İkizkenar üçgen - Isosceles triangle

İkizkenar üçgen
Üçgen.İkizkenarlar.svg
Dikey simetri ekseni olan ikizkenar üçgen
Tip üçgen
Kenarlar ve köşeler 3
Schläfli sembolü ( ) ∨ { }
simetri grubu Dih 2 , [ ], (*), sipariş 2
Çift çokgen Kendinden çift
Özellikler dışbükey , döngüsel

İn geometrisi , bir ikizkenar üçgen a, üçgen , eşit uzunluktaki iki kenara sahiptir. Bazen tam olarak iki kenarın eşit uzunlukta olduğu, bazen de en az iki kenarın eşit uzunlukta olduğu belirtilir, ikinci versiyon bu nedenle özel bir durum olarak eşkenar üçgeni içerir . İkizkenar üçgen örnekleri, ikizkenar dik üçgeni , altın üçgeni ve iki piramitlerin yüzlerini ve bazı Katalan katı cisimlerini içerir .

İkizkenar üçgenlerin matematiksel çalışması, eski Mısır matematiğine ve Babil matematiğine kadar uzanır . İkizkenar üçgenler daha eski zamanlardan beri dekorasyon olarak kullanılmıştır ve mimari ve tasarımda, örneğin binaların alınlıklarında ve duvarlarında sıkça görülür .

İki eşit kenara bacak denir ve üçüncü kenara üçgenin tabanı denir. Üçgenin yüksekliği, alanı ve çevresi gibi diğer boyutları, bacak ve taban uzunluklarından basit formüllerle hesaplanabilir. Her ikizkenar üçgen, tabanının dik açıortayı boyunca bir simetri eksenine sahiptir . Bacakların karşısındaki iki açı eşittir ve her zaman dardır , bu nedenle üçgenin dar, dik veya geniş olarak sınıflandırılması yalnızca iki bacağı arasındaki açıya bağlıdır.

Terminoloji, sınıflandırma ve örnekler

Öklid, bir ikizkenar üçgeni tam olarak iki eşit kenarı olan bir üçgen olarak tanımladı, ancak modern tedaviler ikizkenar üçgenleri en az iki eşit kenara sahip olarak tanımlamayı tercih ediyor. Bu iki tanım arasındaki fark, modern versiyonun eşkenar üçgenleri (üç eşit kenarlı) ikizkenar üçgenlerin özel bir durumu haline getirmesidir. İkizkenar olmayan (üç eşit olmayan kenarı olan) üçgene skalen denir . "İkizkenar", Yunanca "isos" (eşit) ve "skelos" (bacak) köklerinden yapılmıştır . Aynı kelime, örneğin, ikizkenar yamuklar , iki eşit kenarı olan yamuklar ve her üçü bir ikizkenar üçgen oluşturan nokta kümeleri olan ikizkenar kümeler için kullanılır .

Tam olarak iki kenarı eşit olan bir ikizkenar üçgende, eşit kenarlara bacak , üçüncü kenara ise taban denir . Bacakların oluşturduğu açıya tepe açısı , kenarlarından biri tabanı olan açılara taban açıları denir . Tabanın karşısındaki tepe noktasına apeks denir . Eşkenar üçgen durumunda tüm kenarlar eşit olduğundan herhangi bir kenar taban olarak adlandırılabilir.

Özel ikizkenar üçgenler
Calabi üçgeninde üç uyumlu yazılı kare
Bir altın üçgen daha küçük bir altın üçgen ve altın güneş saati mili bölünmüştür

Bir ikizkenar üçgenin dar, sağ veya geniş olup olmadığı yalnızca tepesindeki açıya bağlıdır. Gelen Öklid geometrisi ; ölçülen, en az 180 toplamı, çünkü, temel açıları (90'dan daha büyük °) veya sağ (° 90 eşit) geniş olamaz °, bir Öklid üçgen tüm toplam açı. Bir üçgen ancak ve ancak açılarından biri sırasıyla geniş veya sağ ise geniş veya sağ olduğundan, bir ikizkenar üçgen ancak ve ancak tepe açısı sırasıyla geniş, sağ veya dar ise geniş, sağ veya dardır. In Edwin Abbott kitabı Düzülke'ye , şekillerin bu sınıflandırma bir hiciv olarak kullanıldı sosyal hiyerarşide : üçgenler temsil ikizkenar çalışma sınıfını akut ikizkenar üçgenler doğru ya da geniş ikizkenar üçgen daha hiyerarşisinde daha yüksek olan,.

