Ters sorun - Inverse problem

Bir ters problem bilimde gözlem kümesinden hesaplama işlemidir nedensel onları üretilen faktörler: örneğin, bir görüntü hesaplanması röntgen bilgisayarlı tomografi , akustik kaynak rekonstrüksiyon veya ölçümlerinden Dünya'nın yoğunluğunun hesaplanması onun yerçekimi alanı . O nedenleri hesaplar sonra etkileri ile başlayıp çünkü ters bir sorun olarak adlandırılır. Bu nedenler ile başlayan bir düz problem, ters ve daha sonra etkileri hesaplar.

Ters problemler en önemli matematiksel sorunların bazılarıdır fen ve matematik onlar doğrudan gözlemlemek olamaz parametreleri hakkında bize çünkü. Bunlar geniş uygulamaya sahip sistem tanımlama , optik , radar , akustik , iletişim teorisi , işaret işleme , tıbbi görüntüleme , bilgisayar görme , jeofizik , oşinografi , astronomi , uzaktan algılama , doğal dil işleme , makine öğrenmesi , tahribatsız muayene ve birçok diğer alanlarda.

Tarih

Nedenleri keşfetmek için efektleri ile başlayan yüzyıllardır endişe fizikçileri vardır. Bir tarihsel örnek hesaplamalar olan Adams ve Le Verrier keşfine yol Neptün arasında tedirgin iniş rotasından Uranüs . Ancak, ters problemlerin resmi bir çalışma 20. yüzyıla kadar başlatılan değildi.

Bir ters probleme bir çözüm ilk örneklerinden biri tarafından keşfedilmiştir Hermann Weyl ve eigen asimptotik tarif 1911'de yayınlanan Laplace-Beltrami operatörü . Olarak bilinen Bugün Weyl hukuk , bu belki de en kolaylıkla mümkün olup olmadığını sorusuna cevap olarak anlaşılmaktadır bir tambur şeklini duymak . Weyl bir tamburun eigen belirli bir denklem, daha sonra matematikçilerin üzerine geliştirilmiş bir sonuç ile alan ve tamburun çevre ile ilgili olacaktır conjectured.

Ters problemlerin alan sonradan tarafından dokundu Sovyet - Ermeni fizikçi, Victor Ambartsumian .

Henüz öğrenci iken, Ambartsumian iyice atom yapısı teorisi, enerji seviyeleri oluşumunu ve çalışılan Schrödinger denklemini ve özelliklerini ve o teorisini hakim olduğunda özdeğerler ait diferansiyel denklemler , o ayrık enerji düzeyleri arasında belirgin benzerlik dikkat çekti diferansiyel denklemlerin ve özdeğerler. Daha sonra sordu: özdeğerler ailesi önüne alındığında, bu özdeğerler olduklarını denklem formunu bulmak mümkün mü? Esasen Ambartsumian ters inceliyordum Sturm-Liouville problemi titreşen dize denklemleri belirleyen ele. Bu yazıda Alman fizik dergisinde 1929 yılında yayınlanan Physik für Zehschrift ve oldukça uzun bir süre belirsizlik içinde kalmıştır. Onlarca yıl sonra bu durumu tanımlayan Ambartsumian "astronom o unutulma 'ne olacak bir fizik dergisinde matematiksel içeriğe sahip bir makale, daha sonra büyük olasılıkla şey yayınlarsa" dedi.

Yine de, 20 yaşındaki Ambartsumian tarafından yazılan İkinci Dünya Savaşı, bu makalenin, sonuna doğru, bir bütünün temeli haline İsveçli matematikçiler tarafından bulunan ve ters problemler üzerinde araştırma bir bütün bölge için başlangıç ​​noktası kuruldu disiplin.

Sonra önemli çabalar özellikle tarafından ters saçılma sorunun "doğrudan çözüm" tahsis edilmiştir Gelfand ve Levintan Sovyetler Birliği'nde. Bu çözelti belirlemek için bir analitik yapıcı bir yöntem önerilmiştir. Bilgisayarlar mevcut olunca, bazı yazarlar bu tür 1D dalga denkleminde ters problem olarak benzer sorunlara yaklaşımlarını uygulayarak olasılığını araştırdık. Ama hızla inversiyon kararsız bir süreç olduğunu ortaya çıktı: gürültü ve hatalar müthiş doğrudan çözüm pek uygulanabilir hale çoğaltılabilir. Sonra, yetmişli etrafında, en küçük kareler ve olasılık yaklaşımları geldi ve çeşitli fiziksel sistemlerin çalışma parametrelerinin belirlenmesi için çok yararlı olduğu ortaya çıktı. Bu yaklaşım çok başarılı araya geldi. Günümüzde ters problemler de alanlar ağırlıklı olarak kimya, ekonomi ve bilgisayar bilimleri gibi dış fizik, içinde incelenmiştir. Sayısal modeller tüm toplumu istila olarak Sonunda, biz bu sayısal modellerin her biriyle ilişkili bir ters sorunu bekleyebilir.

Kavramsal anlayış

Newton beri bilim yaygın dünya modeli çalıştılar. Bir zaman Özellikle, matematiksel model kullanılabilir (örneğin, Newton'un yerçekimi kanunu ya elektrostatik Coulomb denklemi), biz (örneğin kütlesinin dağıtımı veya elektrik yüklerinin bir dağılımı gibi) fiziksel bir sistemi tanımlamak bazı parametreler göz önüne alındığında, sezebilirler sistemin davranışı. Bu yaklaşım matematiksel modelleme olarak bilinen ve yukarıda bahsedilen fiziksel parametreler denir modeli parametreleri veya basitçe modeli . Kesin olarak biz kavramını tanıtmak fiziksel sistemin devlet : Bu matematiksel modelin denkleminin çözümüdür. Gelen optimal kontrol teorisi , bu denklemler olarak adlandırılır durum denklemlerinin . Birçok durumda biz gerçekten fiziksel durumunu bilerek ilgilenen ancak bazı nesneler üzerinde sadece kendi etkileri (örneğin, efektler belirli gezegende çekim alanı). Dolayısıyla biz adlı başka operatöre, tanıtmak zorunda gözlem operatör biz (burada düşünülen gezegenin hareketleri) gözlemlemek istediklerini içine fiziksel sistemin (burada öngörülen çekim alanı) durumunu dönüştürür. Şimdi sözde tanıtabilirsiniz ileri sorunu iki adımdan oluşur:

• Tarif fiziksel parametrelerden sistemin durumunun belirlenmesi
• Sistemin tahmini durumuna gözlem operatörünün uygulama olarak bu yüzden gözlemlemek istediğimiz davranışını tahmin etmek.

