İkizkenar üçgen - Isosceles triangle
İkizkenar üçgen | |
---|---|
Tip | üçgen |
Kenarlar ve köşeler | 3 |
Schläfli sembolü | ( ) ∨ { } |
simetri grubu | Dih 2 , [ ], (*), sipariş 2 |
Çift çokgen | Kendinden çift |
Özellikler | dışbükey , döngüsel |
İn geometrisi , bir ikizkenar üçgen a, üçgen , eşit uzunluktaki iki kenara sahiptir. Bazen tam olarak iki kenarın eşit uzunlukta olduğu, bazen de en az iki kenarın eşit uzunlukta olduğu belirtilir, ikinci versiyon bu nedenle özel bir durum olarak eşkenar üçgeni içerir . İkizkenar üçgen örnekleri, ikizkenar dik üçgeni , altın üçgeni ve iki piramitlerin yüzlerini ve bazı Katalan katı cisimlerini içerir .
İkizkenar üçgenlerin matematiksel çalışması, eski Mısır matematiğine ve Babil matematiğine kadar uzanır . İkizkenar üçgenler daha eski zamanlardan beri dekorasyon olarak kullanılmıştır ve mimari ve tasarımda, örneğin binaların alınlıklarında ve duvarlarında sıkça görülür .
İki eşit kenara bacak denir ve üçüncü kenara üçgenin tabanı denir. Üçgenin yüksekliği, alanı ve çevresi gibi diğer boyutları, bacak ve taban uzunluklarından basit formüllerle hesaplanabilir. Her ikizkenar üçgen, tabanının dik açıortayı boyunca bir simetri eksenine sahiptir . Bacakların karşısındaki iki açı eşittir ve her zaman dardır , bu nedenle üçgenin dar, dik veya geniş olarak sınıflandırılması yalnızca iki bacağı arasındaki açıya bağlıdır.
Terminoloji, sınıflandırma ve örnekler
Öklid, bir ikizkenar üçgeni tam olarak iki eşit kenarı olan bir üçgen olarak tanımladı, ancak modern tedaviler ikizkenar üçgenleri en az iki eşit kenara sahip olarak tanımlamayı tercih ediyor. Bu iki tanım arasındaki fark, modern versiyonun eşkenar üçgenleri (üç eşit kenarlı) ikizkenar üçgenlerin özel bir durumu haline getirmesidir. İkizkenar olmayan (üç eşit olmayan kenarı olan) üçgene skalen denir . "İkizkenar", Yunanca "isos" (eşit) ve "skelos" (bacak) köklerinden yapılmıştır . Aynı kelime, örneğin, ikizkenar yamuklar , iki eşit kenarı olan yamuklar ve her üçü bir ikizkenar üçgen oluşturan nokta kümeleri olan ikizkenar kümeler için kullanılır .
Tam olarak iki kenarı eşit olan bir ikizkenar üçgende, eşit kenarlara bacak , üçüncü kenara ise taban denir . Bacakların oluşturduğu açıya tepe açısı , kenarlarından biri tabanı olan açılara taban açıları denir . Tabanın karşısındaki tepe noktasına apeks denir . Eşkenar üçgen durumunda tüm kenarlar eşit olduğundan herhangi bir kenar taban olarak adlandırılabilir.
Bir ikizkenar üçgenin dar, sağ veya geniş olup olmadığı yalnızca tepesindeki açıya bağlıdır. Gelen Öklid geometrisi ; ölçülen, en az 180 toplamı, çünkü, temel açıları (90'dan daha büyük °) veya sağ (° 90 eşit) geniş olamaz °, bir Öklid üçgen tüm toplam açı. Bir üçgen ancak ve ancak açılarından biri sırasıyla geniş veya sağ ise geniş veya sağ olduğundan, bir ikizkenar üçgen ancak ve ancak tepe açısı sırasıyla geniş, sağ veya dar ise geniş, sağ veya dardır. In Edwin Abbott kitabı Düzülke'ye , şekillerin bu sınıflandırma bir hiciv olarak kullanıldı sosyal hiyerarşide : üçgenler temsil ikizkenar çalışma sınıfını akut ikizkenar üçgenler doğru ya da geniş ikizkenar üçgen daha hiyerarşisinde daha yüksek olan,.
İkizkenar dik üçgenin yanı sıra, ikizkenar üçgenlerin diğer bazı özel şekilleri de incelenmiştir. Bunlar arasında Calabi üçgeni (üç uyumlu yazılı kareye sahip bir üçgen), altın üçgen ve altın gnomon (kenarları ve tabanı altın oranda olan iki ikizkenar üçgen ), Langley'nin Adventif Açılar bulmacasında görünen 80-80-20 üçgeni bulunur. , ve triakis üçgen döşemenin 30-30-120 üçgeni . Beş Katalan katısı , triakis tetrahedron , triakis octahedron , tetrakis hexahedron , pentakis dodecahedron ve triakis icosahedron , sonsuz sayıda piramit ve bipiramit gibi her birinin ikizkenar üçgen yüzleri vardır .
formüller
Boy uzunluğu
Herhangi bir ikizkenar üçgen için aşağıdaki altı doğru parçası çakışır:
- yükseklik , tabana apeks bu dik bir çizgi parçasıdır
- açı açıortay tabanına apeksten,
- tepe noktasından tabanın orta noktasına kadar olan medyan ,
- dik açıortay üçgen içinde bir baz,
- üçgenin benzersiz simetri ekseninin üçgeni içindeki parça ve
- üçgenin eşkenar olduğu durumlar hariç, üçgenin Euler doğrusunun üçgen içindeki parçası .
Ortak uzunlukları üçgenin yüksekliğidir . Üçgen uzunluğunun eşit kenara varsa ve uzunluğu taban , genel üçgen formülleri bu segmentlerin uzunlukları için tüm kolaylaştırmak
Bu formül , yüksekliğin tabanı ikiye böldüğü ve ikizkenar üçgeni iki uyumlu dik üçgene böldüğü gerçeği kullanılarak Pisagor teoreminden de türetilebilir .
Herhangi bir üçgen Euler hattı üçgenin geçer orthocenter (üç yüksekliklerde kesişimi) gösterilen, ağırlık merkezi (üç medyan kesişimi) ve onun circumcenter da (üç tarafı dik bisectors kesiştiği üç köşeden geçen çemberin merkezi). Tam olarak iki kenarı eşit olan bir ikizkenar üçgende, bu üç nokta farklıdır ve (simetri ile) hepsi üçgenin simetri ekseni üzerinde bulunur ve buradan Euler çizgisinin simetri ekseniyle çakıştığı sonucu çıkar. İncenter üçgenin de Euler hattı, diğer üçgenler için doğru değildir şeyin üzerindedir. Belirli bir üçgende açıortay, medyan veya yükseklikten herhangi ikisi çakışıyorsa, bu üçgen ikizkenar olmalıdır.
Alan
Bir ikizkenar üçgenin alanı , yüksekliği için formülden ve taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı olarak bir üçgenin alanı için genel formülden türetilebilir:
Aynı alan formülü, Heron'un bir üçgenin üç kenarından alan formülünden de türetilebilir . Bununla birlikte, Heron formülünü doğrudan uygulamak , çok keskin açılara sahip ikizkenar üçgenler için sayısal olarak kararsız olabilir , çünkü bu üçgenlerde yarı çevre ve kenar uzunlukları arasındaki yakın iptal .
Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı ve bacak uzunlukları biliniyorsa, o üçgenin alanı:
Bu, iki kenarın çarpımının yarısı, iç açının sinüsü olarak bir üçgenin alanı için genel formülün özel bir halidir.
Çevre
Çevre eşit kenarları bulunan bir eşkenar üçgen ve taban sadece bir
Herhangi bir üçgende olduğu gibi, alan ve çevre izoperimetrik eşitsizlik ile ilişkilidir.