İkizkenar dik üçgenin yanı sıra, ikizkenar üçgenlerin diğer bazı özel şekilleri de incelenmiştir. Bunlar arasında Calabi üçgeni (üç uyumlu yazılı kareye sahip bir üçgen), altın üçgen ve altın gnomon (kenarları ve tabanı altın oranda olan iki ikizkenar üçgen ), Langley'nin Adventif Açılar bulmacasında görünen 80-80-20 üçgeni bulunur. , ve triakis üçgen döşemenin 30-30-120 üçgeni . Beş Katalan katısı , triakis tetrahedron , triakis octahedron , tetrakis hexahedron , pentakis dodecahedron ve triakis icosahedron , sonsuz sayıda piramit ve bipiramit gibi her birinin ikizkenar üçgen yüzleri vardır .

formüller

Boy uzunluğu

Herhangi bir ikizkenar üçgen için aşağıdaki altı doğru parçası çakışır:

Ortak uzunlukları üçgenin yüksekliğidir . Üçgen uzunluğunun eşit kenara varsa ve uzunluğu taban , genel üçgen formülleri bu segmentlerin uzunlukları için tüm kolaylaştırmak

Bu formül , yüksekliğin tabanı ikiye böldüğü ve ikizkenar üçgeni iki uyumlu dik üçgene böldüğü gerçeği kullanılarak Pisagor teoreminden de türetilebilir .

Herhangi bir üçgen Euler hattı üçgenin geçer orthocenter (üç yüksekliklerde kesişimi) gösterilen, ağırlık merkezi (üç medyan kesişimi) ve onun circumcenter da (üç tarafı dik bisectors kesiştiği üç köşeden geçen çemberin merkezi). Tam olarak iki kenarı eşit olan bir ikizkenar üçgende, bu üç nokta farklıdır ve (simetri ile) hepsi üçgenin simetri ekseni üzerinde bulunur ve buradan Euler çizgisinin simetri ekseniyle çakıştığı sonucu çıkar. İncenter üçgenin de Euler hattı, diğer üçgenler için doğru değildir şeyin üzerindedir. Belirli bir üçgende açıortay, medyan veya yükseklikten herhangi ikisi çakışıyorsa, bu üçgen ikizkenar olmalıdır.

Alan

Bir ikizkenar üçgenin alanı , yüksekliği için formülden ve taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı olarak bir üçgenin alanı için genel formülden türetilebilir:

Aynı alan formülü, Heron'un bir üçgenin üç kenarından alan formülünden de türetilebilir . Bununla birlikte, Heron formülünü doğrudan uygulamak , çok keskin açılara sahip ikizkenar üçgenler için sayısal olarak kararsız olabilir , çünkü bu üçgenlerde yarı çevre ve kenar uzunlukları arasındaki yakın iptal .

Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı ve bacak uzunlukları biliniyorsa, o üçgenin alanı:

Bu, iki kenarın çarpımının yarısı, iç açının sinüsü olarak bir üçgenin alanı için genel formülün özel bir halidir.

Çevre

Çevre eşit kenarları bulunan bir eşkenar üçgen ve taban sadece bir

Herhangi bir üçgende olduğu gibi, alan ve çevre izoperimetrik eşitsizlik ile ilişkilidir.

Bu, kenarları tabana eşit olmayan ikizkenar üçgenler için katı bir eşitsizliktir ve eşkenar üçgen için bir eşitlik haline gelir. Alan, çevre ve taban da denklem ile birbirleriyle ilişkilendirilebilir.

Taban ve çevre sabitse, bu formül, aynı taban ve çevreye sahip tüm üçgenler arasında mümkün olan maksimum olan, ortaya çıkan ikizkenar üçgenin alanını belirler. Öte yandan, alan ve çevre sabitse, bu formül taban uzunluğunu elde etmek için kullanılabilir, ancak benzersiz değildir: genel olarak belirli bir alan ve çevre ile iki ayrı ikizkenar üçgen vardır . İzoperimetrik eşitsizlik bir eşitlik haline geldiğinde, eşkenar olan sadece bir tane üçgen vardır.

açıortay uzunluğu

İki eşit kenarın uzunluğu ve diğer kenarın uzunluğu varsa , iki eşit açılı köşeden birinin iç açıortay

birlikte

ve tersine, eğer ikinci koşul geçerliyse, ile parametrelenen ve var olan bir ikizkenar üçgen .