Bu potansiyel müşteriler başka tanıtmak operatörü ( F modeli parametreleri eşler hangi "ileri" anlamına gelir) içine , model verileri bu iki adımlık bir prosedür sonucu öngörür. Operatör denir ileri operatör veya ileri haritası . Bu yaklaşımda temelde nedenlerini bilerek etkilerini tahmin etmede çalışırlar. ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle F (s)}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle F}$

Aşağıdaki tabloda, Dünya fiziksel sistem olarak ve farklı fiziki olgu sistemi, yaygın sisteminin durumu üzerinde yapılan fiziksel sistemi ve gözlemlerin durumunu açıklayan fiziksel miktar belirtmek model parametreleri için düşünülen.

denklemler	Model parametreleri	fiziksel sistemin Devlet	sistemde Ortak gözlemler
Newton'un kütleçekim yasası	kütle dağılımı	Yerçekimi alanı	Tarafından yapılan ölçüm miligal farklı yüzey konumlarda
Maxwell denklemleri	Dağılımı manyetik duyarlılık	Manyetik alan	Tarafından farklı yüzey yerlerinde ölçülen manyetik alan magnetometrelerinden (sürekli devletin vaka)
Dalga denklemi	dalga hızı ve yoğunluklarda dağılımı	Dalga alan yapay veya doğal yol açtığı sismik kaynaklar	Parçacık hızı sismometre ile ölçülen farklı yüzey yere yerleştirilebilir
difüzyon denklemi	Dağılımı Difüzyon katsayısı	alan ve zamanın bir fonksiyonu olarak malzeme yoğunluğuna Difüzyon	Bu konsantrasyon İzleme farklı yerlerde ölçülen

ters problem yaklaşımında biz kabaca söylemek gerekirse, efektler verilen nedenlerini bilmek deneyin.

Ters problemin Genel açıklama

Ters problem düz problem "ters": Biz veri üretmek modeli parametrelerinin belirlenmesi isteyen biz kaydettik gözlemdir (simge gözl gözlenen belirtir). Biz model parametreleri bakmak Böylece (yaklaşık en az) öyle ki ${\ Displaystyle d_ {atıl}}$${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle \ d_ {atıl} = F (s)}$

nerede ileriye haritasıdır. Biz tarafından ifade , model parametrelerinin (muhtemelen sonsuz) bir sayı ve kaydedilen veri sayısı. Biz bazı yararlı kavram ve devamında kullanılacak ilişkili gösterimler tanıtmak: ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle K}$

• Modellerin alanı ile gösterilmiştir  : Vektör alanı model parametreleri tarafından gerilir; sahip olduğu boyutlar;${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle M}$
• Veri alanı ile gösterilmiştir  : biz bir vektör içinde ölçülen numune kurması halinde bileşen (eden ölçümler fonksiyonları içeren eğer sonsuz boyutları olan bir vektör uzay);${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle D = \ mathbb {R} ^ {N-}}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle D}$
• ${\ Displaystyle F (s)}$ : Modelin yanıtı ; Bu oluşur model tarafından tahmin verileri ;${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p}$
• ${\ Displaystyle F (P)}$ : Görüntü ileri harita ile, bu bir alt takımı (ancak bir alt uzay sürece doğrusal) Tüm modeller tepkilerinin yaptı;${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle F}$
• ${\ Displaystyle d_ {atıl} -F (s)}$ : Veri uyumsuzlar (fark) modeli ile ilişkili  : bir vektör, bir unsuru olarak düzenlenebilir .${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle D}$

Artıkların kavramı çok önemlidir: Verileri eşleşen bir model bulmakta kapsamında, dikkate alınan bir model gerçekçi olarak ya da değil kabul edilebilir olmadığını analizleri ortaya koymaktadır . Veri ve model yanıtları arasındaki sistematik gerçekçi uyumsuzluklar da ileri harita yetersizdir ve geliştirilmiş bir ileri harita ile ilgili bilgiler elde edilebilir olduğunu ortaya koymaktadır.

Operatör zaman doğrusal, ters problem doğrusal olduğunu. Aksi halde, en sık olduğu, ters problem doğrusal olmayan olduğunu. Ayrıca, modeller her zaman parametrelerin sonlu sayısına göre tarif edilemez. Aradığımız zaman böyledir dağıtılmış parametrelere (örneğin dalga hızları dağılımı): Bu tür durumlarda ters problemin amacı bir veya birkaç işlevi almak etmektir. Böyle ters problemler sonsuz boyutuyla ters sorunlardır. ${\ Displaystyle F}$

Lineer ters problemler

Lineer durumunda ileriye harita ve biz model parametreleri sonlu sayıda başa zaman geleceğe yönelik haritası olarak yazılabilir lineer sistemde

${\ Displaystyle \ d = Fp}$

nerede olduğu matris ileri haritayı karakterize etmektedir. ${\ Displaystyle F}$

Bir temel örnek: Dünya'nın çekim alanı

Sadece birkaç fiziksel sistemler model parametreleri açısından aslında lineer vardır. Jeofizik gelen böyle bir sistem olmasıdır Dünya'nın çekim alanından . Dünya'nın yerçekimi alanı yeraltında Dünya'nın yoğunluk dağılımı ile belirlenir. Çünkü litoloji Dünya'nın oldukça önemli ölçüde değiştiği, Dünya'yla yüzeyinde Dünya'nın çekim alanında dakikalık farklılıkları gözlemlemek mümkün. Yerçekimi anlayışımız (Newton'un Çekim Yasası), biz yerçekimi için matematiksel ifadesi olduğunu biliyoruz:

${\ Displaystyle d = {\ frac {Gp} {r ^ {2}}};}$

burada yerel yer çekimi ivmesi bir ölçüsüdür olan evrensel yerçekimi sabiti , yeraltında kaya (yoğunluğu ile) ve lokal kitle gözlem noktasına kütle arasındaki mesafedir. ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle R}$

Yukarıdaki ifadeyi diskretize ederek, biz daha hakkında bilmek istediklerini yeraltında ayrık model parametreleri (yoğunluk) Dünya'nın yüzeyinde ayrık veri gözlemlerini ilişkilendirmek edebiliyoruz. Örneğin, Dünya yüzeyinde 5 noktada yürütülen ölçümler sahip durumda düşünün. Bu durumda, verilerimiz vektörü, boyut (5x1) bir sütun vektörüdür: kendi inci bileşeni ile ilişkili olan inci gözlem konumuna kaydeder. Ayrıca biz sadece beş bilinmeyen kütlelere sahip olduğunu biliyoruz bilinen konumu ile yeraltı (gerçekçi olmayan fakat kavramı göstermek için kullanılan) 'de: Biz tarafından ifade arasındaki mesafe inci gözlem yeri ve inci kütlesi. Aşağıdaki gibi Böylece, beş veri noktası beş bilinmeyen kütleleri bulunan lineer sistemin kurulabileceğini: ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle ı}$${\ Displaystyle ı}$${\ Displaystyle p_ {j}}$${\ Displaystyle r_ {ij}}$${\ Displaystyle ı}$${\ Displaystyle j}$

