Özel dik üçgen - Special right triangle

"90-45-45 üçgen" buraya yönlendirir. Çizim aracı için bkz. 90-45-45 kare karesi .
"30-60-90 üçgen" buraya yönlendirir. Çizim aracı için 30-60-90 kare kareye bakın .
Bazı özel üçgenlerin , ikizkenar üçgenlerin en az iki eşit kenara sahip olduğu, yani eşkenar üçgenlerin ikizkenar olduğu tanımını kullanarak, üçgen türlerinin bir Euler diyagramındaki konumu .

Bir özel dik üçgen bir olan dik üçgen üzerinde hesaplamalar yapar bazı düzenli özelliği ile üçgen basit formüller var daha kolay ya da kendisi için. Örneğin, bir dik üçgenin 45 ° –45 ° –90 ° gibi basit ilişkiler oluşturan açıları olabilir . Buna "açı temelli" dik üçgen denir. "Yana dayalı" bir dik üçgen, kenarların uzunluklarının 3: 4: 5 gibi tam sayıların veya altın oran gibi diğer özel sayıların oranlarını oluşturduğu üçgendir . Bu özel dik üçgenlerin açılarının veya kenar oranlarının ilişkilerini bilmek, daha gelişmiş yöntemlere başvurmadan geometrik problemlerde çeşitli uzunlukları hızlı bir şekilde hesaplamayı sağlar .

Açı temelli

Bir birim daireye yazılmış özel açı temelli üçgenler , 30 ve 45 derecenin katlarının trigonometrik fonksiyonlarını görselleştirmek ve hatırlamak için kullanışlıdır .

"Açı temelli" özel dik üçgenler, üçgenin oluştuğu açıların ilişkileri ile belirlenir. Bu üçgenlerin açıları, 90 derece veya daha büyük (sağ) açı olacak şekildedir. π / 2 radyan , diğer iki açının toplamına eşittir.

Kenar uzunlukları genellikle birim çember veya diğer geometrik yöntemler temelinde çıkarılır . Bu yaklaşım, 30 °, 45 ° ve 60 ° açıları için trigonometrik fonksiyonların değerlerini hızlı bir şekilde yeniden üretmek için kullanılabilir .

Aşağıdaki gibi, ortak trigonometrik fonksiyonların hesaplanmasına yardımcı olmak için özel üçgenler kullanılır:

derece radyan galon döner günah çünkü bronzlaşmak koton
0 ° 0 0 g 0 √ 0 / 2 = 0 √ 4 / 2 = 1 0 Tanımsız
30 ° π / 6 33 + 1 / 3 g 1 / 12 √ 1 / 2 = 1 / 2 √ 3 / 2 1 / √ 3 √ 3
45 ° π / 4 50 g 1 / 8 √ 2 / 2 = 1 / √ 2 √ 2 / 2 = 1 / √ 2 1 1
60 ° π / 3 66 + 2 / 3 g 1 / 6 √ 3 / 2 √ 1 / 2 = 1 / 2 √ 3 1 / √ 3
90 ° π / 2 100 g 1 / 4 √ 4 / 2 = 1 √ 0 / 2 = 0 Tanımsız 0
45 ° –45 ° –90 °
30 ° –60 ° –90 °

45 ° –45 ° –90 ° üçgen, 30 ° –60 ° –90 ° üçgen ve eşkenar / eşkenar üçgen (60 ° –60 ° –60 °) üçgen , düzlemdeki üç Möbius üçgenidir , yani yanlarındaki yansımalar aracılığıyla düzlemi mozaiklemek ; bkz Üçgen grubu .

45 ° –45 ° –90 ° üçgen

Gönye
45 ° –45 ° –90 ° üçgenin yan uzunlukları

Olarak düzlem geometri , bir köşegen inşa kare 180 ° veya kadar ekleyerek, 2: 1: olan üç açı oranı 1 olan bir üçgen sonuçlar π radyan. Dolayısıyla, açılar sırasıyla 45 ° ( π / 4 ), 45 ° ( π / 4 ) ve 90 ° ( π / 2 ). 1: Bu üçgen taraf 1 oranında olan  √ 2 hemen ardından, Pisagor teoreminin .

