mantık - Logicism

Gelen matematik felsefesi , Mantıksalcılık 'arasında anlamı bir Coherent için - daha o tezler bir ya da ihtiva eden bir program mantığı ' - matematik mantık bir uzantısıdır, bir kısmı veya matematik hepsi indirgenebilir mantığına veya bir kısmını veya tümünü matematik mantıkla modellenebilir . Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead , Gottlob Frege tarafından başlatılan ve daha sonra Richard Dedekind ve Giuseppe Peano tarafından geliştirilen bu programı savundular .

genel bakış

Dedekind'in mantıkçılığa giden yolu, belirli rasyonel sayı kümelerini kullanarak gerçek sayıları karakterize eden aksiyomları karşılayan bir model inşa edebildiğinde bir dönüm noktasına sahipti . Bu ve ilgili fikirler onu aritmetik, cebir ve analizin doğal sayılara ve sınıfların bir "mantığına" indirgenebileceğine ikna etti. Ayrıca 1872'de doğalların kendilerinin kümelere ve haritalara indirgenebilir olduğu sonucuna varmıştı. Diğer mantıkçıların, en önemlisi Frege'nin de 1872 yılında yayınlanan gerçek sayılarla ilgili yeni teoriler tarafından yönlendirilmiş olması muhtemeldir.

Grundlagen der Arithmetik'ten itibaren Frege'nin mantıkçı programının ardındaki felsefi itici güç, kısmen , o zamana kadar var olan doğal sayılar açıklamalarının epistemolojik ve ontolojik taahhütlerinden memnuniyetsizliği ve Kant'ın doğal sayılar hakkındaki gerçekleri sentetik sayılara örnek olarak kullanmasına olan inancıydı. a priori gerçek yanlıştı.

Bu, Dedekind ve Frege'nin ana üsleri olduğu mantıkçılık için bir genişleme dönemi başlattı. Ancak, mantıkçı programın bu ilk aşaması, küme teorisinin klasik paradokslarının keşfiyle krize girdi (Cantor 1896, Zermelo ve Russell 1900–1901). Russell , Grundgesetze der Arithmetik'te ortaya konan Frege sisteminde bir tutarsızlık saptayan paradoksunu fark edip ilettikten sonra, Frege projeden vazgeçti . Saf küme teorisinin de bu zorluktan muzdarip olduğunu unutmayın .

Öte yandan Russell , Giuseppe Peano'nun geometri okulunun paradokslarını ve gelişmelerini kullanarak 1903'te The Principles of Mathematics'i yazdı . Geometri ve küme teorisinde ilkel kavramlar konusunu ele aldığından , bu metin mantığın gelişiminde bir dönüm noktasıdır. Mantıkçılık iddiasının kanıtı Russell ve Whitehead tarafından Principia Mathematica'larında toplandı .

Bugün, mevcut matematiğin büyük kısmının , henüz hiçbir tutarsızlığın türetilmediği Zermelo-Fraenkel küme teorisinin aksiyomları (veya uzantısı ZFC ) gibi az sayıda mantık dışı aksiyomdan mantıksal olarak türetilebilir olduğuna inanılmaktadır . Böylece, mantıkçı programların öğelerinin uygulanabilir olduğu kanıtlanmıştır, ancak süreç içinde sınıflar, kümeler ve eşlemeler teorileri ve Henkin semantiği dışındaki daha yüksek mertebeden mantıklar , kısmen doğada mantık dışı olarak kabul edilmeye başlandı. Quine daha sonra düşündü.

Kurt Gödel 'in tamamlanamazlık teoremleri böyle PM Russell'ın sistemleri gibi - - bu sistemin tüm iyi biçimli cümleler karar verebilir Peano doğal sayılar için aksiyomlarının hangi resmi bir sistem elde edilebilir olduğunu göstermektedir. Bu sonuç, Hilbert'in matematiğin temelleri için programına zarar verdi, bu sayede 'sonsuz' teorilerin - PM'ninki gibi - sonlu teorilerle tutarlılığının kanıtlanması, 'sonsuz yöntemler' konusunda huzursuz olanlara, kullanımlarının kanıtlanabilir bir şekilde olmaması gerektiği konusunda güvence verilmesini sağladı. bir çelişkinin ortaya çıkmasına neden olur. Gödel'in sonucu, klasik matematiği mümkün olduğunca korurken, mantıkçı bir konumu sürdürmek için, mantığın bir parçası olarak bazı sonsuzluk aksiyomlarını kabul etmek gerektiğini göstermektedir. Görünüşte bu, yalnızca 'sonsuz yöntemler' konusunda zaten şüphe duyanlar için olsa da, mantıkçı programa da zarar verir. Bununla birlikte, Gödel'in sonucunun yayınlanmasından bu yana hem mantıkçılıktan hem de Hilbert'in sonculuğundan türetilen konumlar öne sürülmeye devam etti.

Mantıktan türetilen programların geçerliliğini koruduğuna dair bir argüman, eksiklik teoremlerinin 'tıpkı diğer teoremler gibi mantıkla kanıtlandığı' olabilir. Bununla birlikte, bu argüman, birinci dereceden mantığın teoremleri ile daha yüksek dereceli mantığın teoremleri arasındaki ayrımı kabul etmiyor görünmektedir . İlki, finistik yöntemlerle kanıtlanabilirken, ikincisi - genel olarak - kanıtlanamaz. Tarski'nin tanımlanamazlık teoremi , Gödel numaralandırmasının sözdizimsel yapıları kanıtlamak için kullanılabileceğini, ancak anlamsal iddiaları kanıtlamadığını gösteriyor. Bu nedenle, mantığın geçerli bir program olarak kaldığı iddiası, kişiyi, doğal sayıların varlığına ve özelliklerine dayanan bir ispat sisteminin, belirli bir formel sisteme dayanan bir ispat sisteminden daha az ikna edici olduğunu kabul etmeye sevk edebilir.

Mantıkçılık -özellikle Frege'nin Russell ve Wittgenstein ve daha sonra Dummett üzerindeki etkisiyle- yirminci yüzyıl boyunca analitik felsefenin gelişimine önemli bir katkıda bulundu .

Mantıkçılık adının kökeni

Ivor Grattan-Guinness , Fransızca 'Logistique' kelimesinin " 1904 Uluslararası Felsefe Kongresi'nde Couturat ve diğerleri tarafından tanıtıldığını ve o andan itibaren Russell ve diğerleri tarafından çeşitli dillere uygun versiyonlarda kullanıldığını " belirtir . (GG 2000:501).

Görünüşe göre Russell tarafından ilk (ve tek) kullanım 1919'da ortaya çıktı: "Russell birkaç kez [sic] Frege'ye atıfta bulundu ve onu 'matematiği "mantıklaştırmayı" ilk kez başaran" biri olarak tanıttı (s. 7). (Russell, aritmetiğin matematikteki rolüne ilişkin kendi görüşünü açıklayarak kısmen düzeltmiştir), pasaj, tırnak içine aldığı sözcük açısından dikkate değerdir, ancak bunların varlığı, gerginliğe işaret eder ve o sözcüğü bir daha asla kullanmamıştır, bu yüzden ' mantıkçılık 1920'lerin sonlarına kadar ortaya çıkmadı" (GG 2002:434).

Carnap (1929) ile hemen hemen aynı zamanda, ancak görünüşe göre bağımsız olarak, Fraenkel (1928) şu kelimeyi kullandı: "Yorum yapmadan Whitehead/Russell konumunu karakterize etmek için 'mantıkçılık' adını kullandı (s. 244'teki bölümün başlığında). , s. 263) açıklama" (GG 2002:269). Carnap biraz farklı bir kelime olan 'Logistik' kullandı; Behmann, Carnap'ın müsveddesinde kullanımından şikayet etti, bu yüzden Carnap 'Logizismus' kelimesini önerdi, ancak sonunda kelime seçimi 'Logistik'te kaldı (GG 2002:501). Nihayetinde "yayılma esas olarak 1930'dan itibaren Carnap'tan kaynaklanıyordu." (GG 2000:502).

Mantıkçılığın amacı veya hedefi

Sembolik mantık : tezat gibi mantıkçılık aleni niyet sembolik mantık matematik (. Frege, Dedekind, Peano Russell) tüm türetmek için ise cebirsel mantık ( Boolean mantık aritmetik kavramları kullanır), sembolik mantık çok azaltılmış set ile başlar işaretler (aritmetik olmayan semboller), "düşünce yasalarını" somutlaştıran birkaç "mantıksal" aksiyom ve işaretlerin nasıl birleştirileceğini ve manipüle edileceğini belirleyen çıkarım kuralları - örneğin ikame ve modus ponens (yani [1'den ] A maddi olarak B ve [2] A'yı ima eder, B) türetilebilir. Mantıkçılık aynı zamanda Frege'nin temelinden doğal dil ifadelerinin "özne|yüklem"den ya önermesel "atomlar"a ya da "genelleme"nin "argüman|işlevi"ne -"hepsi", "bazıları", "sınıf" kavramlarına indirgenmesini benimser. toplama, toplama) ve "ilişki".

Doğal sayıların ve özelliklerinin mantıkçı bir türevinde, sayının hiçbir "sezgisi" bir aksiyom olarak veya tesadüfen "gizlice girmemelidir". Amaç, "önce" ve "sonra" veya "daha az" ve "daha fazla" gibi herhangi bir zımni varsayım olmaksızın, yalnızca bazı seçilmiş "düşünce yasalarından" sayma sayıları ve ardından gerçek sayılarla başlayarak tüm matematiğin türetilmesidir. veya noktaya: "halef" ve "öncül". Gödel 1944, Sezgicilik ve Biçimciliğin temel sistemlerindeki ("Hilbert Okulu") "yapılar" ile karşılaştırıldığında Russell'ın mantıksal "yapılarını" şu şekilde özetledi: Russell'ın yapılandırmacılığının başlıca amaçlarından biridir " (Gödel 1944, Collected Works 1990:119).

