Vandermonde matrisi - Vandermonde matrix

Olarak lineer cebir , bir Vandermonde matris adını, Alexandre-Théphile Vandermonde , a, matris bir şartları ile geometrik ilerleme yani her satır, bir in m x N matrisi

${\displaystyle V={\başlangıç{bmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2} &\dots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\dots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n-1}\end{bmatrix}},}$

veya

${\displaystyle V_{i,j}=x_{i}^{j-1}\,}$

tüm indeksler için i ve j . Macon ve Spitzbart (1958) tarafından yukarıdaki matrisin devrik için aynı Vandermonde matrisi terimi kullanılmıştır . Ayrık Fourier dönüşüm matrisi için kullanılan Vandermonde matrisi her iki tanımı da karşılar.

Belirleyici bir kare Vandermonde matrisi (burada m = n ) şu şekilde ifade edilebilir

${\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

Buna Vandermonde determinantı veya Vandermonde polinomu denir . Sadece ve ancak hepsi farklıysa sıfır değildir . ${\displaystyle x_{i}}$

Vandermonde determinantı bazen diskriminant olarak adlandırılırdı , ancak şu anda bir polinomun diskriminantı , polinomun köklerinin Vandermonde determinantının karesidir . Vandermonde belirleyici bir olan alternatif formu içinde iki alışverişi, yani NN ederken, işaret değiştirir bir tarafından bile permütasyon belirleyici değerini değiştirmez. Bu nedenle , karesi olan diskriminant herhangi bir sıraya bağlı olmadığı halde, için bir mertebe seçimine bağlıdır ve bu, Galois teorisine göre, diskriminantın, polinomun katsayılarının bir polinom fonksiyonu olduğu anlamına gelir . kökler olarak. ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

Kanıtlar

Kare bir Vandermonde matrisinin ana özelliği

${\displaystyle V={\başlangıç{bmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2} &\dots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\dots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n-1}\end{bmatrix}}}$

belirleyicisinin basit bir forma sahip olmasıdır

${\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

Bu eşitliğin üç kanıtı aşağıda verilmiştir. İlki polinom özellikleri, özellikle kullandığı tek çarpanlara özelliğini ait çok değişkenli polinomların . Kavramsal olarak basit olmasına rağmen, soyut cebirin temel olmayan kavramlarını içerir . İkinci kanıt, herhangi bir açık hesaplama gerektirmez, ancak doğrusal bir haritanın determinantı ve temel değişikliği kavramlarını içerir . Ayrıca Vandermonde matrisinin LU ayrıştırmasının yapısını da sağlar . Üçüncüsü, yalnızca temel satır ve sütun işlemlerini kullanarak daha basit ve daha karmaşıktır .

Polinom özelliklerini kullanma

Tarafından Leibniz formül , det ( V ) bir polinom tamsayı katsayılı. i. sütunun tüm girdileri toplam i – 1 derecesine sahiptir . Böylece, yine Leibniz formülüyle, determinantın tüm terimlerinin toplam derecesi vardır. ${\displaystyle x_{i},}$

${\displaystyle 0+1+2+\cdots +(n-1)={\frac {n(n-1)}{2}};}$

(yani determinant bu derecede homojen bir polinomdur ).

Eğer, i ≠ j için yerine ikame edilirse, iki eşit satıra sahip bir matris elde edilir, bu nedenle sıfır determinantı vardır. Böylece, faktör teoremi ile , det( V )' nin bir bölenidir . Tarafından eşsiz bir ayrıştırma özelliği bir çok değişkenli polinom , her ürün bölünür det ( V ) , yani ${\displaystyle x_{i}}$${\görüntüleme stili x_{j}}$${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$

${\displaystyle \det(V)=Q\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),}$

burada Q bir polinomdur. all ve det( V )' nin çarpımı aynı dereceye sahip olduğundan, Q polinomu aslında bir sabittir. Köşegen girişleri ürün için bu sabit, tek bir V olan bu aynı zamanda tek terimli tüm faktörler ilk dönem alarak elde edilir Bu kanıtlamaktadır ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$${\görüntüleme stili n(n-1)/2,}$${\displaystyle x_{2}x_{3}^{2}\cdots x_{n}^{n-1},}$${\displaystyle \textstyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