${\ Displaystyle d = Fp \}$

${\ Displaystyle d = {başlar \ {bmatrix} d_ {1} \\ d_ {2} \\ d_ {3} \\ d_ {4} \\ d_ {5} \ end {bmatrix}}}$

${\ Displaystyle p = {başlar \ {bmatrix} p_ {1} \\ p_ {2} \\ p_ {3} \\ p_ {4} \\ p_ {5} \ end {bmatrix}}}$

${\ Displaystyle F = {} {{\ frac {G} {r_ {11} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {12} ^ {2}}} ve {\ frac bmatrix başlar \ {G} {r_ {13} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {14} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {15} ^ {2}}} \\ {\ frac {G} {r_ {21} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {22} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {23} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {24} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {25} ^ {2}}} \\ {\ frac {G} { R_ {31} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {32} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {33} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {34} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {35} ^ {2}}} \\ {\ frac {G} {r_ {41} ^ {2}} } ve {\ frac {G} {r_ {42} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {43} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {44} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {45} ^ {2}}} \\ {\ frac {G} {r_ {51} ^ {2}}} ve {\ frac {G} { R_ {52} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {53} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {54} ^ {2}}} ve {\ frac {G} {r_ {55} ^ {2}}} \ ucu {bmatrix}}}$

Bizim veri sığdırmak model parametreleri için çözmek için, biz matrisinin tersini mümkün olabilir doğrudan model parametreleri içine ölçümleri dönüştürmek. Örneğin: ${\ Displaystyle F}$

${\ Displaystyle p = f ^ {- 1} d_ {gözl} \}$

Beş denklemler ve beş bilinmeyenli bir sistem çok özel bir durumdur: Örneğimizde bu özgüllük ile bitirmek için tasarlanmıştır. Matris, genelde, veri ve bilinmeyen sayıları farklı olan kare değildir. ${\ Displaystyle F}$

Matris: Bununla birlikte, hatta kare matris bir ters olabilir olabilir seviye eksikliği olan (diğer bir deyişle sıfır öz vardır) ve sistemin çözeltisi özgü değildir. Sonra ters problemin çözümü belirsiz olacaktır. Bu ilk zorluktur. Aşırı belirlenen sistemleri (bilinmeyenler daha denklemleri) diğer sorunları var. Ayrıca gürültü bozuk bizim gözlemler yapma olabilir muhtemelen dışarıda boşluk sisteminin bu çözüm böylece model parametreleri için olası tepkilerden olmayabilir. Bu da başka bir zorluğudur. ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle p = f ^ {- 1} d_ {gözl} \}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle F (P)}$${\ Displaystyle p = f ^ {- 1} d_ {gözl} \}$

Araçlar ilk zorluğun üstesinden gelmek için

İlk zorluk önemli sorunu yansıtır: Bizim gözlemleri yeterli bilgi içermez ve ek veri gereklidir. Ek veriler fiziksel gelebilir öncesinde bilgi , onların uzaysal dağılımı üzerinde ya da daha genel olarak karşılıklı bağımlılık üzerine, ... Ayrıca diğer deneylerden gelebilir parametre değerlerine: Örneğin biz gravimetreler tarafından kaydedilen verileri entegre düşünebilir ve yoğunlukları daha iyi tahmini için sismograflar. Bu ek bilgi entegrasyonu temelde bir sorundur istatistik . Ne kadar farklı nitelikteki miktarlarda karıştırmak için: Bu disiplin soruya cevap verebilir biridir? Biz aşağıdaki bölümde "Bayes yaklaşımı" daha hassas olacaktır.

Dağıtık parametreleri ile ilgili olarak kendi uzamsal dağılımı hakkında ön bilgi genellikle bu dağıtılmış parametrelerin bazı türevlerinin hakkında bilgi oluşur. Ayrıca, yaygın bir uygulama makul verilerine uyup uymadığını "en basit" modeli aramaya, biraz yapay rağmen vardır. Bu genellikle elde edilir bir ceza norm gradyanı (ya da toplam varyasyonun (bu yaklaşım aynı zamanda entropi maksimize olarak adlandırılır) parametre). O tanıttı özgürlük dereceleri yalnızca gerekli bir zamanda bir parametreyle aracılığıyla modeli basit yapabilirsiniz. ${\ Displaystyle L ^ {1}}$

Ek bilgiler de model parametreleri veya bazıları fonksiyonları üzerine eşitsizlik kısıtlamaları yoluyla entegre edilebilir. Böyle kısıtlamalar (örneğin negatif değerler) gerçekçi olmayan parametrelerinin değerlerini önlemek için önemlidir. Bu durumda model parametreleri tarafından yayılan kapasitesi artık bir vektör uzayı ama olacak kabul modellerin alt kümesi ile gösterilir devam filminde. ${\ Displaystyle P_ {ADM}}$

Araçlar ikinci zorluğu aşmak için

Yukarıda belirtildiği gibi, gürültü bizim ölçümler Elimizde veri üreten bir model için bakmak değil, bakmak olamaz böylece, herhangi bir modelin görüntü olmayacağı şekilde olabilir en iyi (veya optimal) modeli olduğunu, iyi bu bir: verileri eşleşir. Bu potansiyel müşteriler bize bir aza indirmek için objektif fonksiyonu yani, işlevsel olduğunu rakamlarla ne kadar büyük kalıntılar olan ya da ne kadar tahmin edilen veriler gözlenen verilerden bulunmaktadır. Tabii ki, biz mükemmel verileri (yani gürültü) olduğunda o modeli mükemmel gözlenen veri sığdırmak gerekir iyileşti. Standart bir amaç fonksiyonu, , şu şekildedir: bazı ${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle \ varphi (p) = \ | Fp-d_ {atıl} \ | ^ {2} \}$

nerede Öklit norm (olacak norm artıkların ölçümleri fonksiyonları yerine numuneleri olduğunda). Bu yaklaşım yararlanarak tutarındaki en küçük kareler , yaygın istatistikte kullanılan bir yaklaşım. Örneğin, başka uzaklıklar kullanılarak düşünebilirler bu zorluğu önlemek için: Ancak, Öklid norm aykırı karşı çok hassas olduğu bilinir değiştirilmesi halinde, norm norm. ${\ Displaystyle \ | \ | \,}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle L ^ {1}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$

Bayes yaklaşımı

Çok benzer en az kareler yaklaşım, olasılıksal bir yaklaşımdır: Biz kirlerin veri, biz maçları model olduğunu, büyük olasılıkla modelin m arayan düsünebilirz gürültü istatistiklerini biliyorsanız maksimum olabilirlik kriterini . Gürültü, Gauss , bir en küçük kareler kriter olarak maksimum benzerlik ölçütü görünür, veri alanı Öklid skalar çarpım kapsayan bir Skalar çarpımın yerini ko-varyans gürültü. Ayrıca, model parametreleri üzerinde ön bilgi mevcut olmalıdır, kullandığımız düşünebildiğim Bayes çıkarımı ters problemin çözümünü formüle etmek. Bu yaklaşım tarantola kitabında ayrıntılı olarak açıklanmıştır.

