radyan - Radian

radyan
Ölçü sistemi SI türetilmiş birim
Birimi Açı
Sembol rad,  c  veya r
Birimlerde Yarıçapa eşit bir yay uzunluğu ile boyutsuz , yani 1  m/m
Dönüşümler
1 rad ... ... eşittir ...
   miliradyan    1000 mrad
   döner    1/2 π dönüş
   derece    180/π ≈ 57.296°
   gradyanlar    200/π≈ 63.662 gr
Dairenin yarıçapı ile aynı uzunluktaki bir dairenin yayı , 1 radyanlık bir açıyla karşı karşıyadır. Çevre, 2 π radyanlık bir açıya karşılık gelir .

Radyan sembolü ile gösterilen, olduğu SI birim ölçmek için açıları ve birçok alanda kullanılan açısal standart ölçü birimidir matematik . Birim daha önce bir SI tamamlayıcı birimiydi (bu kategori 1995'te kaldırılmadan önce) ve radyan şimdi SI'dan türetilmiş bir birimdir . Radyan, SI'da boyutsuz bir değer olarak tanımlanır ve buna göre sembolü, özellikle matematiksel yazımda, genellikle ihmal edilir.

Tanım

Açılı olarak bir radyan tanımlandığı uzandığı bir yay karşılar bir dairenin merkezine dairenin yarıçapına eşit uzunlukta. Daha genel olarak, bir alt açının radyan cinsinden büyüklüğü , yay uzunluğunun dairenin yarıçapına oranına eşittir; yani, θ = s / r , burada θ radyan cinsinden gösterilen açıdır, s yay uzunluğudur ve r yarıçaptır. Tersine, yakalanan yayın uzunluğu, radyan cinsinden açının büyüklüğü ile çarpılan yarıçapa eşittir; yani, s = .

İki uzunluğun oranı olarak radyan saf bir sayıdır . SI'da radyan, 1 değerine sahip olarak tanımlanır . Sonuç olarak, matematiksel yazımda "rad" sembolü neredeyse her zaman atlanır. Herhangi bir sembolün yokluğunda bir açıyı ölçerken, radyan varsayılır ve dereceler kastedildiğinde, derece işareti ° kullanılır.

Tam bir dönüş 2 π radyandır (burada bir yarıçaplı bir daire ve dolayısıyla 2 π çevresi ile gösterilmiştir ).

Bir tam dönüşün (360 derece) radyan cinsinden büyüklüğü, tüm çevrenin uzunluğunun yarıçapa bölünmesi veya 2 π r / r veya 2 π olduğunu takip eder . Böylece 2 π radyan 360 dereceye eşittir, yani bir radyan 180/ π57.29577 95130 82320 876 dereceye eşittir .

2 π rad = 360 ° bağıntısı , yay uzunluğu formülü kullanılarak türetilebilir . Yay uzunluğu formülünü alarak veya . Birim çemberi varsayarsak; dolayısıyla yarıçap 1'dir. Radyan, dairenin yarıçapına eşit uzunlukta bir yaya denk gelen açının ölçüsü olduğundan, . Bu daha da basitleştirilebilir . Her iki tarafı 360° ile çarpmak 360° = 2 π rad verir .

Tarih

Radyan ölçüsü kavramı, bir açının derecesinin aksine, normalde 1714'te Roger Cotes'a atfedilir. Radyanı isim dışında her şeyde tanımladı ve doğallığını bir açısal ölçü birimi olarak kabul etti. Radyan terimi yaygınlaşmadan önce , birime genellikle bir açının dairesel ölçüsü denirdi .

Açıları yayın uzunluğuna göre ölçme fikri diğer matematikçiler tarafından zaten kullanılıyordu. Örneğin, el-Kashi (c. 1400) çap parçalarını , bir çap parçasının ölçüldüğü birimler olarak kullanmıştır.1/60radyan. Ayrıca çap kısmının altmışlık alt birimlerini de kullandılar.

Terimi radyan ilk belirlediği sınav sorularında, 5 Haziran 1873 tarihinde baskı ortaya çıktı James Thomson (kardeşi Lord Kelvin de) Kraliçe'nin College , Belfast . Bu terimi 1871 gibi erken bir tarihte kullanmışken, 1869'da , o zamanlar St Andrews Üniversitesi'nden Thomas Muir , rad , radyal ve radyan terimleri arasında kararsız kaldı . 1874 yılında, James Thomson ile danıştıktan sonra, Muir kabul radyan . Radyan adı bundan sonra bir süre evrensel olarak kabul edilmedi. Longmans Okulu Trigonometrisi , 1890'da yayınlandığında hala radyan dairesel ölçü olarak adlandırıldı .

