Gri kutu modeli - Grey box model
Gelen matematik , istatistik ve sayısal modelleme , bir gri kutu modeli modeli tamamlamak için veri ile kısmi teorik yapı birleştirir. Teorik yapı, sonuçların düzgünlüğü hakkındaki bilgilerden, verilerden veya mevcut literatürden yalnızca parametre değerlerine ihtiyaç duyan modellere kadar değişebilir. Bu nedenle, neredeyse tüm modeller, hiçbir model formu varsayılmayan kara kutu veya tamamen teorik olan beyaz kutu modellerinin aksine gri kutu modelleridir . Bazı modeller, doğrusal regresyon veya sinir ağı gibi özel bir biçim alır . Bunların özel analiz yöntemleri vardır. Özellikle doğrusal regresyon teknikleri, doğrusal olmayan tekniklerin çoğundan çok daha etkilidir. Model , planlanan kullanımına bağlı olarak deterministik veya stokastik (yani rastgele bileşenler içeren) olabilir.
Model formu
Genel durum, kısmi bir teorik yapıya ve verilerden türetilen bazı bilinmeyen kısımlara sahip doğrusal olmayan bir modeldir . Farklı teorik yapılara sahip modellerin, muhtemelen benzetilmiş tavlama veya genetik algoritmalar kullanılarak ayrı ayrı değerlendirilmesi gerekir .
Belirli bir model yapısı içinde, parametrelerin veya değişken parametre ilişkilerinin bulunması gerekebilir. Belirli bir yapı için verinin, besleme vektörleri f kümelerinden , ürün vektörlerinden p ve çalışma koşulu vektörlerinden c oluştuğu varsayılır . Tipik olarak c , diğer değerlerin yanı sıra f'den çıkarılan değerleri içerir. Çoğu durumda bir model, formun bir işlevine dönüştürülebilir:
- m (f, p, q)
Burada m vektör fonksiyonu , p verisi ve model tahminleri arasındaki hataları verir . Q vektörü , modelin bilinmeyen kısımları olan bazı değişken parametreleri verir.
Q parametreleri , belirlenecek şekilde c çalışma koşullarına göre değişir . Bu ilişki q = Ac olarak belirtilebilir, burada A bilinmeyen katsayıların bir matrisidir ve doğrusal regresyonda olduğu gibi c sabit bir terim ve orijinal çalışma koşulları ile q arasında doğrusal olmayan ilişkiler elde etmek için orijinal çalışma koşullarının muhtemelen dönüştürülmüş değerlerini içerir. . Bu durumda, A'daki hangi terimlerin sıfır olmadığı ve bunların değerlerinin atanmasının seçilmesi meselesidir . Model tamamlama , veriler üzerindeki hata terimlerini m (f, p, Ac) en aza indiren A'daki sıfır olmayan değerleri belirlemek için bir optimizasyon problemi haline gelir .
Model tamamlama
Sıfır olmayan bir değer seçimi yapıldıktan sonra, kalan katsayıları A minimize belirlenebilir m ( f , s , Ac ), sıfır olmayan değerlerine göre veriler üzerinde A tipik haliyle, doğrusal olmayan en küçük kareler . Sıfır olmayan terimlerin seçimi, benzetilmiş tavlama ve evrimsel algoritmalar gibi optimizasyon yöntemleriyle yapılabilir . Ayrıca doğrusal olmayan en küçük kareler , sıfırdan önemli ölçüde farklı olup olmadıklarını belirlemek için kullanılabilen A'nın elemanları için doğruluk tahminleri sağlayabilir , böylece bir terim seçimi yöntemi sağlar .
Bazen her veri seti için q değerlerini doğrudan veya doğrusal olmayan en küçük kareler ile hesaplamak mümkündür . Daha sonra, c'yi kullanarak q'yu tahmin etmek için daha verimli doğrusal regresyon kullanılabilir, böylece A'daki sıfır olmayan değerler seçilir ve değerleri tahmin edilir. Sıfır olmayan değerler yerleştirildikten sonra, bu değerleri iyileştirmek için orijinal model m (f, p, Ac) üzerinde doğrusal olmayan en küçük kareler kullanılabilir .
Üçüncü bir yöntem, doğrusal olmayan m'yi ( f , p , Ac ) , verimli terim seçimi ve doğrusal regresyon değerlendirmesi kullanılarak incelenebilen , A'nın elemanlarında yaklaşık bir doğrusal forma dönüştüren model ters çevirmedir. Tek bir basit durum için q değeri ( q = bir T C ) ve bir tahmin q * ve q . D koymak q = bir T C - q * verir
- m (f, p, bir T c) = m (f, p, q * + d q) ≈ m (f, pq *) + d q m '(f, p, q *) = m (f, pq *) + (a T c - q *) m '(f, p, q *)
böylece bir T şimdi bilinen diğer tüm terimlerle doğrusal bir pozisyondadır ve bu nedenle doğrusal regresyon teknikleriyle analiz edilebilir . Birden fazla parametre için yöntem doğrudan bir şekilde genişler. Modelin iyileştirildiğini kontrol ettikten sonra bu süreç yakınsamaya kadar tekrar edilebilir. Bu yaklaşım, münferit bir veri setinden belirlenebilmek için q parametrelerine ihtiyaç duymaması ve doğrusal regresyonun orijinal hata terimlerinde olması avantajına sahiptir.
Model geçerliliği
Yeterli verinin mevcut olduğu durumlarda, verilerin ayrı bir model yapım setine ve bir veya iki değerlendirme setine bölünmesi tavsiye edilir. Bu, yapım setinin birden fazla seçimi kullanılarak tekrarlanabilir ve sonuçta ortaya çıkan modellerin ortalaması alınır veya tahmin farklılıklarını değerlendirmek için kullanılabilir.
Kalıntılar üzerinde ki-kare gibi istatistiksel bir test özellikle yararlı değildir. Ki kare testi, nadiren mevcut olan bilinen standart sapmaları gerektirir ve başarısız testler, modelin nasıl geliştirileceğine dair hiçbir gösterge vermez. Hem yuvalanmış hem de yuvalanmış modelleri karşılaştırmak için bir dizi yöntem vardır. Bunlar, model tahminlerinin tekrarlanan verilerle karşılaştırılmasını içerir.
Kalıntıları m (,) doğrusal regresyon kullanarak c işletim koşullarıyla tahmin etme girişimi, kalıntıların tahmin edilip edilemeyeceğini gösterecektir. Tahmin edilemeyen kalıntılar, mevcut çalışma koşullarını kullanarak modeli geliştirmek için çok az olasılık sunar. Kalıntıları tahmin eden terimler, performansını iyileştirmek için modele dahil edilecek ileriye dönük terimlerdir.
Yukarıdaki model ters çevirme tekniği, bir modelin geliştirilip geliştirilemeyeceğini belirlemek için bir yöntem olarak kullanılabilir. Bu durumda sıfır olmayan terimlerin seçimi o kadar önemli değildir ve regresyon matrisinin önemli özvektörleri kullanılarak doğrusal tahmin yapılabilir . Bu şekilde belirlenen A'daki değerlerin , model hatalarındaki iyileştirmeleri değerlendirmek için doğrusal olmayan modele ikame edilmesi gerekir. Önemli bir iyileştirmenin olmaması, mevcut verilerin tanımlanan parametreleri kullanarak mevcut model formunu iyileştiremeyeceğini gösterir. Bu testi daha kapsamlı hale getirmek için modele ekstra parametreler eklenebilir.