Steiner-Lehmus teoremi eşit uzunlukta iki açı bisectors her ikizkenar üçgen olduğunu belirtmektedir. 1840 yılında CL Lehmus tarafından formüle edilmiştir . Diğer adaşı Jakob Steiner , ilk çözüm sunanlardan biriydi. Orijinal olarak yalnızca iç açıortaylar için formüle edilmiş olsa da, bunun yerine iki dış açıortayın eşit olduğu birçok durumda (hepsi değil) işe yarar. 30-30-120 ikizkenar üçgen , teoremin bu varyasyonu için bir sınır durumu oluşturur, çünkü dört eşit açılı açıortay (iki iç, iki dış) vardır.

yarıçap

Çevre merkezini (mavi), ağırlık merkezini (kırmızı), merkez noktasını (yeşil) ve simetri eksenini (mor) gösteren ikizkenar üçgen

Bir ikizkenar üçgen için yarıçap ve dairesel yarıçap formülleri, isteğe bağlı üçgenler için formüllerinden türetilebilir. Kenar uzunluğu , tabanı ve yüksekliği olan bir ikizkenar üçgenin yazılı çemberinin yarıçapı :

Dairenin merkezi, üçgenin simetri ekseni üzerinde, bu mesafe tabanın üzerindedir. Bir ikizkenar üçgen, aynı taban ve tepe açısına sahip üçgenler arasında mümkün olan en büyük yazılı daireye sahiptir ve aynı zamanda aynı üçgen sınıfı arasında en büyük alana ve çevreye sahiptir.

Sınırlı çemberin yarıçapı :

Dairenin merkezi, üçgenin simetri ekseni üzerinde, bu mesafe tepe noktasının altındadır.

yazılı kare

Herhangi bir ikizkenar üçgen için, bir kenarı üçgenin tabanıyla aynı çizgide olan ve karşılıklı iki köşesi kenarlarında olan benzersiz bir kare vardır. Calabi üçgen taraf üçgenin kenarlarının eş doğrusal olan, temel kare ile aynı boyutta olan, diğer iki yazılı kareler bu özelliği ile özel bir ikizkenar üçgendir. İskenderiye Kahramanı'nın eserlerinde korunan çok daha eski bir teorem, tabanı ve yüksekliği olan bir ikizkenar üçgen için, üçgenin tabanında yazılı karenin kenar uzunluğunun olduğunu belirtir.

Diğer şekillerin ikizkenar alt bölümü

Döngüsel bir beşgenin, çevresinin yarıçaplarına göre ikizkenar üçgenlere bölünmesi

Herhangi bir tamsayı için , herhangi bir üçgen ikizkenar üçgenlere bölünebilir . Bir dik üçgende , hipotenüsün medyanı (yani, hipotenüsün orta noktasından dik açılı tepe noktasına kadar olan çizgi parçası), dik üçgeni iki ikizkenar üçgene böler. Hipotenüs orta noktası merkezi olmasıdır circumcircle dik üçgenin ve bölme ile oluşturulan iki üçgen her yanlarından ikisi olarak iki eşit yarıçapa sahiptir. Benzer şekilde, bir dar üçgen , çevre merkezinden gelen parçalarla üç ikizkenar üçgene bölünebilir, ancak bu yöntem geniş üçgenler için işe yaramaz, çünkü çevre merkezi üçgenin dışındadır.

Bir dar üçgenin bölünmesini genelleştirirsek, çevrelenmiş çemberinin merkezini içeren herhangi bir döngüsel çokgen , bu çemberin köşeleri aracılığıyla yarıçapları tarafından ikizkenar üçgenlere bölünebilir. Bir dairenin tüm yarıçaplarının eşit uzunlukta olması, bu üçgenlerin hepsinin ikizkenar olduğunu ima eder. Bu bölüm, çevre merkezlerini içermeyen döngüsel çokgenler için bile, kenar uzunluklarının bir fonksiyonu olarak çokgenin alanı için bir formül türetmek için kullanılabilir. Bu formül, Heron'un üçgenler için formülünü ve Brahmagupta'nın döngüsel dörtgenler için formülünü genelleştirir .

Ya diyagonal a eşkenar dörtgen ikiye böler o uyumlu üçgenler ikizkenar. Benzer şekilde, bir uçurtmanın iki köşegeninden biri onu iki ikizkenar üçgene böler; bunlar, uçurtmanın eşkenar dörtgen olması dışında birbiriyle uyumlu değildir.

Uygulamalar

Mimarlık ve tasarımda

Pantheon, Roma'nın geniş ikizkenar alınlığı
Saint-Etienne portalı, Notre-Dame de Paris üzerinde akut ikizkenar üçgenler

Üçgenler yaygın görünen ikizkenar mimarisinin ait şekiller olarak kalkan ve alınlıkları . Gelen antik Yunan mimarisi ve daha sonra taklitler, geniş ikizkenar üçgen kullanıldı; içinde Gotik mimarinin bu akut ikizkenar üçgen aldı.

