Riemann hipotezi - Riemann hypothesis
Milenyum Ödülü Sorunları |
---|
Matematikte Riemann hipotezi bir olduğunu varsayım olduğunu Riemann zeta fonksiyonu onun sahiptir sıfırlar sadece negatif bile tamsayılar ve karmaşık sayılar ile gerçek bir parçası 1/2. Pek çok kişi onu saf matematikteki çözülmemiş en önemli problem olarak görüyor . Asal sayıların dağılımı ile ilgili sonuçları ima ettiği için sayı teorisi büyük ilgi görmektedir . Adını aldığı Bernhard Riemann ( 1859 ) tarafından önerilmiştir .
Riemann hipotezi ve birlikte genelleştirmelerinde bazı Goldbach varsayım ve ikiz asal varsayım , makyaj Hilbert'in sekizinci sorunu içinde David Hilbert 's listesinde 23 çözülmemiş problemler ; aynı zamanda Clay Mathematics Institute'un Milenyum Ödül Problemlerinden biridir . Bu ad, sonlu alanlar üzerindeki eğriler için Riemann hipotezi gibi bazı yakından ilişkili analoglar için de kullanılır .
Riemann zeta fonksiyonu ζ ( ler ) a, fonksiyonu olan argüman s değerleri de karmaşıktır, herhangi bir karmaşık 1 dışında sayısı ve olabilmektedir. Negatif çift tam sayılarda sıfırları vardır; yani, ζ( s ) = 0, s -2, -4, -6'dan biri olduğunda , .... Bunlara onun önemsiz sıfırları denir . Ancak, zeta fonksiyonunun sıfır olduğu tek değerler negatif çift tam sayılar değildir. Diğerlerine önemsiz olmayan sıfırlar denir . Riemann hipotezi, bu önemsiz sıfırların konumlarıyla ilgilidir ve şunları belirtir:
Riemann zeta fonksiyonunun her önemsiz sıfırın gerçek kısmı, 1/2.
Bu nedenle, eğer hipotez doğruysa, tüm önemsiz sıfırlar, karmaşık sayılardan oluşan kritik doğru üzerindedir. 1/2+ İ t , t a, reel sayı ve i olan hayali bir birim .
Riemann zeta fonksiyonu
Riemann zeta fonksiyonu kompleksi için tanımlandığı s ile 1 'den gerçek bir parçası daha sonra ile mutlak yakınsak sonsuz seriler
Leonhard Euler , 1730'larda bu seriyi, Basel sorununa yaptığı çözümle bağlantılı olarak, s'nin gerçek değerleri için zaten düşünmüştü . Euler çarpımına eşit olduğunu da kanıtladı.
burada sonsuz çarpım tüm p asal sayılarına uzanır .
Riemann hipotezi , bu serinin ve Euler çarpımının yakınsaklık bölgesi dışındaki sıfırları tartışır . Hipotezi anlamlandırmak için, tüm karmaşık s için geçerli bir form elde etmek için işlevi analitik olarak sürdürmek gerekir . Zeta işlevi meromorfik olduğu için buna izin verilir , bu nedenle analitik devamının benzersiz ve etki alanları üzerinde eşdeğer işlevsel formlar olması garanti edilir . Zeta fonksiyonunun ve Dirichlet eta fonksiyonunun aşağıdaki ilişkiyi sağladığı gösterilerek başlanır.
Ancak sağdaki seri sadece s'nin reel kısmı birden büyük olduğunda değil, daha genel olarak s'nin pozitif reel kısmı olduğu zaman yakınsar . Bu nedenle, bu alternatif dizi den zeta fonksiyonu uzatır Re ( s )> 1 daha büyük bir etki Re ( s )> 0 , sıfır dışında bir yerde sıfır olmayan herhangi bir tam sayı olduğu (bakınız Dirichlet eta fonksiyonu ). Zeta fonksiyonu , s = 1'deki basit kutup hariç, pozitif reel kısımlı s'nin tüm değerleri için sonlu bir değer vererek, limitler alarak bu değerlere de genişletilebilir .
0 < Re( s ) < 1 şeridinde zeta fonksiyonu fonksiyonel denklemi sağlar
Bir sonra (ζ tanımlayabilir s bütün karmaşık sayılar sıfır olmayan geri kalan) s ( Re ( s ≤) 0 ve s ≠ 0) (Ç şeridi dışında bu denklem uygulanarak ve izin vererek ler ) denkleminin sağ tarafına eşit s pozitif olmayan reel kısma sahip olduğunda (ve s ≠ 0).
Eğer s negatif hatta tam sayı daha sonra ζ (olup s faktör sin (π için) = 0 s / 2) kaybolur; bunlar zeta fonksiyonunun önemsiz sıfırlarıdır . ( s pozitif bir çift tamsayıysa, sinüs fonksiyonunun sıfırları negatif tamsayı argümanlarını alırken gama fonksiyonunun kutupları tarafından iptal edildiğinden bu argüman geçerli değildir .)
Değeri ζ (0) = -1/2 , fonksiyonel denklem ile belirlenir, ancak ζ (sınırlayıcı değer değildir s olarak) s sıfırdır. Fonksiyonel denklem ayrıca zeta fonksiyonunun önemsiz sıfırlar dışında negatif reel kısmı olan sıfırlara sahip olmadığını ima eder, bu nedenle önemsiz olmayan tüm sıfırlar, s'nin 0 ile 1 arasında reel kısma sahip olduğu kritik şeritte bulunur .
Menşei
...es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein güçlü Beweis zu wünschen; Daha fazla bilgi için tıklayınız.
...bütün köklerin gerçek olması çok olasıdır. Elbette burada kesin bir ispat istenir; Bazı kısacık boş denemelerden sonra, araştırmamın acil amacı için vazgeçilmez göründüğü için, bunun için aramayı geçici olarak bir kenara koydum.— Riemann'ın Riemann hipotezine ilişkin ifadesi, ( Riemann 1859 ). (Zeta fonksiyonunun, köklerinin (sıfırların) kritik çizgiden ziyade gerçek olması için değiştirilmiş bir versiyonunu tartışıyordu.)
Zeta fonksiyonu ve onun sıfırların çalışmak için Riemann 'orijinal motivasyon onun kendi oluşum oldu açık formülü için asal sayısı π ( x az) veya belirli bir sayı için eşit x o "onun 1859 kağıt yayınlanan, asal Numarası On Verilen Bir Büyüklükten Daha Az ". Formülü ilgili fonksiyon cinsinden verildi.
bu, asal sayıları ve x'e kadar olan asal güçleri sayar, bir asal gücü p n 1 ⁄ n olarak sayar . Möbius inversiyon formülü kullanılarak bu fonksiyondan asal sayıların geri kazanılması mümkündür ,
burada μ olan Möbiüs işlevi . Riemann'ın formülü o zaman
toplamın zeta fonksiyonunun önemsiz sıfırlarının üzerinde olduğu ve Π 0'ın Π'nin biraz değiştirilmiş bir versiyonu olduğu ve süreksizlik noktalarındaki değerini üst ve alt limitlerinin ortalaması ile değiştiren:
Riemann formülündeki toplama kesinlikle yakınsak değildir, ancak ρ sıfırları sanal kısımlarının mutlak değerine göre alınarak değerlendirilebilir. Birinci terimde meydana gelen li fonksiyonu , ıraksak integralin Cauchy asal değeri tarafından verilen (kaydırılmamış) logaritmik integral fonksiyonudur.
Zeta fonksiyonunun sıfırlarını içeren li( x ρ ) terimleri , li'nin 0 ve 1'de dal noktalarına sahip olduğundan ve bölgedeki karmaşık değişken ρ'da analitik süreklilik ile tanımlandığından ( x > 1 için) tanımlarında biraz dikkat gerektirir. Re( ρ ) > 0, yani Ei ( ρ log x ) olarak kabul edilmelidirler . Diğer terimler de sıfırlara tekabül eder: baskın terim li( x ) s = 1'deki kutuptan gelir, -1 çokluğunun sıfırı olarak kabul edilir ve kalan küçük terimler önemsiz sıfırlardan gelir. Bu dizinin ilk birkaç teriminin toplamlarının bazı grafikleri için bkz. Riesel & Göhl (1970) veya Zagier (1977) .
Bu formül, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarının , asal sayıların "beklenen" konumları etrafındaki salınımlarını kontrol ettiğini söyler . Riemann zeta fonksiyonu apaçık olmayan sıfır simetrik olarak dağıtılmış olduğunu biliyorlardı hattı s = 1/2 + o , o da önemsiz olmayan sıfır her aralığında yer anladı ve 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1 . o sıfırların birkaç hepsi yaptıklarını gerçek kısmı 1/2 ile kritik hat üzerinde yatıyordu ve önerilen olduğunu kontrol; bu Riemann hipotezidir.
Sonuç çoğu matematikçinin hayal gücünü yakaladı çünkü çok beklenmedik, matematikte görünüşte ilgisiz iki alanı birleştiriyor; yani, sürekli süreçlerle ilgilenen ayrık ve karmaşık analizin incelenmesi olan sayı teorisi . ( Burton 2006 , s. 376)
Sonuçlar
Riemann hipotezinin pratik kullanımları, Riemann hipotezi altında doğru olduğu bilinen ve bazılarının Riemann hipotezine eşdeğer olduğu gösterilebilen birçok önermeyi içerir.
asal sayıların dağılımı
Riemann'ın , Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlar üzerindeki toplamı cinsinden belirli bir sayıdan küçük asal sayıların sayısı için açık formülü , asalların beklenen konumları etrafındaki salınımlarının büyüklüğünün, asalların sıfırlarının gerçek kısımları tarafından kontrol edildiğini söyler. zeta fonksiyonu. Özellikle asal sayı teoremindeki hata terimi , sıfırların konumuyla yakından ilgilidir. Örneğin, β sıfırların reel kısımlarının üst sınırı ise, o zaman. 1/2 ≤ β ≤ 1 olduğu zaten biliniyor.
Von Koch (1901) , Riemann hipotezinin, asal sayı teoreminin hatası için "mümkün olan en iyi" sınırı ima ettiğini kanıtladı. Schoenfeld'e (1976) bağlı olarak Koch'un sonucunun kesin bir versiyonu , Riemann hipotezinin şu anlama geldiğini söylüyor:
π (burada X ), bir ana sayma fonksiyonu ve log ( x ) olan doğal logaritması arasında x .
Schoenfeld (1976) ayrıca Riemann hipotezinin şu anlama geldiğini gösterdi:
burada ψ( x ) Chebyshev'in ikinci fonksiyonudur .
Dudek (2014) , Riemann hipotezinin herkes için bir asal tatmin edici olduğunu ima ettiğini kanıtladı.
- .
Bu, Cramer teoreminin açık bir versiyonudur .
Aritmetik fonksiyonların büyümesi
Riemann hipotezi, yukarıdaki asal sayma işlevine ek olarak, diğer birçok aritmetik işlevin büyümesi üzerinde güçlü sınırlar olduğunu ima eder .
Bir örnek, Möbius işlevi μ'yi içerir . Denklemin ifade edilmesi
sağ taraftaki toplamı yakınsayarak reel kısmı 1/2'den büyük olan her s için geçerlidir , Riemann hipotezine eşdeğerdir. Bundan, Mertens işlevi tarafından tanımlanırsa , şu sonucu da çıkarabiliriz :
o zaman iddia
her pozitif ε için Riemann hipotezine eşdeğerdir ( JE Littlewood , 1912; bkz. örneğin: Titchmarsh (1986)'da paragraf 14.25 ). (Bu sembollerin anlamı için Büyük O notasyonuna bakınız .) n sırasının determinantı Redheffer matrisi M ( n )'ye eşittir , dolayısıyla Riemann hipotezi de bu determinantların büyümesi için bir koşul olarak ifade edilebilir. Riemann hipotezi koyar oldukça sıkı büyümesi üzerindeki bağlanmış M beri Odlyzko ve (1985) te Riele biraz daha güçlü çürütülebilir Mertens varsayım
Riemann hipotezi, μ( n ) dışında diğer aritmetik fonksiyonların büyüme hızı hakkındaki diğer birçok varsayıma eşdeğerdir . Tipik bir örnek, eğer σ( n )'nin bölen fonksiyon olduğunu belirten Robin teoremidir .
sonra
tüm n > 5040 için, ancak ve ancak Riemann hipotezi doğruysa, burada γ Euler–Mascheroni sabitidir .