Bu, kenarları tabana eşit olmayan ikizkenar üçgenler için katı bir eşitsizliktir ve eşkenar üçgen için bir eşitlik haline gelir. Alan, çevre ve taban da denklem ile birbirleriyle ilişkilendirilebilir.
Taban ve çevre sabitse, bu formül, aynı taban ve çevreye sahip tüm üçgenler arasında mümkün olan maksimum olan, ortaya çıkan ikizkenar üçgenin alanını belirler. Öte yandan, alan ve çevre sabitse, bu formül taban uzunluğunu elde etmek için kullanılabilir, ancak benzersiz değildir: genel olarak belirli bir alan ve çevre ile iki ayrı ikizkenar üçgen vardır . İzoperimetrik eşitsizlik bir eşitlik haline geldiğinde, eşkenar olan sadece bir tane üçgen vardır.
açıortay uzunluğu
İki eşit kenarın uzunluğu ve diğer kenarın uzunluğu varsa , iki eşit açılı köşeden birinin iç açıortay
birlikte
ve tersine, eğer ikinci koşul geçerliyse, ile parametrelenen ve var olan bir ikizkenar üçgen .
Steiner-Lehmus teoremi eşit uzunlukta iki açı bisectors her ikizkenar üçgen olduğunu belirtmektedir. 1840 yılında CL Lehmus tarafından formüle edilmiştir . Diğer adaşı Jakob Steiner , ilk çözüm sunanlardan biriydi. Orijinal olarak yalnızca iç açıortaylar için formüle edilmiş olsa da, bunun yerine iki dış açıortayın eşit olduğu birçok durumda (hepsi değil) işe yarar. 30-30-120 ikizkenar üçgen , teoremin bu varyasyonu için bir sınır durumu oluşturur, çünkü dört eşit açılı açıortay (iki iç, iki dış) vardır.
yarıçap
Bir ikizkenar üçgen için yarıçap ve dairesel yarıçap formülleri, isteğe bağlı üçgenler için formüllerinden türetilebilir. Kenar uzunluğu , tabanı ve yüksekliği olan bir ikizkenar üçgenin yazılı çemberinin yarıçapı :
Dairenin merkezi, üçgenin simetri ekseni üzerinde, bu mesafe tabanın üzerindedir. Bir ikizkenar üçgen, aynı taban ve tepe açısına sahip üçgenler arasında mümkün olan en büyük yazılı daireye sahiptir ve aynı zamanda aynı üçgen sınıfı arasında en büyük alana ve çevreye sahiptir.
Sınırlı çemberin yarıçapı :
Dairenin merkezi, üçgenin simetri ekseni üzerinde, bu mesafe tepe noktasının altındadır.
yazılı kare
Herhangi bir ikizkenar üçgen için, bir kenarı üçgenin tabanıyla aynı çizgide olan ve karşılıklı iki köşesi kenarlarında olan benzersiz bir kare vardır. Calabi üçgen taraf üçgenin kenarlarının eş doğrusal olan, temel kare ile aynı boyutta olan, diğer iki yazılı kareler bu özelliği ile özel bir ikizkenar üçgendir. İskenderiye Kahramanı'nın eserlerinde korunan çok daha eski bir teorem, tabanı ve yüksekliği olan bir ikizkenar üçgen için, üçgenin tabanında yazılı karenin kenar uzunluğunun olduğunu belirtir.
Diğer şekillerin ikizkenar alt bölümü
Herhangi bir tamsayı için , herhangi bir üçgen ikizkenar üçgenlere bölünebilir . Bir dik üçgende , hipotenüsün medyanı (yani, hipotenüsün orta noktasından dik açılı tepe noktasına kadar olan çizgi parçası), dik üçgeni iki ikizkenar üçgene böler. Hipotenüs orta noktası merkezi olmasıdır circumcircle dik üçgenin ve bölme ile oluşturulan iki üçgen her yanlarından ikisi olarak iki eşit yarıçapa sahiptir. Benzer şekilde, bir dar üçgen , çevre merkezinden gelen parçalarla üç ikizkenar üçgene bölünebilir, ancak bu yöntem geniş üçgenler için işe yaramaz, çünkü çevre merkezi üçgenin dışındadır.