Tarih : Gödel 1944 Leibniz'in Characteristica universalis'inden Frege ve Peano'ya ve Russell'a kadar tarihsel arka planı özetledi : "Frege esas olarak düşüncenin analiziyle ilgilendi ve ilk etapta kendi hesabını saf mantıktan aritmetiği türetmek için kullandı", oysa Peano " matematik içindeki uygulamalarıyla daha çok ilgileniyordu". Ama " Matematiğin büyük bölümlerini çok az sayıda mantıksal kavram ve aksiyomdan fiilen türetmek için yeni yöntemden tam olarak yararlanılması yalnızca [Russell'in] Principia Mathematica'sıydı . ilişkiler teorisi" (s. 120-121).

Kleene 1952 bunu şu şekilde ifade eder: "Leibniz (1666) mantığı ilk olarak diğer tüm bilimlerin altında yatan fikir ve ilkeleri içeren bir bilim olarak kavradı. Dedekind (1888) ve Frege (1884, 1893, 1903) matematiksel kavramları terimlerle tanımlamakla meşguldü mantıksal olanlardan ve Peano (1889, 1894–1908) matematiksel teoremleri mantıksal bir sembolizmde ifade ederken" (s. 43); önceki paragrafta Russell ve Whitehead'i "lojistik okul"un örnekleri olarak dahil eder, diğer iki "temel" okul sezgici ve "biçimci ya da aksiyomatik okul"dur (s. 43).

Frege 1879 , 1879 Begriffsschrift'inin Önsözünde niyetini açıklar : Aritmetik bir düşünceyle başladı: "mantık"tan mı yoksa "deneyimin gerçeklerinden" mi kaynaklandı?

"İlk önce, tüm tikelleri aşan düşünce yasalarının tek desteğiyle, yalnızca çıkarımlar yoluyla aritmetikte ne kadar ileri gidilebileceğini belirlemem gerekiyordu. İlk adımım, sıralama kavramını bir diziye indirgemeye çalışmaktı. arasında mantıksal sonucu, bu nedenle sayı kavramına oradan devam etmek. farkedilmeden ben çıkarımların zincirini tutmak boşlukların boşaltmak için her türlü çabayı eğmek zorunda kaldı burada delici herhangi bir şey Sezgisel önlemek için... Ben olmaya dilin yetersizliğini bulundu Kabul etmeye hazır olduğum ifadeler ne kadar hantal olursa olsun, ilişkiler gitgide daha karmaşık hale geldikçe, amacımın gerektirdiği kesinliği elde etme konusunda giderek daha az becerikli oluyordum. Bu nedenle ilk amacı, bize bir çıkarımlar zincirinin geçerliliğinin en güvenilir testini sağlamak ve fark edilmeden gizlice girmeye çalışan her varsayımı belirtmektir" (Frege 1879, van Heijenoort 1 967:5).

Dedekind 1887 niyetini , Sayıların Doğası ve Anlamı'nın 1887 Birinci Baskısına Önsözünde açıklar . "En basit bilimin temellerinde, yani mantığın sayılar teorisiyle ilgilenen kısmında" gerektiği gibi tartışılmadığına inanıyordu - "kanıtlamaya muktedir hiçbir şey kanıt olmadan kabul edilmemelidir":

Aritmetikten (cebir, analiz) mantığın bir parçası olarak söz ederken, sayı kavramını uzay ve zaman sezgilerinden tamamen bağımsız olarak düşündüğümü, onu düşünce yasalarının dolaysız bir sonucu olarak gördüğümü ima etmek istiyorum. . . sayılar insan zihninin özgür yaratımlarıdır. . . [ve] yalnızca sayılar bilimini oluşturmanın tamamen mantıksal süreci yoluyla. . . uzay ve zaman kavramlarımızı zihnimizde yaratılan bu sayı-alanı ile ilişkilendirerek araştırmaya doğru bir şekilde hazır mıyız" (Dedekind 1887 Dover Republication 1963 :31).

Peano 1889 , 1889 Aritmetik Prensiplerine Önsözünde niyetini belirtir :

Matematiğin temelleriyle ilgili sorular, son zamanlarda pek çok kişi tarafından ele alınsa da, hala tatmin edici bir çözümden yoksundur. Zorluğun ana kaynağı dilin belirsizliğindedir. ¶ Bu yüzden kullandığımız kelimeleri dikkatle incelemek son derece önemlidir. Amacım bu sınava girmekti" (Peano 1889, van Heijenoort 1967:85).

Russell 1903 , 1903 Matematiğin İlkeleri'nin Önsözünde niyetini açıklar :

"Bu çalışma, iki ana nesne vardır. Bunlardan biri, dayanıklı tüm saf matematik modelini ifade mantıksal kavramları çok küçük bir sayısı açısından tanımlanabilen ile, ve tüm önermelerin temel çok az sayıda bir sonucu değildir olduğu özel olarak ele alınmasını mantıksal ilkeler" (Önsöz 1903:vi).
"Bu çalışmanın kökenine ilişkin birkaç söz, tartışılan soruların önemini göstermeye hizmet edebilir. Yaklaşık altı yıl önce Dinamik felsefesi üzerine bir araştırmaya başladım... [İki sorudan - ivme ve mutlak hareketten" "ilişkisel uzay kuramında"] Geometri ilkelerinin yeniden incelenmesine, oradan süreklilik ve sonsuzluk felsefesine ve ardından herhangi bir sözcüğün anlamını keşfetmek amacıyla Sembolik Mantığa yönlendirildim. (Önsöz 1903:vi-vii).

Epistemoloji, ontoloji ve mantıkçılık

Dedekind ve Frege : Dedekind ve Frege'nin epistemolojileri Russell'ınkinden daha az iyi tanımlanmış görünüyor, ancak her ikisi de basit önerme ifadelerine (genellikle inanç) ilişkin geleneksel "düşünce yasalarını" apriori olarak kabul ediyor gibi görünüyor ; aynı sınıflar ve ilişkilerle (örneğin teorisi ile artar Eğer bu yasalar kendi içinde yeterli olacaktır x R y bireyler arasında) x ve y genelleştirme R ile bağlanmış

Kronecker'in "sınırları"na karşı Dedekind'in "insan zihninin özgür oluşumları" : Dedekind'in argümanı "1. Bundan sonra düşüncemizin her nesnesini şeyden anlıyorum " ile başlar; biz insanlar zihnimizdeki bu "şeyleri" tartışmak için semboller kullanırız; "Bir şey, olumlanabilecek veya onunla ilgili düşünülebilecek her şey tarafından tamamen belirlenir" (s. 44). Bir sonraki paragrafta Dedekind, " S sistemi nedir: bir kümedir, bir manifolddur, a , b , c ilişkili öğelerin (şeylerin) bir toplamıdır "; o "bu tür bir sistem iddia S ... eden düşünce bir amacı, aynı şekilde bir şey olduğu (1); her şey ile ilgili olarak bunun bir unsur olup olmadığı belirlenir zaman tamamen belirlenir S ya da *." (s. 45, italikler eklendi). *, şunları belirttiği bir dipnotu belirtir:

"Kronecker kısa bir süre önce ( Crelle's Journal , Cilt 99, s. 334-336), matematikte, haklı olduğuna inanmadığım kavramların özgür oluşumuna belirli sınırlamalar getirmeye çalıştı" (s. 45).

Aslında o, Kronecker'in "bu sınırlamaların gerekliliği ya da yalnızca yararına ilişkin nedenlerini yayınlamasını" (s. 45) beklemektedir.

"Tamsayıları Tanrı yarattı, geri kalan her şey insanın eseridir" iddiasıyla ünlü Leopold Kronecker'in düşmanları vardı, aralarında Hilbert de vardı. Hilbert, Kronecker'ı " temel özellikleri olan tamsayıyı bir dogma olarak kabul ettiği ve geriye bakmadığı ölçüde dogmatist " olarak nitelendirdi ve onun aşırı yapılandırmacı duruşunu Brouwer'in sezgiciliğiyle eşitledi ve her ikisini de "öznelcilik"le suçladı: bizi keyfilikten, duygudan ve alışkanlıktan kurtarmak ve Kronecker'in görüşlerinde zaten kendini hissettiren öznelcilikten korumak bilimin görevinin bir parçasıdır ve bana öyle geliyor ki, sezgicilikte doruk noktasını buluyor". Hilbert daha sonra "matematik varsayımsız bir bilimdir. Onu bulmak için Kronecker'in yaptığı gibi Tanrı'ya ihtiyacım yok..." der. (s. 479).

Gerçekçi olarak Russell : Russell'ın Gerçekçiliği , kısmen Avrupa Rasyonalizmi ve İngiliz ampirizminden ödünç alınmış kısımlarla, ona İngiliz İdealizminin panzehiri olarak hizmet etti . Başlangıç ​​olarak, "Russell iki temel konuda gerçekçiydi: evrenseller ve maddi nesneler" (Russell 1912:xi). Russell için tablolar, gözlemci Russell'dan bağımsız olarak var olan gerçek şeylerdir. Rasyonalizm a priori bilgi kavramına katkıda bulunacaktır, ampirizm ise deneyimsel bilginin rolüne (deneyimden tümevarım) katkıda bulunacaktır. Russell, Kant'a "a priori" bilgi fikrini atfederdi, ancak Kant'a "ölümcül" olarak nitelendirdiği bir itirazda bulunur: "[dünyanın] gerçekleri her zaman mantığa ve aritmetik ile uyumlu olmalıdır. bizim katkımız bunu hesaba katmaz" (1912:87); Russell, sahip olduğumuz a priori bilginin "sadece düşünceler hakkında değil, şeyler hakkında" olduğu sonucuna varır (1912:89). Ve bu noktada Russell'ın epistemolojisi, Dedekind'in "sayıların insan zihninin özgür yaratımlarıdır" (Dedekind 1887:31) inancından farklı görünmektedir.