In Ortaçağ mimarisi , başka üçgen şekli popüler oldu ikizkenar: Mısır ikizkenar üçgen. Bu, akut olan bir ikizkenar üçgendir, ancak eşkenar üçgenden daha azdır; yüksekliği tabanının 5/8'i ile orantılıdır. Mısır ikizkenar üçgeni, Hollandalı mimar Hendrik Petrus Berlage tarafından modern mimaride tekrar kullanılmaya başlandı .

Dikeyler ile değiştirilmiş bir Warren kafes kirişinin ayrıntılı görünümü

Köprüler gibi Warren kafes yapıları genellikle ikizkenar üçgenlerde düzenlenir, ancak bazen ek güç için dikey kirişler de dahil edilir. Geniş ikizkenar üçgenlerle mozaiklenmiş yüzeyler , iki kararlı duruma sahip konuşlandırılabilir yapılar oluşturmak için kullanılabilir : yüzeyin silindirik bir sütuna genişlediği katlanmamış bir durum ve daha kompakt bir prizma şekline katlandığı katlanmış bir durum, daha fazla olabilir. kolayca taşınır. Aynı mozaik deseni , silindirik yüzeyler eksenel olarak sıkıştırıldığında oluşan bir model olan Yoshimura burkulmasının ve Schwarz fenerinin temelini oluşturur ; matematikte, pürüzsüz bir yüzeyin alanının, çokyüzlülerin birbirine yakınsaması ile her zaman doğru bir şekilde yaklaşılamayacağını göstermek için kullanılan bir örnek. yüzey.

Gelen grafik tasarım ve dekoratif sanatlar , ikizkenar üçgen en azından gelen dünyada kültürler sık eleman olmuştur Erken Neolitik , modern zamanlara. Bunlar, örneğin Guyana bayrağında dikey bir tabanla veya bir dağ adasının stilize edilmiş bir görüntüsünü oluşturdukları Saint Lucia bayrağında yatay bir tabanla belirgin bir şekilde görünen bayraklarda ve hanedanlık armalarında ortak bir tasarım öğesidir .

Onlar da örneğin, dini veya mistik öneme sahip tasarımlarda kullanılmış olan Sri Yantra ait Hindu meditasyon uygulaması .

Matematiğin diğer alanlarında

Gerçek katsayılı bir kübik denklemin tamamı gerçek sayı olmayan üç kökü varsa, bu kökler karmaşık düzlemde bir Argand diyagramı olarak çizildiğinde , simetri ekseni yatay (gerçek) eksenle çakışan bir ikizkenar üçgenin köşelerini oluştururlar. . Bunun nedeni, karmaşık köklerin karmaşık eşlenik olmaları ve dolayısıyla gerçek eksene göre simetrik olmalarıdır.

Gelen gök mekaniğinin , üç cisim problemi kütleleri, bu şekilde düzenlenir varsayarak sayısını azalttığı için üç bölüm, bir eşkenar üçgen oluşturan özel bir durum olarak çalışılmıştır serbestlik derecesi için azaltmadan sistemin cisimler bir eşkenar üçgen oluşturduğunda Lagrange nokta durumunu çözdü . Sınırsız salınımlara sahip olduğu gösterilen üç cisim probleminin ilk örnekleri, ikizkenar üç cisim problemindeydi.

Tarih ve yanılgılar

İkizkenar üçgenler eski Yunan matematikçiler tarafından incelenmeden çok önce , Eski Mısır matematiği ve Babil matematiğinin uygulayıcıları, alanlarını nasıl hesaplayacaklarını biliyorlardı. Bu tür problemler Moskova Matematik Papirüsüne ve Rhind Matematik Papirüsüne dahil edilmiştir .

Bir ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit olduğu teoremi Öklid'de Önerme I.5 olarak karşımıza çıkar. Bu sonuç, pons asinorum (eşek köprüsü) veya ikizkenar üçgen teoremi olarak adlandırılmıştır. Bu isim için rakip açıklamalar, Öklid'in sonucu gösterdiğinde kullandığı diyagramın bir köprüye benzemesi veya bunun Öklid'deki ilk zor sonuç olması ve Öklid'in geometrisini anlayabilenleri diğerlerinden ayırmaya çalıştığı teorisini içerir. kim yapamaz.

İyi bilinen bir yanılgı , tüm üçgenlerin ikizkenar olduğu ifadesinin yanlış kanıtıdır . Robin Wilson , bu argümanı 1899'da yayınlayan Lewis Carroll'a borçludur, ancak WW Rouse Ball 1892'de yayınladı ve daha sonra Carroll'un argümanı ondan aldığını yazdı. Bu yanılgının kökleri, Öklid'in arasındalık kavramını tanımamasından ve bunun sonucunda figürlerin içi ile dışının belirsizliğinden kaynaklanmaktadır .

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar