üçgen - Triangle

Eşkenar üçgen
Düzenli bir üçgen
Tip	düzgün çokgen
Kenarlar ve köşeler	3
Schläfli sembolü	{3}
Coxeter diyagramı
simetri grubu	Dihedral (D 3 ), sipariş 2×3
İç açı ( derece )	60°
Çift çokgen	öz
Özellikler	Dışbükey , döngüsel , eşkenar , izogonal , izotoksal

Üçgen
Bir üçgen
Kenarlar ve köşeler	3
Schläfli sembolü	{3} (eşkenar için)
Alan	çeşitli metodlar; aşağıya bakınız
İç açı ( derece )	60° (eşkenar için)

Bir üçgen a, çokgen , üç ile kenarları ve üç köşe . Geometrideki temel şekillerden biridir . Köşeleri A , B ve C olan bir üçgen gösterilir . ${\ Displaystyle \ ABC üçgeni}$

Gelen Öklid geometrisi , bir üç nokta, sivil kolineer , aynı zamanda özel bir benzersiz bir üçgen belirlemek ve düzlemi (yani, bir, iki boyutlu bir Öklid alan ). Başka bir deyişle, o üçgeni içeren tek bir düzlem vardır ve her üçgen bir düzlemde bulunur. Tüm geometri yalnızca Öklid düzlemi ise, yalnızca bir düzlem vardır ve tüm üçgenler onun içindedir; ancak, daha yüksek boyutlu Öklid uzaylarında bu artık doğru değildir. Bu makale, aksi belirtilmedikçe, Öklid geometrisindeki üçgenler ve özellikle Öklid düzlemi hakkındadır.

üçgen türleri

Üçgenleri sınıflandırmak için kullanılan terminoloji iki bin yıldan daha eskidir ve Öklid'in Elementler kitabının ilk sayfasında tanımlanmıştır . Modern sınıflandırma için kullanılan isimler ya Öklid'in Yunanca'sının doğrudan çevirisi ya da Latince çevirileridir.

Kenar uzunluklarına göre

Antik Yunan matematikçi Öklid , kenarlarının uzunluklarına göre üç tür üçgen tanımladı:

Yunan : τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς , ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς , σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς , yanıyor  ' Üçgen şekillerden, bir izopleuron [eşkenar] üçgen, üç kenarı eşit olandır , bir ikizkenar sadece iki kenarı eşit olandır ve bir skalen , üç kenarı eşit olmayandır.'

• Bir eşkenar üçgenin ( Yunanca : ἰσόπλευρον , romanize :  isópleuron , lit.  'eşit kenarlar') aynı uzunlukta üç kenarı vardır. Eşkenar üçgen aynı zamanda tüm açıları 60° olan düzgün bir çokgendir .
• Bir ikizkenar üçgen ( Yunanca : ἰσοσκελὲς , romanize :  ikizkenar , lit.  'eşit bacaklar') eşit uzunlukta iki kenara sahiptir. Bir ikizkenar üçgen de aynı ölçüde iki açıya, yani aynı uzunluktaki iki kenarın karşısındaki açılara sahiptir. Bu gerçek, Öklid tarafından bilinen ikizkenar üçgen teoreminin içeriğidir . Bazı matematikçiler ikizkenar üçgeni tam olarak iki eşit kenara sahip olacak şekilde tanımlarken, diğerleri ikizkenar üçgeni en az iki eşit kenarı olan bir üçgen olarak tanımlar . İkinci tanım, tüm eşkenar üçgenleri ikizkenar üçgen yapar. Tetrakis kare döşemesinde görünen 45-45-90 dik üçgen ikizkenardır.
• Bir skalen üçgenin ( Yunanca : σκαληνὸν , romanize :  skalinón , lit.  'eşitsiz') tüm kenarları farklı uzunluklardadır. Eşdeğer olarak, farklı ölçülerde tüm açılara sahiptir.

• 

  Eşkenar üçgen

• 

  İkizkenar üçgen

• 

  Eşkenar olmayan üçgen

Onay işaretleri olarak da adlandırılan tarama işaretleri, eşit uzunluktaki kenarları belirlemek için üçgen ve diğer geometrik şekiller diyagramlarında kullanılır. Bir taraf "keneler" deseni ile işaretlenebilir, taksitli işaretler şeklinde kısa çizgi parçaları ; her ikisi de aynı desenle işaretlenmişse, iki tarafın uzunlukları eşittir. Bir üçgende, desen genellikle 3 keneden fazla değildir. Bir eşkenar üçgenin 3 tarafı da aynı desene sahiptir, bir ikizkenar üçgenin sadece 2 tarafı aynı desene sahiptir ve bir skalen üçgenin hiçbir kenarı eşit olmadığından tüm kenarları farklı desenlere sahiptir.

Benzer şekilde, açıların içindeki 1, 2 veya 3 eşmerkezli yay desenleri eşit açıları belirtmek için kullanılır: bir eşkenar üçgen 3 açının tamamında aynı desene sahiptir, bir ikizkenar üçgen sadece 2 açıdan aynı desene sahiptir ve bir skalen üçgen açılar eşit olmadığı için tüm açılarda farklı desenlere sahiptir.

İç açılara göre

Üçgenler, burada derece olarak ölçülen iç açılarına göre de sınıflandırılabilir .