Ancak doğuştan gelen hakkındaki epistemolojisi ( mantıksal ilkelere uygulandığında a priori kelimesini tercih eder , bkz. 1912:74) karmaşıktır. Platoncu "evrenseller"e desteğini güçlü ve açık bir şekilde ifade edecekti (cf. 1912:91-118) ve hakikatin ve yanlışlığın "orada" olduğu sonucuna varacaktı; zihinler inançları yaratır ve bir inancı doğru yapan şey bir gerçektir, "ve bu gerçek (istisnai durumlar dışında) inanca sahip kişinin zihnini içermez" (1912:130).

Russell bu epistemik kavramları nereden türetmiştir? Bize 1903 Matematiğin İlkeleri'nin Önsözünde anlatıyor . "Emily bir tavşandır" inancının var olmadığını, ancak bu var olmayan önermenin doğruluğunun herhangi bir bilen zihinden bağımsız olduğunu iddia ettiğine dikkat edin; Emily gerçekten bir tavşansa, Russell ya da başka bir zihin canlı ya da ölü olsun ya da olmasın bu gerçeğin gerçeği vardır ve Emily'nin tavşanlıkla ilişkisi "nihai"dir:

"Felsefenin temel sorularında, benim konumum, tüm temel özellikleriyle, Bay GE Moore'dan türetilmiştir. Ondan önermelerin (varoluşu iddia edenler hariç) varolmayan doğasını ve herhangi bir bilmeden bağımsızlığını kabul ettim. zihin; ayrıca, hem varolanların hem de varlıkların dünyasını, sonsuz sayıda karşılıklı bağımsız varlıktan oluşan, nihai olan ve terimlerinin sıfatlarına ya da bu terimlerin sıfatlarına indirgenemeyen ilişkiler olarak gören çoğulculuk. oluştur... Az önce bahsedilen doktrinler, bence, ilerideki sayfaların göstereceğini umduğum gibi, kabul edilebilir düzeyde tatmin edici herhangi bir matematik felsefesi için oldukça vazgeçilmezdir... Biçimsel olarak, benim öncüllerim basitçe varsayılır; ama gerçek şu ki Mevcut felsefelerin çoğunun vermediği matematiğin doğru olmasına izin veriyorlar, kesinlikle onların lehinde güçlü bir argüman." (Önsöz 1903:viii)

Russell'ın paradoksu : 1902'de Russell , Frege'nin Grundgesetze der Arithmetik'inde , Frege'nin Temel Yasası V'den türetilen bir "kısır döngü" ( Russell'ın paradoksu ) keşfetti ve 1903 Matematik İlkeleri'nde bunu tekrarlamamaya kararlıydı . Son dakikada eklenen iki Ek'te, hem Frege'nin teorisinin kendisininkiyle çelişen ayrıntılı bir analizine hem de paradoks için bir düzeltmeye 28 sayfa ayırdı. Ama sonuçtan umutlu değildi:

"Sınıflar konusunda, itiraf etmeliyim ki, sınıf kavramı için gerekli koşulları yerine getiren herhangi bir kavram algılamakta başarısız oldum. Ve X. Bölümde tartışılan çelişki, bir şeylerin yanlış olduğunu kanıtlıyor, ama bunun ne olduğunu şimdiye kadar başaramadım. keşfetmek. (Russell 1903'e Önsöz:vi)"

"Kurgusalcılık" ve Russell'ın sınıfsız teorisi : Gödel, 1944'ünde 1903'ün genç Russell'ı ("[benim öncüllerim] matematiğin doğru olmasına izin verir") ile aynı fikirde olmayacaktı, ancak muhtemelen Russell'ın yukarıda alıntılanan ifadesine ("bir şeyler ters gidiyor") katılacaktır. ); Russell'ın teorisi matematiğin tatmin edici bir temeline ulaşmayı başaramamıştı: sonuç "esas olarak olumsuzdu; yani bu şekilde tanıtılan sınıflar ve kavramlar matematiğin kullanımı için gerekli tüm özelliklere sahip değillerdi" (Gödel 1944:132).

Russell bu duruma nasıl geldi? Gödel, Russell'ın bir bükülme ile şaşırtıcı bir "gerçekçi" olduğunu gözlemler: Russell'ın 1919:169 "Mantık, tıpkı zooloji kadar gerçek dünyayla ilgilidir" (Gödel 1944:120). Ancak, "somut bir problem üzerinde başladığında, analiz edilecek nesnelerin (örneğin sınıflar veya önermeler) kısa süre sonra büyük ölçüde "mantıksal kurgulara" dönüştüğünü gözlemler... onlara." (Gödel 1944:120)

Russell'ın mantık anlayışıyla ilgili bir gözlemde Perry, Russell'ın gerçekçiliğin üç aşamasından geçtiğini belirtir: aşırı, ılımlı ve yapıcı (Perry 1997:xxv). 1903'te aşırı evresindeydi; 1905'te ılımlı evresinde olacaktı. Birkaç yıl içinde, bir sonraki kitabında " Dış Dünyaya İlişkin Bilgimiz [1914]"de " dünyanın mobilyalarının temel parçaları olarak fiziksel veya maddi nesnelerden vazgeçecekti. Onları duyu-verilerinden inşa etmeye çalışacaktı " ( Perry 1997:xxvi).

Ne Gödel 1944 Bu yapılar "çağırır nominalistic yapılandırmacılık iyi şekilde de adlandırılabilir... Fictionalism " Russell'ın "daha radikal fikri, hiçbir sınıf teorisi" türetilmiş (s 125).:

"Hangi sınıfların veya kavramların gerçek nesneler olarak asla varolmadığına göre ve bu terimleri içeren tümceler ancak... başka şeyler hakkında konuşma tarzı olarak yorumlanabildikleri sürece anlamlıdır" (s. 125).

Aşağıdaki Eleştiri bölümlerinde daha fazlasını görün.

Doğal sayıların mantıkçı bir inşasına bir örnek: Russell'ın Principia'daki inşası

Frege ve Dedekind'in mantığı Russell'ınkine benzer, ancak ayrıntılarda farklılıklar vardır (aşağıdaki Eleştiriler'e bakınız). Genel olarak, doğal sayıların mantıkçı türevleri, örneğin, Zermelo'nun küme kuramı için aksiyomlarından ('Z') elde edilen türevlerden farklıdır. Z'den türetmelerde, "sayı"nın bir tanımı, bu sistemin bir aksiyomunu (eşleştirme aksiyomunu) kullanır ve bu da "sıralı çift" tanımına yol açar - türetmeye izin veren çeşitli mantıkçı aksiyom sistemlerinde açık bir sayı aksiyomu yoktur. doğal sayılardandır. Bir sayının tanımını türetmek için gereken aksiyomların, her durumda küme teorisi için aksiyom sistemleri arasında farklılık gösterebileceğini unutmayın. Örneğin, ZF ve ZFC'de, eşleştirme aksiyomu ve dolayısıyla nihai olarak sıralı bir çift kavramı, Sonsuzluk Aksiyomundan ve Yer Değiştirme Aksiyomundan türetilebilir ve Von Neumann sayılarının tanımında gereklidir (ancak Zermelo için değil). sayılar), oysa NFU'da Frege rakamları, Grundgesetze'deki türetilmelerine benzer bir şekilde türetilebilir.

Principia , onun öncü gibi Grundgesetzenin , örneğin "sınıf", "önerme fonksiyonu" olarak ve özellikle de ilkel önermelerden numaralarının yapımını başlar, ( "equinumerosity" "benzerlik" ilişkisi: birinde koleksiyonları elemanları yerleştirmek -bire bir yazışma) ve "sıralama" (eş sayıdaki sınıfların koleksiyonlarını sıralamak için "sonrasını" ilişkisini kullanarak)". Mantıksal türetme, bu şekilde oluşturulan ana sayıları doğal sayılarla eşitler ve bu sayılar sonunda hepsi olur. aynı "tip"ten - sınıf sınıfları olarak - oysa bazı teorik yapılarda - örneğin von Neumman ve Zermelo rakamları - her sayının bir alt küme olarak bir öncülü vardır.Kleene aşağıdakileri gözlemler (Kleene'nin varsayımları (1) ve (2) durum 0 özelliği vardır P ve n + 1 özelliği vardır P her n özelliği vardır P ).

"Buradaki bakış açısı, [Kronecker]'in 'Tanrı tamsayıları yarattı ' düsturunun yanı sıra Peano'nun sayı ve matematiksel tümevarım aksiyomlarından ] çok farklıdır , burada doğal sayı dizisinin sezgisel bir kavranışını varsaydık ve ondan şu sonucu çıkardık. Doğal sayıların belirli bir P özelliği (1) ve (2) olacak şekilde verildiğinde, verilen herhangi bir doğal sayının P özelliğine sahip olması gerektiği ilkesi . (Kleene 1952:44).

Doğal sayıların inşasının mantıkçı programı için önemi, Russell'ın "Bütün geleneksel saf matematiğin doğal sayılardan türetilebileceği, uzun süredir şüphelenilse de oldukça yeni bir keşiftir" (1919:4) iddiasından kaynaklanmaktadır. Gerçek sayıların bir türevi, Dedekind'in rasyonel sayılar üzerindeki kesir teorisinden türetilir , rasyonel sayılar da doğallardan türetilir. Bunun nasıl yapıldığına dair bir örnek faydalı olsa da, önce doğal sayıların türetilmesine dayanır. Dolayısıyla, eğer doğal sayıların mantıkçı bir türevinde felsefi zorluklar ortaya çıkıyorsa, bu problemler, bunlar çözülene kadar programı durdurmak için yeterli olmalıdır (aşağıdaki Eleştiriler'e bakınız).