Bizim temel Örneğin sayısal çözümü

Burada veri misfits ölçmek için Öklit norm faydalanmak. Biz doğrusal ters sorunla başa çıkmak üzere, amaç fonksiyonu kuadratik olduğunu. Onun en aza indirilmesi için, (sadece bir değişken bir fonksiyonu en aza indirmek için gerektiği gibi) aynı mantığını kullanarak gradyanı hesaplamak için klasiktir. Optimal bir model de , bu gradyan yok olur olarak yazılabildiği: ${\ Displaystyle p_ {tercih}}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {s} \ varphi = 2 (F ^ {\ mathrm {T}} Fp_ {tercih} -F ^ {\ mathrm {T}} d_ {obs}) = 0 \}$

burada K ^{, T} anlamına gelir matris devrik arasında F . Bu denklem için kolaylaştırır:

${\ Displaystyle f ^ {\ mathrm {T}} Fp_ {tercih} = f ^ {\ mathrm {T}} d_ {gözl} \}$

Bu ifade olarak bilinir , normal denklemi ve bize ters soruna olası bir çözüm sunar. Örneğimizde matrisi olarak markaları anlamda yukarıdaki denklem ve benzersiz modeli parametreleri belirler, böylece genel olarak tam rütbe olarak çıkıyor: Biz benzersiz bir çözüm ile biten için ek bilgiler entegre gerekmez. ${\ Displaystyle f ^ {\ mathrm {T}} K}$

Matematiksel ve hesaplama açısından

Aksine Ters problemler genellikle hasta ortaya atılıyor iyi yapılmış problemlerin genellikle matematiksel modelleme buluştu. Bir üç koşulların yanı sıra ortaya çıkan bir sorun önerdiği Jacques Hadamard (varlığı ve tekliği ve çözelti veya çözeltilerin kararlılık) denge durumu genellikle ihlal edilmektedir. Anlamında fonksiyonel analiz , ters problem arasında bir eşleme ile temsil edilir metrik boşluklar . Ters problemler çoğu zaman sonsuz boyutlu uzayda formüle edilir iken, ölçümlerin sonlu sayıda ve bilinmeyen parametreler yalnızca sınırlı sayıda geri kazanılmasını pratik dikkate, sınırlamalar katı formda yeniden şekillendirilmesi olan problemlere yol açabilir. Bu durumda ters sorun genellikle olacak kötü koşullanmış . Bu durumlarda, düzenlilestirme çözüm üzerinde hafif varsayımları tanıtmak ve önlenmesi için kullanılabilir aşırı oturma . Regularized ters problemlerin çoğu bunun örnekleri özel durumlarda olarak yorumlanabilir Bayes çıkarsama .

optimizasyon probleminin sayısal çözümü

Bir grubu vardır, bazı ters problem, örneğin, çok basit bir çözüm unisolvent işlevler bir dizi anlamına gelen, en değerlendirerek böyle fonksiyonlar farklı noktaları kümesi elde edilir lineer bağımsız vektörler. Bu fonksiyonların bir lineer kombinasyonu verilen bu araçlar, katsayıları matrisinin sütun gibi vektörler düzenlenmesi ve bu matrisi çevrilmesi ile hesaplanabilir. Unisolvent fonksiyonların en basit örneği polinomları kullanılarak inşa edilir unisolvence teoremi çok unisolvent olacak şekilde. Somut olarak, bu çevrilmesi ile yapılır Vandermonde matrisi . Ama bu çok özel bir durum. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$

Genel olarak, bir ters problemin çözümü sofistike optimizasyon algoritmaları gerektirir. Model, normal denklem ile ilişkili lineer sistem çözme parametrelerin çok sayıda (bir milyar bazı kırılma tomografi uygulamalarında bulunan bilinmeyen sayısı), tarafından tarif edilen zaman hantal olabilir. Optimizasyon problemi çözmek için kullanılacak olan sayısal yöntem çözeltisi hesaplanması için gerekli olan maliyet özellikle de bağlıdır düz problem. (Matris zaman yeterli değildir olabilir basit bir matris vektör çarpımı ileri sorunun çözümü için uygun bir algoritma seçilen bir kez büyük), minimizasyonu gerçekleştirilmesi için uygun olan bir algoritma doğrusal sistemlerin çözümü için sayısal yöntemler ile ilgili ders kitaplarında bulunabilir ve ikinci dereceden fonksiyonların minimizasyonu için (örneğin Ciarlet veya Nocedal için bakınız). ${\ Displaystyle Fp}$${\ Displaystyle F}$

Ayrıca kullanıcı modellere fiziksel kısıtlamaları eklemek isteyebilirsiniz: bu durumda onlar aşina olmak zorunda kısıtlı optimizasyon yöntemlerinde , başlı başına bir konu. Tüm durumlarda, amaç fonksiyonunun gradyanı işlem genellikle optimizasyon sorununun çözümü için önemli bir unsurdur. Yukarıda sözü edildiği gibi, bir dağıtılmış parametre uzamsal dağılımı hakkında bilgi parametreye yoluyla sokulabilir. Bir de optimizasyon sırasında bu parametrelerle ifadesini adapte düşünebilirsiniz.