• Bir dik üçgen (veya dik açılı üçgen , eskiden dikdörtgen üçgen olarak adlandırılırdı ), iç açılarından biri 90°'dir ( dik açı ). Dik açının karşısındaki kenar, üçgenin en uzun kenarı olan hipotenüstür . Diğer iki tarafa üçgenin bacakları veya kateti (tekil: katetus ) denir . Dik üçgenler Pisagor teoremine uyar : iki bacağın uzunluklarının karelerinin toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir: a ² + b ² = c ² , burada a ve b bacakların uzunluklarıdır ve c hipotenüsün uzunluğudur. Özel dik üçgenler , bunlarla ilgili hesaplamaları kolaylaştıran ek özelliklere sahip dik üçgenlerdir. En ünlü ikisinden biri, 3 ² + 4 ² = 5 ² olduğu 3-4–5 dik üçgendir . 3-4-5 üçgeni Mısır üçgeni olarak da bilinir. Bu durumda 3, 4 ve 5 bir Pisagor üçlüsüdür . Diğeri ise 45 derecelik (45-45-90 üçgen) 2 açısı olan bir ikizkenar üçgendir.
  • Açı ölçüsü 90° olmayan üçgenlere eğik üçgen denir .
• Tüm iç açıları 90°'den küçük olan bir üçgen , bir dar üçgen veya bir dar açılı üçgendir . Eğer c daha sonra en uzun yanın uzunluğu olduğu bir ² + b ² > c ² , bir ve b diğer kenarlarının uzunlukları vardır.
• Bir iç açısı 90°'den fazla olan bir üçgen geniş açılı üçgen veya geniş açılı üçgendir . Eğer c daha sonra en uzun yanın uzunluğu olduğu bir ² + b ² < c ² , bir ve b diğer kenarlarının uzunlukları vardır.
• Bir iç açısı 180° olan bir üçgen (ve eşdoğrusal köşeleri) dejeneredir . Sağ dejenere bir üçgen, ikisi çakışık olan eşdoğrusal köşelere sahiptir.

Ölçüleri aynı olan iki açısı olan bir üçgenin iki kenarı da aynı uzunluktadır ve bu nedenle ikizkenar üçgendir. Tüm açıların ölçüsü aynı olan bir üçgende, üç kenarın da aynı uzunlukta olduğu ve dolayısıyla eşkenar olduğu sonucu çıkar.

Doğru	Geniş	Akut
	${\ Displaystyle \ underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}}$
	eğik

Temel gerçekler

Bağlam aksini belirtmedikçe üçgenlerin iki boyutlu düzlem şekiller olduğu varsayılır ( aşağıdaki Düzlemsel olmayan üçgenlere bakın). Titiz işlemlerde, bir üçgen bu nedenle 2- simpleks olarak adlandırılır (ayrıca bkz . Politop ). Üçgenlerle ilgili temel gerçekler, Öklid tarafından MÖ 300 civarında yazılan Elements'in 1-4 kitaplarında sunuldu .

Üçgenin iç açıları önlemler toplamı olarak Öklid alanı her zaman 180 derecedir. Bu gerçek, Öklid'in paralel varsayımına eşdeğerdir . Bu, iki açının ölçüsü verilen herhangi bir üçgenin üçüncü açısının ölçüsünün belirlenmesine izin verir. Bir üçgenin dış açısı , bir iç açıya doğrusal bir çift (ve dolayısıyla tamamlayıcı ) olan bir açıdır. Bir üçgenin bir dış açısının ölçüsü, ona bitişik olmayan iki iç açının ölçülerinin toplamına eşittir; bu dış açı teoremi . Herhangi bir üçgenin üç dış açısının (her köşe için bir tane) ölçülerinin toplamı 360 derecedir.

benzerlik ve uygunluk

Bir üçgenin her bir açısının ölçüsü diğer üçgendeki karşılık gelen açı ile aynıysa, iki üçgen benzerdir . Benzer üçgenlerin karşılık gelen kenarlarının uzunlukları aynı orandadır ve bu özellik de benzerlik kurmak için yeterlidir.

Benzer üçgenlerle ilgili bazı temel teoremler şunlardır:

• Eğer ve ancak iki üçgenin bir çift iç açısının ölçüsü birbiriyle aynıysa ve diğer bir çiftin ölçüsü de aynıysa, üçgenler benzerdir.
• Eğer ve ancak iki üçgenin bir çift karşılık gelen kenarı, bir başka karşılık gelen kenar çifti ile aynı orandaysa ve iç açıları aynı ölçüye sahipse, o zaman üçgenler benzerdir. ( Bir çokgenin herhangi iki kenarı için dahil edilen açı , bu iki kenar arasındaki iç açıdır.)
• Eğer ve ancak iki üçgenin üç çift karşılık gelen kenarı aynı orandaysa, o zaman üçgenler benzerdir.

Olan iki üçgen uyumlu iç açıları karşılık gelen her çifti ölçüde eşittir, ve karşılık gelen kenarlarının her çifti aynı uzunluğa sahiptir: tam olarak aynı boyut ve şekle sahiptir. (Bu, toplam altı eşitliktir, ancak üçü genellikle uyumu kanıtlamak için yeterlidir.)

Bir çift üçgenin eş olması için bazı bireysel gerekli ve yeterli koşullar şunlardır:

• SAS Varsayımı: Bir üçgendeki iki kenar, diğer üçgendeki iki kenarla aynı uzunluğa sahiptir ve dahil edilen açıların ölçüsü aynıdır.
• ASA: Bir üçgende iki iç açı ve iç açı, diğer üçgendekilerle sırasıyla aynı ölçü ve uzunluğa sahiptir. ( Bir çift açı için dahil edilen kenar, onlar için ortak olan kenardır.)
• SSS: Bir üçgenin her bir kenarı, diğer üçgenin karşılık gelen kenarı ile aynı uzunluğa sahiptir.
• AAS: Bir üçgende iki açı ve karşılık gelen (dahil olmayan) bir kenar, diğer üçgendekilerle sırasıyla aynı ölçü ve uzunluğa sahiptir. (Buna bazen AAcorrS denir ve daha sonra yukarıdaki ASA'yı içerir.)