Doğal sayıları oluşturmaya yönelik bir girişim Bernays 1930–1931 tarafından özetlenmiştir. Ancak bazı ayrıntılarda eksik olan Bernays'in précis'ini kullanmak yerine, Russell'ın inşasının bazı sonlu illüstrasyonları içeren bir açıklama denemesi aşağıda belirtilmiştir:

ön hazırlıklar

Russell'a göre koleksiyonlar (sınıflar), önermelerin (bir şey veya şeyler hakkındaki olgu iddialarının) sonucu olarak ortaya çıkan, özel adlarla belirtilen "şeylerin" kümeleridir. Russell bu genel kavramı analiz etti. Cümlelerde "terimler" ile başlar ve şu şekilde analiz eder:

Terimler : Russell için, "terimler" ya "şeyler" ya da "kavramlar"dır: "Düşüncenin bir nesnesi olabilen veya herhangi bir doğru veya yanlış önermede meydana gelebilecek veya bir olarak sayılabilecek her şeye terim diyorum . felsefî kelime dağarcığındaki en geniş kelimedir.Bununla eşanlamlı olarak, birim, birey ve varlık kelimelerini kullanacağım.İlk ikisi, her terimin bir olduğunu vurgularken, üçüncüsü ise Her terimin bir varlığı vardır, yani bir anlamdadır.Bir insan, bir an, bir sayı, bir sınıf, bir bağıntı, bir kuruntu ya da bahsedilebilecek herhangi bir şey kesinlikle bir terimdir ve böyle ve böyle bir şey, bir terim her zaman yanlış olmalıdır" (Russell 1903:43)

Şeyler özel isimlerle belirtilir; kavramlar sıfatlar veya fiiller tarafından belirtilir : "Terimler arasında, sırasıyla şeyler ve kavramlar olarak adlandıracağım iki türü ayırt etmek mümkündür ; ilki özel adlarla belirtilen terimlerdir, ikincisi diğer tüm kelimelerle gösterilen terimlerdir... Kavramlar arasında yine en azından iki tür ayırt edilmelidir: sıfatlarla gösterilenler ve fiillerle gösterilenler" (1903:44).

Kavram-sıfatlar "yüklemler"dir; kavram-fiiller "ilişkilerdir" : "İlk tür genellikle yüklemler veya sınıf kavramları olarak adlandırılacaktır; ikincisi her zaman veya hemen hemen her zaman ilişkilerdir." (1903:44)

Önermenin görünen bir "değişken" öznenin kavramı : "Ben bahsedeceğiz açısından bir önerme ortaya ve önerme olduğu konulardan olarak kabul edilebilir ancak çok sayıda bu terimleri, gibi bir önermenin bir olduğunu. Bir önermenin terimlerinden herhangi birinin, bizim bir önermeye sahip olmayı bırakmadan herhangi bir başka varlıkla değiştirilebileceğine ilişkin bir önermenin terimlerinin özelliğidir.Bu nedenle, "Sokrates insandır"ın yalnızca bir terimi olan bir önerme olduğunu söyleyeceğiz; önermedir, biri fiildir, diğeri yüklemdir... O halde yüklemler, fiil dışında, yalnızca bir terimi veya öznesi olan önermelerde yer alan kavramlardır." (1903:45)

Doğruluk ve yanlışlık : Diyelim ki bir kişi bir nesneye işaret ediyor ve şöyle diyor: "Önümdeki 'Emily' adındaki bu nesne bir kadındır." Bu önerme, dış dünyanın "gerçeklere" karşı test edilecek olan Konuşmacının inanç, bir iddiası şudur: "Minds yok oluşturmak gerçeği veya yalan Onlar inançları yaratmak gerçek bir inanç bir kılan.... Aslında ve bu gerçek (istisnai durumlar dışında) hiçbir şekilde inanca sahip kişinin aklını ilgilendirmez” (1912:130). Sözceyi ve "gerçek" ile olan yazışmayı araştırarak Russell, Emily'nin bir tavşan olduğunu keşfederse, onun ifadesi "yanlış" olarak kabul edilir; Emily bir dişi insansa ( Diogenes Laërtius'un Platon hakkındaki anekdotunu takiben Russell'ın insanları çağırmayı sevdiği bir "tüysüz iki ayaklı" dişi ), o zaman onun ifadesi "doğru" kabul edilir.

Sınıflar (toplamalar, kompleksler) : "Sınıf kavramının aksine sınıf, belirli yüklemi olan tüm terimlerin toplamı veya birleşimidir" (1903 s. 55). Sınıflar, uzantı (üyelerinin listelenmesi) veya niyet ile, yani "x is a u" veya "x is v" gibi bir "önerme işlevi" ile belirtilebilir. Ama "uzayı saf olarak alırsak, sınıfımız terimlerinin numaralandırılmasıyla tanımlanır ve bu yöntem Sembolik Mantığın yaptığı gibi sonsuz sınıflarla uğraşmamıza izin vermez. Bu nedenle sınıflarımız genel olarak kavramlarla gösterilen nesneler olarak görülmelidir. , ve bu ölçüde niyet bakış açısı esastır." (1909 s. 66)

Önermesel işlevler : "Bir sınıf kavramının genel olarak terimlerden farklı olarak özelliği, "x bir u'dur", yalnızca ve yalnızca u bir sınıf kavramı olduğunda bir önerme işlevidir. (1903:56)

Bir sınıfın genişlemeye karşı içsel tanımı : "71. Sınıf, ya genişlemeli ya da içsel olarak tanımlanabilir. Yani, bir sınıf olan nesnenin türünü veya bir sınıfı ifade eden kavram türünü tanımlayabiliriz: bu, Bu bağlamda uzam ve niyet karşıtlığının kesin anlamı, ancak genel kavram bu iki yönlü şekilde tanımlanabilse de, belirli sınıflar, sonlu oldukları durumlar dışında, yalnızca tensel olarak, yani belirtilen nesneler olarak tanımlanabilir. mantıksal olarak; uzamsal tanım sonsuz sınıflara eşit derecede uygulanabilir görünmektedir, ancak pratikte, eğer buna girişecek olsaydık, Ölüm övgüye değer çabamızı amacına ulaşmadan yarıda keserdi.”(1903: 69)

Doğal sayıların tanımı

Prinicipia'da doğal sayılar, herhangi bir varlık topluluğu hakkında ileri sürülebilecek tüm önermelerden türer . Russell, aşağıdaki ikinci (italik) cümlede bunu açıkça ortaya koymaktadır.

"İlk olarak, sayıların kendileri sonsuz bir koleksiyon oluşturur ve bu nedenle numaralandırma ile tanımlanamaz. İkinci olarak, belirli sayıda terime sahip koleksiyonların kendileri muhtemelen sonsuz bir koleksiyon oluşturur: örneğin, varsayılmalıdır. Dünyada sonsuz bir üçlü topluluğu vardır, çünkü durum bu olmasaydı dünyadaki toplam şeylerin sayısı sonlu olurdu, ki bu mümkün olsa da pek olası görünmüyor. Üçüncü olarak, "sayı" tanımlamak istiyoruz. "Öyle ki sonsuz sayılar mümkün olabilir; bu nedenle sonsuz bir koleksiyondaki terimlerin sayısından söz edebilmeliyiz ve böyle bir koleksiyon, yeğinlikle, yani tüm üyeleri için ortak ve kendine özgü bir özellik ile tanımlanmalıdır. onlara." (1919:13)

Örneklemek için aşağıdaki sonlu örneği ele alalım: Bir sokakta 12 aile olduğunu varsayalım. Bazılarının çocuğu var, bazılarının yok. Bu hanelerdeki çocukların adlarını tartışmak için F1, F2, adlı ailelerin belirli bir sokağında bulunan bu haneler topluluğuna uygulanan “Fn ailesindeki bir çocuğun adı çocuk adıdır ” iddiasında bulunan 12 önermeyi gerektirir . . . F12. 12 önermenin her biri, "argüman" çocuk adının belirli bir hanedeki bir çocuk için geçerli olup olmadığına ilişkindir . Çocukların adları ( childname ), f(x) önermeli fonksiyonunda x olarak düşünülebilir, burada fonksiyon "ailedeki Fn isimli bir çocuğun adıdır".

Adım 1: Tüm sınıfları toplayın : Önceki örnek, sonlu sayıda ailenin sonlu sokağında "Fn' ailesindeki çocukların alt adları " sonlu önerme işlevi üzerinde sonluyken , Russell görünüşe göre aşağıdakileri tüm önermelere genişletmeyi amaçlamıştır. tüm sayıların oluşturulmasına izin verecek şekilde sonsuz bir alana yayılan fonksiyonlar.

Kleene, Russell'ın, çözmek zorunda kalacağı ya da Russell paradoksu gibi bir şey türetme riskini alacağı tahmini bir tanım belirlediğini düşünüyor . "Burada bunun yerine, doğal sayı dizisinin tanımından önce, mantıkta var olduğu gibi, kardinal sayıların tüm özelliklerinin toplamını varsayıyoruz" (Kleene 1952:44). Problem, burada sunulan sonlu örnekte bile, Russell birim sınıfla uğraştığında ortaya çıkacaktır (cf. Russell 1903:517).

Bir "sınıf" ın tam olarak ne olduğu veya olması gerektiği sorusu ortaya çıkar . Dedekind ve Frege için sınıf, kendi başına ayrı bir varlıktır, bazı önermesel F fonksiyonunu yerine getiren tüm bu x varlıklarıyla tanımlanabilen bir 'birlik'tir. (Bu sembolizm Russell'da görülür, orada Frege'ye atfedilir: " bir fonksiyonun özü, x alındığında geriye kalan şeydir , yani yukarıdaki örnekte, 2( ) 3 + ( ) x argümanı fonksiyona ait değildir, ancak ikisi birlikte bir bütün oluşturur (ib. p 6 [yani Frege's 1891 Function und Begriff ]" (Russell 1903:505).) Örneğin, belirli bir "birliğe" bir isim verilebilir; bir Fα ailesinin Annie, Barbie ve Charles adlarına sahip çocukları olduğunu varsayalım:

{ a, b, c } Fa

Bu koleksiyon veya nesne olarak sınıf nosyonu, kısıtlama olmaksızın kullanıldığında Russell paradoksu ile sonuçlanır ; Tahmini tanımlar hakkında daha fazlasını aşağıya bakın . Russell'ın çözümü, bir sınıf kavramını yalnızca önermeyi karşılayan öğeler olarak tanımlamaktı; onun argümanı, aslında, x argümanlarının , işlev tarafından yaratılan "sınıf" olarak adlandırılan önerme işlevine ait olmadığıydı. Sınıfın kendisi başlı başına tek bir nesne olarak görülmemelidir, yalnızca bir tür yararlı kurgu olarak var olur: "Bir şeyler sınıfının herhangi bir anlamda tek bir nesne olarak bir varoluşu olup olmadığı kararından kaçındık. Her iki şekilde de bu sorunun kararı bizim mantığımıza kayıtsız kalır" ( Principia Mathematica'nın ilk baskısı 1927:24).