Başka bir örnek Jérôme Franel tarafından bulundu ve Landau tarafından genişletildi (bkz. Franel & Landau (1924) ). Riemann hipotezi, Farey dizisinin terimlerinin oldukça düzenli olduğunu gösteren birkaç ifadeye eşdeğerdir . Aşağıdaki gibi bu tür bir muadilidir: eğer F , n düzenin Farey dizisidir , n , 1 'ile başlayan / n , yukarı 1/1 daha sonra talebi ve tüm £ değerinin> 0 için
Riemann hipotezine eşdeğerdir. Buraya
n sıralı Farey dizisindeki terimlerin sayısıdır .
Bir örnek için, grup teorisi ise, g ( n ), olduğu Landau fonksiyon elemanlarının maksimal düzenine verilen simetrik grubunun S , n derece n , o zaman Massias Nicolas & Robin (1988) göstermiştir Riemann hipotezi denk olduğunu ciltli
yeterince büyük tüm n için .
Lindelöf hipotezi ve zeta fonksiyonunun büyümesi
Riemann hipotezinin de çeşitli zayıf sonuçları vardır; biri, kritik çizgi üzerindeki zeta fonksiyonunun büyüme hızına ilişkin Lindelöf hipotezidir , ki bu, herhangi bir ε > 0 için,
olarak .
Riemann hipotezi ayrıca kritik şeridin diğer bölgelerinde zeta fonksiyonunun büyüme oranı için oldukça keskin sınırlara işaret eder. Örneğin, şunu ifade eder:
bu yüzden ζ(1+ it ) ve tersinin büyüme oranı 2 faktörüne kadar bilinecektir.
Büyük asal boşluk varsayımı
Asal sayı teoremi, ortalama olarak, asal p ile ardılı arasındaki boşluğun log p olduğunu ima eder . Ancak, asal sayılar arasındaki bazı boşluklar ortalamadan çok daha büyük olabilir. Cramer , Riemann hipotezini varsayarak, her boşluğun O ( √ p log p ) olduğunu kanıtladı . Bu, Riemann hipotezi kullanılarak kanıtlanabilecek en iyi sınırın bile doğru görünenden çok daha zayıf olduğu bir durumdur: Cramér'in varsayımı , her boşluğun O ((log p ) 2 ) olduğunu ima eder , ki bu ortalama boşluktan daha büyüktür. , Riemann hipotezinin ima ettiği sınırdan çok daha küçüktür. Sayısal kanıtlar Cramer'in varsayımını desteklemektedir.
Riemann hipotezine eşdeğer analitik kriterler
Riemann hipotezine eşdeğer birçok ifade bulundu, ancak şimdiye kadar hiçbiri onu kanıtlamada (veya çürütmede) fazla ilerlemeye yol açmadı. Bazı tipik örnekler aşağıdaki gibidir. (Diğerleri bölen işlevi σ( n ) içerir.)
Riesz kriteri ile verildi Riesz (1916) bağlı bu sonuca göre,
sadece ve ancak Riemann hipotezi geçerliyse tüm ε > 0 için geçerlidir.
Nyman (1950) , Riemann hipotezinin ancak ve ancak formun fonksiyonlarının uzayı olması durumunda doğru olduğunu kanıtladı.
ρ (burada Z ) ondalık kısmı z , 0 İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ≤ v ^ ≤ 1 ve
- ,
birim aralıktaki kare integrallenebilir fonksiyonların Hilbert uzayı L 2 (0,1)' de yoğundur . Beurling (1955) , zeta fonksiyonunun, ancak ve ancak bu fonksiyon uzayı L p (0,1)' de yoğun ise gerçek kısmı 1/ p'den büyük olan sıfırlara sahip olmadığını göstererek bunu genişletti.
Salem (1953) , Riemann hipotezinin ancak ve ancak integral denklem
için önemsiz olmayan sınırlı çözümlere sahip değildir .
Weil'in kriteri , belirli bir fonksiyonun pozitifliğinin Riemann hipotezine eşdeğer olduğu ifadesidir. İlgili Li kriteri , belirli bir sayı dizisinin pozitifliğinin Riemann hipotezine eşdeğer olduğu ifadesidir.
Speiser (1934) , Riemann hipotezinin , 'nin türevinin şeritte sıfır bulunmadığı ifadesine eşdeğer olduğunu kanıtladı.
Bu kritik hattı türevi kritik hat üzerinde herhangi bir sıfır ile eşdeğer olduğunu sadece basit sıfır sahiptir.
Farey dizisi nedeniyle iki denklikler sağlar Jerome Franel ve Edmund Landau 1924.
De Bruijn ve-Newman sabiti ile gösterilen X ve adını Nicolaas Govert de Bruijn ve Charles, M. Newman , sıfırlarının üzerinden tanımlanır işlev
,
gerçek bir λ parametresi , karmaşık bir z değişkeni ve şu şekilde tanımlanan süper-üssel olarak azalan bir fonksiyon kullanan
.
Riemann hipotezi, H (0, z ) 'nin tüm sıfırlarının gerçek olduğu iddiasına eşdeğer olduğundan, Riemann hipotezi şu varsayıma eşdeğerdir . Brad Rodgers ve Terence Tao , eşdeğerliğin aslında sıfırın sabitin alt sınırı olduğunu kanıtlayarak olduğunu keşfetti . Sıfırı kanıtlamak aynı zamanda üst sınırdır, bu nedenle Riemann hipotezini kanıtlayacaktır. Nisan 2020 itibariyle üst sınır .
Genelleştirilmiş Riemann hipotezinin sonuçları
Birkaç uygulama, yalnızca Riemann hipotezi yerine Dirichlet L-serisi veya sayı alanlarının zeta fonksiyonları için genelleştirilmiş Riemann hipotezini kullanır . Riemann zeta fonksiyonunun birçok temel özelliği kolaylıkla tüm Dirichlet L-serisi için genelleştirilebilir, bu nedenle Riemann zeta fonksiyonu için Riemann hipotezini kanıtlayan bir yöntemin, Dirichlet L fonksiyonları için genelleştirilmiş Riemann hipotezi için de çalışması akla yatkındır. İlk önce genelleştirilmiş Riemann hipotezi kullanılarak kanıtlanan birkaç sonuca daha sonra kullanılmadan koşulsuz kanıtlar verildi, ancak bunlar genellikle çok daha zordu. Aşağıdaki listedeki sonuçların çoğu Conrad'dan (2010) alınmıştır .
- 1913'te Grönwall , genelleştirilmiş Riemann hipotezinin Gauss'un sınıf numarası 1 olan hayali ikinci dereceden alanlar listesinin tamamlandığını ima ettiğini gösterdi , ancak Baker, Stark ve Heegner daha sonra genelleştirilmiş Riemann hipotezini kullanmadan bunun koşulsuz kanıtlarını verdi.
- 1917'de Hardy ve Littlewood, genelleştirilmiş Riemann hipotezinin Chebyshev'in bir varsayımını ima ettiğini gösterdiler.
- bu da 3 mod 4 asal sayıların bir anlamda 1 mod 4 asal sayılarından daha yaygın olduğunu söylüyor. (İlgili sonuçlar için, bkz. Asal sayı teoremi § Asal sayı yarışı .)
- 1923'te Hardy ve Littlewood, genelleştirilmiş Riemann hipotezinin, tek sayılar için Goldbach varsayımının zayıf bir biçimini ima ettiğini gösterdi : 1937'de Vinogradov koşulsuz bir kanıt vermesine rağmen, yeterince büyük her tek sayı üç asal sayının toplamıdır. 1997'de Deshouillers , Effinger, te Riele ve Zinoviev, genelleştirilmiş Riemann hipotezinin, 5'ten büyük her tek sayının üç asal sayının toplamı olduğunu ima ettiğini gösterdi. 2013'te Harald Helfgott , David J. Platt'ın yardımıyla tamamlanan bazı kapsamlı hesaplamalara tabi olarak, GRH bağımlılığı olmadan üçlü Goldbach varsayımını kanıtladı.
- 1934 yılında, Chowla genelleştirilmiş Riemann hipotezi ima gösterdi birinci aritmetik olarak asal bir mod m en olduğunu Km 2 log ( m ) 2 bazı sabit sabiti K .
- 1967'de Hooley, genelleştirilmiş Riemann hipotezinin Artin'in ilkel kökler hakkındaki varsayımını ima ettiğini gösterdi .
- 1973'te Weinberger, genelleştirilmiş Riemann hipotezinin Euler'in ideal sayılar listesinin tamamlandığını ima ettiğini gösterdi .
- Weinberger (1973) , tüm cebirsel sayı alanlarının zeta fonksiyonları için genelleştirilmiş Riemann hipotezinin, sınıf numarası 1 olan herhangi bir sayı alanının ya Öklid ya da -19, −43, −67 veya − diskriminantının hayali ikinci dereceden bir sayı alanı olduğunu ima ettiğini gösterdi. 163.
- 1976'da G. Miller, genelleştirilmiş Riemann hipotezinin, bir sayının polinom zamanında asal olup olmadığını Miller testi yoluyla test edebileceğini ima ettiğini gösterdi . 2002 yılında Manindra Agrawal, Neeraj Kayal ve Nitin Saxena, AKS asallık testini kullanarak bu sonucu koşulsuz olarak kanıtladılar .
- Odlyzko (1990) , genelleştirilmiş Riemann hipotezinin, diskriminantlar ve sayı alanlarının sınıf numaraları için daha keskin tahminler vermek için nasıl kullanılabileceğini tartıştı.
- Ono & Soundararajan (1997) , genelleştirilmiş Riemann hipotezinin, Ramanujan'ın integral ikinci dereceden formunun x 2 + y 2 + 10 z 2'nin , tam olarak 18 istisna dışında, yerel olarak temsil ettiği tüm tamsayıları temsil ettiğini ima ettiğini gösterdi .
Hariç tutulan orta
RH'nin bazı sonuçları aynı zamanda olumsuzluğunun sonuçlarıdır ve bu nedenle teoremlerdir. Hecke hakkındaki tartışmalarında , Deuring, Mordell, Heilbronn teoremi , Ireland & Rosen (1990 , s. 359) şöyle der:
Buradaki ispat yöntemi gerçekten şaşırtıcı. Genelleştirilmiş Riemann hipotezi doğruysa, teorem doğrudur. Genelleştirilmiş Riemann hipotezi yanlışsa, teorem doğrudur. Böylece, teorem doğrudur!! (orijinal noktalama işaretleri)
Genelleştirilmiş Riemann hipotezinin yanlış olduğunu söylemekle ne kastedildiğini anlamak için dikkatli olunmalıdır: Dirichlet serisinin hangi sınıfının bir karşı örneğe sahip olduğu tam olarak belirtilmelidir.
Littlewood'un teoremi
Bu, asal sayı teoremindeki hatanın işaretiyle ilgilidir . Tüm x ≤ 10 25 için π( x ) < li( x ) olduğu hesaplanmıştır (bu tabloya bakınız ) ve π( x ) > li( x ) için hiçbir x değeri bilinmemektedir .
1914 yılında Littlewood keyfi büyük değerler olduğunu kanıtladı x için
ve ayrıca keyfi olarak büyük x değerlerinin de olduğu
Böylece π( x ) − li( x ) farkı sonsuz kez işaret değiştirir. Skewes sayısı , ilk işaret değişikliğine karşılık gelen x değerinin tahminidir .
Littlewood'un ispatı iki duruma bölünmüştür: RH'nin yanlış olduğu varsayılır ( Ingham 1932'nin yaklaşık yarım sayfası, Bölüm V) ve RH'nin doğru olduğu varsayılır (yaklaşık bir düzine sayfa). Stanisław Knapowski ( 1962 ) bunu aralıktaki değişikliklerin kaç kez işaretlendiğine dair bir makale ile takip etti .
Gauss'un sınıf numarası varsayımı
Bu, belirli bir sınıf numarasına sahip yalnızca sonlu sayıda sanal ikinci dereceden alan olduğu varsayımıdır (ilk olarak Gauss'un Disquisitiones Arithmeticae'sinin 303. maddesinde belirtilmiştir ). Bunu kanıtlamanın bir yolu, diskriminant olarak D → −∞ sınıf numarasının h ( D ) → ∞ olduğunu göstermektir.