Bir dar üçgenin bölünmesini genelleştirirsek, çevrelenmiş çemberinin merkezini içeren herhangi bir döngüsel çokgen , bu çemberin köşeleri aracılığıyla yarıçapları tarafından ikizkenar üçgenlere bölünebilir. Bir dairenin tüm yarıçaplarının eşit uzunlukta olması, bu üçgenlerin hepsinin ikizkenar olduğunu ima eder. Bu bölüm, çevre merkezlerini içermeyen döngüsel çokgenler için bile, kenar uzunluklarının bir fonksiyonu olarak çokgenin alanı için bir formül türetmek için kullanılabilir. Bu formül, Heron'un üçgenler için formülünü ve Brahmagupta'nın döngüsel dörtgenler için formülünü genelleştirir .
Ya diyagonal a eşkenar dörtgen ikiye böler o uyumlu üçgenler ikizkenar. Benzer şekilde, bir uçurtmanın iki köşegeninden biri onu iki ikizkenar üçgene böler; bunlar, uçurtmanın eşkenar dörtgen olması dışında birbiriyle uyumlu değildir.
Uygulamalar
Mimarlık ve tasarımda
Üçgenler yaygın görünen ikizkenar mimarisinin ait şekiller olarak kalkan ve alınlıkları . Gelen antik Yunan mimarisi ve daha sonra taklitler, geniş ikizkenar üçgen kullanıldı; içinde Gotik mimarinin bu akut ikizkenar üçgen aldı.
In Ortaçağ mimarisi , başka üçgen şekli popüler oldu ikizkenar: Mısır ikizkenar üçgen. Bu, akut olan bir ikizkenar üçgendir, ancak eşkenar üçgenden daha azdır; yüksekliği tabanının 5/8'i ile orantılıdır. Mısır ikizkenar üçgeni, Hollandalı mimar Hendrik Petrus Berlage tarafından modern mimaride tekrar kullanılmaya başlandı .
Köprüler gibi Warren kafes yapıları genellikle ikizkenar üçgenlerde düzenlenir, ancak bazen ek güç için dikey kirişler de dahil edilir. Geniş ikizkenar üçgenlerle mozaiklenmiş yüzeyler , iki kararlı duruma sahip konuşlandırılabilir yapılar oluşturmak için kullanılabilir : yüzeyin silindirik bir sütuna genişlediği katlanmamış bir durum ve daha kompakt bir prizma şekline katlandığı katlanmış bir durum, daha fazla olabilir. kolayca taşınır. Aynı mozaik deseni , silindirik yüzeyler eksenel olarak sıkıştırıldığında oluşan bir model olan Yoshimura burkulmasının ve Schwarz fenerinin temelini oluşturur ; matematikte, pürüzsüz bir yüzeyin alanının, çokyüzlülerin birbirine yakınsaması ile her zaman doğru bir şekilde yaklaşılamayacağını göstermek için kullanılan bir örnek. yüzey.
Gelen grafik tasarım ve dekoratif sanatlar , ikizkenar üçgen en azından gelen dünyada kültürler sık eleman olmuştur Erken Neolitik , modern zamanlara. Bunlar, örneğin Guyana bayrağında dikey bir tabanla veya bir dağ adasının stilize edilmiş bir görüntüsünü oluşturdukları Saint Lucia bayrağında yatay bir tabanla belirgin bir şekilde görünen bayraklarda ve hanedanlık armalarında ortak bir tasarım öğesidir .
Onlar da örneğin, dini veya mistik öneme sahip tasarımlarda kullanılmış olan Sri Yantra ait Hindu meditasyon uygulaması .
Matematiğin diğer alanlarında
Gerçek katsayılı bir kübik denklemin tamamı gerçek sayı olmayan üç kökü varsa, bu kökler karmaşık düzlemde bir Argand diyagramı olarak çizildiğinde , simetri ekseni yatay (gerçek) eksenle çakışan bir ikizkenar üçgenin köşelerini oluştururlar. . Bunun nedeni, karmaşık köklerin karmaşık eşlenik olmaları ve dolayısıyla gerçek eksene göre simetrik olmalarıdır.