Bazı bireysel olarak yeterli koşullar şunlardır:

• Hipotenüs-Bacak (HL) Teoremi: Bir dik üçgendeki hipotenüs ve bir bacak, başka bir dik üçgendekilerle aynı uzunluğa sahiptir. Buna RHS (dik açı, hipotenüs, yan) da denir.
• Hipotenüs-Açı Teoremi: Bir dik üçgendeki hipotenüs ve bir dar açı, diğer dik üçgendekilerle sırasıyla aynı uzunluk ve ölçüye sahiptir. Bu sadece AAS teoreminin özel bir durumudur.

Önemli bir koşul:

• Kenar-Yan-Açı (veya Açı-Yan-Yan) koşulu: Bir üçgenin iki kenarı ve karşılık gelen dahil olmayan bir açısı, başka bir üçgendekilerle sırasıyla aynı uzunluk ve ölçüye sahipse, bu kanıtlamak için yeterli değildir. uyum; fakat verilen açı iki kenarın uzun kenarının tersi ise üçgenler eştir. Hipotenüs-Bacak Teoremi bu kriterin özel bir durumudur. Yan-Yan-Açı koşulu tek başına üçgenlerin eş olduğunu garanti etmez çünkü bir üçgen geniş açılı ve diğeri dar açılı olabilir.

Dik üçgenler ve benzerlik kavramı kullanılarak sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonları tanımlanabilir. Bunlar trigonometride incelenen bir açının fonksiyonlarıdır .

Sağ üçgenler

Bir merkezi teorem, herhangi bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun karesinin diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşit olduğunu belirten Pisagor teoremidir . Hipotenüsün uzunluğu c ve bacakların uzunlukları a ve b ise , teorem şunu belirtir:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Bunun tersi doğrudur: Bir üçgenin kenar uzunlukları yukarıdaki denklemi sağlıyorsa, o zaman üçgenin c kenarının karşısında bir dik açı vardır .

Dik üçgenler hakkında bazı diğer gerçekler:

• Bir dik üçgenin dar açıları tamamlayıcıdır .

${\displaystyle a+b+90^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow a+b=90^{\circ }\Rightarrow a=90^{\circ }-b.}$

• Bir dik üçgenin bacaklarının uzunlukları aynıysa, bu bacakların karşısındaki açıların ölçüsü aynıdır. Bu açılar tamamlayıcı olduğundan, her birinin 45 derece olduğu sonucu çıkar. Pisagor teoremine göre, hipotenüsün uzunluğu, bir bacağın uzunluğu çarpı √ 2'dir .
• Dar açıları 30 ve 60 derece olan bir dik üçgende, hipotenüs kısa kenarın uzunluğunun iki katıdır ve uzun kenar, kısa kenar zamanlarının uzunluğuna eşittir √ 3 :

${\görüntüleme stili c=2a\,}$

${\displaystyle b=a\kez {\sqrt {3}}.}$

Bütün üçgenler için açılar ve taraflar arasındaki ilişki şöyledir cosines hukuk ve sinüs yasası (diğer adıyla kosinüs kuralı ve sinüs kural ).

Bir üçgenin varlığı

Yanlardaki durum

Üçgen eşitsizliği durumları bir üçgen herhangi iki yan uzunluğunu toplamı üçüncü kenarının uzunluğuna eşit veya daha büyük olmalıdır. Bu toplam, üçüncü kenarın uzunluğuna yalnızca, biri eşdoğrusal köşeleri olan dejenere bir üçgen söz konusu olduğunda eşit olabilir. Bu toplamın üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olması mümkün değildir. Üç pozitif kenar uzunluğuna sahip bir üçgen, ancak ve ancak bu kenar uzunlukları üçgen eşitsizliğini sağlıyorsa var olur.

açılardaki koşullar

Verilen üç açı, ancak ve ancak bu koşulların her ikisi de geçerliyse: (a) açıların her biri pozitifse ve (b) açıların toplamı 180° ise, dejenere olmayan bir üçgen (ve aslında bunların bir sonsuzluğunu) oluşturur. Dejenere üçgenlere izin verilirse, 0°'lik açılara izin verilir.

trigonometrik koşullar

Her biri 180°'den küçük olan üç pozitif açı α , β ve γ , ancak ve ancak aşağıdaki koşullardan herhangi biri geçerliyse bir üçgenin açılarıdır:

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\ gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,}$

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\ gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1, }$

${\displaystyle \sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma ),}$

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )= 1,}$

${\displaystyle \tan(\alpha )+\tan(\beta )+\tan(\gamma )=\tan(\alpha )\tan(\beta )\tan(\gamma ),}$

son eşitlik sadece açılardan hiçbiri 90° değilse uygulanır (bu nedenle teğet fonksiyonunun değeri her zaman sonludur).