${\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

Doğrusal haritaları kullanma

Let F bir olmak alan tüm içeren ve F vektör uzayı az derece polinom N katsayılı F . İzin vermek ${\displaystyle x_{i},}$${\görüntüleme stili P_{n}}$

${\displaystyle \varphi :P_{n}\to F^{n}}$

tarafından tanımlanan doğrusal harita olmak

${\displaystyle p(x)\mapsto (p(x_{1}),\ldots ,p(x_{n})).}$

Vandermonde matris matrisidir göre standart bazlar arasında ve${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili P_{n}}$${\görüntüleme stili F^{n}.}$

Temel değiştirme arasında bir değişiklik-of-the olarak matris tarafından Vandermonde matris çarpımı tutarlar M (sağdan). Belirleyicisi, bu, belirleyici değişmez M ise${\görüntüleme stili P_{n}}$1 .

Polinomları , , , ..., olan mghorta ilgili derecelik 0, 1, ..., n - 1 . Tek terimli temeldeki matrisleri , tüm köşegen girişleri bire eşit olan bir üst üçgen U matrisidir (monomialler artan derecelerde sıralanırsa). Dolayısıyla bu matris, determinantın bir temel değişim matrisidir. Bu yeni temelin matrisi , ${\görüntüleme stili 1}$${\görüntüleme stili x-x_{1}}$${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})}$${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n-1})}$ ${\görüntüleme stili \varphi }$

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}1&0&0&\ldots &0\\1&x_{2}-x_{1}&0&\ldots &0\\1&x_{3}-x_{1}&(x_{3}-x_{ 1})(x_{3}-x_{2})&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{1}&(x_{n }-x_{1})(x_{n}-x_{2})&\ldots &(x_{n}-x_{1})(x_{n}-x_{2})\cdots (x_{n }-x_{n-1})\end{bmatris}}.}$

Böylece Vandermonde determinantı, köşegen girişlerinin ürünü olan bu matrisin determinantına eşittir.

Bu istenen eşitliği kanıtlıyor. Ayrıca, V'nin LU ayrıştırması şu şekilde elde edilir:

${\displaystyle V=LU^{-1}.}$

Satır ve sütun işlemlerine göre

Bu üçüncü kanıt, bir matrisin bir sütununa başka bir sütunun skaleri ile çarpımı eklendiğinde, determinantın değişmeden kaldığı gerçeğine dayanmaktadır.

Yani ilk sütun hariç her sütundan determinantla çarpılan bir önceki sütun değiştirilmez. (Henüz değiştirilmemiş bir sütunu çıkarmak için bu çıkarmalar son sütunlardan başlanarak yapılmalıdır). Bu matrisi verir ${\görüntüleme stili x_{1},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0&\cdots &0\\1&x_{2}-x_{1}&x_{2}(x_{2}-x_{1})&x_{2}^{2}(x_{ 2}-x_{1})&\cdots &x_{2}^{n-2}(x_{2}-x_{1})\\1&x_{3}-x_{1}&x_{3}(x_{ 3}-x_{1})&x_{3}^{2}(x_{3}-x_{1})&\cdots &x_{3}^{n-2}(x_{3}-x_{1} )\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{1}&x_{n}(x_{n}-x_{1})&x_{n} ^{2}(x_{n}-x_{1})&\cdots &x_{n}^{n-2}(x_{n}-x_{1})\\\end{bmatrix}}.}$

Başvuru Laplace genişleme aşağıdaki formüle ilk sırası boyunca elde ederiz ile, ${\displaystyle \det(V)=\det(B)}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}x_{2}-x_{1}&x_{2}(x_{2}-x_{1})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_ {1})&\cdots &x_{2}^{n-2}(x_{2}-x_{1})\\x_{3}-x_{1}&x_{3}(x_{3}-x_ {1})&x_{3}^{2}(x_{3}-x_{1})&\cdots &x_{3}^{n-2}(x_{3}-x_{1})\\\ vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}-x_{1}&x_{n}(x_{n}-x_{1})&x_{n}^{2} (x_{n}-x_{1})&\cdots &x_{n}^{n-2}(x_{n}-x_{1})\\\end{bmatrix}}.}$

-th satırındaki tüm girdiler bir faktöre sahip olduğundan , bu faktörleri çıkarabilir ve elde edebilirsiniz. ${\görüntüleme stili ben}$${\görüntüleme stili B}$${\displaystyle x_{i+1}-x_{1},}$