Amaç fonksiyonu Öklit norm dışında bir norm dayanmalıdır, biz ikinci dereceden optimizasyon bölgeyi terk etmek zorunda. Sonuç olarak, optimizasyon problemi daha zorlaşır. Özellikle, norm miktarının için kullanılan veri amaç fonksiyonu artık ayırt edilebilirdir yanlış oturması: onun degrade artık mantıklı değil. Olmayan türevlenebilir optimizasyonundan Adanmış yöntemleri (örneğin Lemaréchal için bakınız) gelir. ${\ Displaystyle L ^ {1}}$

Bir kez, optimum modeli bilgisayarlı biz soruyu ele almak zorunda: "Biz bu modeli güvenebilirim?" Verileri "neredeyse yanı" olarak bu modeli maç modellerin kümesi ne kadar büyük olduğu şu şekildedir: soru formüle edilebilir. Kuadratik amaç fonksiyonları durumunda, bu seti bir hiper-elipsin bulunan, bir alt kümesidir ( gürültü düzeyde olduğunu, boyutu biz "neredeyse de" ile ne anlama bağlıdır, bilinmeyenlerin sayı). (Bu elipsoidinin büyük ekseninin yönü özvektörü matris en küçük Özdeğer ile ilişkili ) kötü belirlenen bileşenlerin yönü şudur: Bu yönünü takip, biz önemli ölçüde nesnel değerini değiştirmeden modeline güçlü bir karışıklığa getirebilir fonksiyonu ve dolayısıyla önemli ölçüde farklı bir yarı optimal model ile sonuna kadar. Biz açıkça sorusuna "Biz bu modeli güvenebilirim" cevabı gürültü düzeyine göre ve özdeğerler tarafından yönetilir görüyoruz Hessian tarafından, hiçbir regularization entegre edilmiş durumda, amaç fonksiyonu veya eşdeğer tekil değerler matris . Tabii ki, regularization (veya öncesinde diğer bilgi türden) kullanılması da, biz bilgisayarlı çözeltide koyabilirsiniz güveni arttırır, neredeyse optimal bir çözüm kümesinin boyutunu küçültür ve. ${\ Displaystyle {R} ^ {M}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle f ^ {T} K}$${\ Displaystyle F}$

Sonsuz boyutta stabilitesi, düzenliliği ve modeli ayrıklaştırılması

Biz dağıtılmış parametrenin kurtarma burada odaklanır. Dağıtılmış parametrelere ararken biz bu bilinmeyen fonksiyonlarını ayrıklaştırılabilir gerekiyor. Aksi takdirde, bir şeyin sonlu sorunun boyutunu azaltır. Ama şimdi sorun şudur: bir orada biz hesaplamak çözümü ve ilk sorunun biri arasında herhangi bir bağlantı? Sonra başka bir soru: Biz ilk sorunun çözümü ile ne anlama geliyor? Bir veri sonlu sayıda bilinmeyen bir sonsuz tespitine izin vermediği için, orijinal veri fonksiyonel yanlış oturması çözeltisi benzersiz olmak için tanzim edilmiş olması gerekir. Sonlu boyutlu uzayda bilinmeyenler azaltarak Çoğu zaman, yeterli bir düzene bağlama sağlayacaktır: bilgisayarlı çözüm aradığımız çözümün bir ayrık versiyonu gibi bakacağız. Örneğin, bir naif ayrıklaştırma çözümü için sık sık iş olacaktır Dekonvolüsyonun sorunu: Bu sürece biz sayısal çözümde gösterilmesini frekansları eksik izin vermez olarak çalışacaktır. Defalarca Ama düzenlileştirmeye amaç fonksiyonunda açıkça entegre edilmelidir.

neler olabileceğini anlamak için, öncelikle tür Fredholm integral denklemi çözmek için böyle bir doğrusal ters problem miktarını çözme akılda tutmak gerekir:

${\ Displaystyle d (x) = \ int _ {\ Omega} K (x, y) p (y) dy}$

burada çekirdek olup, ve vektörleridir ve bir alan olup . Bu 2D uygulaması için de geçerlidir. 3D uygulaması için, düşünün . Burada model parametreleri bu Not bir fonksiyonun bir model ve tepkisi de gösterilen bir fonksiyonu oluşur oluşur . Bu denklem matris denklemi sonsuz boyutuna bir uzantısıdır ayrık sorunlar durumunda verilen. ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ Omega}}$${\ Displaystyle {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle X, y \ {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle D (x)},$${\ Displaystyle d = Fp}$

Yeteri kadar düzgün için yukarıda tanımlandığı operatörü kompakt uygun üzerinde Banach boşluklar gibi . F. Riesz teorisi gibi bir operatörün tekil değerler kümesi sıfır (bir boşlukla alanı dolayısıyla varlığını) içeren durumları, bu son durumda, bu sıfıra gider bir sekans oluşturan, sonlu veya en sayılabilir olan ve . Simetrik bir çekirdeğin durumda, özdeğerler bir sonsuz, ve bununla ilgili özvektörler bir hilbertian temelini oluşturmaktadır . Bu nedenle, bu denklemin bir çözelti, tekil değerlerin sonsuz durumunda, boş uzayda bir katkı maddesi işlevi kadar belirlenir ve, (keyfi bir eigen devrik içerir) çözeltisi kararsız: solüsyon yapmak, iki katkı maddesi Bu integral denklemi tipik kötü poz problem! Ancak yoluyla bir çözüm tanımlayabilir yalancı-tersine (tekrar rasgele bir katkı maddesi işlevi) öne doğru haritanın. İleri haritası kompakt olduğunda, klasik Tikhonov regülarizasyonu biz belirten öncesinde bilgi entegre etmek için kullanırsak çalışacak bu ters sorun iyi poz yapacaktır: çözümün normu mümkün olduğunca küçük olmalıdır. Oysa, sonlu boyut örneğinde olduğu gibi, biz bilgisayarlı çözeltide koyabilirsiniz güven sorgulamaya var. Yine, temelde, Hessen operatörün özdeğerler bilgi yatıyor. Küçük özdeğerler ile ilişkili özvektörler içeren alt uzaylar çözümünü hesaplamak için araştırdı halinde, o zaman çözüm pek güvenilir biri: bileşenlerinin bazı kötü belirlenecektir. Küçük özdeğer Pyatnitskiy düzenlenmesine dahil ağırlığına eşittir. ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$

Düzensiz çekirdekleri kompakt ve hatta olmayan bir ileri harita verebilir sınırsız biz safça ile modellerin yer donatmak eğer norm. Bu gibi durumlarda, Hessen sınırlı bir operatör ve artık mantıklı değil özdeğerinin kavramı değildir. Bir matematiksel analiz bunu bir hale getirmek için gerekli olan sınırlı operatörü ve iyi sağlama sorununu tasarım:. Bir gösterimi de yine bulunabilir, biz bilgisayarlı çözeltide koyabilirsiniz güven sorgulamaya var ve biz Özdeğer kavramını genelleme zorunda cevap almak için.${\ Displaystyle L ^ {2}}$