Riemann hipotezini içeren aşağıdaki teorem dizisi Ireland & Rosen 1990 , s. 358-361'de açıklanmıştır:
Teorem (Hecke; 1918). D < 0, hayali ikinci dereceden bir sayı alanı K'nin diskriminantı olsun . Tüm hayali ikinci dereceden Dirichlet karakterlerinin L fonksiyonları için genelleştirilmiş Riemann hipotezini varsayalım . O zaman öyle bir mutlak sabit C vardır ki
Teorem (Deuring; 1933). RH false ise h ( D ) > 1 ise | D | yeterince büyüktür.
Teorem (Mordell; 1934). RH false ise h ( D ) → ∞, D → −∞ olarak.
Teorem (Heilbronn; 1934). Bazı hayali ikinci dereceden Dirichlet karakterinin L işlevi için genelleştirilmiş RH yanlışsa, o zaman h ( D ) → ∞ olarak D → −∞ olur.
(Hecke ve Heilbronn'un çalışmasında, meydana gelen tek L- fonksiyonları hayali ikinci dereceden karakterlere bağlı olanlardır ve sadece bu L- fonksiyonları için GRH'nin doğru veya GRH'nin yanlış olması amaçlanır; Bir kübik Dirichlet karakterinin L- fonksiyonu, kesinlikle konuşmak gerekirse, GRH'nin yanlış olduğu anlamına gelir, ancak bu, Heilbronn'un aklındaki GRH'nin bir tür başarısızlığı değildi, bu yüzden varsayımı, sadece GRH'nin yanlış olduğundan daha kısıtlıydı .)
1935'te Carl Siegel daha sonra herhangi bir şekilde RH veya GRH kullanmadan sonucu güçlendirdi.
Euler'in totientinin büyümesi
1983 yılında JL Nicolas bunu kanıtladı.
Genellemeler ve analoglar
Dirichlet L serisi ve diğer sayı alanları
Riemann hipotezi, Riemann zeta fonksiyonunun resmi olarak benzer, ancak çok daha genel global L fonksiyonları ile değiştirilmesiyle genelleştirilebilir . Bu daha geniş düzenlemede, global L- fonksiyonlarının önemsiz olmayan sıfırlarının gerçek kısım 1/2'ye sahip olması beklenir. Riemann hipotezinin matematikteki gerçek önemini açıklayan, yalnızca tek Riemann zeta işlevi için klasik Riemann hipotezi yerine bu varsayımlardır.
Genelleştirilmiş Riemann hipotezi herkese Riemann hipotezini uzanır Dirichlet L-fonksiyonları . Özellikle, Siegel sıfırlarının ( 1/2 ile 1 arasındaki L fonksiyonlarının sıfırları ) var olmadığı varsayımını ima eder .
Genişletilmiş Riemann hipotezi herkese Riemann hipotezini uzanır Dedekind zeta fonksiyonu arasında cebirsel sayı alanları . Rasyonellerin değişmeli genişlemesi için genişletilmiş Riemann hipotezi, genelleştirilmiş Riemann hipotezine eşdeğerdir. Riemann hipotezi, sayı alanlarının Hecke karakterlerinin L fonksiyonlarına da genişletilebilir .
Büyük Riemann hipotezi herkese uzanır otomorf zeta fonksiyonu gibi Mellin dönüşümler arasında Hecke eigenforms .
Çeşitlerin sonlu alanlar üzerindeki fonksiyon alanları ve zeta fonksiyonları
Artin (1924) , (kuadratik) fonksiyon alanlarının global zeta fonksiyonlarını tanıttı ve onlar için Hasse tarafından cins 1 ve genel olarak Weil (1948) tarafından kanıtlanan Riemann hipotezinin bir analogunu tahmin etti . Örneğin, q büyüklüğünde ( q tek ile) sonlu bir alanın ikinci dereceden karakterinin Gauss toplamının mutlak değere sahip olması, aslında fonksiyon alanı ayarındaki Riemann hipotezinin bir örneğidir. Bu, Weil'i (1949) tüm cebirsel çeşitler için benzer bir ifade tahmin etmeye yöneltti ; sonuçta ortaya çıkan Weil varsayımları Pierre Deligne ( 1974 , 1980 ) tarafından kanıtlanmıştır .
Aritmetik şemaların aritmetik zeta fonksiyonları ve L-faktörleri
Aritmetik zeta fonksiyonları , Riemann ve Dedekind zeta fonksiyonlarının yanı sıra çeşitlerin sonlu alanlar üzerindeki zeta fonksiyonlarını her aritmetik şemaya veya sonlu tipte bir tamsayı şemasına genelleştirir. Kronecker boyutunun n düzenli bağlantılı eş boyutlu aritmetik şemasının aritmetik zeta fonksiyonu, uygun şekilde tanımlanmış L faktörlerinin ve bir yardımcı faktörün Jean-Pierre Serre ( 1969–1970 ) çarpımına dönüştürülebilir . Fonksiyonel bir denklem ve meromorfik devamlılık varsayarak, L faktörü için genelleştirilmiş Riemann hipotezi, kritik şerit içindeki sıfırlarının merkez çizgi üzerinde olduğunu belirtir . Buna uygun olarak, düzenli bağlantılı eşboyutlu bir aritmetik şemanın aritmetik zeta fonksiyonu için genelleştirilmiş Riemann hipotezi, kritik şerit içindeki sıfırlarının dikey çizgiler üzerinde olduğunu ve kritik şerit içindeki kutuplarının dikey çizgiler üzerinde olduğunu belirtir . Bu, pozitif karakteristikli şemalar için bilinir ve Pierre Deligne'den ( 1974 , 1980 ) gelir, ancak karakteristik sıfırda tamamen bilinmez kalır.
Selberg zeta fonksiyonları
Selberg (1956) , bir Riemann yüzeyinin Selberg zeta fonksiyonunu tanıttı . Bunlar Riemann zeta fonksiyonuna benzer: fonksiyonel bir denklemleri ve Euler çarpımına benzer sonsuz bir çarpımı vardır, ancak asal sayılar yerine kapalı jeodezikleri alırlar. Selberg iz formülü bu fonksiyonlar için analog olan açık formüller asal sayı teorik olarak. Selberg, sıfırlarının sanal kısımlarının Riemann yüzeyinin Laplacian operatörünün özdeğerleriyle ilişkili olduğu, Selberg zeta fonksiyonlarının Riemann hipotezinin analogunu karşıladığını kanıtladı .
Ihara zeta fonksiyonları
Ihara zeta fonksiyonu sonlu grafiğinin bir analog olan Selberg zeta fonksiyonunun , ilk olarak tanıtılan, Yasutaka Ihara iki tarafından iki p-adik özel lineer grubunun isteğe bağlı alt bağlamında. Düzenli bir sonlu grafik, verimli iletişim ağlarının matematiksel bir modeli olan Ramanujan grafiğidir , ancak ve ancak Ihara zeta işlevi T. Sunada tarafından işaret edildiği gibi Riemann hipotezinin analoğunu karşılıyorsa .
Montgomery'nin çift korelasyon varsayımı
Montgomery (1973) , zeta fonksiyonunun (uygun şekilde normalleştirilmiş) sıfırlarının korelasyon fonksiyonlarının, rastgele bir hermit matrisinin özdeğerlerininkilerle aynı olması gerektiğine dair çift korelasyon varsayımını önerdi . Odlyzko (1987) , bunun, bu korelasyon fonksiyonlarının büyük ölçekli sayısal hesaplamalarıyla desteklendiğini gösterdi.
Montgomery, (Riemann hipotezini varsayarak) tüm sıfırların en az 2/3'ünün basit olduğunu gösterdi ve ilgili bir varsayım, zeta fonksiyonunun tüm sıfırlarının basit olduğu (veya daha genel olarak, hayali kısımları arasında önemsiz olmayan tamsayı doğrusal ilişkilerine sahip olmadığı) idi. ). Riemann zeta fonksiyonunu genelleştiren cebirsel sayı alanlarının Dedekind zeta fonksiyonları , genellikle birden fazla karmaşık sıfıra sahiptir. Bunun nedeni, Dedekind zeta fonksiyonlarının Artin L fonksiyonlarının kuvvetlerinin bir ürünü olarak çarpanlara ayrılmasıdır , bu nedenle Artin L fonksiyonlarının sıfırları bazen Dedekind zeta fonksiyonlarının çoklu sıfırlarına yol açar. Çoklu sıfırlı zeta fonksiyonlarının diğer örnekleri, bazı eliptik eğrilerin L-fonksiyonlarıdır : bunlar kritik çizgilerinin gerçek noktasında birden fazla sıfıra sahip olabilir; Birch-Swinnerton-Dyer varsayım , bu sıfır çokluğu eliptik eğri seviye olduğunu öngörür.
Diğer zeta fonksiyonları
Bazıları ispatlanmış olan Riemann hipotezinin analogları ile zeta fonksiyonlarının birçok başka örneği vardır . Fonksiyon alanlarının Goss zeta fonksiyonları , Sheats (1998) tarafından kanıtlanan bir Riemann hipotezine sahiptir . Siklotomik alanlar için Barry Mazur ve Andrew Wiles tarafından ve tamamen gerçek alanlar için Wiles tarafından kanıtlanan Iwasawa teorisinin ana varsayımı , bir p- adik L- fonksiyonunun sıfırlarını bir operatörün özdeğerleriyle tanımlar , bu nedenle bir olarak düşünülebilir. analog Hilbert poliA varsayım için p -adic L -functions .
denenmiş kanıtlar
Birkaç matematikçi Riemann hipotezini ele aldı, ancak girişimlerinin hiçbiri henüz bir kanıt olarak kabul edilmedi. Watkins (2007) bazı yanlış çözümleri listeler.
operatör teorisi
Hilbert ve Polya Riemann hipotezini türetmek için tek yönlü bir bulmak olacağını söyledi özeslenik operatörü Ç sıfırlarının reel kısımlarında beyanı (hangi varlığından, s tek reali kriterini uyguladığında) takip edecek özdeğerler . Bu fikre bir miktar destek, sıfırları bir operatörün özdeğerlerine karşılık gelen Riemann zeta fonksiyonlarının birkaç analogundan gelir: sonlu bir alan üzerinde bir çeşitliliğin bir zeta fonksiyonunun sıfırları , bir étale kohomoloji grubundaki bir Frobenius öğesinin özdeğerlerine karşılık gelir ; Bir Selberg zeta fonksiyonunun sıfırları, bir Riemann yüzeyinin bir Laplacian operatörünün özdeğerleridir ve bir p-adic zeta fonksiyonunun sıfırları , ideal sınıf grupları üzerindeki bir Galois eyleminin özvektörlerine karşılık gelir .
(1987) Odlyzko gösterdi eigen bazı istatistiksel özellikleri Riemann zeta fonksiyonu hisse sıfır dağılımı , rastgele matrisler çekilen Gauss yekpare topluluğu . Bu, Hilbert-Pólya varsayımına biraz destek verir .
1999 yılında, Michael Berry ve Jonathan Keating bazı bilinmeyen nicemleme olduğunu conjectured klasik Hamilton arasında H = xp böylece
Üzerinde Riemann hipotezi ile analoji sonlu alanları sıfır tekabül Hilbert alanı içeren özvektörler ilk çeşit olabileceğini düşündürmektedir cohomoloji grubu arasında spektrumu Spektroskopisi ( Z tamsayılar). Deninger (1998) , böyle bir kohomoloji teorisi bulma girişimlerinden bazılarını tanımladı.
Zagier (1981) , Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarına karşılık gelen Laplacian operatörü altında özdeğerleri olan üst yarı düzlemde değişmez fonksiyonların doğal bir uzayını inşa etti ve olası olmayan bir durumda uygun bir pozitifin varlığının gösterilebileceğini belirtti. bu uzayda kesin iç çarpım, Riemann hipotezi takip ederdi. Cartier (1982) , tuhaf bir hata nedeniyle bir bilgisayar programının Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarını aynı Laplacian operatörünün özdeğerleri olarak listelediği ilgili bir örneği tartıştı .
Schumayer ve Hutchinson (2011) , Riemann zeta fonksiyonu ile ilgili uygun bir fiziksel model oluşturma girişimlerinden bazılarını araştırdı.