${\displaystyle \det(V)=(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\cdots (x_{n}-x_{1}){\begin{vmatrix} 1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{3}^{n- 2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-2}\\\end{ vmatrix}}=\prod _{1<j\leq n}(x_{j}-x_{1})\det(V'),}$

burada bir Vandermonde matris olup bu küçük Vandermonde matris üzerinde bu işlemi yineleme bir sonunda istenen ifadesini alır det ( V ) her ürünü olarak böyle i < j . ${\görüntüleme stili V'}$${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n}.}$${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$

Sonuç özellikleri

Bir m × n dikdörtgen Vandermonde matrisi, öyle ki, m ≤ n , ancak ve ancak tüm x _i'lerin farklı olması durumunda maksimum m derecesine sahiptir .

Bir m x n dikdörtgen Vandermonde şekilde matris m ≥ n en sahip seviye N vardır, ancak ve ancak , n ve X _i farklı olduğu.

Bir kare Vandermonde matrisi, ancak ve ancak x _i farklıysa tersinirdir . Tersi için açık bir formül bilinmektedir.

Uygulamalar

Vandermonde matris değerlendirir noktaları kümesi bir polinom; biçimsel olarak, bir polinomun katsayı vektörünü Vandermonde matrisinde görünen değerlerde polinomun değerlerinin vektörüne eşleyen lineer haritanın matrisidir. Farklı noktalar için Vandermonde determinantının kaybolmaması, farklı noktalar için katsayılardan bu noktalardaki değerlere giden haritanın birebir örtüşme olduğunu ve dolayısıyla polinom interpolasyon probleminin benzersiz bir çözümle çözülebileceğini gösterir; bu sonuç unisolvence teoremi olarak adlandırılır ve polinomlar için Çin kalan teoreminin özel bir durumudur . ${\ Displaystyle \ alfa _ {i}}$

Bu yararlı olabilir polinom interpolasyon Vandermonde matris tersini açısından polinom katsayıları ifade olanak sağladığı, ve en polinom değerleri . Bununla birlikte, bir Vandermonde matrisinin tersi için bir formül türetmek için kullanılabilen Lagrange interpolasyon formülü ile enterpolasyon polinomunun hesaplanması genellikle daha kolaydır . ${\ Displaystyle \ alfa _ {i}}$${\ Displaystyle \ alfa _ {i}}$

Vandermonde determinantı simetrik grubun temsil teorisinde kullanılır .

Değerler sonlu bir alana ait olduğunda , Vandermonde determinantı Moore determinantı olarak da adlandırılır ve örneğin BCH kodu teorisinde ve Reed-Solomon hata düzeltme kodlarında kullanılan belirli özelliklere sahiptir . ${\displaystyle \alpha _{k}}$

Fourier dönüşümü ayrık belirli Vandermonde matrisi ile tanımlanan DFT matrisinin numaraları a, _I olacak şekilde seçilir birlik kökleri .

Laughlin dalga fonksiyonu (görünen faktör birini dolduran Kuantum Hall etkisi Vandermonde belirleyici için formül ile,), bir olmaya görülebilir Slater determinantı . Bu, birinden farklı olan dolgu faktörleri için, yani kesirli Kuantum Hall etkisi için artık doğru değildir .

Bu bir tasarım matrisi arasında polinom regresyon .

Birleşik Vandermonde matrisleri

Daha önce tarif edildiği gibi, bir Vandermonde matris lineer cebir tarif enterpolasyon sorunu bir polinomun katsayıları bulma derece değerlerine göre , olan ayrı noktalar. Eğer farklı değildir, o zaman bu sorun, (ilgili Vandermonde matris tekil olduğu gerçeği ile yansıtılır) benzersiz bir çözüm bulunmamaktadır. Ancak türevlerin tekrarlanan noktalardaki değerlerini verirsek, problemin benzersiz bir çözümü olabilir. Örneğin, sorun ${\görüntüleme stili p(x)}$${\görüntüleme stili n-1}$${\displaystyle p(\alpha _{1}),...,p(\alpha _{n})}$${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}$${\ Displaystyle \ alfa _ {i}}$