Hessian operatörün spektrumunun analizi, bu şekilde hesaplanan çözüm ne kadar güvenilir belirlemek için önemli bir unsurdur. Ancak, bu tür bir analiz genellikle çok ağır bir iştir. Bu, bilinmeyen fonksiyonun bütün bileşenleri fakat sadece doğrusal bir operatör tarafından bilinmeyen fonksiyonun görüntüleri olan alt bilinmeyenler ilgilenen değildir durumda alternatif yaklaşımları araştırmak için çeşitli yazarlar yol açmıştır. Bu yaklaşımlar "Backus ve Gilbert yöntemi" olarak adlandırılan Lions 'ın nöbetçi, yaklaşım ve SOLA yöntemiyle: bunlar kuvvetle ilişkili olduğu ortaya çıktı yaklaşımlar birbirleriyle Nihayet, kavramı Chavent açıklandığı şekilde sınırlı çözünürlük , genellikle çağrılan fizikçiler tarafından, hiçbir şey ama aslında bazı zayıf belirlenen bileşenler bozabilir çözüm belirli bir görünümüdür. Ama, genel anlamda modelin bu kötü belirlenen bileşenler zorunlu olarak yüksek frekanslarda ile ilişkili değildir.

dağıtılmış parametrelerin tekrar ortaya çıkarılması için bazı klasik doğrusal ters problemler

Sorunlar Fredholm integral farklı versiyonlarına tekabül aşağıda belirtilen: Bunların her biri belli bir çekirdek ile ilişkilidir . ${\ Displaystyle K}$

Dekonvolüsyon

Hedefi deconvolution orijinal resim veya sinyalin yeniden kurulması için olan verilere gürültülü ve bulanık olarak görünür . Görünümünde bir matematiksel açıdan, çekirdek burada sadece arasındaki farkın bağlıdır ve . ${\ Displaystyle, p (x)}$${\ Displaystyle D (x)},$${\ Displaystyle K (x, y)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

tomografik yöntemler

Bir dağıtılmış parametre geri kazanılması en girişimi bu yöntemler, bu parametrenin entegrallerinin ölçümünde oluşan gözlem hatları bir aile boyunca gerçekleştirilir. Biz tarafından ifade ölçüm noktası ile ilişkili bu ailede hattı . Gözlem kutu bu şekilde aşağıdaki gibi yazılabilir: ${\ Displaystyle {\ Gama _ {x}}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle d (x) = \ int _ {\ Gama _ {x}} ağırlık (x, y) (p y) \, ds}$

burada boyunca yay uzunluğu olan ve bilinen bir ağırlık fonksiyonu. Yukarıdaki Fredholm integrali ile bu denklemi karşılaştırarak, biz çekirdek fark tür bir taşımaktadır delta fonksiyonu hattında zirveleri olduğunu . Böyle bir çekirdeğe sahip, ileri haritası kompakt değildir. ${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle {\ Gama _ {x}}}$${\ W displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle K (x, y)}$${\ Displaystyle {\ Gama _ {x}}}$

Bilgisayarlı tomografi

Gelen bilgisayarlı tomografi X-ışını parametresi entegre edildiği hatlar düz çizgiler şunlardır: tomografik yeniden parametre dağılımı arasında dönüşümünü esas almaktadır Radon dönüşümü . Teorik bir bakış açısından bir çok doğrusal ters problemler iyi anlaşılmış olmasına rağmen, Radon içeren problemleri dönüşümü ve hala genellemeler halen çözülmemiş veri yeterliliği sorular ile mevcut çok sayıda teorik zorluklar. Bu tip sorunlar, tensör alanlarına dönüşümü, x-ışını üç boyutta ve X-ışınını genelleme ile ilgili sorunları dönüşümü için eksik veri içerir. Araştırdı Çözümler dahil Cebirsel Yeniden Tekniği , süzülmüş geriye projeksiyon ve işlem gücü artmıştır olarak, tekrarlı rekonstrüksiyon gibi yöntemler iteratif Seyrek Asimptotik Asgari Varyans .

kırınım tomografi

Kırınım tomografi araştırması sismolojide klasik bir doğrusal ters problemdir: belirli bir kaynak-alıcı çifti için bir kez kaydedilmiştir genlik noktalarından kaynaklanan katkılarının toplamı, öyle ki kaynak ve gelen traveltimes ölçülen mesafeleri, toplamı, alıcı, sırasıyla karşılık gelen kayıt süresi eşittir. 3B parametre hattı boyunca, ancak yüzeyler üzerinde entegre değildir. Yayılma hızı sabit olması halinde, bu noktalar, elipsoit dağıtılmaktadır. Ters problemler anket boyunca kaydedilir sismogram noktaları kırıcı dağılımını almak oluşur, hız dağılımı bilinir. Doğrudan bir çözelti başlangıçta tarafından önerilen Beylkin ve Lambare et al .: bu işler genlik korunmuş göç (Beylkin ve Bleistein bakınız) olarak bilinen yaklaşımları için başlangıç noktalarını edildi. Geometrik optik teknikleri (örneğin gerekir ışınları ) dalga denklemini çözmek için kullanılabilir, bu yöntemler, yakın olarak adlandırılan en küçük karelere (Lailly, Tarantola bakınız) yaklaşımı en küçük kareler türetilen taşıma yöntemleri ile ilgili olduğu ortaya açın.

Doppler tomografi (astrophysics)

Biz dönen yıldız nesneyi ele alırsak, bir spektral profilde gözlemleyebilirsiniz spektral çizgiler doppler etkisine bağlı kaydırılır. yıldız bir atmosfer (periyodik dönme hareketi radyal hızının bir fonksiyonu olarak ve faz) yayınının bir 2D görüntü içine nesnenin spektral izlenmesi içinde ihtiva edilen bilgi dönüştürme Doppler tomografi amaçlamaktadır. Biz kayıtları etkilerini üretmek için hatlar boyunca entegre edilmiş bir dağıtılmış parametre kurtarmak için vardır: Marsh açıklandığı gibi gibi, bu doğrusal ters problem tomografi olan.

Lineer olmayan ters problemler

Doğrusal olmayan ters problemler ters problemlerin doğası gereği daha zor ailesini oluşturmaktadır. İşte ileri haritası doğrusal olmayan bir operatörüdür. Fiziksel fenomenlerin modellenmesi genellikle kısmi diferansiyel denklemin çözümü dayanır (yerçekimi kanunun dışında yukarıdaki tabloya bakın): Bu kısmi diferansiyel denklemler genellikle doğrusal olmasına rağmen, bu denklemlerde görünen fiziksel parametreler arasında doğrusal olmayan bir şekilde bağlıdır sistemin devlet ve bu nedenle gözlemlere bunun üzerinde yapmak. ${\ Displaystyle F}$

Bazı klasik doğrusal olmayan ters problemler

Ters saçılma problemleri

Lineer ters problem tamamen on dokuzuncu yüzyılın sonunda Teorik açıdan gelen çözüldü ise, doğrusal olmayan ters problemlerin sadece bir sınıf, 1970 yılından önce, böylece olduğu ters spektral ve (bir boşluk boyutu) ve saçılma problemlerinin ters seminal sonra, Rus matematiksel okul (işi Krein , Gelfand , Levitan, Marchenko ). Sonuçların büyük bir yorumu kendi kitabında "Kuantum Saçılma Teorisi Ters Problemler" (İngilizce iki sürümleri, Rusça bir) içinde Çadaana ve Sabatier verilmiştir.