Lee-Yang teoremi
Lee-Yang teoremi belli sıfırları belirtiyor bölüm fonksiyonları içinde istatistiksel mekanik gerçek kısmı ile "kritik hat" tüm yalan 0'a eşittir ve bu Riemann hipotezi ile ilişkisi hakkında bazı spekülasyonlara yol açmıştır.
Turán'ın sonucu
Pál Turán ( 1948 ), eğer fonksiyonların
değişmeyen geometri
Connes ( 1999 , 2000 ), Riemann hipotezi ile değişmeli olmayan geometri arasında bir ilişki tanımladı ve
idèle sınıf grubunun adele sınıf uzayı üzerindeki eylemi için Selberg iz formülünün uygun bir analoğunun Riemann hipotezini ima edeceğini gösterdi. Bu fikirlerin bazıları Lapidus'ta (2008) detaylandırılmıştır .Tüm fonksiyonların Hilbert uzayları
Louis de Branges ( 1992 ) Riemann hipotezi belli bir pozitiflik koşulu dan takip edeceğini gösterdi Hilbert uzay ait tüm fonksiyonları . Ancak Conrey ve Li (2000) , gerekli pozitiflik koşullarının sağlanmadığını göstermiştir. Bu engele rağmen, de Branges aynı doğrultuda Riemann hipotezinin ispatı üzerinde çalışmaya devam etti, ancak bu diğer matematikçiler tarafından geniş çapta kabul edilmedi.
yarı kristaller
Riemann hipotezi, zeta fonksiyonunun sıfırlarının ,
Fourier dönüşümünün de ayrık desteği olan ayrık destekli bir dağılım olan yarı kristal oluşturduğunu ima eder . Dyson (2009) , 1 boyutlu yarı kristalleri sınıflandırarak veya en azından inceleyerek Riemann hipotezini kanıtlamaya çalışmayı önerdi.Sayı alanları üzerindeki eliptik eğri modellerinin aritmetik zeta fonksiyonları
Bir geometrik boyuttan, örneğin bir cebirsel sayı alanından , geometrik boyut iki'ye, örneğin bir sayı alanı üzerindeki bir eliptik eğrinin düzenli modeline geçildiğinde , modelin
aritmetik zeta fonksiyonu için genelleştirilmiş Riemann hipotezinin iki boyutlu kısmı zeta fonksiyonunun kutuplarıyla ilgilenir. Birinci boyutta, Tate'in tezindeki zeta integralinin incelenmesi , Riemann hipotezi hakkında yeni önemli bilgilere yol açmaz. Bunun aksine, Ivan Fesenko'nun Tate'in tezinin iki boyutlu genelleştirilmesi üzerine iki boyutlu çalışması, zeta fonksiyonuyla yakından ilişkili bir zeta integralinin integral temsilini içerir. Birinci boyutta mümkün olmayan bu yeni durumda, zeta fonksiyonunun kutupları, zeta integrali ve ilgili adele grupları aracılığıyla incelenebilir. Fesenko'nun ( 2010 ) zeta integrali ile bağlantılı bir sınır fonksiyonunun dördüncü türevinin pozitifliği üzerine ilgili varsayımı, esasen genelleştirilmiş Riemann hipotezinin kutup kısmını ima eder. Suzuki ( 2011 ), ikincisinin bazı teknik varsayımlarla birlikte Fesenko'nun varsayımını ima ettiğini kanıtladı.Çoklu zeta fonksiyonları
Deligne'nin sonlu alanlar üzerindeki Riemann hipotezinin kanıtı, orijinal zeta fonksiyonunun sıfırlarının reel kısımlarını sınırlamak için sıfırları ve kutupları orijinal zeta fonksiyonunun sıfırlarının ve kutuplarının toplamına karşılık gelen ürün çeşitlerinin zeta fonksiyonlarını kullandı. Kurokawa (1992) , analojiyle, sıfırları ve kutupları, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları ve kutuplarının toplamına karşılık gelen çoklu zeta fonksiyonlarını tanıttı. Seriyi yakınsamak için, negatif olmayan sanal kısmı olan sıfır veya kutup toplamları ile sınırlandırdı. Şimdiye kadar, çoklu zeta fonksiyonlarının sıfırları ve kutupları üzerindeki bilinen sınırlar, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları için faydalı tahminler verecek kadar güçlü değil.
sıfırların yeri
sıfır sayısı
Argüman ilkesi ile birleştirilmiş fonksiyonel denklem , sanal kısmı 0 ile T arasında olan zeta fonksiyonunun sıfır sayısının şu şekilde verildiğini ima eder :
için s = 1/2 + i T bağımsız değişken Im (doğrultusunda boyunca sürekli olarak değişen ile tanımlanır, s ) = T , ∞ + i de bağımsız değişkeni 0 ile başlayan T . Bu, büyük ama iyi anlaşılmış bir terimin toplamıdır.
ve küçük ama oldukça gizemli bir terim
Dolayısıyla, T'ye yakın sanal kısmı olan sıfırların yoğunluğu yaklaşık log( T )/2π'dir ve S fonksiyonu bundan küçük sapmaları tanımlar. İşlev S ( t ) zeta fonksiyonunun her bir sıfır, 1 ile atlar ve için t ≥ 8 azalır monoton bir -log için türev yakın olan sıfırlar arasındaki t .
Trudgian (2014) , eğer , o zaman olduğunu kanıtladı
- .
Karatsuba (1996), her aralığın ( T , T + H ] için en az
S ( t ) fonksiyonunun işaret değiştirdiği noktalar .
Selberg (1946) , S'nin bile güçlerinin ortalama momentlerinin şu şekilde verildiğini gösterdi:
Bu, S ( T )/(log log T ) 1/ 2'nin ortalama 0 ve varyans 2π 2 olan bir Gauss rastgele değişkenine benzediğini gösterir ( Ghosh (1983) bu gerçeği kanıtlamıştır). özellikle | S ( T )| genellikle (log log T ) 1/2 civarında bir yerdedir , ancak bazen çok daha büyüktür. S ( T ) 'nin kesin büyüme sırası bilinmemektedir. Riemann hipotezi biraz daha küçük olan S ( T )=O(log T /log log T ) sınırını ima etse de, Riemann'ın orijinal S ( T )=O(log T ) sınırında koşulsuz bir gelişme olmamıştır . Gerçek büyüklük sırası bundan biraz daha az olabilir, çünkü S ( T ) ile aynı dağılıma sahip rasgele fonksiyonlar log( T ) 1/2 mertebesinde büyümeye sahip olma eğilimindedir . Diğer yönde çok küçük olamaz: (1946) Selberg göstermiştir S ( T ) ≠ O ((log T ) 1/3 / (log T ) 7/3 ) ve Riemann hipotezi Montgomery varsayarak göstermiştir S ( T ) ≠ o((log T ) 1/2 /(log log T ) 1/2 ) .
Sayısal hesaplamalar, S'nin çok yavaş büyüdüğünü doğrulamaktadır : | S ( T )| < 1 için T < 280 , | S ( T )| < 2 için T < 6 800 000 ve en büyük değer | S ( T )| Şimdiye kadar bulunan 3'ten çok büyük değil.
Riemann'ın S ( T ) = O(log T ) tahmini , sıfırlar arasındaki boşlukların sınırlı olduğunu ima eder ve Littlewood, hayali kısımları arasındaki boşlukların 0'a eğilimli olduğunu göstererek bunu biraz geliştirdi.
Hadamard ve de la Vallée-Poussin Teoremi
Hadamard (1896) ve de la Vallée-Poussin (1896) , Re( s ) = 1 doğrusu üzerinde hiçbir sıfırın olamayacağını bağımsız olarak kanıtladılar. bu, önemsiz olmayan tüm sıfırların kritik şeridin 0 < Re( s ) < 1 içinde olması gerektiğini gösterdi . Bu, asal sayı teoreminin ilk kanıtlarında önemli bir adımdı .
Gerçek kısım 1 ile zeta fonksiyonunun sıfırları olmadığının orijinal kanıtlarının ikisi de benzerdir ve ζ(1+ it ) kaybolursa, ζ(1+2 it )'nin tekil olduğunu göstermeye bağlıdır, ki bu mümkün değildir. Bunu yapmanın bir yolu eşitsizliği kullanmaktır.
σ > 1, t real için ve limite σ → 1 olarak bakarak bu eşitsizlik, Euler çarpımının logunun reel kısmını alarak şunu görmek için takip eder.
toplamın tüm asal kuvvetlerin üzerinde olduğu p n , böylece
en az 1'dir çünkü toplamdaki tüm terimler pozitiftir, eşitsizlikten dolayı
Sıfır içermeyen bölgeler
De la Vallée-Poussin (1899–1900) , eğer σ + i t , Riemann zeta fonksiyonunun bir sıfırıysa, o zaman
1 − σ ≥ olduğunu kanıtladı.C/günlük( t )bazı pozitif sabitler için C . Başka bir deyişle, sıfırlar σ = 1 doğrusuna çok yakın olamaz : Bu doğruya yakın sıfırdan arındırılmış bir bölge vardır. Bu sıfırdan arındırılmış bölge, Vinogradov'un ortalama değer teoremi gibi yöntemler kullanılarak birkaç yazar tarafından genişletildi . Ford (2002) , açık sayısal sabitleri olan bir versiyon verdi: ζ(σ + i t ) ≠ 0 her zaman | t | ≥ 3 ve2015 yılında Mossinghoff ve Trudgian, zeta'nın bölgede sıfır olmadığını kanıtladı.
için | t | ≥ 2 . Bu kritik şeritte bilinen en büyük sıfırdan arındırılmış bölgedir .
Kritik hattaki sıfırlar
Hardy (1914) ve Hardy & Littlewood (1921) , zeta fonksiyonu ile ilgili belirli fonksiyonların momentlerini dikkate alarak kritik çizgide sonsuz sayıda sıfır olduğunu gösterdi. Selberg (1942) , en azından (küçük) bir pozitif sıfır oranının doğru üzerinde olduğunu kanıtladı. Levinson (1974) , zeta fonksiyonunun sıfırlarını türevinin sıfırlarıyla ilişkilendirerek bunu sıfırların üçte biri olarak geliştirdi ve Conrey (1989) bunu beşte iki oranında geliştirdi.
Çoğu sıfır kritik çizgiye yakındır. Daha kesin olarak, Bohr ve (1914) Landau herhangi bir pozitif £ değerinin için, aralarında gerçek bir parçası, en az 1/2 + ε ve sanal parça olan sıfır sayısı olduğunu göstermiştir -T ve T olup . Kritik şerit üzerindeki sıfırların kritik hat etrafında simetrik olduğu ve kritik şeritteki toplam sıfır sayısının olduğu gerçeğiyle birleştiğinde ,
neredeyse tüm önemsiz olmayan sıfırlar kritik hattın ε mesafesi içindedir. Ivić (1985) , sanal kısmı en fazla T ve gerçek kısmı en az 1/2+ε olan bölgelerdeki sıfır sayısını sınırlayan, sıfır yoğunluk tahminleri adı verilen bu sonucun birkaç daha kesin versiyonunu verir .Hardy-Littlewood varsayımları
1914'te Godfrey Harold Hardy , sonsuz sayıda gerçek sıfıra sahip olduğunu kanıtladı .
Bir sonraki iki conjectures Hardy ve John Edensor Littlewood gerçek sıfırlar arasındaki mesafeye ve sıfır yoğunluğuna aralığına yeterince büyük için ve ve küçük olarak olası değeri olarak , bir isteğe bağlı olarak küçük bir sayıdır, iki açık Riemann zeta fonksiyonunun araştırılmasında yeni yönler:
- 1. Herhangi biri için bir alt sınır vardır, öyle ki for ve aralığı , fonksiyonun tek sıralı sıfırını içerir .
Izin gerçek sıfırların toplam sayısı ve fonksiyonunun garip düzenin sıfırların toplam sayısı aralığına yatarken .
- 2. Herhangi biri için vardır ve bazı , öyle ki for ve eşitsizliği doğrudur.