${\displaystyle {\begin{kasalar}p(0)=a\\p'(0)=b\\p(1)=c\son{durumlar}}}$

nerede bir derece polinomu , herkes için benzersiz bir çözüme sahiptir . Genel olarak, bunların (mutlaka farklı olmayan) sayılar olduğunu varsayalım ve gösterim kolaylığı için listede eşit değerlerin sürekli diziler halinde geldiğini varsayalım. Yani ${\görüntüleme stili p}$${\ Displaystyle \ leq 2}$${\görüntüleme stili a,b,c}$${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}$

${\displaystyle \alpha _{1}=\cdots =\alpha _{m_{1}},\alpha _{m_{1}+1}=\cdots =\alpha _{m_{2}},\ldots ,\alpha _{m_{k-1}+1}=\cdots =\alpha _{m_{k}}}$

nerede ve farklı. O zaman karşılık gelen enterpolasyon problemi ${\displaystyle m_{k}=n,}$ ${\displaystyle m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{k},}$${\displaystyle \alpha _{m_{1}},\ldots,\alpha _{m_{k}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}p(\alpha _{1})=\beta _{1},&p'(\alpha _{1})=\beta _{2},&\ldots ,&p^ {(m_{1}-1)}(\alpha _{1})=\beta _{m_{1}}\\p(\alpha _{m_{1}+1})=\beta _{m_ {1}+1},&p'(\alpha _{m_{1}+1})=\beta _{m_{1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{2}-m_{ 1}-1)}(\alpha _{m_{2}})=\beta _{m_{2}}\\\qquad \vdots \\p(\alpha _{m_{k-1}+1} )=\beta _{m_{k-1}+1},&p'(\alpha _{m_{k-1}+2})=\beta _{m_{k-1}+2},&\ ldots ,&p^{(m_{k}-m_{k-1}-1)}(\alpha _{m_{k}})=\beta _{m_{k}}\end{durumlar}}}$

Ve bu problem için karşılık gelen matris, birleşik Vandermonde matrisleri olarak adlandırılır . Bizim durumumuzda (ki bu genel durum, matrisin satırlarına izin verene kadar) bunun formülü şu şekilde verilir: if , o zaman bazıları için (benzersiz) ( 'yi düşünüyoruz ). Sonra, biz var ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$${\displaystyle m_{\ell }<i\leq m_{\ell +1}}$${\displaystyle 0\leq \ell \leq k-1}$${\displaystyle m_{0}=0}$

${\displaystyle V_{i,j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}j<i-m_{\ell };\\[6pt]{\dfrac {(j-1) !}{(j-(i-m_{\ell }))!}}\alpha _{i}^{j-(i-m_{\ell })},&{\text{if }}j\ geq i-m_{\ell }.\end{durumlar}}}$

Vandermonde matrisinin bu genellemesi, Vandermonde matrisinin çoğu özelliğini korurken onu tekil olmayan (denklemler sistemine benzersiz bir çözüm var olacak şekilde) yapar. Satırları, orijinal Vandermonde satırlarının (bir derecenin) türevleridir.

Bu formülü almanın başka bir yolu, bazı 'lerin keyfi olarak birbirine yakınlaşmasına izin vermektir . Örneğin, daha sonra izin orijinal Vandermonde matris içinde, birinci ve ikinci sıraları arasındaki fark konfluent Vandermonde matris içinde karşılık gelen satır verir. Bu, genelleştirilmiş enterpolasyon problemini (verilen değer ve bir noktadaki türevler) tüm noktaların farklı olduğu orijinal duruma bağlamamıza izin verir: Verilen olmak , çok küçük olduğu yerde verilmeye benzer . ${\ Displaystyle \ alfa _ {i}}$${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{2}\to \alpha _{1}}$${\ Displaystyle p(\alpha ),p'(\alpha )}$${\displaystyle p(\alpha ),p(\alpha +\varepsilon )}$${\görüntüleme stili\varepsilon }$

Ayrıca bakınız

• Schur polinomu – bir genelleme
• alternatif matris
• Lagrange polinomu
• Wronskiyen
• matris listesi
• Sonlu bir alan üzerinde Moore determinantı
• Vieta'nın formülleri

Referanslar

daha fazla okuma

• Ycart, Bernard (2013), "Bir matematiksel eponymy vakası: Vandermonde determinantı", Revue d'Histoire des Mathématiques , 13 , arXiv : 1204.4716 , Bibcode : 2012arXiv1204.4716Y.

Dış bağlantılar

• Vandermonde matrisi ProofWiki'de