Birim sembolü

Ağırlıklar ve Ölçüler Uluslararası Büro ve Uluslararası Standardizasyon Örgütü belirtin rad radyan için sembol olarak. 100 yıl önce kullanılan alternatif semboller c ("dairesel ölçü" için üst simge c harfi), r harfi veya bir üst simge R'dir , ancak bu varyantlar, bir derece sembolü (°) veya bir yarıçap (r). Dolayısıyla 1,2 radyanlık bir değer en yaygın olarak 1,2 rad olarak yazılır; diğer gösterimler arasında 1.2 r, 1.2 rad , 1.2 c veya 1.2 R bulunur .

Dönüşümler

Derece ve radyan arasında dönüştürmek için bir grafik
Ortak açıların dönüştürülmesi
dönüşler radyan derece Gradyanlar veya gonlar
0 dönüş 0 rad 0 gr
1/24 dönüş π/12 rad 15° 16+2/3G
1/16 dönüş π/8 rad 22,5° 25 gr
1/12 dönüş π/6 rad 30° 33+1/3G
1/10 dönüş π/5 rad 36° 40 gr
1/8 dönüş π/4 rad 45° 50 gr
1/2 π dönüş 1 rad C. 57.3° C. 63,7 gr
1/6 dönüş π/3 rad 60° 66+2/3G
1/5 dönüş 2 π/5 rad 72° 80 gr
1/4 dönüş π/2 rad 90° 100 gr
1/3 dönüş 2 π/3 rad 120° 133+1/3G
2/5 dönüş 4 π/5 rad 144° 160 gr
1/2 dönüş π rad 180° 200 gr
3/4 dönüş 3 π/2 rad 270° 300 gr
1 dönüş 2 π rad 360° 400 gr

Radyan ve derece arasındaki dönüşüm

Belirtildiği gibi, bir radyan eşittir . Bu nedenle, radyandan dereceye dönüştürmek için ile çarpın .

Örneğin:

Tersine, dereceden radyana dönüştürmek için ile çarpın .

Örneğin:

Radyan sayısı 2 π'ye bölünerek radyan dönüşlere (tam devirlere) dönüştürülebilir .

Radyandan dereceye dönüştürme türevi

Bir dairenin çevresinin uzunluğu, dairenin yarıçapı nerede ile verilir .

Yani aşağıdaki eşdeğer ilişki doğrudur:

 [ Tam bir daire çizmek için bir tarama gerektiğinden]

Radyanın tanımına göre, tam bir daire şunları temsil eder:

Yukarıdaki ilişkilerin her ikisini de birleştirerek:

Radyan ve gradyan arasındaki dönüşüm

radyan bir eşit dönüş tanım olarak 400, Gradians (400 gons veya 400 g ). Yani, radyandan gradyana dönüştürmek için ile çarpın ve gradyandan radyana dönüştürmek için ile çarpın . Örneğin,

Radyan cinsinden ölçmenin avantajları

Radyan cinsinden ölçülen bazı ortak açılar. Bu diyagramdaki tüm büyük çokgenler düzenli çokgenlerdir .

Gelen hesabı ve pratik ötesinde bir matematik çoğu diğer dalları geometri , açılar evrensel radyan cinsinden ölçülür. Bunun nedeni, radyanların bir dizi önemli sonucun daha zarif bir formülasyonuna yol açan matematiksel bir "doğallığa" sahip olmasıdır.

En önemlisi, trigonometrik fonksiyonları içeren analiz sonuçları , fonksiyonların argümanları radyan cinsinden ifade edildiğinde zarif bir şekilde ifade edilebilir. Örneğin, radyan kullanımı basit limit formülüne yol açar.

dahil olmak üzere matematikteki diğer birçok kimliğin temeli olan

Bu ve diğer özelliklerden dolayı, trigonometrik fonksiyonlar, fonksiyonların geometrik anlamlarıyla açık bir şekilde ilgili olmayan matematiksel problemlerin çözümlerinde ortaya çıkar (örneğin, diferansiyel denklemin çözümleri , integralin değerlendirilmesi vb.). Tüm bu durumlarda, fonksiyonlara ilişkin argümanların en doğal biçimde geometrik bağlamlarda açıların radyan ölçümüne karşılık gelen biçimde yazıldığı bulunur.