Selberg'in zeta fonksiyonu varsayımı
Atle Selberg ( 1942 ) Hardy-Littlewood 2 problemini araştırdı ve herhangi bir ε > 0 için böyle ve
c = c (ε) > 0 olduğunu kanıtladı , öyle ki for ve eşitsizliği doğrudur. Selberg, bunun sıkılaştırılabileceğini tahmin etti . AA Karatsuba ( 1984a , 1984b , 1985 ) 0 < ε < 0,001 koşulunu sağlayan sabit bir ε için yeterince büyük bir T ve , aralığının ( T , T + H ) en az cH log( T ) gerçek sıfır içerdiğini kanıtladı arasında Riemann zeta fonksiyonu ve dolayısıyla Selberg varsayım doğruladı. Selberg ve Karatsuba'nın tahminleri T → ∞ olarak büyüme sırasına göre iyileştirilemez .Karatsuba (1992) , Selberg varsayımının bir benzerinin hemen hemen tüm aralıklar ( T , T + H ] için geçerli olduğunu kanıtladı , burada ε keyfi olarak küçük bir sabit pozitif sayıdır. Karatsuba yöntemi, " üzerinde Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarını araştırmaya izin verir. kritik çizginin süper kısa" aralıkları, yani (
T , T + H ] aralıklarında , uzunluğu H herhangi bir, hatta keyfi olarak küçük T derecesinden daha yavaş büyür . Özellikle, belirli herhangi bir sayı için ε, hemen hemen tüm aralıklar ( T , T + H ] için şartları sağlayan fonksiyonun en az sıfırlarını içerir.Bu tahmin Riemann hipotezinden çıkan tahmine oldukça yakındır.Sayısal hesaplamalar
İşlev
kritik şeritteki zeta fonksiyonu ile aynı sıfırlara sahiptir ve fonksiyonel denklem nedeniyle kritik doğru üzerinde gerçektir, bu nedenle fonksiyonun tersi olduğunu sayısal olarak kontrol ederek, iki nokta arasındaki gerçek doğru üzerinde tam olarak sıfırların varlığı kanıtlanabilir. bu noktalarda işaretler. Genellikle biri yazar
burada Hardy'nin Z fonksiyonu ve Riemann–Siegel teta fonksiyonu θ benzersiz olarak bununla tanımlanır ve bunların θ(0)=0 ile düzgün gerçek fonksiyonlar olmaları koşuluyla tanımlanır. Z fonksiyonunun işaret değiştirdiği birçok aralık bularak , kritik hatta çok sayıda sıfır olduğu gösterilebilir. Sıfırların belirli bir
T sanal parçasına kadar Riemann hipotezini doğrulamak için , bu bölgede başka sıfır olmadığının da kontrol edilmesi gerekir. Bu, Turing'in yöntemini kullanarak bölgedeki toplam sıfır sayısını hesaplayarak ve satırda bulunan sıfır sayısıyla aynı olup olmadığını kontrol ederek yapılabilir. Bu, istenen herhangi bir T değerine kadar Riemann hipotezinin hesaplamalı olarak doğrulanmasına izin verir (bu bölgedeki zeta fonksiyonunun tüm sıfırlarının basit ve kritik çizgide olması şartıyla).Sıfır "yüksekliği" hayali bölümünün büyüklüğü ve yüksekliği olduğu zeta fonksiyonunun sıfır bazı hesaplamalar, aşağıda sıralanmıştır n γ ile gösterilir sıfır inci n . Şimdiye kadar kontrol edilen tüm sıfırlar kritik çizgidedir ve basittir. (Birden fazla sıfır, sıfırlar arasındaki işaret değişikliklerini bulmaya bağlı olan sıfır bulma algoritmaları için sorunlara neden olur.) Sıfırların tabloları için Haselgrove & Miller (1960) veya Odlyzko'ya bakın .
Yıl | sıfır sayısı | Yazar |
---|---|---|
1859? | 3 | B. Riemann, Riemann-Siegel formülünü kullandı (yayınlanmadı, ancak Siegel 1932'de rapor edildi ). |
1903 | 15 | JP Gram (1903) kullanılan Euler-Maclaurin Sumasyon ve keşfedilen Gram kanunu . Bulduğu köklerin ters 10. kuvvetlerinin toplamını hesaplayarak, sanal kısmı en fazla 50 aralığında olan 10 sıfırın hepsinin gerçek kısım 1/2 ile kritik doğru üzerinde olduğunu gösterdi. |
1914 | 79 (γ n ≤ 200) | RJ Backlund (1914) , zeta fonksiyonunun S ( T ) argümanını inceleyerek, o noktaya kadar olan tüm sıfırların doğru üzerinde olup olmadığını kontrol etmek için daha iyi bir yöntem sunmuştur. |
1925 | 138 (γ n ≤ 300) | JI Hutchinson (1925) , Gram yasasının ilk başarısızlığını, Gram g 126 noktasında buldu . |
1935 | 195 | EC Titchmarsh (1935) , yakın zamanda yeniden keşfedilen ve Euler-Maclaurin toplamından çok daha hızlı olan Riemann-Siegel formülünü kullandı. Bu O sürer ( T 3/2 + ε ) daha az hayali bölümü ile sıfır kontrol etmek için adım T Euler-Maclaurın yöntemi O (yaklaşık alırken, T 2 + ε ) adımları. |
1936 | 1041 | EC Titchmarsh (1936) ve LJ Comrie sıfırları elle bulan son kişilerdi. |
1953 | 1104 | AM Turing (1953) , Z'nin birkaç ardışık Gram noktasında doğru işarete sahip olduğunu kontrol ederek ve S ( T olduğu gerçeğini kullanarak, bir noktaya kadar olan tüm sıfırların doğrudaki sıfırlarla hesaplandığını kontrol etmenin daha etkili bir yolunu buldu. ) ortalama değeri 0'a sahiptir. Bu, neredeyse hiç ekstra çalışma gerektirmez, çünkü Gram noktalarındaki Z'nin işareti , sıfırları bulmaktan zaten bilinir ve hala kullanılan olağan yöntemdir. Bu, sıfırları hesaplamak için dijital bir bilgisayarın ilk kullanımıydı. |
1956 | 15 000 | DH Lehmer (1956) , zeta fonksiyonunun satırda "sadece" olan sıfırlara sahip olduğu birkaç durum keşfetti: zeta fonksiyonunun iki sıfırı birbirine o kadar yakındır ki, aralarında bir işaret değişikliği bulmak alışılmadık derecede zordur. Bu, "Lehmer fenomeni" olarak adlandırılır ve ilk olarak 7005.063 ve 7005.101 sanal bölümleri olan sıfırlarda meydana gelir; bu, yalnızca .04 farklılık gösterirken, bu noktaya yakın diğer sıfırlar arasındaki ortalama boşluk yaklaşık 1'dir. |
1956 | 25 000 | DH Lehmer |
1958 | 35 337 | NA Meller |
1966 | 250 000 | RS Lehman |
1968 | 3 500 000 | Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) Rosser kuralını (aşağıda açıklanmıştır ) belirtti. |
1977 | 40 000 000 | RP Brent |
1979 | 81 000 001 | RP Brent |
1982 | 200 000 001 | RP Brent, J. van de Lune , HJJ te Riele , DT Winter |
1983 | 300 000 001 | J. van de Lune, HJJ te Riele |
1986 | 1 500 000 001 | van de Lune, te Riele ve Winter (1986) sıfırlar hakkında bazı istatistiksel veriler verdi ve alışılmadık davranışları olan yerlerde Z'nin birkaç grafiğini verdi . |
1987 | Birkaç büyük (~10 12 ) yükseklik | AM Odlyzko ( 1987 ) , Montgomery'nin çift korelasyon varsayımını kontrol etmek için çok daha büyük yükseklikteki daha küçük sıfırları, 10 12 civarında , yüksek hassasiyetle hesapladı . |
1992 | Birkaç büyük (~10 20 ) yükseklik | (PM Odlyzko 1992 ) yaklaşık 10 yükseklikleri 175 milyon sıfır hesaplanmış 20 ve yaklaşık 2 yükseklikleri birkaç x 10 20 ve sonuçların bir kapsamlı bir tartışma verdi. |
1998 | 10000 büyük (~10 21 ) yükseklik | AM Odlyzko ( 1998 ) yüksekliğin bazı sıfırlarını yaklaşık 10 21 hesapladı |
2001 | 10 000 000 000 | J. van de Lune (yayınlanmamış) |
2004 | ~ 900 000 000 000 | S. Wedeniwski ( ZetaGrid dağıtılmış bilgi işlem) |
2004 | 10 000 000 000 000 ve birkaç büyük (~10 24 'e kadar ) yükseklik | X. Gourdon (2004) ve Patrick Demichel, Odlyzko–Schönhage algoritmasını kullandı . Ayrıca 10 13 , 10 14 , ..., 10 24 yüksekliklerinde iki milyar sıfır kontrol ettiler . |
2020 | 12 363 153 437 138 yüksekliğe kadar 3 000 175 332 800 |
Platt ve Trudgian (2021) .
Ayrıca Gourdon (2004) ve diğerlerinin çalışmalarını da doğruladılar . |
Gram puanları
Bir Gram noktası , zeta fonksiyonunun gerçek olduğu ve sıfır olmadığı kritik doğru 1/2 +
it üzerindeki bir noktadır . Kritik çizgide zeta işlevi için ifadeyi kullanarak, ζ(1/2 + it ) = Z ( t )e − i θ( t ) , burada Hardy'nin işlevi Z , gerçek t için gerçektir ve θ Riemann'dır –Siegel teta fonksiyonu , sin(θ( t )) = 0 olduğunda zeta'nın gerçek olduğunu görüyoruz. Bu, θ( t )'nin π'nin tamsayı katı olduğu anlamına gelir , bu da Gram noktalarının konumunun şu şekilde kolayca hesaplanmasını sağlar. θ formülü ters çevrilir. Genellikle n = 0, 1, ... için g n olarak numaralandırılırlar , burada g n , θ( t ) = n π'nin benzersiz çözümüdür .Gram, herhangi iki Gram noktası arasında zeta fonksiyonunun genellikle tam olarak bir sıfır olduğunu gözlemledi; Hutchinson bu gözlemi Gram yasası olarak adlandırdı . Bazen Gram yasası olarak da adlandırılan, birbiriyle yakından ilişkili birkaç ifade daha vardır: örneğin, (-1) n Z ( g n ) genellikle pozitiftir veya Z ( t ) ardışık Gram noktalarında genellikle zıt işarete sahiptir. Hayali parçalar γ N ilk birkaç sıfırların (mavi) ile birinci birkaç gram noktaları g n , aşağıdaki tabloda verilmektedir
g -1 | y 1 | g 0 | y 2 | g 1 | y 3 | g 2 | y 4 | g 3 | y 5 | g 4 | γ 6 | g 5 | ||
0 | 3.436 | 9.667 | 14.135 | 17.846 | 21.022 | 23.170 | 25.011 | 27.670 | 30.425 | 31.718 | 32.935 | 35.467 | 37.586 | 38.999 |
Gram yasasının ilk başarısızlığı , "yanlış" sırada olan 127. sıfırda ve g 126 Gram noktasında meydana gelir .
