farklı , SO (3) üç boyutta rotasyonların, grup E düzleminin Öklid hareketleri (2) 'nin çözülebilir , burada bir sonlu katkı maddesi ölçü varlığını ima E (2) ve R ² göz ardı edilemeyecek setleri paradoksal aynşmalara üzerinden öteleme ve dönme hareketine ve kurallarına göre değişmez. Von Neumann daha sonra şu soruyu sordu: Daha büyük bir eşdeğerlik grubuna izin verilirse böyle bir paradoksal ayrıştırma oluşturulabilir mi?

Benzerliklere izin verilirse , düzlemdeki herhangi iki karenin daha fazla alt bölme olmadan bile eşdeğer olacağı açıktır . Gruba kişinin dikkatini kısıtlayan Bu motive eder SA ₂ arasında alan koruyan afin dönüşümler . Alan korunduğu için, bir karenin bu gruba göre herhangi bir paradoksal ayrışması, bir topun Banach-Tarski ayrışmasıyla aynı nedenlerle mantık dışı olacaktır. Aslında, grubu SA ₂ , bir alt grup olarak özel lineer grubu ihtiva SL (2, R ) kendi sırayla içeren, serbest grup F ₂ , bir alt grup olarak, iki jeneratörler ile. Bu, Banach-Tarski paradoksunun kanıtının düzlemde taklit edilebileceğini makul kılıyor. Buradaki ana zorluk, birim karenin lineer grup SL (2, R ) etkisi altında değişmez olmaması gerçeğinde yatmaktadır , bu nedenle üçüncü adımda olduğu gibi gruptan kareye paradoksal bir ayrışma basitçe aktarılamaz. Banach-Tarski paradoksunun yukarıdaki kanıtı. Ayrıca, grubun sabit noktaları zorluklar içerir (örneğin, tüm lineer dönüşümlerde orijin sabittir). Bu nedenle von Neumann , çeviriler de dahil olmak üzere daha büyük SA ₂ grubunu kullandı ve birim karenin genişletilmiş gruba göre paradoksal bir ayrıştırmasını yaptı (1929'da). Banach-Tarski yöntemini uygulayarak, kare paradoksu aşağıdaki gibi güçlendirilebilir:

Öklid düzleminin boş olmayan iç kısımlara sahip herhangi iki sınırlı alt kümesi, alanı koruyan afin haritalara göre eşit olarak birleştirilebilir.

Von Neumann'ın belirttiği gibi:

"Infolgedessen gibt es bereits in der Ebene ana nichtnegatives katkı maddeleri Maß (wo das Einheitsquadrat das Maß 1 hat), das gegenüber allen Abbildungen von A ₂ değişmez eşya."

"Buna uygun olarak, daha önce düzlemde ait tüm dönüşümlere göre değişmez olduğu, (birim kare 1 için bir ölçü olan için) herhangi bir negatif olmayan katkı ölçüsü vardır , A ₂ [grubu alan koruyucu afin dönüşümler]."

Daha fazla açıklamak gerekirse, (belirli dönüşümler altında korunan) sonlu bir toplamsal ölçünün var olup olmadığı sorusu, hangi dönüşümlere izin verildiğine bağlıdır. Banach ölçüsü onlar çokgen alanı korumak zamanlarda bile çeviriler ve rotasyonlar tarafından korunur düzlemde, içinde setleri, olmayan izometrik dönüşümler tarafından korunmaz. Düzlemin noktaları (orijin dışındaki) A ve B olarak adlandırılabilecek iki yoğun kümeye ayrılabilir . Eğer bir belirli bir poligon noktaları, belirli bir alan koruyucu dönüşümü ve transforme edilmiştir B tarafından başka nokta, her iki set de alt kümeleri olabilir bir iki yeni çokgen noktaları. Yeni çokgenler eski çokgen ile aynı alana sahiptir, ancak dönüştürülmüş iki küme öncekiyle aynı ölçüye sahip olamaz (çünkü A noktalarının yalnızca bir kısmını içerirler ) ve bu nedenle "işe yarayan" bir ölçü yoktur.