Bu tür sorun, veri saçılma tarif lineer operatörün spektrum özellikleri vardır. Tayfı yapılmıştır özdeğerler ve özfonksiyonlar sürekli spektrum adı "ayrı spektrumu" ve genellemeler birlikte oluşturulması. Çok dikkat çekici fiziksel nokta saçılma deneyler sadece sürekli spektrum üzerinde bilgi verir olduğunu ve bunun tam spektrum bilerek saçılma operatörü geri kazanılması için gerekli ve yeterli olduğu. Dolayısıyla biz çok daha doğrusal ters problemler benzer bir özelliği vardır sıfır uzayı daha ilginç, görünmez parametrelere sahip. Buna ek olarak, bu tür bir operatörün spektrumu örneğin hareketinin bir sonucu olarak muhafaza edildiği fiziksel hareketler vardır. Bu olgu, örneğin özel doğrusal olmayan kısmi diferansiyel evrim denklemleri ile yönetilen Vries Korteweg-de denklemi . Operatörün spektrumu tek özdeğerine azaltılırsa, karşılık gelen hareket bu sabit bir hızda ve deforme olmadan yayılır, bir tek dalga "olarak adlandırılan bir tek yumru olan soliton ".

Mükemmel bir sinyal ve Vries Korteweg-de denklemi veya diğer integrallenebilirdir doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler için onun genellemeler birçok olası uygulamaları ile büyük bir ilgi konusudur. Bu alan 1970'lerden beri matematiksel fizik dalı olarak incelenmiştir. Doğrusal olmayan ters problemler de halen uygulamalı bilimin birçok alanda incelenir (akustik, mekanik, kuantum mekaniği, elektromanyetik saçılma - özellikle radar sondaj, sismik sondaj ve neredeyse tüm görüntüleme yöntemleri olarak).

İle ilgili son bir örneği, Riemann hipotezi Wu ve Yaylı tarafından verilen, bir fikir olarak olmasıdır yarı klasik eski kuantum Hamiltonyenin içinde potansiyel ters orantılı olan yarı türevi özdeğerler (enerjiler) sayma fonksiyonu  N ( x ).

Petrol ve gaz rezervuar geçirgenlik uygun

Amaç içinde difüzyon katsayısını kurtarmak için parabolik kısmi diferansiyel denklemi modelleri tek fazlı akışkan gözenekli ortamda akar. Bu sorun öncü çalışmaları erken yetmişli yürütülen beri birçok çalışmanın konusu olmuştur. Önemli bir problem, iki faz akımlarının ilgili nispi geçirgenlik ve kılcal basınçlar tahmin etmektir.

Dalga denklemlerinin ters çözümün

Hedef dalga hızı (P ve S dalgaları) ile gelen yoğunluk dağılımları kurtarmak için sismogram . Böyle ters problemler sismolojide asal ilgi çekmektedir. Temel olarak iki matematiksel modeller düşünebiliriz:

• Akustik dalga denklemi (alan boyutları 2 ya da 3 olduğu zaman ki burada S dalgaları yok sayılır)
• Elastodinamik denklem ki burada P ve S hızları elde edilebilir dalga Lamé parametreleri ve yoğunluk.

Bu temel hiperbolik denklemler dahil ederek yükseltilebilir zayıflama , anizotropi , ...

1D dalga denklemi ters problemin çözümü çok çalışmanın konusu olmuştur. Biz çözümün benzersizliğini kanıtlayabileceğiniz çok az doğrusal olmayan ters sorunlardan biridir. çözeltinin stabilitesi analizi başka bir sorun olmuştur. en az kareler yaklaşımı kullanarak pratik uygulamalar, geliştirilmiştir. 2D veya 3D sorunlara ve Elastodinamik denklemlerine Uzatma 80'den beri teşebbüs ama çok zor olduğu ortaya çıktı edildi! genellikle Tam Dalga Formu Inversion (FWI) olarak anılacaktır Bu sorun, henüz tam olarak çözülmüş değildir: temel sorunlardan bir tanesi veri uyumsuz fonksiyonunun kaotik bir davranıştır. Bazı yazarlar veri uyumsuz işlevinden daha objektif fonksiyonu az kaotik hale getirecek kadar ters sorunu yeniden formüle olasılığını araştırdık.

Seyahat zamanı tomografi

Dalga denklemde ters problem ne kadar zor olduğunu fark, sismologlar geometrik optik basitleştirilmiş yaklaşım yapma kullanımını araştırmıştır. Özellikle, sismogramlarında gözlenen dalga cephelerinin varış süreleri bilerek yayılma hızı dağıtımı için tersini hedefleyen. Bu dalga cepheleri doğrudan gelenler ya da geometrisi birlikte hız dağılımı ile, belirlenecek olan reflektörler ile ilgili yansımalar ile bağlantılı olabilir.

Varış süresi dağılımı ( nokta kaynağından tatmin verilen bir dalga cephesinin fiziksel alan bir nokta) Eikonal denklemi  : ${\ Displaystyle {\ tau} (x)},$${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle \ | \ nabla {\ tau} (x) \ | = s (x)},$

burada belirtmektedir yavaşlık dağılımı (hız karşılıklı). Varlığı , bu denklem, doğrusal olmayan hale getirir. Klasik olarak çekim ile çözülmektedir ışınları nokta kaynağından (varış zamanı sabit olduğu ilgili yörüngeleri). ${\ Displaystyle s (x)},$${\ Displaystyle \ | \ |}$

Bu sorun gibi tomografi geçerli: Ölçülen varış süreleri yavaşlık ışın-yolu boyunca integrali vardır. Ama sorun gibi bu tomografi bilinmeyen ışın yolu geometrisi hızı (veya yavaşlama) dağılımına bağlıdır, çünkü esas doğrusal değildir. onun lineer olmayan karakteri rağmen, zaman-tomografisi, Bölüm "Kırınım özel olarak bahsedilen yöntemler kullanılarak içinde, ikinci yönü, sismik görüntüleme için önemli bir unsur olarak Earth veya yeraltı yayılma hızını belirlemek için çok etkili olduğu ortaya çıktı tomografi".