g 124 | y 126 | g 125 | g 126 | γ 127 | y 128 | g 127 | y 129 | g 128 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
279.148 | 279.229 | 280.802 | 282.455 | 282.465 | 283.211 | 284.104 | 284.836 | 285.752 |
Gram noktası t zeta fonksiyonu + 1/2 pozitif ise, iyi adlandırılır o . "Kötü" Gram noktalarının endeksleri Z "yanlış" işareti vardır 126, 134, 195, 211, ... (sekans olan A114856 içinde OEIS ). Bir gram bloğu iki iyi Gram tarafından sınırlanan bir aralık, aralarında, bütün Gram noktaları kötü şekilde işaret etmektedir. Rosser, Yohe & Schoenfeld'e (1969) bağlı Rosser kuralı olarak adlandırılan Gram yasasının bir iyileştirmesi, Gram bloklarının çoğu zaman
içlerinde beklenen sıfır sayısına (Gram aralıklarının sayısıyla aynı ) sahip olduğunu söyler. blokta tam olarak bir sıfır olmayabilir. Örneğin, g 125 ve g 127 ile sınırlanan aralık, benzersiz bir kötü Gram noktası g 126 içeren bir Gram bloğudur ve iki Gram aralığından hiçbiri benzersiz bir sıfır içermese de beklenen 2 sıfır sayısını içerir. Rosser et al. tüm zeta fonksiyonu üzerindeki Rosser kuralının sonsuz sayıda istisnası olmasına rağmen, ilk 3 milyon sıfırda Rosser kuralının istisnası olmadığını kontrol etti.Hem Gram kuralı hem de Rosser kuralı, bir anlamda sıfırların beklenen konumlarından çok uzaklaşmadığını söyler. Bir sıfırın beklenen konumundan uzaklığı, son derece yavaş büyüyen, yukarıda tanımlanan S fonksiyonu tarafından kontrol edilir : ortalama değeri (log log T ) 1/2 mertebesindedir ve
T için sadece 10 24 civarında 2'ye ulaşır . Bu, her iki kuralın da çoğu zaman küçük T için geçerli olduğu, ancak sonunda sıklıkla bozulduğu anlamına gelir . Gerçekten de Trudgian (2011) , hem Gram yasasının hem de Rosser kuralının vakaların olumlu bir bölümünde başarısız olduğunu göstermiştir. Spesifik olmak gerekirse, yaklaşık %73'ünde bir sıfırın birbirini izleyen iki Gram noktasıyla çevrelenmesi, ancak %14'ünde sıfır olmaması ve %13'ünde iki sıfırın uzun vadede böyle bir Gram aralığında olması beklenir.Riemann hipotezi lehine ve aleyhine argümanlar
Riemann hipotezi hakkındaki matematiksel makaleler, gerçeği hakkında ihtiyatlı bir şekilde tarafsız olma eğilimindedir. Bir görüş bildiren yazarların çoğu, örneğin Riemann (1859) ve Bombieri (2000) bunun doğru olmasını beklediklerini (veya en azından umduklarını) ima eder. Bu konuda ciddi şüphe ifade eden az sayıda yazar , şüpheciliğin bazı nedenlerini sıralayan Ivić (2008) ve bunun yanlış olduğuna inandığını, bunun için hiçbir kanıt bulunmadığını ve bunun için akla gelebilecek hiçbir neden olmadığını açıkça belirten Littlewood (1962) içerir. Gerçek olmak. Anket makalelerinin fikir birliği ( Bombieri 2000 , Conrey 2003 ve Sarnak 2005 ), kanıtların güçlü olduğu, ancak ezici olmadığı, bu nedenle muhtemelen doğru olsa da makul şüphelerin olduğu
yönündedir .Riemann hipotezinin lehine ve aleyhine olan bazı argümanlar
Sarnak (2005) , Conrey (2003) ve Ivić (2008) tarafından listelenmiştir ve aşağıdakileri içermektedir:- Riemann hipotezinin birkaç analogu zaten kanıtlanmıştır. Deligne (1974) tarafından sonlu alanlar üzerindeki çeşitler için Riemann hipotezinin ispatı , muhtemelen Riemann hipotezi lehine en güçlü teorik sebeptir. Bu, otomorfik formlarla ilişkili tüm zeta fonksiyonlarının , özel bir durum olarak klasik Riemann hipotezini içeren bir Riemann hipotezini sağladığına dair daha genel varsayım için bazı kanıtlar sağlar . Benzer şekilde Selberg zeta fonksiyonları Riemann hipotezinin analogunu karşılar ve bazı yönlerden Riemann zeta fonksiyonuna benzer, Euler çarpım açılımına benzer bir fonksiyonel denkleme ve sonsuz çarpım açılımına sahiptir. Ancak bazı önemli farklılıklar da vardır; örneğin, Dirichlet serisi tarafından verilmezler. Goss zeta fonksiyonu için Riemann hipotezi Sheats (1998) tarafından kanıtlanmıştır . Bu olumlu örneklerin aksine, bazı Epstein zeta fonksiyonları kritik doğru üzerinde sonsuz sayıda sıfıra sahip olmalarına rağmen Riemann hipotezini karşılamamaktadır. Bu fonksiyonlar Riemann zeta fonksiyonuna oldukça benzerdir ve bir Dirichlet serisi açılımı ve bir fonksiyonel denkleme sahiptir , ancak Riemann hipotezinde başarısız olduğu bilinenlerin bir Euler çarpımı yoktur ve doğrudan otomorfik temsillerle ilgili değildir .
- İlk başta, çizgide birçok sıfırın bulunduğu sayısal doğrulama, bunun için güçlü bir kanıt gibi görünüyor. Ancak analitik sayı teorisi, yanlış olduğu ortaya çıkan önemli sayısal kanıtlarla desteklenen birçok varsayıma sahiptir. Riemann hipotezi ile ilgili makul bir varsayımın ilk istisnasının muhtemelen 10 316 civarında gerçekleştiği kötü üne sahip bir örnek için Skewes sayısına bakınız ; Riemann hipotezinin hayali kısmı olan bir karşı örnek, bu boyut şu anda doğrudan bir yaklaşım kullanılarak hesaplanabilecek her şeyin çok ötesinde olacaktır. Sorun, davranışın genellikle, log log T gibi sonsuza giden çok yavaş artan fonksiyonlardan etkilenmesidir , ancak bunu o kadar yavaş yapar ki, bu hesaplama ile tespit edilemez. Bu tür işlevler, sıfırlarının davranışını kontrol eden zeta işlevi teorisinde ortaya çıkar; örneğin, yukarıdaki S ( T ) işlevinin ortalama boyutu (log log T ) 1/2 civarındadır . As S ( T ) Riemann hipotezi herhangi kar¸ıt en az 2 oranında atlar, bir zaman sadece görünmeye başlamasını Riemann hipotezi herhangi counterexamples beklediğinizden S ( T ) büyük hale gelir. Hesaplandığı kadarıyla hiçbir zaman 3'ten fazla değildir, ancak sınırsız olduğu bilinmektedir, bu da hesaplamaların zeta fonksiyonunun tipik davranış bölgesine henüz ulaşmamış olabileceğini düşündürür.
-
Denjoy'un Riemann hipotezi için olasılıksal argümanı, eğer μ( x ) "1"ler ve "-1" lerden oluşan rastgele bir diziyse, o zaman her ε > 0 için kısmi toplamlar gözlemine dayanır.
- Odlyzko'daki (1987) hesaplamalar , zeta fonksiyonunun sıfırlarının, rasgele bir Hermitian matrisinin özdeğerleri gibi davrandığını , bunların Riemann hipotezini ima edecek olan bazı kendine eşlenik operatörlerin özdeğerleri olduklarını düşündürür. Böyle bir operatör bulmak için yapılan tüm girişimler başarısız oldu.
- Goldbach'ın yeterince büyük tek sayılar için zayıf varsayımı gibi , ilk önce genelleştirilmiş Riemann hipotezi kullanılarak kanıtlanan ve daha sonra koşulsuz olarak doğru olduğu gösterilen birkaç teorem vardır . Bu, genelleştirilmiş Riemann hipotezi için zayıf bir kanıt olarak kabul edilebilir, çünkü "öngörülerinin" birçoğu doğrudur.
- İki sıfırın bazen çok yakın olduğu Lehmer fenomeni , bazen Riemann hipotezine inanmamak için bir neden olarak gösteriliyor. Ancak, Riemann hipotezi doğru olsa bile, bunun ara sıra tesadüfen gerçekleşmesi beklenebilir ve Odlyzko'nun hesaplamaları, yakındaki sıfır çiftlerinin, Montgomery'nin varsayımının öngördüğü sıklıkta meydana geldiğini ileri sürer .
- Patterson (1988) , çoğu matematikçi için Riemann hipotezinin en zorlayıcı nedeninin, asal sayıların mümkün olduğunca düzenli dağıtılması umudu olduğunu öne sürer.
Notlar
Referanslar
Derbyshire (2003) , Rockmore (2005) , Sabbagh ( 2003a , 2003b ), du Sautoy (2003) ve Watkins (2015) gibi Riemann hipotezi hakkında teknik olmayan birkaç kitap vardır . Kitap Edwards (1974) , Patterson (1988) , Borwein ve diğ. (2008) , Mazur & Stein (2015) ve Broughan (2017) matematiksel girişler verirken, Titchmarsh (1986) , Ivić (1985) ve Karatsuba & Voronin (1992) ileri monograflardır .
- Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift , 19 (1): 207–246, doi : 10.1007/BF01181075 , S2CID 117936362
- Backlund, RJ (1914), "Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann" , CR Acad. bilim Paris , 158 : 1979–1981
- Beurling, Arne (1955), "Riemann zeta fonksiyonuyla ilgili bir kapatma problemi", Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Bilimler Akademisi Bildiriler Kitabı , 41 (5): 312–314, Bibcode : 1955PNAS...41 ..312B , doi : 10.1073/pnas.41.5.312 , MR 0070655 , PMC 528084 , PMID 16589670
- Bohr, H .; Landau, E. (1914), "Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die L -Funktionen", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 37 (1): 269–272, doi : 10.1007/BF03014823 , S2CID 121145912
- Bombieri, Enrico (2000), The Riemann Hipotezi – resmi problem açıklaması (PDF) , Clay Mathematics Institute , alındı 2008-10-25( Borwein ve diğerleri 2008 )'de yeniden basılmıştır .
- Borwein, Peter ; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, ed. (2008), The Riemann Hipotezi: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike , CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi : 10.1007/978-0-387-72126-2 , ISBN 978-0-387-72125-5
- Borwein, Peter ; Ferguson, Ron; Mossinghoff, Michael J. (2008), "Liouville fonksiyonunun toplamlarındaki işaret değişiklikleri", Mathematics of Computation , 77 (263): 1681–1694, Bibcode : 2008MaCom..77.1681B , doi : 10.1090/S0025-5718-08 -02036-X , MR 2398787
- de Branges, Louis (1992), "Euler ürünlerinin yakınsaması", Journal of Functional Analysis , 107 (1): 122–210, doi : 10.1016/0022-1236(92)90103-P , MR 1165869
- Broughan, Kevin (2017), Riemann Hipotezinin Eşdeğerleri , Cambridge University Press, ISBN 978-1108290784
- Burton, David M. (2006), İlköğretim Sayı Teorisi , Tata McGraw-Hill Publishing Company Limited, ISBN 978-0-07-061607-3
- Cartier, P. (1982), "Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée", Sayı Teorisi Semineri, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981) , Progr. Math., 22 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, s. 35–48, MR 0693308
- Connes, Alain (1999), " Değişmeli olmayan geometride iz formülü ve Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları", Selecta Mathematica , New Series, 5 (1): 29–106, arXiv : math/9811068 , doi : 10.1007/s000290050042 , MR 1694895 , S2CID 55820659
- Connes, Alain (2000), " Değişmeli olmayan geometri ve Riemann zeta işlevi", Matematik: sınırlar ve perspektifler , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 35–54, MR 1754766
- Connes, Alain (2016), "Riemann Hipotezi Üzerine Bir Deneme", Nash, JF'de ; Rassias, Michael (ed.), Open Problems in Mathematics , New York: Springer, s. 225–257, arXiv : 1509.05576 , doi : 10.1007/978-3-319-32162-2_5
- Conrey, JB (1989), "Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarının beşte ikisinden fazlası kritik çizgidedir" , J. Reine Angew. Matematik. , 1989 (399): 1-26, doi : 10.1515/crl.1989.399.1 , MR 1004130 , S2CID 115910600
- Conrey, J. Brian (2003), "Riemann Hipotezi" (PDF) , Amerikan Matematik Derneği Bildirimleri : 341–353( Borwein ve diğerleri 2008 )'de yeniden basılmıştır .