Bir üçgenle ilişkili noktalar, çizgiler ve daireler

Bir üçgenle ilişkili (ve genellikle içinde) özel bir nokta bulan ve bazı benzersiz özellikleri karşılayan binlerce farklı yapı vardır: bir katalog için Üçgen Merkezleri Ansiklopedisi makalesine bakın . Genellikle, üç tarafı (veya köşe) simetrik bir şekilde ilgili üç çizgileri bulmak ve daha sonra üç hat tek bir noktada uygun olduğunu kanıtlayarak inşa edilir: Bu varlığını kanıtlamak için önemli bir araçtır Ceva teoremi bir verir, bu tür üç çizginin ne zaman eşzamanlı olduğunu belirleme kriteri . Benzer şekilde, bir üçgenle ilişkili doğrular genellikle simetrik olarak oluşturulmuş üç noktanın eşdoğrusal olduğunu kanıtlayarak oluşturulur : burada Menelaus teoremi kullanışlı bir genel kriter verir. Bu bölümde en sık karşılaşılan yapılardan sadece birkaçı açıklanmıştır.

Bir dik açıortay bir üçgen bir tarafının içinden geçen bir düz çizgidir orta tarafında ve bununla birlikte bir dik açı oluşturan, yani buna dik olan. Üç dik açıortay tek bir noktada buluşur, üçgenin çevresi , genellikle O ile gösterilir ; Bu noktada merkezi circumcircle , daire üç köşe içinden geçmektedir. Çevresel çap olarak adlandırılan bu dairenin çapı, yukarıda belirtilen sinüs yasasından bulunabilir. Çevresel çemberin yarıçapına dairesel yarıçap denir .

Thales teoremi , eğer çevre merkezi üçgenin bir tarafında bulunuyorsa, karşı açının dik açı olduğunu ima eder. Çevre merkezi üçgenin içindeyse, üçgen akuttur; çevre merkezi üçgenin dışındaysa, üçgen geniştir.

Bir üçgenin yüksekliği , bir tepe noktasından geçen ve karşı tarafa dik (yani dik açı oluşturan) bir düz çizgidir. Bu karşı tarafa yüksekliğin tabanı denir ve yüksekliğin tabanı (veya uzantısını) kestiği noktaya yüksekliğin ayağı denir . Yüksekliğin uzunluğu, taban ile tepe arasındaki mesafedir. Üç yükseklik , genellikle H ile gösterilen üçgenin ortomerkezi olarak adlandırılan tek bir noktada kesişir . Ortomerkez, ancak ve ancak üçgen dar ise üçgenin içinde bulunur.

Bir üçgenin açıortay , ilgili açıyı ikiye bölen bir tepe noktasından geçen düz bir çizgidir. Üç açıortay, tek noktada kesişir incenter genellikle ile gösterilir, I , üçgenin ortasına incircle . Çember, üçgenin içinde kalan ve üç kenarına da değen çemberdir. Yarıçapına inradius denir . Diğer üç önemli çevreler vardır excircles ; üçgenin dışında uzanırlar ve bir tarafa ve diğer ikisinin uzantılarına dokunurlar. İç ve dış çemberlerin merkezleri ortosentrik bir sistem oluşturur .

Bir medyan bir üçgen 'düz bir çizgidir tepe ve orta karşı tarafın ve iki eşit bölüme üçgen böler. Üç medyan , genellikle G ile gösterilen üçgenin ağırlık merkezi veya geometrik ağırlık merkezi olan tek bir noktada kesişir . Katı üçgen bir nesnenin ağırlık merkezi (aynı yoğunlukta ince bir tabakadan kesilmiş) aynı zamanda kütle merkezidir : nesne, düzgün bir yerçekimi alanında kendi ağırlık merkezi üzerinde dengelenebilir. Merkez noktası her medyanı 2:1 oranında keser, yani bir tepe noktası ile ağırlık merkezi arasındaki mesafe, ağırlık merkezi ile karşı tarafın orta noktası arasındaki mesafenin iki katıdır.

Üç kenarın orta noktaları ve üç yüksekliğin ayakları, üçgenin dokuz noktalı dairesi olan tek bir daire üzerinde uzanır . Adlandırıldığı geri kalan üç nokta, tepeler ile ortomerkez arasındaki yükseklik bölümünün orta noktalarıdır . Dokuz noktalı çemberin yarıçapı, çember çemberinkinin yarısıdır. Çembere ( Feuerbach noktasında ) ve üç dış çembere dokunur .

Ortomerkez (mavi nokta), dokuz noktalı dairenin merkezi (kırmızı), ağırlık merkezi (turuncu) ve çevre merkezi (yeşil) hepsi Euler çizgisi (kırmızı çizgi) olarak bilinen tek bir çizgi üzerinde uzanır . Dokuz noktalı dairenin merkezi, ortomerkez ile çevremerkez arasındaki orta noktada bulunur ve ağırlık merkezi ile çevre merkezi arasındaki mesafe, ağırlık merkezi ile ortomerkez arasındaki mesafenin yarısıdır.

Çemberin merkezi genel olarak Euler çizgisinde yer almaz.

Aynı tepe noktasından geçen açıortayda bir medyan yansıtılırsa, bir simmedyan elde edilir . Üç simmedyan tek bir noktada kesişir , üçgenin symmedian noktası .

Kenarları ve açıları hesaplama

Bir kenarın uzunluğunu veya bir açının ölçüsünü hesaplamak için çeşitli standart yöntemler vardır. Dik açılı bir üçgende değerleri hesaplamak için belirli yöntemler uygundur; diğer durumlarda daha karmaşık yöntemler gerekebilir.