Tüm sağ üçgenler arasında 45 ° –45 ° –90 ° derece üçgen, hipotenüsün bacakların toplamına en küçük oranına sahiptir. √ 2 / 2 . ve yüksekliğin hipotenüsten bacakların toplamına en büyük oranı , yani √ 2 / 4 .

Bu açılara sahip üçgenler , Öklid geometrisinde ikizkenar üçgenler olan tek olası dik üçgenlerdir . Bununla birlikte, küresel geometride ve hiperbolik geometride , sonsuz sayıda farklı dik ikizkenar üçgen şekli vardır.

30 ° –60 ° –90 ° üçgen

Gönye
30 ° –60 ° –90 ° üçgenin yan uzunlukları

Bu, üç açısı 1: 2: 3 oranında olan ve sırasıyla 30 ° ( π / 6 ), 60 ° ( π / 3 ) ve 90 ° ( π / 2 ). Kenarlar 1: √ 3  : 2 oranındadır  .

Bu gerçeğin kanıtı, trigonometri kullanılarak açıktır . Geometrik kanıtıdır:

Kenar uzunluğu 2 olan ve D noktası BC segmentinin orta noktası olan bir ABC eşkenar üçgen çizin . Bir yükseklik çizgi çizin A için D . O halde ABD , 2 uzunluğunda hipotenüs ve 1 temel BD uzunluğuna sahip 30 ° –60 ° –90 ° üçgendir .
Kalan AD bacağının √ 3 uzunluğa sahip olduğu gerçeği , Pisagor teoreminden hemen sonra gelir .

30 ° –60 ° –90 ° üçgen, açıları aritmetik olarak ilerleyen tek dik üçgendir . Bu gerçeğin kanıtı basittir ve eğer α , α + δ , α + 2 δ ilerlemedeki açılarsa, 3 α + 3 δ = 180 ° açılarının toplamı olduğu gerçeğinden hareket eder . 3'e böldükten sonra α + δ açısı 60 ° olmalıdır. Sağ açı 90 ° olup, kalan açı 30 ° olarak bırakılır.

Yan tabanlı

Kimin taraf vardır Sağ üçgenler tamsayı toplu olarak bilinen kenarlı uzunlukları, Pisagor üçlüsü , tüm olamaz açıları sahip rasyonel sayılar arasında dereceye . (Bu, Niven'in teoreminden kaynaklanır .) En çok , kolayca hatırlanabilmeleri ve tarafların herhangi bir çokluunun aynı ilişkiyi üretmesi açısından faydalıdırlar . Öklid'in Pisagor üçlüsü oluşturmak için formülünü kullanarak, taraflar orantılı olmalıdır.

m 2 - n 2  : 2 dak  : m 2 + n 2

burada m ve n , m > n gibi herhangi bir pozitif tamsayıdır .

Ortak Pisagor üçlüleri

Ana madde: Pisagor üçlüsü

Oranlarda kenarları olanlar da dahil olmak üzere iyi bilinen birkaç Pisagor üçlüsü vardır:

3: 4 : 5
5: 12 : 13
8: 15 : 17
7: 24 : 25
9: 40 : 41

3: 4: 5 üçgenler, aritmetik ilerlemede kenarları olan tek dik üçgenlerdir . Pisagor üçlülerine dayanan üçgenler Heronian'dır , yani tam sayı alanlarının yanı sıra tam sayı tarafları da vardır.