- Conrey, JB ; Li, Xian-Jin (2000), "Zeta ve L-fonksiyonları ile ilgili bazı pozitiflik koşulları üzerine bir not", International Mathematics Research Notices , 2000 (18): 929–940, arXiv : math/9812166 , doi : 10.1155/S1073792800000489 , MR 1792282 , S2CID 14678312
- Deligne, Pierre (1974), "La conjecture de Weil. I" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 43 : 273–307, doi : 10.1007/BF02684373 , MR 0340258 , S2CID 123139343
- Deligne, Pierre (1980), "La conjecture de Weil : II" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 52 : 137–252, doi : 10.1007/BF02684780 , S2CID 189769469
- Deninger, Christopher (1998), " Yapraklı uzaylarda sayı teorisi ve dinamik sistemler arasındaki bazı analojiler" , Uluslararası Matematikçiler Kongresi Bildirileri, Cilt. I (Berlin, 1998) , Documenta Mathematica, s. 163–186, MR 1648030
- Dudek, Adrian W. (2014-08-21), "On the Riemann hipotezi ve asal sayılar arasındaki fark", International Journal of Number Theory , 11 (3): 771–778, arXiv : 1402.6417 , Bibcode : 2014arXiv1402.6417D , doi : 10.1142/S1793042115500426 , ISSN 1793-0421 , S2CID 119321107
- Dyson, Freeman (2009), "Kuşlar ve kurbağalar" (PDF) , Amerikan Matematik Derneği Bildirimleri , 56 (2): 212–223, MR 2483565
- Edwards, HM (1974), Riemann'ın Zeta Fonksiyonu , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41740-0, MR 0466039
- Fesenko, Ivan (2010), "Aritmetik şemalar üzerine analiz. II", Journal of K-theory , 5 (3): 437–557, doi : 10.1017/is010004028jkt103
- Ford, Kevin (2002), "Vinogradov'un Riemann zeta fonksiyonu için integrali ve sınırları", Proceedings of the London Mathematical Society , Üçüncü Seri, 85 (3): 565-633, arXiv : 1910.08209 , doi : 10.1112/S0024611502013655 , MR 1936814 , S2CID 121144007
- Franel, J .; Landau, E. (1924), "Les suites de Farey et le problem des nombres premiers" (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202-206)", Göttinger Nachrichten : 198-206
- Ghosh, Amit (1983), "Riemann zeta fonksiyonunda—ortalama değer teoremleri ve |S(T)|'nin dağılımı", J. Number Theory , 17 : 93–102, doi : 10.1016/0022-314X(83) 90000-0
- Gourdon, Xavier (2004), Riemann Zeta fonksiyonunun 10 13 ilk sıfırı ve çok büyük yükseklikte sıfırların hesaplanması (PDF)
- Gram, JP (1903), "Riemann'ın zéros de la fonction sur les zéros de la fonction" , Açta Mathematica , 27 : 289–304, doi : 10.1007/BF02421310 , S2CID 115327214
- Hadamard, Jacques (1896), " Bülten de la Société Mathématique de France , 14 : 199–220, doi : 10.24033/bsmf.545( Borwein ve diğerleri 2008 )'de yeniden basılmıştır .
- Hardy, GH (1914), "Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann" , CR Acad. bilim Paris , 158 : 1012–1014, JFM 45.0716.04( Borwein ve diğerleri 2008 )'de yeniden basılmıştır .
- Hardy, GH ; Littlewood, JE (1921), "Riemann'ın zeta fonksiyonunun kritik çizgi üzerindeki sıfırları" , Math. Z. , 10 (3–4): 283–317, doi : 10.1007/BF01211614 , S2CID 126338046
- Haselgrove, CB (1958), "Pólya varsayımının çürütülmesi", Mathematika , 5 (2): 141–145, doi : 10.1112/S0025579300001480 , ISSN 0025-5793 , MR 0104638 , Zbl 0085.27102( Borwein ve diğerleri 2008 )'de yeniden basılmıştır .
- Haselgrove, CB ; Miller, JCP (1960), Riemann zeta fonksiyonunun tabloları, Royal Society Mathematical Tables, Cilt. 6, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-06152-0, MR 0117905 Gözden geçirmek
- Hutchinson, JI (1925), "On the Roots of the Riemann Zeta-Function", Transactions of the American Mathematical Society , 27 (1): 49-60, doi : 10.2307/1989163 , JSTOR 1989163
- Ingham, AE (1932), The Distribution of Asal Numbers , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 30 , Cambridge University Press. 1990'da yeniden basıldı, ISBN 978-0-521-39789-6 , MR 1074573
- İrlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Modern Sayı Teorisine Klasik Bir Giriş (İkinci baskı) , New York: Springer , ISBN 0-387-97329-X
- Ivić, A. (1985), Riemann Zeta Fonksiyonu , New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-80634-9, MR 0792089 (Dover 2003 tarafından yeniden basılmıştır)
- Ivić, Aleksandar (2008), "Riemann hipotezinden şüphe etmek için bazı nedenler üzerine", Borwein'de, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (eds.), The Riemann Hipotezi: Hem Afficionado ve Virtuoso Alike için Bir Kaynak , CMS Books in Mathematics, New York: Springer, s. 131–160, arXiv : math.NT/0311162 , ISBN 978-0-387-72125-5
- Karatsuba, AA (1984a), "Kritik çizginin kısa aralıklarında ζ(s) fonksiyonunun sıfırları", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (Rusça), 48 (3): 569–584, MR 0747251
- Karatsuba, AA (1984b), " ζ (1/2 + it ) fonksiyonunun sıfırlarının dağılımı ", İzv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (Rusça), 48 (6): 1214–1224, MR 0772113
- Karatsuba, AA (1985), "Kritik hat üzerinde Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları", Trudy Mat. Enst. Steklov. (Rusça) (167): 167–178, MR 0804073
- Karatsuba, AA (1992), "Kritik çizginin hemen hemen tüm kısa aralıklarında yatan Riemann zeta fonksiyonunun sıfır sayısı üzerine", Izv. Ross. Akad. Nauk, Sör. Mat. (Rusça), 56 (2): 372–397, Bibcode : 1993IzMat..40..353K , doi : 10.1070/IM1993v040n02ABEH002168 , MR 1180378
- Karatsuba, AA ; Voronin, SM (1992), Riemann zeta-fonksiyonu , de Gruyter Expositions in Mathematics, 5 , Berlin: Walter de Gruyter & Co., doi : 10.1515/9783110886146 , ISBN 978-3-11-013170-3, MR 1183467
- Keating, Jonathan P.; Snaith, NC (2000), "Rastgele matris teorisi ve ζ (1/2 + it )", Communications in Mathematical Physics , 214 (1): 57–89, Bibcode : 2000CMaPh.214...57K , doi : 10.1007/ s002200000261 , MR 1794265 , S2CID 11095649
- Knapowski, S. (1962), " Farkın işaret değişimleri üzerine ", Açta Arithmetica , 7 : 107–119, doi : 10.4064/aa-7-2-107-119 , MR 0133308
- Knauf, Andreas (1999), "Sayı teorisi, dinamik sistemler ve istatistiksel mekanik", Matematiksel Fizikte İncelemeler , 11 (8): 1027–1060, Bibcode : 1999RvMaP..11.1027K , doi : 10.1142/S0129055X99000325 , MR 1714352
- von Koch, Niels Helge (1901), "Premium'ların en iyi dağıtımları" , Acta Mathematica , 24 : 159–182, doi : 10.1007/BF02403071 , S2CID 119914826
- Kurokawa, Nobushige (1992), "Çoklu zeta fonksiyonları: bir örnek", Zeta fonksiyonları geometride (Tokyo, 1990) , Adv. Damızlık. Pure Math., 21 , Tokyo: Kinokuniya, s. 219–226, MR 1210791
- Lapidus, Michel L. (2008), Riemann sıfırlarının aranması , Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090/mbk/051 , ISBN 978-0-8218-4222-5, MR 2375028
- Lavrik, AF (2001) [1994], "Zeta-fonksiyonu" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
- Lehmer, DH (1956), "Riemann zeta fonksiyonunun genişletilmiş hesaplaması", Mathematika , 3 (2): 102–108, doi : 10.1112/S0025579300001753 , MR 0086083
- Leichtnam, Eric (2005), "Aritmetik zeta fonksiyonları üzerine Deninger'in çalışmasına bir davet", Geometri, spektral teori, gruplar ve dinamikler , Contemp. Math., 387 , Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 201–236, doi : 10.1090/conm/387/07243 , MR 2180209.
- Levinson, N. (1974), "Riemann'ın zeta fonksiyonunun sıfırlarının üçte birinden fazlası σ = 1/2 üzerindedir", Advances in Mathematics , 13 (4): 383–436, doi : 10.1016/0001-8708 (74)90074-7 , MR 0564081
- Littlewood, JE (1962), "Riemann hipotezi", Bilim adamı spekülasyon yapıyor: kısmen pişmiş fikir antolojisi , New York: Temel kitaplar
- van de Lune, J.; te Riele, HJJ ; Winter, DT (1986), "Kritik şeritte Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları üzerinde. IV", Matematiksel Hesaplama , 46 (174): 667–681, doi : 10.2307/2008005 , JSTOR 2008005 , MR 0829637
- Massias, J.-P.; Nicolas, Jean-Louis ; Robin, G. (1988), "Evaluation assymptotique de l'ordre maksimum d'un élément du groupe symétrique" , Acta Arithmetica , 50 (3): 221–242, doi : 10.4064/aa-50-3-221-242 , MR 0960551
- Mazur, Barry; Stein, William (2015), Asal Sayılar ve Riemann Hipotezi
- Montgomery, Hugh L. (1973), "Zeta fonksiyonunun sıfırlarının çift korelasyonu", Analitik sayı teorisi , Proc. Sempozyum. Pure Math., XXIV , Providence, RI: American Mathematical Society, s. 181–193, MR 0337821( Borwein ve diğerleri 2008 )'de yeniden basılmıştır .
- Montgomery, Hugh L. (1983), "Zeta fonksiyonuna yaklaşımların sıfırları", Erdős, Paul (ed.), Studies in Pure matematik. Paul Turán'ın anısına , Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, s. 497–506, ISBN 978-3-7643-1288-6, MR 0820245
- Montgomery, Hugh L. ; Vaughan, Robert C. (2007), Çarpımsal Sayılar Teorisi I. Klasik Teori , İleri matematikte Cambridge çalışmaları, 97 , Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6
- Nicely, Thomas R. (1999), "Yeni maksimum asal boşluklar ve ilk oluşumlar" , Mathematics of Computation , 68 (227) : 1311–1315 , Bibcode : 1999MaCom..68.1311N , doi : 10.1090/S0025-5718-99- 01065-0 , MR 1627813.
- Nyman, Bertil (1950), Belirli İşlev Uzaylarında Tek Boyutlu Çeviri Grubu ve Yarı Grup Üzerine , Doktora Tezi, Uppsala Üniversitesi: Uppsala Üniversitesi, MR 0036444
- Odlyzko, AM ; te Riele, HJJ (1985), "Mertens varsayımının çürütülmesi" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1985 (357): 138–160, doi : 10.1515/crl.1985.357.138 , MR 0783538 , S2CID 13016831 , arşivlendi dan orijinal 2012-07-11 tarihinde
- Odlyzko, AM (1987), "Zeta fonksiyonunun sıfırları arasındaki boşlukların dağılımı üzerine", Mathematics of Computation , 48 (177): 273–308, doi : 10.2307/2007890 , JSTOR 2007890 , MR 0866115
- Odlyzko, AM (1990), "Sınıf numaraları, düzenleyiciler ve zeta fonksiyonlarının sıfırları için diskriminantlar ve ilgili tahminler için sınırlar: son sonuçların bir araştırması" , Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux , Série 2, 2 (1): 119– 141, doi : 10.5802/jtnb.22 , MR 1061762
- Odlyzko, AM (1992), 10 20 'inci Riemann zeta fonksiyonu sıfır ve komşularının 175000000 (PDF) Bu yayınlanmamış kitap, algoritmanın uygulanmasını açıklar ve sonuçları ayrıntılı olarak tartışır.
- Odlyzko, AM (1998), Riemann zeta fonksiyonunun 10 21. sıfırı (PDF)
- Ono, Ken ; Soundararajan, K. (1997), "Ramanujan'ın üçlü ikinci dereceden formu", Inventiones Mathematicae , 130 (3): 415–454, Bibcode : 1997InMat.130..415O , doi : 10.1007/s002220050191 , S2CID 122314044
- Patterson, SJ (1988), Riemann zeta-fonksiyonu teorisine bir giriş , İleri Matematikte Cambridge Çalışmaları, 14 , Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511623707 , ISBN 978-0-521-33535-5, MR 0933558
- Platt, Dave; Trudgian, Tim (Ocak 2021), "Riemann hipotezi şu tarihe kadar doğrudur ", Bülten of the London Mathematical Society , Wiley, arXiv : 2004.09765 , doi : 10.1112/blms.12460 , S2CID 234355998
-
Radziejewski, Maciej (2007), "Sonlu sıralı Hecke zeta fonksiyonlarının normal alanlar üzerinde bağımsızlığı", Transactions of the American Mathematical Society , 359 (5): 2383–2394, doi : 10.1090/S0002-9947-06-04078-5 , MR 2276625 ,
Dedekind zeta fonksiyonlarının sonsuz sayıda önemsiz çoklu sıfıra sahip olduğu sonsuz sayıda izomorfik olmayan cebirsel sayı alanı vardır.