Russell bu görüşü 1919'da savunmaya devam ediyor; "sembolik kurgular" sözlerine dikkat edin:

"Sınıfların üyeleriyle aynı türden şeyler olamayacağına, yalnızca yığınlar ya da kümeler olamayacağına ve ayrıca önerme işlevleriyle özdeşleştirilemeyeceğine karar verdiğimizde, bunların ne olabileceğini görmek çok güçleşir. Onlar sembolik kurgulardan daha fazlasıdır ve eğer onları sembolik kurgular olarak ele almanın herhangi bir yolunu bulabilirsek , konumumuzun mantıksal güvenliğini arttırırız, çünkü sınıfların var olduğunu varsayma ihtiyacından kaçındığımız için, sınıfların olduğunu varsaymaktan kaçınırız. sınıfların olmadığı varsayımının tersidir.Sadece her iki varsayımdan da kaçınırız... Ama sınıfların olduğunu iddia etmeyi reddettiğimizde, hiçbirinin olmadığını dogmatik olarak iddia etmemiz gerekmemektedir.Onlar konusunda yalnızca bilinemezciyiz. ....." (1919:184)

Ve PM'nin (1927) ikinci baskısında Russell, "fonksiyonlar yalnızca değerleri aracılığıyla meydana gelir, ... fonksiyonların tüm fonksiyonları genişlemelidir, ... [ve] sonuç olarak, fonksiyonlar ve sınıflar arasında ayrım yapmak için hiçbir neden yoktur... Böylece, işlevlerden farklı olarak sınıflar, *20"de (s. xxxix) korudukları o gölgeli varlığı bile kaybederler. Başka bir deyişle, sınıflar ayrı bir kavram olarak tamamen ortadan kalktı.

Adım 2: "Benzer" sınıfları "paketler" halinde toplayın : Yukarıdaki bu koleksiyonlar, burada ≈ ile sembolize edilen , yani öğelerin bire bir karşılığı olan "eş sayıdalık" ile bir "ikili ilişki" (karşılaştırmayla) içine konulabilir ve böylece Russellcı sınıf sınıfları ya da Russell'ın "demetler" dediği şeyi yaratır. "Bütün çiftleri bir demette, tüm üçlüleri başka bir demette vb. varsayabiliriz. Bu şekilde çeşitli koleksiyon demetleri elde ederiz, her demet belirli sayıda terime sahip tüm koleksiyonlardan oluşur. Her demet bir sınıftır. üyeler koleksiyonlardır, yani sınıflardır; dolayısıyla her biri bir sınıf sınıfıdır" (Russell 1919:14).

Adım 3: Boş sınıfı tanımlayın : Belirli bir sınıf sınıfının özel olduğuna dikkat edin, çünkü sınıfları hiçbir öğe içermez, yani hiçbir öğe, iddiası bu belirli sınıfı/koleksiyonunu tanımlayan yüklemleri karşılamaz.

Ortaya çıkan varlık "boş sınıf" veya "boş sınıf" olarak adlandırılabilir. Russell, boş/boş sınıfı Λ ile sembolize etti. Peki, Russellian boş sınıfı tam olarak nedir? In PM Russell "A sınıfı söylenir söylüyor mevcut o en az bir üyeyi sahip olduğunda... Hiçbir üyesi vardır sınıfı denir 'boş sınıf'... 'Α boş sınıf' eşdeğerdir" dır α yok". Doğal olarak, boş sınıfın kendisinin 'var olup olmadığı' sorusu ortaya çıkıyor? Bu soruyla ilgili zorluklar Russell'ın 1903 tarihli çalışmasında ortaya çıkıyor. Frege'nin Grundgesetze'sindeki paradoksu keşfettikten sonra, 1903'üne Ek A'yı ekledi. boş ve birim sınıfların doğası gereği, bir "tipler doktrini"ne olan ihtiyacı keşfetti; aşağıda birim sınıf, kestirimci tanımlar sorunu ve Russell'ın "kısır döngü ilkesi" hakkında daha fazla bilgi edinin .

Adım 4: Her pakete bir "sayı" atayın : Kısaltma ve tanımlama amacıyla, her pakete benzersiz bir sembol (diğer bir deyişle "sayı") atayın. Bu semboller keyfidir.

Adım 5: "0"ı tanımlayın Frege'den sonra Russell, boş veya boş sınıf sınıfını bu rolü doldurmak için uygun sınıf olarak seçti , bu, üyesi olmayan sınıfların sınıfıdır. Bu boş sınıf sınıfı "0" olarak etiketlenebilir

Adım 6: "Halef" kavramını tanımlayın : Russell yeni bir "kalıtsal" özelliği tanımladı (bkz. kalıtsal "bir özellik olduğu söylenir 'yani) sınıfları' bir numaraya ait olduğunda, eğer doğal-sayıdır, seri olarak, n , o da aittir , n , +1 ardıl n ". (1903:21). "Doğal sayıların sonraki nesiller -"çocuklar", "ardıl"ın mirasçıları - "dolaysız selefi ("ardıl"ın karşıtı olan) ilişkisine göre 0'ın (1919:23) olduğunu iddia eder. ).

Not Russell burada, özellikle "sayı dizileri", "n sayısı" ve "ardıl" olmak üzere tanımsız birkaç kelime kullanmıştır. Bunları zamanı gelince tanımlayacaktır. Özellikle, Russell'ın ardılı oluşturmak için "1" sınıflarının birim sınıfını kullanmadığına dikkat edin . Bunun nedeni, Russell'ın ayrıntılı analizinde, eğer bir birim sınıf kendi başına bir varlık haline gelirse, o zaman o da kendi önermesinin bir öğesi olabilir; bu, önermenin "öngörücü" olmasına ve bir "kısır döngü" ile sonuçlanmasına neden olur. Bunun yerine, şöyle diyor: "Bölüm II'de, bir ana sayının bir sınıflar sınıfı olarak tanımlanacağını ve III. bir üye, dememiz gerektiği gibi ama kısır döngü için.Tabii, 1 sayısı tüm birim sınıfların sınıfı olarak tanımlandığında, bir ile ne kastedildiğini bildiğimizi varsaymamak için birim sınıflar tanımlanmalıdır (1919). :181).

halefi tanımı için, Russell kendi "birimi" için aşağıdaki gibi tek bir varlık veya "terim" kullanacaktır:

'Ardıl "Bu tanımlamak kalır'. Bir sayısı göz önüne alındığında , n izin α olan bir sınıf olarak , n üyeleri ve izin X bir üyesi olan bir terim a . Daha sonra oluşan sınıfı α ile X olacaktır eklendi + 1 üye Böylece aşağıdaki tanıma sahibiz:
α sınıfındaki terim sayısının ardılı, x ile birlikte α'dan oluşan sınıftaki terimlerin sayısıdır, burada x sınıfa ait herhangi bir terim değildir ." (1919:23)

Russell'ın tanımı, demetlerin içindeki koleksiyonlara "eklenen" yeni bir "terim" gerektirir.

Adım 7: Boş sınıfın halefini oluşturun .

Adım 8: Her eşit sayıda sınıf için, halefini oluşturun .

Adım 9: Sayıları sıralayın : Bir halef yaratma süreci, çeşitli "sayılar" arasında "S" olarak gösterilebilecek "...'in ardılıdır" ilişkisini gerektirir. "Artık göz önüne almalıyız seri Biz normalde bu sırada olarak sayıların düşünüyorum..., Sırayla 0, 1, 2, 3 doğal sayıların karakterini ve bizim verileri analiz çalışmasının önemli bir parçasıdır mantıksal terimlerle "düzen" ya da "dizi" tanımını aramak... Düzen , terimler sınıfında değil, sınıfın üyeleri arasında, bazılarının daha önce göründüğü gibi göründüğü ve sınıfın üyeleri arasındaki bir ilişkide yatar. bazıları daha sonra." (1919:31)

Russell, "sıralama ilişkisi" kavramına üç kriter uygular: İlk olarak, "asimetri" kavramını tanımlar, yani iki x terimi arasındaki S (" . . . . . . . y: x S y ≠ y S x. İkinci olarak, x, y ve z sayıları için "geçişlilik" kavramını tanımlar: eğer x S y ve y S z ise x S z. Üçüncüsü, "bağlı" kavramını tanımlar: "Sıralanacak olan sınıfın herhangi iki terimi veriliyken, biri önce diğeri onu takip etmelidir. . . kendi alanı açısından [bir ilişkinin hem etki alanı hem de karşılıklı etki alanı, örneğin evli ilişkide kocalar ve karılar] ilişki, birinci ile ikinci arasında veya ikinci ile birinci arasında (her ikisinin de olabileceği olasılığını dışlamadan) tutar. ilişki asimetrik ise ikisi birden olamaz.(1919:32)

O varır: ".. [Doğal] sayı m az başka bir numaraya daha olduğu söylenir n zaman n halefi tarafından sahip her kalıtsal özellik sahiptir m . O kanıtlaması zor görmek kolaydır, değil, o ilişki" "küçüktür", bu şekilde tanımlanır, asimetrik, geçişli ve bağlantılıdır ve alanı için [doğal] sayılara sahiptir [yani hem etki alanı hem de ters etki alanı sayılardır]." (1919:35)

eleştiri

Bir 'ekstralojik' yineleme kavramının varsayımı : Kleene, "mantıksal tez, sonunda mantığın formülasyonunda zaten matematiksel fikirleri varsaydığı temelinde sorgulanabilir. Sezgici görüşte, temel bir matematiksel çekirdek, yineleme" (Kleene 1952:46)

Bernays 1930–1931, bu "iki şey" kavramının, iki şeyin varlığı iddiası olmaksızın ve ayrıca iki şey için geçerli olan bir yüklem referansı olmaksızın bile bir şeyi önceden varsaydığını gözlemler; Bu ", sadece, bir şey ve bir şey daha anlamına gelir.... Bu basit bir tarifi ile ilgili olarak, Sayı kavramı bir temel olduğu ortaya çıkıyor yapısal kavramı ... matematik olduğu logicists iddiası tamamen mantıksal bilgisi çıkıyor teorik mantığın daha yakından gözlemlenmesi üzerine bulanık ve yanıltıcı olmak ... [“mantıksal” tanımı genişletilebilir] ancak bu tanım aracılığıyla epistemolojik olarak esas olan gizlenir ve matematiğe özgü olan gözden kaçırılır” (Mançosu'da). 1998:243).