Dik üçgenlerde trigonometrik oranlar

Olarak doğru üçgen , sinüs, kosinüs ve tanjant trigonometrik oranlar bilinmeyen açıları ve bilinmeyen yanlarının uzunluklarının bulmak için de kullanılabilir. Üçgenin kenarları şu şekilde bilinir:

• Hipotenüs dik açı karşı tarafında, ya da bu durumda, bir dik açılı üçgenin uzun kenarı olarak tanımlanır h .
• Karşı taraf bu durumda, ilgilenen edilir açısına yan tersidir a .
• Bitişik yan dolayısıyla, adı biz ilgilenen edilir açı ve doğru açı ile temas halindedir taraftır. Bu durumda bitişik taraf b'dir .

Sinüs, kosinüs ve tanjant

Sinüs bir açı hipotenüsünün uzunluğuna karşı tarafın uzunluğu oranıdır. bizim durumumuzda

${\displaystyle \sin A={\frac {\text{karşı taraf}}{\text{hipotenüs}}}={\frac {a}{h}}\,.}$

Bu oran, A açısını içerdiği sürece seçilen dik üçgene bağlı değildir , çünkü tüm bu üçgenler benzerdir .

Kosinüs bir açı hipotenüsünün uzunluğuna bitişik yan uzunluğu olan oranıdır. bizim durumumuzda

${\displaystyle \cos A={\frac {\text{komşu taraf}}{\text{hipotenüs}}}={\frac {b}{h}}\,.}$

Teğet bir açı bitişik kenarının uzunluğuna karşı tarafın uzunluğu oranıdır. bizim durumumuzda

${\displaystyle \tan A={\frac {\text{karşı taraf}}{\text{bitişik taraf}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.}$

" SOH-CAH-TOA " kısaltması , bu oranlar için yararlı bir anımsatıcıdır .

ters fonksiyonlar

Ters trigonometrik fonksiyonlar herhangi iki tarafın uzunluğu ile doğru açılı üçgenin iç açıları hesaplamak için kullanılabilir.

Arcsin, karşı kenarın uzunluğundan ve hipotenüsün uzunluğundan bir açıyı hesaplamak için kullanılabilir.

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{karşı taraf}}{\text{hipotenüs}}}\sağ)}$

Arccos, bitişik kenarın uzunluğundan ve hipotenüsün uzunluğundan bir açı hesaplamak için kullanılabilir.

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\text{bitişik taraf}}{\text{hipotenüs}}}\sağ)}$

Arctan, karşı kenarın uzunluğundan ve bitişik kenarın uzunluğundan bir açı hesaplamak için kullanılabilir.

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{karşı taraf}}{\text{bitişik taraf}}}\sağ)}$

Giriş geometri ve trigonometri derslerinde, sin ^-1 , cos ^-1 vb. notasyonu genellikle arcsin, arccos vb. yerine kullanılır. Bununla birlikte, arcsin, arccos vb. notasyonu trigonometrik olan yüksek matematikte standarttır. fonksiyonlar genellikle kuvvetlere yükseltilir, çünkü bu, çarpımsal ters ve bileşimsel ters arasındaki karışıklığı önler .

Sinüs, kosinüs ve teğet kuralları

Sinüs yasası kendisine tekabül eden zıt açısının sinüsü bir tarafının uzunluğunun oranı sabit olduğu, ya da sinüs kural durumları, yani

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.}$

Bu oran, verilen üçgenin çevrelenmiş dairesinin çapına eşittir. Bu teoremin bir başka yorumu, α, β ve γ açılarına sahip her üçgenin, kenar uzunlukları sin α, sin β ve sin γ'ye eşit olan bir üçgene benzer olmasıdır. Bu üçgen, önce çapı 1 olan bir daire oluşturularak ve içine üçgenin iki açısı yazılarak oluşturulabilir. Bu üçgenin kenarlarının uzunluğu sin α, sin β ve sin γ olacaktır. Uzunluğu sin α olan kenar, ölçüsü α olan açının karşısındadır, vb.

Cosines yasa veya kosinüs kuralı, diğer tarafın uzunluğu ve bilinmeyen yan açı karşısındaki bir üçgenin bilinmeyen bir kenarının uzunluğunu bağlar. Kanuna göre:

Kenar uzunlukları a , b , c ve açıları sırasıyla α, β, γ olan bir üçgen için , bir üçgenin bilinen iki uzunluğu a ve b ve bilinen iki taraf γ (veya bilinmeyenin karşısındaki açı) arasındaki açı verilir. taraf c ), üçüncü taraf c'yi hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılabilir:

${\displaystyle c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}$

${\displaystyle b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )}$

${\displaystyle a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )}$

Herhangi bir üçgenin üç kenarının da uzunlukları biliniyorsa, üç açı hesaplanabilir:

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\sağ)}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\sağ)}$

${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\sağ)}$

Tanjant teoremi veya teğet kural, iki taraf ve bir açı ya da iki açıları ve bir tarafı bilinir zaman bir taraf veya bir açı bulmak için kullanılabilir. Şu hususları belirtmektedir:

${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac { 1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}$

üçgenlerin çözümü

"Üçgenlerin çözümü" ana trigonometrik problemdir: Bu özelliklerden en az üçü verildiğinde bir üçgenin eksik özelliklerini (üç açı, üç kenarın uzunlukları vb.) bulmak. Üçgen bir düzlemde veya bir küre üzerinde yer alabilir . Bu problem genellikle jeodezi , astronomi , inşaat , navigasyon vb. gibi çeşitli trigonometrik uygulamalarda ortaya çıkar .

Bir üçgenin alanını hesaplamak

Bir üçgenin T alanını hesaplamak, birçok farklı durumda sıklıkla karşılaşılan temel bir problemdir. En iyi bilinen ve en basit formül şudur:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}bh,}$

burada b üçgenin tabanının uzunluğu ve h üçgenin yüksekliği veya yüksekliğidir. "Taban" terimi herhangi bir kenarı belirtir ve "yükseklik", tabanın karşısındaki tepe noktasından tabanı içeren çizgiye bir dikin uzunluğunu belirtir. 499 CE Aryabhata'da , bu resimli yöntemi Aryabhatiya'da kullandı (bölüm 2.6).