Matematiksel açıdan: Hadamard soruları

Soruları endişe İyi posedness: en küçük kareler problemi verileri (stabilite problemi) sürekli değişir benzersiz bir çözüm var mı? İlk soru, ama aynı zamanda nedeniyle doğrusal olmama zor olanıdır . Zorluklar ortaya yeri görmek için, Chavent kavramsal iki ardışık adımlarla (içine veri uyumsuz fonksiyonunun minimize bölmek için önerilen olan kabul edilebilir modellerin alt kümesi): ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle P_ {ADM}}$

• yansıtma adımı: verilen bir projeksiyon bulmak (en yakın noktaya amaç fonksiyonunun tanımı uzaklığa göre)${\ Displaystyle d_ {atıl}}$${\ Displaystyle F (P_ {adm})}$${\ Displaystyle F (P_ {adm})}$
• Bu projeksiyon görüntüsü, operatör tarafından bir modeldir bir ön-görüntü bulmak verilen bu projeksiyonu.${\ Displaystyle F}$

Zorluklar - ve genellikle olacak - Her iki adımda ortaya çıkar:

1. Operatör , bu nedenle daha fazla bir ön resimden daha olabilir, muhtemelen bire-bir olmak değil${\ Displaystyle F}$
2. bile bire-bir ise, kendi ters sürekli fazla olmayabilir ,${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F (P)}$
3. üzerinde projeksiyon olmayabilir, bu seti kapalı değil edilmelidir${\ Displaystyle F (P_ {adm})}$
4. çıkıntı bağlı olmayan doğrusal bu dışbükey olabilir olmayan eşsiz ve sürekli olmayan olabilir .${\ Displaystyle F (P_ {adm})}$${\ Displaystyle F}$

Biz bu noktaların matematiksel bir analiz için Chavent bakın.

Hesaplamalı yönleri

Bir dışbükey veri uyumsuz işlevi

Doğrusal olmayan varlık ileri haritası, veri uyumsuz fonksiyon olasılıkla yerel minimizasyon teknikleri verimsiz hale olmayan dışbükey olmaktır. Çeşitli yaklaşımlar bu zorluğu aşmak için incelenmiştir:

• Bu tür arka yoğunluk fonksiyonu ve örnekleme küresel optimizasyon tekniklerinin kullanımı Metropolis algoritması ters problem olasılıksal çerçeve, genetik algoritmalar (tek başına veya Metropolis algoritması ile kombinasyon halinde: Mevcut geçirgenliği verileri eşleşen geçirgenlik belirlenmesi için bir uygulama için bakınız) , sinir ağları, çoklu çaplı analizi de dahil olmak üzere düzenlileştirme teknikleri;
• en küçük kareler fonksiyonunun yeniden formüle çok daha pürüzsüz (dalga denklemleri ters sorunu için bkz.) olmak üzere

amaç fonksiyonunun gradyanı hesaplanması

Özellikle, sonsuz boyutta ters problemler, bu şekilde önemli hesaplama süresi gerektiren büyük boyutta olabilir. İleri haritası doğrusal olmayan olduğunda, hesaplama zorluklar artırmak ve objektif fonksiyonu minimize zor olabilir. Hessen matris modelleri ile değişir: doğrusal durum burada mantıklı değil, normal denklemlerin çözümü için Hessian matrisinin açık bir kullanım aksine. Çok daha etkili bazı modeller için amaç fonksiyonunun eğim değerlendirmesidir. Biz çok büyük hesaplama önleyebilirsiniz zaman Önemli hesaplamalı çaba kaydedilebilir Jacobi (genellikle sözde " Fréchet türevleri "): eşlenik devlet yönteminin, Chavent ve Lions tarafından önerilen, bu çok büyük hesaplama önlemek hedeflenmiştir. Şimdi çok yaygın olarak kullanılmaktadır.

Uygulamalar

Gürültülü tanı kalınlığı yorumlanırken Ters problemler sık ​​bilimlerde karşılaşılır. ters problemi çözmek sonra yorumlamak ve verileri anlamak ölçümlerden anlam ve güvenilir için ayıklamak için esastır. Ters sorun teorisi hava tahminleri, oşinografinin, hidroloji ve petrol mühendisliği yaygın olarak kullanılır.

Ters problemler ayrıca bir yüzey ısı akışı katı bir gövde içinde ölçülen sıcaklık verileri giden tahmin edilmektedir ısı transferi, alanında bulunurlar. Lineer ters problem, aynı zamanda, temel olan spektral tahminde ve yön geliş (DOA) tahmini olarak sinyal işleme .

Ayrıca bakınız

• atmosferik sondaj
• Backus-Gilbert yöntemi
• Bilgisayarlı tomografi
  • Cebirsel rekonstrüksiyon tekniği
  • Filtreli film geri
  • İteratif rekonstrüksiyon
• Veri asimilasyon
• Mühendislik optimizasyonu
• Gri kutu modeli
• Matematiksel jeofizik
• Optimal tahmin
• Sismik inversiyon
• Tikhonov regülarizasyonu
• Sıkıştırılmış algılama

Akademik dergiler

Dört ana akademik dergiler genelde ters problemleri kapsamaktadır:

• Ters problemler
• Inverse ve Kötü poz Sorunları Dergisi
• Bilimi ve Mühendisliği Ters Problemler
• Ters Problemler ve Görüntüleme

vb tıbbi görüntüleme, jeofizik, tahribatsız testler, üzerinde pek çok dergi bu alanlarda ters problemler hakimdir.

Referanslar

Referanslar

• Çadaana Khosrow ve Sabatier Pierre Célestin (1977). Kuantum Saçılma Teorisinde Ters Problemler . Springer-Verlag. ISBN  0-387-08092-9
• Aster, Richard; Borchers, Brian ve Thurber Clifford (2018). Parametre Tahmini ve Ters Problemler , Üçüncü Baskı, Elsevier. ISBN  9780128134238 , ISBN  9780128134238
• Basın, WH; Teukolsky, SA; Vetterling WT; Flannery, BP (2007). "Bölüm 19.4. Ters Problemler ve A Priori Bilgilerin Kullanımı" . Sayısal Tarifler: Bilimsel Hesaplama Sanat (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

daha fazla okuma

• CW GROETSCH (1999). Ters Problemler: Lisans Öğrencileri için Etkinlikler . Cambridge University Press. ISBN 978-0-88385-716-8.

Dış bağlantılar

• Ters Problemler Uluslararası Birliği
• Ters Sorunları Avrasya Birliği
• Fin Ters Problemler Derneği
• Ters Problemler Ağı
• [ Http://www.ipgp.jussieu.fr/~tarantola/ Albert tarantola web sitesini, dahil
• Ters Problemler Alabama Üniversitesi'nde sayfa onun Ters Problem Teorisi kitabın ücretsiz bir PDF versiyonunu uding ve Ters Problemler bazı online makaleleri]
• Ters Problemler ve Jeoistatistik Projesi , Niels Bohr Enstitüsü, Kopenhag Üniversitesi
• Andy Gänse en Jeofizik Ters Teorisi Kaynaklar Sayfası
• Ters Problemler Araştırma Mükemmellik Fin Merkezi