Bernays gibi Hilbert 1931:266-7, matematikte "ekstra-mantıklı bir şey" olduğunu düşünür: "Deneyim ve düşüncenin yanı sıra, üçüncü bir bilgi kaynağı daha vardır. Bugün bile ayrıntılarda Kant ile artık aynı fikirde olamayız. Bununla birlikte, Kantçı epistemolojinin en genel ve temel fikri önemini korur: sezgisel a priori düşünce tarzını tespit etmek ve böylece tüm bilgilerin olasılığının durumunu araştırmak. matematik ilkelerinin. önsel burada başka bir şey ve ben de düşünce sonlu mod diyoruz düşünce temel bir mod, daha hiçbir şey azdır: bir şey zaten temsil fakültemizde önceden bize verilen: belirli extra- Tüm düşünceden önce sezgisel olarak dolaysız bir deneyim olarak var olan mantıksal somut nesneler Mantıksal çıkarımdan emin olmak için, o zaman bu nesneler tüm parçalarıyla tamamen incelenebilir olmalıdır, bir sunumları, farklılıkları, birbirini izlemeleri veya yan yana dizilmeleri, nesnelerle birlikte, başka hiçbir şeye indirgenemeyecek ve böyle bir indirgemeye ihtiyaç duymayan bir şey olarak bize hemen ve sezgisel olarak verilir." (Hilbert 1931, Mançosu 1998: 266, 267).

Kısacası Hilbert ve Bernays'a göre "sıra" ya da "ardıl" kavramı sembolik mantığın dışında kalan apriori bir kavramdır.

Hilbert, mantığı "yanlış yol" olarak reddetti: "Bazıları sayıları tamamen mantıksal olarak tanımlamaya çalıştı; diğerleri basitçe, olağan sayı-teorik çıkarım biçimlerini aşikar kabul ettiler. Her iki yolda da aşılmaz oldukları kanıtlanan engellerle karşılaştılar." (Hilbert 1931, Mancoso'da 1998:267). Eksiklik teoremleri muhtemelen Hilbert'in sonculuğu için benzer bir engel teşkil eder.

Mancosu, Brouwer'in şu sonuca vardığını belirtir: "Mantığın klasik yasaları veya ilkeleri [sembolik temsilde] algılanan düzenliliğin bir parçasıdır; bunlar matematiksel yapıların post-factum kaydından türetilmiştir... Teorik mantık . . . [ ampirik bir bilim ve matematiğin bir uygulamasıdır" (Brouwer, Mancosu 1998: 9'dan alıntı yaptı).

Gödel 1944 : Principia Mathematica'da (her iki baskıda) göründüğü şekliyle Russell mantığının teknik yönleriyle ilgili olarak , Gödel hayal kırıklığına uğradı:

"Bu matematiksel mantık bu ilk kapsamlı ve esaslı bir sunum ve ondan matematik türetilmesi olduğu üzüntü vericidir [nedir?] Böylece büyük ölçüde Başkanlığı (* 1- * 21 içinde yer alan vakıflar resmi hassasiyet eksik Principia ) bu açıdan Frege ile karşılaştırıldığında hatırı sayılır bir geri adım sunuyor. Eksik olan, her şeyden önce, biçimciliğin sözdiziminin kesin bir ifadesidir" (bkz. dipnot 1, Gödel 1944 Collected Works 1990:120).

Özellikle o "meselesi ikame üstünlüğü ve onların tanımladığı semboller yerine özellikle şüphelidir dikkat çekti Definiens (: 120 Russell 1944)"

Bu temellerin altında yatan felsefeyle ilgili olarak, Gödel, Russell'ın "sınıfsızlık teorisini", "kurgusalcılık olarak adlandırılması daha iyi olabilecek, nominalist bir tür yapılandırmacılığı" somutlaştıran olarak değerlendirdi (karş. dipnot 1, Gödel 1944:119) — kusurlu olmak. Aşağıdaki "Gödel'in eleştiri ve önerileri" bölümünde daha fazlasını görün.

Grattan-Guinness : Karmaşık bir ilişkiler teorisi Russell'ın açıklayıcı 1919 Matematik Felsefesine Giriş'i ve 1927'de Principia'nın ikinci baskısını boğmaya devam etti . Bu arada küme teorisi, sıralı küme çiftine olan ilişkisini azaltmasıyla devam etti. Grattan-Guinness, Principia Russell'ın ikinci baskısında , kendi öğrencisi Norbert Wiener (1914) tarafından gerçekleştirilen bu indirgemeyi görmezden geldiğini gözlemler . Belki de "artık can sıkıntısından, Russell hiç tepki vermedi". 1914'te Hausdorff başka, eşdeğer bir tanım sağlayacaktı ve 1921'de Kuratowski bugün kullanılanı sağlayacaktı.

Birim sınıf, öngörülebilirlik ve kısır döngü ilkesi

İyi huylu bir tahmin edici tanım : Bir kütüphanecinin koleksiyonunu tek bir kitapta indekslemek istediğini varsayalım ("dizin" için Ι olarak adlandırın). Dizini, tüm kitapları ve kütüphanedeki konumlarını listeleyecektir. Görünen o ki, sadece üç kitap var ve bunların Ά, β ve Γ başlıkları var. I dizinini oluşturmak için dışarı çıkıyor ve 200 boş sayfalık bir kitap alıyor ve onu "I" olarak etiketliyor. Şimdi dört kitabı var: I, Ά, β ve Γ. Onun görevi zor değil. Tamamlandığında, I dizininin içeriği, her biri benzersiz bir başlık ve benzersiz bir konuma sahip 4 sayfadır (her giriş Title.Location T olarak kısaltılır ):

I ← { IL I , Ά.L Ά , β.L β , Γ.L Γ }.

Ben'in bu tür bir tanımı Poincaré tarafından " öngörülü " olarak kabul edildi . Matematikte yalnızca tahmine dayalı tanımlara izin verilebileceğini düşünmüş gibi görünüyor:

"Bir tanım ' tahmin edici'dir ve yalnızca tanımlanan kavrama bağlı olan, yani herhangi bir şekilde onun tarafından belirlenebilen tüm nesneleri dışlıyorsa mantıksal olarak kabul edilebilir ".

Poincaré'nin tanımına göre, kütüphanecinin dizin kitabı "belirleyicidir" çünkü I'nin tanımı I, Ά, β ve Γ toplamlarının tanımına bağlıdır. Aşağıda belirtildiği gibi, bazı yorumcular sağduyulu versiyonlardaki öngörüsüzlüğün zararsız olduğu konusunda ısrar ediyorlar , ancak aşağıdaki örneklerde görüldüğü gibi zararsız olmayan versiyonlar da var. Bu zorluklara yanıt olarak Russell, "kısır döngü ilkesi" olan güçlü bir yasağı savundu:

"Hiçbir bütünlük, yalnızca bu bütünlük açısından tanımlanabilen üyeler ya da bu bütünlüğü içeren ya da bu bütünlüğü öngören üyeler içeremez" (kısır döngü ilkesi)" (Gödel 1944, Collected Works Vol. II 1990:125'te yer almaktadır).

Zararlı bir öngörülemezlik: α = NOT-α : Olumsuz bir öngörülemezlik örneğinin ne olabileceğini göstermek için, çıktı ω = 1 – α ile f fonksiyonuna α argümanını girmenin sonucunu düşünün . Bu, 1 ve 0 doğruluk değerleriyle ω = NOT-α 'sembolik-mantık' ifadesine eşdeğer 'cebirsel-mantık' ifadesi olarak görülebilir. Girdi α = 0 olduğunda, çıktı ω = 1; giriş α = 1 olduğunda, çıkış ω = 0.

Fonksiyonu "öngörülü" yapmak için, girdiyi çıktıyla tanımlayın, α = 1-α elde edin.

Diyelim ki rasyonel sayıların cebirinde, α = 0,5 olduğunda denklem sağlanır. Ama, içinde örneğin sadece "gerçek değerler" 0 ve 1 izin verilen bir Boole cebri, ardından eşitlik olamaz memnun.

Birim sınıfının tanımında ölümcül öngörüsüzlük: Mantıkçı programdaki bazı zorluklar, Russell'ın Frege'nin 1879 Begriffsschrift'inde Frege'nin bir fonksiyonun girdisini "fonksiyonel" (değerinin değeri) türetmesine izin verdiği α = NOT-α paradoksundan kaynaklanabilir. değişkeni) yalnızca bir nesneden (nesne, terim) değil, aynı zamanda işlevin kendi çıktısından.

Yukarıda açıklandığı gibi, hem Frege'nin hem de Russell'ın doğal sayılar yapıları, eşit sayıda sınıf sınıflarının ("demetler") oluşturulmasıyla başlar, ardından her demete benzersiz bir "sayı" atanır ve ardından demetlerin yerleştirilmesiyle devam eder. asimetrik bir S ilişkisi aracılığıyla bir sıraya dönüştürün: x S y ≠ y S x . Ancak Frege, Russell'dan farklı olarak, birim sınıflar sınıfının bir birim olarak tanımlanmasına izin verdi:

Ancak 1 numaralı sınıf başlı başına tek bir nesne veya birim olduğu için onun da birim sınıflar sınıfına dahil edilmesi gerekir. Bu dahil etme, artan "tür" ve artan içerikte (Gödel'in dediği gibi) "sonsuz bir gerileme" ile sonuçlanır.