Gelen gök mekaniğinin , üç cisim problemi kütleleri, bu şekilde düzenlenir varsayarak sayısını azalttığı için üç bölüm, bir eşkenar üçgen oluşturan özel bir durum olarak çalışılmıştır serbestlik derecesi için azaltmadan sistemin cisimler bir eşkenar üçgen oluşturduğunda Lagrange nokta durumunu çözdü . Sınırsız salınımlara sahip olduğu gösterilen üç cisim probleminin ilk örnekleri, ikizkenar üç cisim problemindeydi.
Tarih ve yanılgılar
İkizkenar üçgenler eski Yunan matematikçiler tarafından incelenmeden çok önce , Eski Mısır matematiği ve Babil matematiğinin uygulayıcıları, alanlarını nasıl hesaplayacaklarını biliyorlardı. Bu tür problemler Moskova Matematik Papirüsüne ve Rhind Matematik Papirüsüne dahil edilmiştir .
Bir ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit olduğu teoremi Öklid'de Önerme I.5 olarak karşımıza çıkar. Bu sonuç, pons asinorum (eşek köprüsü) veya ikizkenar üçgen teoremi olarak adlandırılmıştır. Bu isim için rakip açıklamalar, Öklid'in sonucu gösterdiğinde kullandığı diyagramın bir köprüye benzemesi veya bunun Öklid'deki ilk zor sonuç olması ve Öklid'in geometrisini anlayabilenleri diğerlerinden ayırmaya çalıştığı teorisini içerir. kim yapamaz.
İyi bilinen bir yanılgı , tüm üçgenlerin ikizkenar olduğu ifadesinin yanlış kanıtıdır . Robin Wilson , bu argümanı 1899'da yayınlayan Lewis Carroll'a borçludur, ancak WW Rouse Ball 1892'de yayınladı ve daha sonra Carroll'un argümanı ondan aldığını yazdı. Bu yanılgının kökleri, Öklid'in arasındalık kavramını tanımamasından ve bunun sonucunda figürlerin içi ile dışının belirsizliğinden kaynaklanmaktadır .
Notlar
Referanslar
- Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), Daha azı daha çok olduğunda: Temel eşitsizlikleri görselleştirmek , The Dolciani Mathematical Expositions, 36 , Mathematical Association of America, Washington, DC, ISBN 978-0-88385-342-9, MR 2498836
- Arslanagić, Şefket, "Problem η 44", Crux Mathematicorum'da önerilen eşitsizlikler (PDF) , s. 151
- Top, WW Rouse ; Coxeter, HSM (1987) [1892], Mathematical Recreations and Essays (13. basım), Dover, dipnot, s. 77, ISBN 0-486-25357-0
- Baloglou, George; Helfgott, Michel (2008), "Açılar, alan ve bir kübikte yakalanan çevre" (PDF) , Forum Geometricorum , 8 : 13–25, MR 2373294
- Bardell, Nicholas S. (2016), "Gerçek veya karmaşık katsayılı kübik polinomlar: Tam resim" (PDF) , Avustralya Kıdemli Matematik Dergisi , 30 (2): 5-26
- Barnes, John (2012), Gems of Geometry (2., resimli baskı), Springer, s. 27, ISBN 9783642309649
- Bezdek, Andras; Bisztriczky, Ted (2015), "Çokgenlerde eşit çaplı üçgenlemeleri bulma", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 56 (2): 541–549, doi : 10.1007/s13366-014-0206-6 , MR 3391189
- Bolton, Nicholas J; Nicol, D.; Macleod, G. (Mart 1977), "Śrī-yantra'nın geometrisi", Din , 7 (1): 66–85, doi : 10.1016/0048-721x(77)90008-2
- Clagett, Marshall (1989), Eski Mısır Bilimi: Eski Mısır matematiği , Amerikan Felsefe Derneği, Dipnot 68, s. 195–197 , ISBN 9780871692320
- Conway, JH ; Guy, RK (1996), "Calabi'nin Üçgeni" , Sayılar Kitabı , New York: Springer-Verlag, s. 206
- Conway, John ; Ryba, Alex (Temmuz 2014), "Steiner–Lehmus açıortay teoremi", The Mathematical Gazette , 98 (542): 193–203, doi : 10.1017/s0025557200001236
- Diacu, Florin; Holmes, Philip (1999), Celestial Encounters: The Origins of Chaos and Stability , Princeton Science Library, Princeton University Press, s. 122, ISBN 9780691005454
- Gandz, Solomon (1940), "Babil matematiğinde çalışmalar. III. İzoperimetrik problemler ve ikinci dereceden denklemlerin kökeni", Isis , 32 : 101–115 (1947), doi : 10.1086/347645 , MR 0017683. Özellikle bkz. s. 111.