Basit olmasına rağmen, bu formül yalnızca yükseklik kolayca bulunabiliyorsa faydalıdır, ki bu her zaman böyle değildir. Örneğin, üçgen bir alanın araştırmacısı, her bir kenarın uzunluğunu ölçmeyi nispeten kolay bulabilir, ancak bir 'yükseklik' oluşturmayı nispeten zor bulabilir. Üçgen hakkında bilinenlere bağlı olarak pratikte çeşitli yöntemler kullanılabilir. Aşağıda, bir üçgenin alanı için sık kullanılan formüllerden bir seçki yer almaktadır.

trigonometri kullanma

Bir üçgenin yüksekliği, trigonometri uygulamasıyla bulunabilir .

Bilmek SAS : Sağdaki resimde Etiketleri kullanarak, yükseklik olan h = bir günah${\görüntüleme stili \gama }$ . Bunu yukarıda elde edilen formülde değiştirerek , üçgenin alanı şu şekilde ifade edilebilir: ${\displaystyle T={\frac {1}{2}}bh}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta }$

(α de iç açı burada A , β de iç açısı B , en iç açı olan C ve C hattı olan AB ). ${\görüntüleme stili \gama }$

Ayrıca, sin α = sin ( π − α) = sin (β + ) olduğundan ve benzer şekilde diğer iki açı için: ${\görüntüleme stili \gama }$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).}$

AAS'yi bilmek :

${\displaystyle T={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin(\alpha +\beta ))}{2\sin \beta }},}$

ve benzer şekilde, eğer bilinen taraf a veya c ise .

ASA'yı bilmek :

${\displaystyle T={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \ gama )}{2\sin(\beta +\gamma )}},}$

ve benzer şekilde, eğer bilinen taraf b veya c ise .

Heron formülünü kullanma

Üçgenin şekli kenarların uzunluklarına göre belirlenir. Bu nedenle, alan, kenarların uzunluklarından da türetilebilir. By Heron formülü :

${\displaystyle T={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}$

nerede olduğunu semiperimeter üçgenin çevresinin veya yarım. ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}}$

Heron formülünü yazmanın diğer üç eşdeğer yolu:

${\displaystyle T={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4} +b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^) {2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}$

vektörleri kullanma

Üç boyutlu Öklid uzayına gömülü bir paralelkenarın alanı vektörler kullanılarak hesaplanabilir . Vektörleri olsun AB ve ac sırasıyla noktayı A için B ve gelen A için C . ABDC paralelkenarının alanı daha sonra

${\displaystyle |\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |,}$

bu, AB ve AC vektörlerinin çapraz çarpımının büyüklüğüdür . ABC üçgeninin alanı bunun yarısıdır,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}|\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |.}$

ABC üçgeninin alanı nokta çarpımlar cinsinden de şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf { AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^ {2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}.\,}$

İki boyutlu Öklid uzayında, AB vektörünü ( x ₁ , y ₁ )'e eşit Kartezyen uzayda serbest bir vektör olarak ve AC'yi ( x ₂ , y ₂ ) olarak ifade ederek , bu şu şekilde yeniden yazılabilir:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.\,}$

koordinatları kullanma

A köşesi bir Kartezyen koordinat sisteminin orijininde (0, 0) bulunuyorsa ve diğer iki köşenin koordinatları B = ( x _B , y _B ) ve C = ( x _C , y _C ) ile veriliyorsa , o zaman alan , determinantın mutlak değerinin 1 ⁄ 2 katı olarak hesaplanabilir

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left|\det {\başlangıç{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}} \right|={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}$

Üç genel köşe için denklem şöyledir:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{ C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{ B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |},}$

hangi olarak yazılabilir

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{A})-(x_{A}-x_ {B})(y_{C}-y_{A}){\büyük |}.}$

Noktalar saat yönünün tersine sırayla etiketlenirse, yukarıdaki belirleyici ifadeler pozitiftir ve mutlak değer işaretleri atlanabilir. Yukarıdaki formül, ayakkabı bağı formülü veya sörveyör formülü olarak bilinir .

Köşeleri karmaşık düzlemde konumlandırır ve saat yönünün tersine sırayla a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i ve c = x _C + y _C i olarak gösterirsek ve bunların karmaşık eşleniklerini şu şekilde gösterirsek: , , ve , ardından formül ${\ Displaystyle {\bar {a}}}$${\görüntüleme stili {\bar {b}}}$${\görüntüleme stili {\bar {c}}}$

${\displaystyle T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c} }&1\end{vmatrix}}}$

ayakkabı bağı formülüne eşdeğerdir.

Üç boyutta, A = ( x _A , y _A , z _A ) , B = ( x _B , y _B , z _B ) ve C = ( x _C , y _C , z _C ) genel üçgeninin alanı Üç ana düzlemdeki ilgili projeksiyonların alanlarının Pisagor toplamı (yani x = 0, y = 0 ve z = 0):

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C }\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1 \end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix }}^{2}}}.}$

Çizgi integrallerini kullanma

Bir üçgen gibi herhangi bir kapalı eğri içindeki alan , eğri üzerindeki bir noktanın rasgele yönlendirilmiş düz bir L çizgisinden cebirsel veya işaretli mesafesinin eğrisi etrafındaki çizgi integrali tarafından verilir . Yönlendirilmiş olarak L' nin sağındaki noktalar L' den negatif uzaklıkta alınırken, integralin ağırlığı yay uzunluğunun kendisinden ziyade L'ye paralel yay uzunluğunun bileşeni olarak alınır .