Russell, bir sınıfın daha fazla veya bir "kurgu" olduğunu ilan ederek bu sorundan kaçındı. Bununla, bir sınıfın yalnızca önerme işlevini yerine getiren öğeleri belirtebileceğini ve başka hiçbir şey yapamayacağını kastetmişti. Bir "kurgu" olarak bir sınıf bir şey olarak düşünülemez: bir varlık, bir "terim", bir tekillik, bir "birim". Bu bir asamblajdır, ancak Russell'ın görüşüne göre "şeyliğe layık" değildir:

".. Sınıf birçok olarak sakıncasız, ancak birçok ve seçiyoruz değilse bir Biz, tek bir sembolle bu temsil edebilir. Böylece x ε u anlamına gelecektir" x biridir u 'ın "Bu. x ve u olmak üzere iki terimin bir ilişkisi olarak alınmamalıdır , çünkü sayısal bağlaç olarak u tek bir terim değildir... herhangi bir anlamda, tek bileşenler olduğu varsayılabilir.[vb]" (1903:516).

Bu, "en altta" her bir tek başına "terimin" herhangi bir sınıf, herhangi bir sınıf sınıfı, sınıflar sınıfı vb. sorun—sınıfların "türleri" hiyerarşisi.

Tahmin edilemezliğe bir çözüm: bir tür hiyerarşisi

Nesne olmayan sınıflar, faydalı kurgular olarak sınıflar : Gödel 1944:131, "Russell, sınıfların uzamsal görüşüne karşı iki neden ileri sürer: (1) pek iyi bir koleksiyon olamayacak olan boş sınıfın varlığı ve (2) ) tek öğeleriyle aynı olması gereken birim sınıfları." Russell'ın bunları hayali olarak görmesi gerektiğini, ancak tüm sınıfların (2, 3 sayılarını tanımlayan sınıflar gibi) kurmaca olduğu sonucuna varmaması gerektiğini öne sürüyor .

Ama Russell bunu yapmadı. Ek A: Frege'nin Mantıksal ve Aritmetik Doktrinleri'nde 1903'teki ayrıntılı bir analizden sonra Russell şu sonuca varıyor:

"Bize bu şekilde dayatılan mantıksal öğreti şudur: Bir önermenin öznesi tek bir terim değil, özünde birçok terim olabilir; 0 ve 1'den başka sayıları öne süren tüm önermelerde durum böyledir" (1903:516) .

Aşağıdaki bildirimde "sınıf olduğu kadar çok" ifadesi - bir sınıf, önerme işlevini karşılayan terimlerin (şeylerin) bir toplamıdır, ancak bir sınıf kendinde bir şey değildir :

"Dolayısıyla nihai sonuç, doğru sınıflar teorisinin Bölüm VI'dakinden bile daha geniş kapsamlı olduğu; çok olduğu kadar sınıfın her zaman bir önerme işlevi tarafından tanımlanan tek nesne olduğu ve bunun biçimsel amaçlar için yeterli olduğudur" (1903). :518).

Bir çiftlik sahibi, tüm hayvanlarını (koyun, inek ve atları) hayali çiftliğinde bulunan üç hayali ağılda (koyunlar için bir, inekler için bir ve atlar için bir tane) toplayacak gibidir. Gerçekte var olan koyunlar, inekler ve atlardır (uzantılar), ancak hayali "kavramlar" ağıllar ve çiftlikler değil.

Ramified tip teorisi: fonksiyon-düzenleri ve argüman-tipleri, yüklem fonksiyonları : Russell, tüm sınıfların faydalı kurgular olduğunu ilan ettiğinde , "birim" sınıfı problemini çözdü, ancak genel problem ortadan kalkmadı; bunun yerine yeni bir biçimde geldi: "Artık (1) terimleri, (2) sınıfları, (3) sınıf sınıflarını vb. ad infinitum ayırt etmek gerekli olacaktır ; küme başka herhangi bir kümenin üyesidir ve x ε u , x'in u'nun ait olduğu kümeden bir derece daha düşük bir kümede olmasını gerektirir.Böylece x ε x anlamsız bir önerme olur ve bu şekilde çelişkiden kaçınılır" (1903:517).

Bu, Russell'ın "tipler doktrini"dir. Russell, x ε x gibi yüklemli ifadelerin kendi mantığında ele alınabileceğini garanti etmek için , bir tür çalışan hipotez olarak, bu tür tüm tahmin edici tanımların yüklem tanımlarına sahip olduğunu öne sürdü. Bu varsayım, işlev "düzenler" ve argüman - "tipler" kavramlarını gerektirir. İlk olarak, fonksiyonlar (ve onların uzantı olarak sınıfları, yani "matrisler"), bireylerin fonksiyonlarının 1. dereceden olduğu, fonksiyonların fonksiyonlarının (sınıfların sınıflarının) 2. dereceden olduğu ve "düzenlerine" göre sınıflandırılmalıdır. saire. Daha sonra, bir fonksiyonun argümanlarının (fonksiyonun "girdileri") "türünü", onların "anlam aralığı" olarak tanımlar, yani bu α girdileri nelerdir (bireyler? sınıflar? sınıfların sınıfları? vb.), f(x)'e takıldığında, anlamlı bir çıktı ω verir. Bunun, aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, bir "tür"ün karışık düzende olabileceği anlamına geldiğini unutmayın:

"Joe DiMaggio ve Yankees 1947 Dünya Serisini kazandı".

Bu cümle iki cümleye ayrılabilir: " x 1947 Dünya Serisini kazandı " + " y 1947 Dünya Serisini kazandı". İlk cümle girdi olarak x için bireysel bir "Joe DiMaggio", diğeri y için girdi olarak toplu bir "Yankees" alır . Böylece bileşik cümle, sıraya göre (1 ve 2) karıştırılmış (karışık) bir 2 tipine sahiptir.

Russell, "tahmin edici" ile, fonksiyonun değişken(ler)inin "tipinden" daha yüksek bir sırada olması gerektiğini kastetmişti. Bu nedenle, bir sınıf sınıfı yaratan (2. dereceden) bir işlev, yalnızca sınıflar (tip 1) ve bireyler (tür 0) olan değişken(ler)i için argümanları besleyebilir, çünkü bunlar daha düşük türlerdir. Tip 3, yalnızca tip 2, 1 veya 0 ve benzerlerini eğlendirebilir. Ancak bu türler karıştırılabilir (örneğin, bu cümlenin (bir şekilde) doğru olması için: " z 1947 Dünya Serisini kazandı " bireyi (tip 0) "Joe DiMaggio" ve/veya diğer takım arkadaşlarının isimlerini kabul edebilir , ve bireysel oyuncuların "The Yankees" sınıfını (tip 1) kabul edebilir.

Azalt aksiyomu : azalt aksiyomu bir hipotez bir işlevi herhangi bir sırayla indirgenir (ya da ile ikame) olabilir eşdeğer yüklem uygun düzenin işlevi. İlk baskının dikkatli bir okuması, n'inci dereceden bir yüklem fonksiyonunun "tamamen aşağıda" büyük bir "matris" veya bireysel atomik önermelerin toplamı olarak ifade edilmesi gerekmediğini gösterir . "Pratikte sadece göreli değişken türleri alakalıdır; bu nedenle, belirli bir bağlamda meydana gelen en düşük tür, bireylerinki olarak adlandırılabilir" (s. 161). Ancak indirgenebilirlik aksiyomu, teoride "tamamen aşağı" bir indirgemenin mümkün olduğunu öne sürer .

Russell 1927, indirgenebilirlik aksiyomunu terk eder : Bununla birlikte, 1927 tarihli PM'nin 2. baskısıyla Russell, indirgenebilirlik aksiyomundan vazgeçmiş ve gerçekten de herhangi bir işlev düzenini, birbiriyle bağlantılı temel önermelerine "tamamen aşağı" zorlayacağı sonucuna varmıştır. mantıksal operatörlerle birlikte:

"Tüm önermeler, hangi sırada olursa olsun, vuruş yoluyla birleştirilen temel önermelerden oluşan bir matristen türetilir" ( PM 1927 Ek A, s. 385)

("Kontur", Sheffer'ın vuruşudur - PM'nin 2. baskısı için benimsenmiştir - diğer tüm mantıksal işlevlerin tanımlanabileceği tek bir iki argümanlı mantıksal işlev.)

Net sonuç, yine de, teorisinin çöküşü oldu. Russell bu cesaret kırıcı sonuca vardı: "Sıra sayıları ve kardinaller teorisi varlığını sürdürüyor... ama irrasyonel ve genel olarak gerçek sayılar artık yeterince ele alınamıyor... Belki de indirgenebilirlik aksiyomundan daha az sakıncalı olan başka bir aksiyom , bu sonuçları verebilir, ancak böyle bir aksiyom bulmayı başaramadık" ( PM 1927:xiv).

Gödel 1944, Russell'ın mantıkçı projesinin sekteye uğradığını kabul eder; tam sayıların bile hayatta kaldığına katılmıyor gibi görünüyor:

"[İkinci baskıda] İndirgenebilirlik aksiyomu bırakılır ve tüm ilkel yüklemlerin en düşük türe ait olduğu ve daha yüksek dereceli ve türdeki değişkenlerin (ve tabii ki sabitlerin) tek amacının yapmak olduğu açıkça belirtilir. atomik önermelerin daha karmaşık doğruluk işlevlerini ileri sürmek mümkündür" (Gödel 1944, Collected Works :134).