- Ribenboim, Paulo (1996), Asal Sayı Kayıtlarının Yeni Kitabı , New York: Springer , ISBN 0-387-94457-5
- Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" , Monatsberichte der Berliner Akademie. In Gesammelte Werke Dover, New York (1953) tarafından, TEUBNER, Leipzig (1892), yayımlanmaktadır. Orijinal el yazması (İngilizce tercümesi ile). ( Borwein ve diğerleri 2008 ) ve ( Edwards 1974 )'de yeniden basılmıştır .
- Rizel, Hans ; Göhl, Gunnar (1970), "Riemann'ın asal sayı formülüyle ilgili bazı hesaplamalar", Mathematics of Computation , 24 (112): 969–983, doi : 10.2307/2004630 , JSTOR 2004630 , MR 0277489
- Riesz, M. (1916), "Sur l'hypothèse de Riemann", Açta Mathematica , 40 : 185–190, doi : 10.1007/BF02418544
- Robin, G. (1984), "Grandes valeurs de la fonction somme des diiseurs et hipothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 63 (2): 187–213, MR 0774171
- Rodgers, Brad; Tao, Terence (2020), "De Bruijn–Newman sabiti negatif değil", Forum of Mathematics , 8 : e6, 62, doi : 10.1017/fmp.2020.6 , MR 4089393; ayrıca Tao'nun blogundaki duyuruya bakın , 19 Ocak 2018
- Rosser, J. Barkley ; Yohe, JM; Schoenfeld, Lowell (1969), "Titiz hesaplama ve Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları (tartışma ile)", Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Cilt. 1: Matematik, Yazılım , Amsterdam: North-Holland, s. 70–76, MR 0258245
- Rudin, Walter (1973), Fonksiyonel Analiz, 1. baskı (Ocak 1973) , New York: McGraw-Hill , ISBN 0-070-54225-2
- Salem, Raphaël (1953), "Riemann'ın Hipotezinin Önerdiği Sur une önermesi", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences , 236 : 1127–1128, MR 0053148
- Sarnak, Peter (2005), Problems of the Millennium: The Riemann Hipotezi (2004) (PDF) , Clay Mathematics Institute , alındı 2015-07-28( Borwein ve diğerleri 2008 )'de yeniden basılmıştır .
- Schoenfeld, Lowell (1976), "Chebyshev fonksiyonları θ(x) ve ψ(x) için daha keskin sınırlar. II", Mathematics of Computation , 30 (134): 337–360, doi : 10.2307/2005976 , JSTOR 2005976 , MR 0457374
- Schumayer, Daniel; Hutchinson, David AW (2011), "Riemann Hipotezinin Fiziği", Modern Fizik İncelemeleri , 83 (2): 307–330, arXiv : 1101.3116 , Bibcode : 2011RvMP...83..307S , doi : 10.1103/RevModPhys .83.307 , S2CID 119290777
- Selberg, Atle (1942), "Riemann'ın zeta fonksiyonunun sıfırları üzerinde", SKR. Norske Vid. Akad. Oslo I. , 10 : 59 s, MR 0010712
- Selberg, Atle (1946), "Riemann zeta-fonksiyonu teorisine katkılar", Arch. Matematik. Doğal. , 48 (5): 89–155, MR 0020594
- Selberg, Atle (1956), "Dirichlet serilerine uygulamalarla zayıf simetrik Riemann uzaylarında harmonik analiz ve süreksiz gruplar", J. Indian Math. Soc. , Yeni Seri, 20 : 47–87, MR 0088511
- Serre, Jean-Pierre (1969–1970), "Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (tanımlar ve varsayımlar)" , Séminaire Delange-Pisot-Poitou , 19
- Sheats, Jeffrey T. (1998), " F q [T] için Goss zeta fonksiyonu için Riemann hipotezi ", Journal of Number Theory , 71 (1): 121–157, arXiv : math/9801158 , doi : 10.1006 / jnth.1998.2232 , MR 1630979 , S2CID 119703557
- Siegel, CL (1932), "Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie", Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. ve Fizik Abt. B: Öğrenci 2 : 45-80Gesammelte Abhandlungen, Cilt. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
- Speiser, Andreas (1934), "Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion" , Mathematische Annalen , 110 : 514–521 , doi : 10.1007/BF01448042 , JFM 60.0272.04 , S2CID 119413347 , orijinalinden arşivlendi 2015-06-27
- Spira, Robert (1968), "Zeta fonksiyonunun bölümlerinin sıfırları. II", Matematiksel Hesaplama , 22 (101): 163–173, doi : 10.2307/2004774 , JSTOR 2004774 , MR 0228456
- Stein, William ; Mazur, Barry (2007), Riemann'ın Hipotezi Nedir? (PDF) , orijinalinden arşivlendi (PDF) 2009-03-27
- Suzuki, Masatoshi (2011), "Eliptik yüzeyler üzerinde analiz ile ilişkili belirli fonksiyonların pozitifliği ", Journal of Number Theory , 131 (10): 1770–1796, doi : 10.1016/j.jnt.2011.03.007
- Titchmarsh, Edward Charles (1935), "Riemann Zeta-İşlevinin Sıfırları", Londra Kraliyet Cemiyeti Bildirileri. Seri A, Matematik ve Fizik Bilimleri , The Royal Society, 151 (873): 234–255, Bibcode : 1935RSPSA.151..234T , doi : 10.1098/rspa.1935.0146 , JSTOR 96545
- Titchmarsh, Edward Charles (1936), "Riemann Zeta-İşlevinin Sıfırları", Londra Kraliyet Cemiyeti Bildirileri. Seri A, Matematik ve Fen Bilimleri , Royal Society, 157 (891): 261-263, bibcode : 1936RSPSA.157..261T , doi : 10,1098 / rspa.1936.0192 , Özyeğin 96692
- Titchmarsh, Edward Charles (1986), Riemann zeta fonksiyonunun teorisi (2. baskı), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6, MR 0882550
- Trudgian, Timothy S. (2014), "Kritik hat II üzerindeki Riemann zeta fonksiyonunun argümanı için geliştirilmiş bir üst sınır", J. Number Theory , 134 : 280–292, arXiv : 1208.5846 , doi : 10.1016/j. jnt.2013.07.017
- Trudgian, Timothy (2011), "Gram Yasası ve Rosser Kuralının başarısı ve başarısızlığı üzerine", Açta Arithmetica , 125 (3): 225–256, doi : 10.4064/aa148-3-2
- Turán, Paul (1948), "Riemann'ın zeta-fonksiyonu teorisinde bazı yaklaşık Dirichlet polinomları üzerine", Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Med. , 24 (17): 36, MR 0027305( Borwein ve diğerleri 2008 )'de yeniden basılmıştır .
- Turing, Alan M. (1953), "Riemann zeta fonksiyonunun bazı hesaplamaları", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 3 : 99–117, doi : 10.1112/plms/s3-3.1.99 , MR 0055785
- de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1896), "Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers", Ann. Soc. bilim Brüksel , 20 : 183–256
- de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1899–1900), "Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nomres premiers inférieurs à une limite donnée", Mem. Couronnes Acad. bilim bel. , 59 (1)( Borwein ve diğerleri 2008 )'de yeniden basılmıştır .
- Weil, André (1948), Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent , Actualités Sci. Ind., hayır. 1041 = Yayın Enst. Matematik. Üniv. Strasbourg 7 (1945), Hermann ve Cie., Paris, MR 0027151
- Weil, André (1949), "Sonlu alanlarda denklemlerin çözümlerinin sayısı", Amerikan Matematik Derneği Bülteni , 55 (5): 497–508, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , MR 0029393Oeuvres Scientifiques/Collected Papers'da yeniden basılmıştır, Andre Weil ISBN 0-387-90330-5
- Weinberger, Peter J. (1973), "Cebirsel tamsayıların Öklid halkaları üzerine", Analitik sayı teorisi ( St. Louis Univ., 1972) , Proc. Sempozyum. Pure Math., 24 , Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 321–332, MR 0337902
- Wiles, Andrew (2000), "Sayı teorisinin yirmi yılı", Matematik: sınırlar ve perspektifler , Providence, RI: American Mathematical Society, s. 329-342, ISBN 978-0-8218-2697-3, MR 1754786
- Zagier, Don (1977), "İlk 50 milyon asal sayı" (PDF) , Math. Intelligencer , Springer, 1 : 7–19, doi : 10.1007/BF03039306 , MR 0643810 , S2CID 189886510 , orijinalinden arşivlendi (PDF) 2009-03-27
- Zagier, Don (1981), "Eisenstein serisi ve Riemann zeta fonksiyonu", Otomorfik formlar, temsil teorisi ve aritmetik (Bombay, 1979) , Tata Inst. Fon, sermaye. Araş. Matematik Çalışmaları, 10 , Tata Inst. Fundamental Res., Bombay, s. 275–301, MR 0633666
Popüler sergiler
- Sabbagh, Karl (2003a), Matematikte çözülmemiş en büyük problem , Farrar, Straus ve Giroux, New York, ISBN 978-0-374-25007-2, MR 1979664
- Sabbagh, Karl (2003b), Dr. Riemann'ın sıfırları , Atlantic Books, Londra, ISBN 978-1-843-54101-1
- du Sautoy, Marcus (2003), Asal sayıların müziği , HarperCollins Publishers, ISBN 978-0-06-621070-4, MR 2060134
- Rockmore, Dan (2005), Riemann hipotezini takip etmek , Pantheon Books, ISBN 978-0-375-42136-5, MR 2269393
- Derbyshire, John (2003), Prime Obsession , Joseph Henry Press, Washington, DC, ISBN 978-0-309-08549-6, MR 1968857
- Watkins, Matthew (2015), Asal Sayıların Gizemi , Liberalis Kitapları, ISBN 978-1782797814, MR 0000000
- Frenkel, Edward (2014), The Riemann Hipotezi Numberphile , 11 Mart 2014 (video)
Dış bağlantılar
- İlgili Medya Riemann hipotezi Wikimedia Commons
- Amerikan matematik enstitüsü , Riemann hipotezi
- Sıfır veritabanı , 103 800 788 359 sıfır
- Riemann Hipotezi Anahtarı - Numberphile , bir YouTube tarafından Riemann hipotezi hakkında Video Numberphile
- Apostol, Tom , s'nin zetasının sıfırları nerede?John Derbyshire tarafından söylenen Riemann hipotezi hakkında şiir .
- Borwein, Peter , The Riemann Hipotezi (PDF) , orijinalinden arşivlendi (PDF) 2009-03-27 (Bir ders için slaytlar)
- Conrad, K. (2010), Riemann hipotezinin sonuçları
- Conrey, J. Brian; Farmer, David W, Riemann hipotezine denklikler , orijinalinden 2010-03-16 tarihinde arşivlendi
- Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2004), Zeta fonksiyonunun sıfırlarının hesaplanması (GUE hipotezini gözden geçirir, ayrıca kapsamlı bir kaynakça sağlar).
- Odlyzko, Andrew , Ana sayfadahil zeta fonksiyonunun sıfır üzerine kağıtları ve zeta fonksiyonunun sıfır tablolarında
- Odlyzko, Andrew (2002), Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları: Tahminler ve hesaplamalar (PDF) Bir konuşmanın slaytları
- Pegg, Ed (2004), On Trilyon Zeta Sıfır , Matematik Oyunları web sitesi. Xavier Gourdon'un ilk on trilyon önemsiz sıfırları hesaplamasının bir tartışması
- Z(t) çizimi için Pugh, Glen, Java uygulaması
- Rubinstein, Michael, sıfırları üretme algoritması , 2007-04-27'de orijinalinden arşivlendi.
- du Sautoy, Marcus (2006), Prime Numbers Get Hitched , Seed Magazine, 2017-09-22 tarihinde orijinalinden arşivlendi , alındı 2006-03-27CS1 bakımı: uygun olmayan URL ( bağlantı )
- Stein, William A. , Riemann'ın hipotezi nedir , orijinalinden 2009-01-04 tarihinde arşivlendi
- de Vries, Andreas (2004), Riemann Zeta fonksiyonunun Grafiği ζ(s), basit bir animasyonlu Java uygulaması.
- Watkins, Matthew R. (2007-07-18), Riemann Hipotezinin Önerilen Kanıtları
- Zetagrid (2002) Riemann'ın hipotezini çürütmeye çalışan bir dağıtık hesaplama projesi; Kasım 2005'te kapandı