- Gilbert, G.; MacDonnell, D. (1963), "Steiner–Lehmus Teoremi", Classroom Notes, American Mathematical Monthly , 70 (1): 79–80, doi : 10.2307/2312796 , MR 1531983
- Gottschau, Marinus; Haverkort, Herman; Matzke, Kilian (2018), "Akut üçgenler için sürüngenler ve boşluk doldurma eğrileri", Ayrık ve Hesaplamalı Geometri , 60 (1): 170–199, arXiv : 1603.01382 , doi : 10.1007/s00454-017-9953-0
- Guinand, Andrew P. (1984), "Euler çizgileri, tritanjant merkezleri ve üçgenleri", American Mathematical Monthly , 91 (5): 290–300, doi : 10.2307/2322671 , MR 0740243
- Gunn, Battiscombe; Peet, T. Eric (Mayıs 1929), "Moskova Matematik Papirüsünden Dört Geometrik Problem" , Mısır Arkeolojisi Dergisi , 15 (1): 167–185, doi : 10.1177/030751332901500130 , JSTOR 3854111
- Hadamard, Jacques (2008), Geometri Dersleri: Düzlem geometrisi , Saul, Mark, American Mathematical Society, ISBN tarafından çevrildi 9780821843673
- Harris, John W.; Stöcker, Horst (1998), Handbook of matematik ve hesaplamalı bilim , New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-5317-4 , ISBN 0-387-94746-9, MR 1621531
- Heath, Thomas L. (1956) [1925], Öklid'in Elementlerinin On Üç Kitabı , 1 (2. baskı), New York: Dover Publications, ISBN 0-486-60088-2
- Høyrup, Jens, "Mezopotamya ve Mısır'da Geometri", Batı Dışı Kültürlerde Bilim, Teknoloji ve Tıp Tarihi Ansiklopedisi , Springer Hollanda, s. 1019–1023, doi : 10.1007/978-1-4020-4425- 0_8619
- Ionin, Yury J. (2009), "İkizkenar kümeler" , Electronic Journal of Combinatorics , 16 (1): R141:1–R141:24, doi : 10.37236/230 , MR 2577309
- Jacobs, Harold R. (1974), Geometri , WH Freeman and Co., ISBN 0-7167-0456-0
- Jakway, Bernard C. (1922), İç Dekorasyon İlkeleri , Macmillan, s. 48
- Kahan, W. (4 Eylül 2014), "İğne Benzeri Üçgenin Alan ve Açılarının Yanlış Hesaplanması" (PDF) , Giriş Sayısal Analiz Dersleri için Ders Notları , California Üniversitesi, Berkeley
- Ketchum, Milo Smith (1920), Çelik, Kereste ve Beton Otoyol Köprülerinin Tasarımı , New York: McGraw-Hill, s. 107
- Langley, EM (1922), "Problem 644", The Mathematical Gazette , 11 : 173
- Lardner, Dionysius (1840), Geometri Üzerine Bir İnceleme ve Sanattaki Uygulaması , The Cabinet Cyclopædia, Londra
- Lavedan, Pierre (1947), Fransız Mimarisi , Penguin Books, s. 44
- Loeb, Arthur (1992), Kavramlar ve Görüntüler: Görsel Matematik , Boston: Birkhäuser Boston, s. 180, ISBN 0-8176-3620-X
- Lord, NJ (Haziran 1982), "66.16 İkizkenar üçgenlerin alt bölümleri", The Mathematical Gazette , 66 (436): 136, doi : 10.2307/3617750
- Montroll, John (2009), Origami Polyhedra Design , AK Peters, s. 6 , ISBN 9781439871065