Bu yöntem, keyfi bir çokgenin alanının hesaplanması için çok uygundur . L , x ekseni olarak alınırsa , ardışık köşeler ( x _ben , y _ben ) ile ( x _{ben +1} , y _{ben +1} ) arasındaki çizgi integrali , taban çarpı ortalama yükseklik ile verilir, yani ( x _{ben +1 )} − x _ben )( y _ben + y _{ben +1} )/2 . Alanın işareti, geçiş yönünün genel bir göstergesidir ve negatif alan saat yönünün tersine geçişi gösterir. Bir üçgenin alanı, üç kenarı olan bir çokgenin durumunda olduğu gibi düşer.

Çizgi integrali yönteminin diğer koordinat tabanlı yöntemler ile ortak noktası, bir koordinat sisteminin keyfi seçimine sahipken, diğerlerinden farklı olarak, üçgenin köşe noktası olarak orijin veya taban olarak kenar olarak keyfi bir seçim yapmaz. Ayrıca, ağırlık yerel bir mesafe olduğundan (örneğin , yukarıda x _{i +1} − x _i ), L ile tanımlanan koordinat sistemi seçimi , normal üç yerine sadece iki serbestlik derecesini taahhüt eder, bu nedenle yöntem seçim gerektirmez. L'ye normal bir eksen .

Kutupsal koordinatlarda çalışırken , bir çokgenin ardışık köşeleri ( r _i ,θ _i ) ve ( r _{i +1} ,θ _{i +1} ) arasındaki çizgi integrali verildiğinden, çizgi entegrasyonunu kullanmak için Kartezyen koordinatlara dönüştürmek gerekli değildir. doğrudan r _i r _{ben +1} sin(θ _{ben +1} − θ _ben )/2 . Bu, θ'nin tüm değerleri için geçerlidir, |θ| π'den daha büyük birçok büyüklük sırasıdır. Bu formülasyon ile negatif alan, kutupsal ve kartezyen koordinatları karıştırırken akılda tutulması gereken saat yönünde geçişi gösterir. Seçimi gibi y -Axis ( X = 0 ), yani sıfır başlığı (tercihidir, Kartezyen koordinatlarda hattı entegrasyonu için önemsizdir θ = 0 ) burada önemsizdir.

Heron formülüne benzeyen formüller

Üç formül, Heron formülüyle aynı yapıya sahiptir ancak farklı değişkenler cinsinden ifade edilir. İlk olarak, a , b ve c kenarlarından medyanları sırasıyla m _a , m _b ve m _{c olarak} ve bunların yarı toplamını ( m _a + m _b + m _c )/2 σ olarak göstererek,

${\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}} .}$

Daha sonra, a , b ve c kenarlarından yükseklikleri sırasıyla h _a , h _b ve h _c olarak göstermek ve sahip olduğumuz gibi yüksekliklerin karşılıklılarının yarı toplamını göstermek ${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$

${\displaystyle T^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^ {-1})}}.}$

Ve açıların sinüslerinin yarı toplamını S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 olarak göstererek ,

${\displaystyle T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}}$

burada D circumcircle çapı:${\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.}$

Pick teoremini kullanma

Herhangi bir rastgele kafes çokgenin alanını bulmak için bir teknik için Pick'in teoremine bakın (biri, kafes noktaları eşit mesafelerde dikey ve yatay olarak bitişik ve kafes noktalarında köşeleri olan bir ızgara üzerine çizilmiştir).

Teorem şunları belirtir:

${\displaystyle T=I+{\frac {1}{2}}B-1}$

burada iç kafes noktalarının sayısı ve B çokgenin sınırında uzanan kafes noktalarının sayısıdır. ${\görüntüleme stili I}$

Diğer alan formülleri

gibi çok sayıda başka alan formülü mevcuttur.

${\displaystyle T=r\cdot s,}$

burada R bir inradius ve s olan semiperimeter (aslında, bu formül için de geçerlidir , tüm teğet çokgenler ) ve

${\displaystyle T=r_{a}(sa)=r_{b}(sb)=r_{c}(sc)}$

sırasıyla a, b, c kenarlarına teğet olan dış çemberlerin yarıçapları nerede . ${\displaystyle r_{a},\,r_{b},\,r_{c}}$

Ayrıca buna sahibiz

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )}$

ve

${\displaystyle T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}}$

D çevresi için ; ve

${\displaystyle T={\frac {\tan \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$

α ≠ 90° açısı için.

Alan olarak da ifade edilebilir

${\displaystyle T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$

1885'te Baker, üçgen için yüzden fazla farklı alan formülü koleksiyonu verdi. Bunlar şunları içerir:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}[abch_{a}h_{b}h_{c}]^{1/3},}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},}$

${\displaystyle T={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},}$

${\displaystyle T={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}}$

dairesel yarıçap için (çemberin yarıçapı) R , ve

${\displaystyle T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.}$

Bölgede üst sınır

Alan T çevre ile bir üçgen s tatmin

${\displaystyle T\leq {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}},}$

sadece ve sadece üçgen eşkenar ise eşitlik tutma ile.

Alanda diğer üst sınırları , T tarafından verilmektedir

${\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

ve

${\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq {\frac {9abc}{a+b+c}},}$

her ikisi de ancak ve ancak üçgen eşkenar ise tekrar tutar.