Trigonometrik fonksiyonlar ayrıca radyan kullanıldığında basit ve zarif seri açılımlarına sahiptir. Örneğin, x radyan cinsinden olduğunda, sin x için  Taylor serisi şöyle olur:

Eğer X derece olarak ifade edilmiştir, daha sonra seri yetkilerini içeren dağınık faktörleri içerecektir π / 180: Eğer X derecesi sayısıdır, radyan sayısı Y = π x / 180 , yani

Benzer bir anlayışla, sinüs ve kosinüs fonksiyonları ile üstel fonksiyon arasındaki matematiksel olarak önemli ilişkiler (örneğin, Euler formülüne bakınız ), fonksiyonların argümanları radyan cinsinden olduğunda (ve aksi takdirde dağınık olduğunda) zarif bir şekilde ifade edilebilir.

Boyutlu analiz

Radyan bir ölçü birimi olmasına rağmen, boyutsuz bir niceliktir . Bu, daha önce verilen tanımdan görülebilir: radyan cinsinden ölçülen bir dairenin merkezindeki açı, çevrelenen yayın uzunluğunun dairenin yarıçapının uzunluğuna oranına eşittir. Ölçü birimleri birbirini götürdüğü için bu oran boyutsuzdur.

Kutupsal ve küresel koordinatlar , iki ve üç boyuttaki koordinatları tanımlamak için radyanları kullanmasına rağmen , birim yarıçap koordinatından türetilir, bu nedenle açı ölçüsü hala boyutsuzdur.

Fizikte kullanım

Radyan, açısal ölçümler gerektiğinde fizikte yaygın olarak kullanılır . Örneğin, açısal hız tipik olarak saniyede radyan (rad/s) cinsinden ölçülür . Saniyede bir devir, saniyede 2 π radyana eşittir .

Benzer şekilde, açısal ivme genellikle radyan/saniye/saniye olarak ölçülür (rad/s 2 ).

Boyut analizi amacıyla, açısal hız ve açısal ivme birimleri sırasıyla s -1 ve s -2'dir .

Aynı şekilde, iki dalganın faz farkı da radyan cinsinden ölçülebilir. Örneğin, iki dalganın faz farkı ( k ⋅2 π ) radyan ise, burada k bir tam sayıdır, bunlar faz olarak kabul edilirken, iki dalganın faz farkı ( k ⋅2 π + π ) ise, burada k bir tamsayıdır, antifaz olarak kabul edilirler.

SI katları

Metrik öneklerin radyanlarla sınırlı kullanımı vardır ve matematikte hiçbiri yoktur. Bir milliradian (mrad) bir radyan binde bir mikroradyan (μrad) bir radyan bir milyonda, yani , 1 rad = 10 3 mrad = 10 6 μrad .

Bir daire içinde 2 π × 1000 miliradyan (≈ 6283.185 mrad) vardır. Yani bir miliradyan hemen altında1/6283tam bir dairenin gördüğü açı. Çemberin açısal ölçüm Bu "gerçek" birim tarafından kullanılıyor teleskopik görme kullanarak üreticileri rangefinding (stadiametric) içinde retiküller . Sapma ait lazer ışınları da genellikle miliradyan ölçülür.

Milradyanın (0,001 rad) bir tahmini, NATO ve diğer askeri kuruluşlar tarafından topçuluk ve hedeflemede kullanılır . Her açısal mil temsil eder1/6400 bir çemberin ve 15/8milliradyandan % veya %1.875 daha küçüktür. Hedefleme çalışmasında tipik olarak bulunan küçük açılar için, 6400 sayısını hesaplamada kullanmanın rahatlığı, getirdiği küçük matematiksel hatalara ağır basar. Geçmişte, diğer topçu sistemleri farklı yaklaşımlar kullandılar.1/2000 π; örneğin İsveç kullandı1/6300 streck ve kullanılan SSCB1/6000. Milradyanı temel alan NATO mili, 1000 m aralığında kabaca 1 m'dir (bu kadar küçük açılarda eğrilik ihmal edilebilir).

Mikroradyanlar (μrad) ve nanoradyanlar (nrad) gibi daha küçük birimler astronomide kullanılır ve ultra düşük sapma ile lazerlerin ışın kalitesini ölçmek için de kullanılabilir. Daha yaygın olanı ark saniyedir , ki buπ/648.000 rad (yaklaşık 4.8481 mikroradyan). Benzer şekilde, milli-'den küçük önekler, son derece küçük açıların ölçülmesinde potansiyel olarak yararlıdır.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar

  • İlgili Medya Radyan Wikimedia Commons