Banach-Tarski fenomeni çalışması sırasında von Neumann tarafından izole edilen grupların sınıfının Matematiğin birçok alanı için çok önemli olduğu ortaya çıktı: bunlar uygun gruplar veya değişmez ortalamaya sahip gruplardır ve tüm sonlu ve tüm çözülebilir grupları içerir. . Genel olarak konuşursak, paradoksal ayrışmalar, eşdeğerlik tanımında eşdeğerlikler için kullanılan grup uygun olmadığında ortaya çıkar .

Son ilerleme

• 2000: Von Neumann'ın makalesi, birim karenin iç kısmının lineer grup SL (2, R )'ye göre paradoksal bir ayrışma olasılığını açık bıraktı (Vagon, Soru 7.4). 2000 yılında Miklós Laczkovich böyle bir ayrışmanın var olduğunu kanıtladı. Daha doğrusu, A , içi boş olmayan ve orijinden pozitif bir uzaklıkta bulunan düzlemin tüm sınırlı altkümelerinin ailesi olsun ve B , sonlu sayıdaki bir birliğin bazı elemanlar altında ötelenmesi özelliğine sahip tüm düzlemsel kümelerin ailesi olsun. of SL (2, R ) orijinin delinmiş bir komşuluğunu içerir. O zaman A ailesindeki tüm kümeler SL(2, R )-eşdüzeydebirleştirilebilirdir ve aynı şekilde B içindeki kümeler için de geçerlidir . Her iki ailenin de paradoksal kümelerden oluştuğu sonucu çıkar.
• 2003: Tam düzlem açısından paradoksal olduğunu uzun zamandır bilinen olmuştu SA ₂ ve parçaların çok az sayıda dört bir lokal değişmeli serbest alt grup vardır şartıyla eşit olacağını SA ₂ . 2003 yılında Kenzi Satô böyle bir alt grup kurarak dört parçanın yeterli olduğunu doğruladı.
• 2011: Laczkovich'in makalesi , sabit noktalar olmadan delinmiş D diski \{0,0} üzerinde hareket eden serbest bir F grubu parçalı doğrusal dönüşümler varsa olasılığı açık bıraktı . Grzegorz Tomkowicz kongrüansların sistemi gösteren, bu tip bir grubun inşa bir ≈ B ≈ Cı ≈ B u C vasıtasıyla gerçekleştirilebilir F ve D \ {0,0}.
• 2017: Bu, hiperbolik düzlemde var olduğu uzun zamandır bilinmektedir , H ² bir dizi E , üçüncü, dördüncü ve ... ve a ait inci parçası H ² . Gereksinimi oryantasyonu koruyucu izometrileri ile doyurulan H ² . Benzer sonuçlar elde edildi John Frank Adams ve Jan Mycielski birim küre olduğunu gösterdi kim S ² kümesi içeren E buçuk, üçüncü, dördüncü ve ... ve bir olduğunu bir-inci bölümü S ² . Grzegorz Tomkowicz Adams ve Mycielski yapı bir dizi elde etmek üzere genel edilebileceğini göstermiştir E arasında H ² ile aynı özelliklere sahip S ² .${\ Displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\ Displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
• 2017: Von Neumann'ın paradoksu Öklid düzlemi ile ilgilidir, ancak paradoksların mümkün olduğu başka klasik uzaylar da vardır. Örneğin, hiperbolik düzlem H ^2'de bir Banach-Tarski paradoksu olup olmadığı sorulabilir . Bu, Jan Mycielski ve Grzegorz Tomkowicz tarafından gösterildi. Tomkowicz, klasik paradoksların çoğunun, bir grafik teorik sonucunun kolay bir sonucu olduğunu ve söz konusu grupların yeterince zengin olduğu gerçeğini de kanıtladı.
• 2018: 1984'te Jan Mycielski ve Stan Wagon , Borel kümelerini kullanan hiperbolik düzlem H ^2'nin paradoksal bir ayrıştırmasını yaptılar . Paradoks varlığına bağlıdır doğru kesintili izometrileri grubun alt- H ² . Benzer bir paradoks, SA afin grubunun (3, Z ) serbest, düzgün süreksiz bir G alt grubunu oluşturan Grzegorz Tomkowicz tarafından da elde edilmiştir . Böyle bir grubun varlığı bir alt E varlığını ima Z ³ arasında herhangi bir sonlu F böyle Z ³ bir eleman vardır g arasında G , öyle ki burada, simetrik bir fark gösterir E ve F .${\displaystyle g(E)=E\üçgen F}$${\displaystyle E\,\üçgen \,F}$
• 2019: Banach–Tarski paradoksu, çoğaltmada sonlu sayıda parça kullanıyor. Sayılabilir sayıda parça olması durumunda, içi boş olmayan herhangi iki küme, ötelemeler kullanılarak eşit olarak birleştirilebilir. Ancak, yalnızca Lebesgue ile ölçülebilir parçalara izin verilirse şu elde edilir: Eğer A ve B, R ^n'nin boş olmayan içleri olan altkümeleri ise , o zaman ve ancak ve ancak, Lebesgue ile ölçülebilir parçalar kullanılarak sayılabilir şekilde eş-ayrıştırılabilirlerse, eşit Lebesgue ölçülerine sahiptirler. Jan Mycielski ve Grzegorz Tomkowicz, bu sonucu sonlu boyutlu Lie gruplarına ve tamamen bağlantısız veya sayılabilir çok sayıda bağlantılı bileşene sahip ikinci sayılabilir yerel kompakt topolojik gruplara genişletti.