Eski Mısır'da 3: 4: 5 üçgenin böyle bir üçgen oluşturmak için düğümlü bir ipin kullanılmasıyla olası kullanımı ve o zamanlar Pisagor teoreminin bilinip bilinmediği sorusu çok tartışıldı. İlk kez 1882'de tarihçi Moritz Cantor tarafından varsayılmıştır . Eski Mısır'da dik açıların doğru bir şekilde yerleştirildiği bilinmektedir; anketörlerinin ölçüm için halat kullandığını; bu Plutarkhos'un kaydedilen Osiris ve 4: Mısırlı 3 takdir ki (yaklaşık 100 AD) 5 üçgen; ve o Berlin Papirüs 6619 den Mısır Orta Krallık belirtti (M.Ö. 1700 öncesi) "100'lük bir karenin alanı iki küçük kareler o eşittir. birinin yan diğer ½ + ¼ taraftır. " Matematik tarihçisi Roger L. Cooke, "Pisagor teoremini bilmeden kimsenin bu tür koşullarla ilgilendiğini hayal etmek zordur" diyor. Buna karşın Cooke, MÖ 300'den önceki hiçbir Mısır metninin bir üçgenin kenarlarının uzunluğunu bulmak için teoremin kullanımından bahsetmediğini ve bir dik açı oluşturmanın daha basit yolları olduğunu not eder. Cooke, Cantor'un varsayımının belirsiz kaldığı sonucuna varıyor: Eski Mısırlıların muhtemelen Pisagor teoremini bildiklerini tahmin ediyor, ancak "bunu dik açıları oluşturmak için kullandıklarına dair hiçbir kanıt yok".

Aşağıdakiler, her iki hipotenüs olmayan taraf 256'dan az olacak şekilde, en düşük biçimde (yukarıdaki listede en düşük formdaki en küçük beşin ötesinde) ifade edilen Pisagor üçlü oranlarının tümüdür:

11: 60 : 61     
12: 35 : 37
13: 84 : 85
15: 112 : 113
16: 63 : 65
17: 144 : 145
19: 180 : 181
20: 21 : 29
20: 99 : 101
21: 220 : 221
24: 143 : 145     
28: 45 : 53
28: 195 : 197
32: 255 : 257
33: 56 : 65
36: 77 : 85
39: 80 : 89
44: 117 : 125
48: 55 : 73
51: 140 : 149
52: 165 : 173     
57: 176 : 185
60: 91 : 109
60: 221 : 229
65: 72 : 97
84: 187 : 205
85: 132 : 157
88: 105 : 137
95: 168 : 193
96: 247 : 265
104: 153 : 185
105: 208 : 233
115: 252 : 277
119: 120 : 169
120: 209 : 241
133: 156 : 205
140: 171 : 221
160: 231 : 281
161: 240 : 289
204: 253 : 325
207: 224 : 305

Neredeyse ikizkenar Pisagor üçlüleri

Ya da diğer tarafa hipotenüs oranı, çünkü ikizkenar, üçgenler tam sayı değerleri ile yana sahip olamaz dik açılı √ 2 ve √ 2 , iki öğe içeren bir oranı olarak ifade edilemez . Bununla birlikte, sonsuz sayıda neredeyse ikizkenar dik üçgen mevcuttur. Bunlar, hipotenüs olmayan kenarların uzunluklarının bir farklılık gösterdiği tamsayı kenarlara sahip dik açılı üçgenlerdir . Bu tür neredeyse ikizkenar dik açılı üçgenler özyinelemeli olarak elde edilebilir,

a 0 = 1, b 0 = 2
bir n = 2 b n −1 + bir n −1
b n = 2 bir n + b n −1

a n , hipotenüs uzunluğudur, n = 1, 2, 3, .... Eşit olarak,

burada { x , y }, Pell denkleminin çözümleri x 2 - 2 y 2 = −1 , hipotenüs y 1 , 2, 5 , 12, 29 , 70, 169 , 408 Pell sayılarının tek terimidir, 985 , 2378 ... (sekans A000129 içinde OEIS ) .. Ortaya çıkan en küçük Pisagor üçlü şunlardır:

3: 4 : 5
20: 21 : 29
119: 120 : 169
696: 697 : 985
4,059: 4.060 : 5.741
23.660: 23.661 : 33.461
137.903: 137.904 : 195.025
803,760: 803.761 : 1.136.689
4.684.659:  4.684.660  : 6.625.109

Alternatif olarak, aynı üçgenler, kare üçgen sayılardan türetilebilir .