- Oxman, Victor (2005), "Bir kenar, karşıt ve bir komşu açıortay uzunlukları verilen üçgenlerin varlığı üzerine" (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 21–22, MR 2141652
- Padovan, Richard (2002), Evrenselliğe Doğru: Le Corbusier, Mies ve De Stijl , Psychology Press, s. 128, ISBN 9780415259620
- Pellegrino, S. (2002), Deployable Structures , CISM International Center for Mechanical Sciences, 412 , Springer, s. 99–100, ISBN 9783211836859
- Posamentier, Alfred S .; Lehmann, Ingmar (2012), Üçgenlerin Sırları: Matematiksel Bir Yolculuk , Amherst, NY: Prometheus Kitapları, s. 387, ISBN 978-1-61614-587-3, MR 2963520
- Robbins, David P. (1995), "Bir daire içinde yazılı çokgen alanları", American Mathematical Monthly , 102 (6): 523–530, doi : 10.2307/2974766 , MR 1336638
- Salvadori, Mario; Wright, Joseph P. (1998), Ortaokul için Matematik Oyunları: Her Seviyedeki Öğrenciler için Zorluklar ve Beceri Oluşturucular , Chicago Review Press, s. 70–71, ISBN 9781569767276
- Schwarz, HA (1890), Gesammelte Mathematische Abhandlungen von HA Schwarz , Verlag von Julius Springer, s. 309–311
- Smith, Whitney (26 Haziran 2014), "Flag of Saint Lucia" , Britannica Ansiklopedisi , alındı 2018-09-12
- Specht, Edward John; Jones, Harold Eğitmen; Calkins, Keith G.; Rhoads, Donald H. (2015), Öklid geometrisi ve alt geometrileri , Springer, Cham, s. 64, doi : 10.1007/978-3-319-23775-6 , ISBN 978-3-319-23774-9, MR 3445044
- Stahl, Saul (2003), Öklid'den Düğümlere Geometri , Prentice-Hall, ISBN 0-13-032927-4
- Usiskin, Zalman ; Griffin, Jennifer (2008), The Classification of Quadrilaterals: A Study in Definition , Matematik Eğitiminde Araştırma, Bilgi Çağı Yayıncılığı, ISBN 9781607526001
- Venema, Gerard A. (2006), Geometrinin Temelleri , Prentice-Hall, ISBN 0-13-143700-3
- Washburn, Dorothy K. (Temmuz 1984), "Nea Nikomedeia'dan Erken Neolitik seramikler üzerinde krem üzerine kırmızı ve kırmızı desenler üzerine krem üzerine bir çalışma", American Journal of Archeology , 88 (3): 305, doi : 10.2307/504554
- Wickelgren, Wayne A. (2012), Matematiksel Problemler Nasıl Çözülür , Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, s. 222–224, ISBN 9780486152684.
- Wilson, Robin (2008), Lewis Carroll in Numberland: Onun fantastik matematiksel mantıksal hayatı, sekiz ayda bir ıstırap , Penguin Books, s. 169–170, ISBN 978-0-14-101610-8, MR 2455534
- Yoshimura, Yoshimaru (Temmuz 1955), Eksenel sıkıştırma altında dairesel silindirik bir kabuğun burkulma mekanizması hakkında , Teknik Memorandum 1390, Ulusal Havacılık Danışma Komitesi
- Young, Cynthia Y. (2011), Trigonometri , John Wiley & Sons, ISBN 9780470648025