Ayrıca bakınız

• Hausdorff paradoksu
• Nikodim seti
• Tarski'nin daire kare problemi
• Von Neumann varsayımı
• Von Neumann paradoksu

Notlar

Referanslar

• Banach, Stefan ; Tarski, Alfred (1924). JFM'de gözden geçirin . "Sur la décomposition des ensembles de point en party recomgruentes" (PDF) . Temel Matematik . 6 : 244–277. doi : 10.4064/fm-6-1-244-277 .
• Churkin, VA (2010). "Hausdorff-Banach-Tarski paradoksunun sürekli bir versiyonu". Cebir ve Mantık . 49 (1): 91–98. doi : 10.1007/s10469-010-9080-y . S2CID  122711859 .
• Edward Kasner & James Newman (1940) Matematik ve Hayal Gücü , s. 205–7, Simon & Schuster .
• Stromberg, Karl (Mart 1979). "Banach-Tarski paradoksu". Amerikan Matematiksel Aylık . Amerika Matematik Derneği. 86 (3): 151-161. doi : 10.2307/2321514 . JSTOR  2321514 .
• Su, Francis E. "Banach-Tarski Paradoksu" (PDF) .
• von Neumann, John (1929). "Zur allgemeinen Theorie des Masses" (PDF) . Temel Matematik . 13 : 73-116. doi : 10.4064/fm-13-1-73-116 .
• Vagon, Stan (1994). Banach-Tarski Paradoksu . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN'si 0-521-45704-1.
• Wapner, Leonard M. (2005). Bezelye ve Güneş: Matematiksel Bir Paradoks . Wellesley, Massachusetts: AK Peters. ISBN'si 1-56881-213-2.
• Tomkowicz, Grzegorz ; Vagon, Stan (2016). Banach-Tarski Paradoksu 2. Baskı . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN'si 9781107042599.

Dış bağlantılar

• ProofWiki'de Banach-Tarski paradoksu
• Banach-Tarski Paradoksu , Stan Wagon ( Macalester Koleji ), Wolfram Gösteriler Projesi .
• Düzensiz Webcomic! #2339 , David Morgan-Mar, paradoksun teknik olmayan bir açıklamasını sunar. Bir küreden iki kürenin nasıl oluşturulacağının adım adım gösterimini içerir.
• Vsauce. "Banach-Tarski Paradoksu" - YouTube üzerinden paradoksun temel temelleri hakkında genel bir bakış sunar.
• Banach-Tarski ve Sonsuz Klonlama Paradoksu