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler

Bir Kepler üçgen göre geometrik ilerlemesi alanları ile üç kareler ile oluşturulan bir dik üçgen olan altın oranı .
Ana madde: Kepler üçgeni

Kepler üçgeni, kenarları geometrik olarak ilerleyen bir dik üçgendir . Kenarları geometrik ilerleme oluşturulduğu takdirde , a , ar , ar 2 , yaygın oram, daha sonra r ile verilir r = √ φ burada φ olan altın oranı . Dolayısıyla kenarları 1: √ φ  : φ oranındadır . Böylece, Kepler üçgeninin şekli, kenarlarının geometrik ilerlemede olması gerekliliği ile benzersiz bir şekilde belirlenir (bir ölçek faktörüne kadar).

3–4–5 üçgen, kenarları aritmetik ilerlemede olan benzersiz dik üçgendir (ölçeğe kadar) .

Normal çokgenlerin kenarları

Bir beşgenin, altıgen ve ongenin kenarları, uyumlu dairelerle yazılmış , bir dik üçgen oluşturur

Let bir = 2 sin  π / 10 = −1 + √ 5 / 2 = 1 / φ birim çember içine yazılmış bir düzgün ongenin kenar uzunluğu; burada φ altın orandır. Let b = 2 sin  π / 6 = 1 , birim çemberdeki normal altıgenin kenar uzunluğu olsun ve c = 2 sin  π / 5 = birim çemberdeki düzgün bir beşgenin kenar uzunluğu . Sonra a 2 + b 2 = c 2 , yani bu üç uzunluk bir dik üçgenin kenarlarını oluşturur. Aynı üçgen, altın bir dikdörtgenin yarısını oluşturur . Ayrıca, kenar uzunluğu c olan düzenli bir ikosahedron içinde de bulunabilir : herhangi bir V tepe noktasından beş komşusunun düzlemine kadar olan en kısa çizgi parçası, a uzunluğuna sahiptir ve bu çizgi parçasının uç noktaları, V'nin komşularından herhangi biriyle birlikte , kenarları a , b ve c olan bir dik üçgenin köşeleri .

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ a b Posamentier, Alfred S. ve Lehman, Ingmar. Üçgenlerin Sırları . Prometheus Kitapları, 2012.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Rasyonel Üçgen" . MathWorld .
  3. ^ a b c d e f Cooke, Roger L. (2011). Matematik Tarihi: Kısa Bir Ders (2. baskı). John Wiley & Sons. sayfa 237–238. ISBN   978-1-118-03024-0 .
  4. ^ Gillings, Richard J. (1982). Firavunlar Zamanında Matematik . Dover. s.  161 .
  5. ^ Unut, TW; Larkin, TA (1968), " Yineleme dizileriyle tanımlanan x , x  + 1, z formundaki Pisagor üçlüleri " (PDF) , Fibonacci Quarterly , 6 (3): 94–104 .
  6. ^ Chen, CC; Peng, TA (1995), "Neredeyse ikizkenar dik açılı üçgenler" (PDF) , The Australasian Journal of Combinatorics , 11 : 263–267, MR   1327342 .
  7. ^ (Sekans A001652 olarak OEIS )
  8. ^ Nyblom, MA (1998), "Neredeyse ikizkenar dik açılı üçgenler kümesi hakkında bir not" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 36 (4): 319–322, MR   1640364 .
  9. ^ Beauregard, Raymond A .; Suryanarayan, ER (1997), "Aritmetik üçgenler", Matematik Dergisi , 70 (2): 105–115, doi : 10.2307 / 2691431 , MR   1448883 .
  10. ^ Öklid'in Elemanları , Kitap XIII, Önerme 10 .
  11. ^ nLab: beşgen ongen altıgen kimliği .

Dış bağlantılar