Ancak Gödel, bu prosedürün şu ya da bu biçimde aritmetiği öngerektirdiğini ileri sürer (s. 134). "Farklı mertebelerde tamsayılar elde edilir" (s. 134-135); Russell 1927 PM Ek B'deki "5'ten büyük herhangi bir mertebenin tamsayılarının 5. mertebenin tamsayıları ile aynıdır" kanıtı "kesin değildir" ve "tamsayılar teorisinin elde edilip edilemeyeceği (veya ne ölçüde) sorusudur. dallanmış hiyerarşi temelinde [sınıflar artı tipler] şu anda çözülmemiş olarak kabul edilmelidir". Gödel, n (herhangi bir n ) mertebesindeki önerme fonksiyonlarının sonlu sembol kombinasyonlarıyla (tüm alıntılar ve içerik 135. sayfadan türetilmiş) tanımlanması gerektiğinden , bunun zaten önemli olmayacağı sonucuna varmıştır .

Gödel'in eleştiri ve önerileri

Gödel, 1944 tarihli çalışmasında Russell'ın mantıkçılığının başarısız olduğunu düşündüğü yeri tespit eder ve sorunları düzeltmeye yönelik öneriler sunar. "Kısır döngü ilkesini", "yalnızca tanımlanabilen", "içeren" ve "varsayılan" olmak üzere üç kısma ayırarak yeniden incelemeye sunar. Bu, "öngörülü tanımları imkansız kılan ve böylece Dedekind ve Frege tarafından gerçekleştirilen mantıktan matematiğin türetilmesini ve matematiğin büyük bir kısmını yok eden" ilk kısımdır. O, matematiğin kendi doğasında var olan belirsizliğe (örneğin, "tüm gerçek sayılara referansla tanımlanan gerçek sayılar") dayandığını ileri sürdüğü için, sunduğu şeyin "kısır döngü ilkesinin yanlış olduğuna dair bir kanıt olduğu sonucuna varır. klasik matematik yanlıştır" (tüm alıntılar Gödel 1944:127).

Problemin kökü Russell'ın sınıfsızlık teorisidir : Gödel, matematikte görüldüğü gibi, tahmin edilemezliğin "saçma" olmadığına inanmaktadır. Russell'ın sorunu, mantık ve matematiğin nesnelerine, özellikle önermelere, sınıflara ve kavramlara yönelik "yapılandırmacı (ya da nominalist") bakış açısından kaynaklanmaktadır. . . bir sembol olan bir kavram. . . böylece sembolle gösterilen ayrı bir nesne sadece bir kurgu olarak görünür" (s. 128).

Gerçekten de, Russell'ın "sınıfsız" teorisi, Gödel şu sonuca varıyor:

"veri"nin dışındaki nesnelerin varlığına ilişkin varsayımları ortadan kaldırma ve bunların yerine bu verilere dayalı yapılar koyma eğiliminin ayrıntılı olarak gerçekleştirilen birkaç örneğinden biri olarak büyük ilgi görmektedir33 . " burada göreceli bir anlamda anlamaktır; yani bizim durumumuzda sınıfların ve kavramların varlığı varsayımı olmaksızın mantık olarak]. Sonuç bu durumda esasen olumsuz olmuştur; yani bu şekilde tanıtılan sınıflar ve kavramlar matematikte kullanımları için gerekli tüm özellikler... Bütün bunlar, yukarıda savunulan mantığın ve matematiğin (tıpkı fizik gibi) gerçek bir içeriğe sahip aksiyomlar üzerine inşa edildiği ve açıklanamayan görüşün doğrulanmasıdır" (s. 132)

Yazısını şu öneriler ve gözlemlerle noktalıyor:

"Sınıf ve kavram terimlerinin anlamlarını daha açık hale getirmeye ve nesnel olarak var olan varlıklar olarak tutarlı bir sınıflar ve kavramlar teorisi oluşturmaya çalışmak gibi daha muhafazakar bir kurs almalıdır. Ders budur. matematiksel mantığın gerçek gelişiminin almakta olduğu ve Russell'ın çalışmasının daha yapıcı kısımlarında girmeye zorlandığı. Bu yöndeki girişimlerin başlıcaları... Her ikisi de en azından bu ölçüde başarılı olan küme teorisi, modern matematiğin türetilmesine izin verir ve aynı zamanda bilinen tüm paradokslardan kaçınır... matematiksel mantığın şimdiye kadar Peano ve diğerlerinin yüksek beklentilerinin çok gerisinde kalmasından sorumlu olan şey...” (s. 140)

neo-mantıkçılık

Neo-mantıkçılık , savunucuları tarafından orijinal mantıkçı programın ardılları olarak kabul edilen bir dizi görüşü tanımlar. Daha dar bir anlamda, neo-mantıkçılık , Frege'nin sisteminin Grundgesetze'deki (bir tür ikinci dereceden mantık olarak görülebilir) değiştirilmiş bir versiyonunun kullanılması yoluyla Frege'nin programının bazı veya tüm unsurlarını kurtarma girişimi olarak görülebilir .

Örneğin, bir yerini alabilir Temel Kanunu V (benzer sınırsız anlama beliti şeması içinde naif küme teorisinin bilinen paradokslardan türetilmesi önleyecek şekilde bazı 'güvenli' aksiyoma). BLV yerine en çok adı geçen aday Hume prensibi 'ancak ve ancak bir orada #F = #G ile verilir, '#' bağlamsal tanımı bijection F ve G arasında'. Bu tür neo-mantıkçılığa genellikle neo-Fregeanizm denir . Neo-Fregeanizmin savunucuları arasında , bazen bir epistemik temelcilik biçimini benimseyen İskoç Okulu veya soyutlamacı Platonizm olarak da adlandırılan Crispin Wright ve Bob Hale bulunur .

Neo-mantıkçılığın diğer önemli savunucuları dahil Bernard Linsky ve Edward N. Zalta , bazen denilen Stanford-Edmonton Okulu , soyut yapısalcılık veya modal neo-Mantıksalcılık biçimi benimseyen aksiyomatik metafiziği . Modal neo-logicism, ikinci mertebeden modal nesne teorisi içindeki Peano aksiyomlarını türetir .

Başka bir yarı-neolojikçi yaklaşım M. Randall Holmes tarafından önerilmiştir. Grundgesetze'de yapılan bu tür bir değişiklikte , BLV, Quine'in NF ve ilgili sistemlerindeki gibi katmanlanabilir formüllere yönelik bir kısıtlama dışında olduğu gibi kalır . Esasen Grundgesetze'nin tamamı 'geçer'. Ortaya çıkan sistem, Jensen'in NFU + Rosser'ın Sayma Aksiyomu ile aynı tutarlılık gücüne sahiptir .

Referanslar

bibliyografya

  • Richard Dedekind, yaklaşık 1858, 1878, Sayılar Teorisi Üzerine Denemeler , Open Court Publishing Company 1901 tarafından yayınlanan İngilizce çeviri, Dover yayını 1963, Mineola, NY, ISBN  0-486-21010-3 . İki makale içerir - I. Orijinal Önsöz ile Süreklilik ve İrrasyonel Sayılar , II. İki Önsözle Sayıların Doğası ve Anlamı (1887,1893).
  • Howard Eves, 1990, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics Üçüncü Baskı , Dover Publications, Inc, Mineola, NY, ISBN  0-486-69609-X .
  • I. Grattan-Guinness, 2000, Matematiksel Kökler Arayışı, 1870–1940: Mantık, Küme Teorileri ve Cantor'dan Russell'dan Gödel'e Matematiğin Temelleri , Princeton University Press, Princeton NJ, ISBN  0-691-05858-X .
  • Jean van Heijenoort, 1967, Frege'den Gödel'e : Matematiksel Mantıkta Bir Kaynak Kitap, 1879–1931 , 3. baskı 1976, Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN  0-674-32449-8 . Van Heijenoort'un yorumuyla birlikte Frege'nin 1879 Begriffsschrift'ini , Russell'ın 1908'i Willard V. Quine'in yorumlarıyla türler teorisine dayanan matematiksel mantığı , Zermelo'nun 1908'ini, van Heijenoort'un yorumuyla bir iyi sıralama olasılığının yeni bir kanıtı , mektupları içerir. Russell'dan Frege ve Russell'dan Frege'ye vb.
  • Stephen C. Kleene, 1971, 1952, Metamathematics'e Giriş 1991 10. izlenim, , North-Holland Publishing Company, Amsterdam, NY, ISBN  0-7204-2103-9 .
  • Mario Livio Ağustos 2011 "Matematik Neden İşe Yarar: Matematik icat mı yoksa keşfedildi mi? Önde gelen bir astrofizikçi, bin yıllık sorunun cevabının her ikisi de olduğunu öne sürüyor", Scientific American (ISSN 0036-8733), Cilt 305, Sayı 2, Ağustos 2011, Nature America, Inc, New York, NY'nin Scientific American bölümü.
  • Bertrand Russell, 1903, Matematik İlkeleri Cilt. Ben , Cambridge: University Press, Cambridge, Birleşik Krallık'ta.
  • Paolo Mancosu, 1998, Brouwer'dan Hilbert'e: 1920'lerde Matematiğin Temelleri Üzerine Tartışma , Oxford University Press, New York, NY, ISBN  0-19-509632-0 .
  • Bertrand Russell, 1912, Felsefenin Sorunları (John Perry 1997 tarafından Giriş ile), Oxford University Press, New York, NY, ISBN  0-19-511552-X .
  • Bertrand Russell, 1919, Matematik Felsefesine Giriş , Barnes & Noble, Inc, New York, NY, ISBN  978-1-4114-2942-0 . Bu, Principia Mathematica'nın matematiksel olmayan bir arkadaşıdır .
    • Amit Hagar 2005 Bertrand Russell'a Giriş , 1919, Matematik Felsefesine Giriş , Barnes & Noble, Inc, New York, NY, ISBN  978-1-4114-2942-0 .
  • Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell, 1927 2. baskı, (birinci baskı 1910–1913), Principia Mathematica - *56,1962 Baskısı , Cambridge at the University Press, Cambridge UK, ISBN yok. İkinci Baskı, Xiii-xlvi'ye Giriş sayfaları ile *56'ya kısaltılmış ve *9 Görünür Değişkenler Teorisi ve Ek C Doğruluk-Fonksiyonlar ve Diğerleri yerine yeni Ek A (* Görünür Değişkenleri İçeren 8 Önerme ) .

Dış bağlantılar