Alanı ikiye bölme

Bir üçgenin alanını ikiye bölen sonsuz sayıda doğru vardır . Bunlardan üçü, merkezden geçen tek alan açıortay olan medyanlardır. Diğer üç alan açıortay üçgenin kenarlarına paraleldir.

Hem üçgenin alanını hem de çevresini ikiye bölen bir üçgenden geçen herhangi bir çizgi, üçgenin merkezinden geçer. Herhangi bir üçgen için bunlardan bir, iki veya üçü olabilir.

Genel Öklid üçgenleri için diğer formüller

Bu bölümdeki formüller tüm Öklid üçgenleri için geçerlidir.

Medyanlar, açıortaylar, dik yan açıortaylar ve rakımlar

Medyanlar ve kenarlar şu şekilde ilişkilidir:

${\displaystyle {\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2} +m_{c}^{2}}$

ve

${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {{\frac { 1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-{\frac {3}{4}}a^{2}}}}$,

ve eşdeğer olarak m _b ve m _{c için} .

A açısının karşı tarafı a için , iç açıortayın uzunluğu şu şekilde verilir:

${\displaystyle w_{A}={\frac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}}={\sqrt {bc\left[1-{\frac {a^{2} }{(b+c)^{2}}}\sağ]}}={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}},}$

yarım çevre s için , açıortay uzunluğunun tepe noktasından karşı tarafla buluştuğu yere kadar ölçüldüğü yer.

İç dik açıortaylar ile verilir

${\displaystyle p_{a}={\frac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$

${\displaystyle p_{b}={\frac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$

${\displaystyle p_{c}={\frac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$

kenarlar nerede ve alan nerede${\displaystyle a\geq b\geq c}$${\görüntüleme stili T.}$

Örneğin, uzunluğu yan gelen yükseklik a olan

${\displaystyle h_{a}={\frac {2T}{a}}.}$

Circumradius ve inradius

Aşağıdaki formüller, R yarıçapını ve r yarıçapını içerir :

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c) )(a+bc)}}};}$

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)}}};}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_ {C}}}}$

burada h _a vb., indisli kenarların yükseklikleridir;

${\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4T^{2}}{sabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}$

ve

${\displaystyle 2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}}$.

Bir üçgenin iki kenarının çarpımı, çemberin D çapının üçüncü kenarının yüksekliğiyle çarpımına eşittir :

${\displaystyle ab=h_{c}D,\dörtlü \dört bc=h_{a}D,\dörtlü ca=h_{b}D.}$

bitişik üçgenler

İki bitişik fakat örtüşmeyen üçgenin, f uzunluğunun aynı kenarını paylaştığını ve aynı çevre daireyi paylaştığını, böylece f uzunluğunun bir kenarı çemberin bir kirişi olduğunu ve üçgenlerin kenar uzunluklarına ( a , b , f ) ve ( c ) sahip olduğunu varsayalım. , d , f ), iki üçgen birlikte kenar uzunlukları sırayla ( a , b , c , d ) olan döngüsel bir dörtgen oluşturur . Sonra

${\displaystyle f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}.\,}$

merkez

G , A , B ve C köşeleri olan bir üçgenin ağırlık merkezi olsun ve P herhangi bir iç nokta olsun. Daha sonra noktalar arasındaki mesafeler ile ilişkilidir

${\displaystyle (PA)^{2}+(PB)^{2}+(PC)^{2}=(GA)^{2}+(GB)^{2}+(GC)^{2} +3(PG)^{2}.\,}$

Üçgenin kenarlarının karelerinin toplamı, merkezin köşelerden uzaklıklarının karelerinin toplamının üç katına eşittir:

${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$

Let q _a , q, _b , ve q, _c uzunlukları kenarlarına sentroidinden mesafeleri bir , b , ve c . Sonra

${\displaystyle {\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad \quad {\frac {q_{b}}{q_{c}} }={\frac {c}{b}},\quad \quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}\,}$

ve

${\displaystyle q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}T\,}$

Alan için T .

Circumcenter, incenter ve orthocenter

Carnot teoremi , çevre merkezinden üç kenara olan mesafelerin toplamının, dairesel yarıçap ve yarıçapın toplamına eşit olduğunu belirtir. Burada bir parçanın uzunluğu, ancak ve ancak parça tamamen üçgenin dışındaysa negatif olarak kabul edilir. Bu yöntem, Lie cebirleri tarafından indüklenenler gibi , aksi takdirde normal üçgenlerle aynı özelliklere sahip olan daha soyut üçgen biçimlerinin özelliklerini çıkarmak için özellikle yararlıdır .

Euler teoremi , çevre merkezi ile merkez arasındaki d mesafesinin şu şekilde verildiğini belirtir :

${\görüntüleme stili\görüntüleme stili d^{2}=R(R-2r)}$

Veya eşdeğer olarak

${\displaystyle {\frac {1}{Rd}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},}$

burada R dairesel yarıçap ve r yarıçaptır. Böylece tüm üçgenler için R ≥ 2 r , eşkenar üçgenler için eşitlik sağlanır.

Ortomerkezin bir yüksekliği u ve v uzunluklarına , başka bir yüksekliği w ve x uzunluklarına ve üçüncü yüksekliği y ve z uzunluklarına böldüğünü belirtirsek , o zaman uv = wx = yz olur .

Bir kenardan çevremerkeze olan mesafe, karşı köşeden ortomerkeze olan mesafenin yarısına eşittir.

Köşelerden ortomerkez H'ye olan uzaklıkların karelerinin toplamı ile kenarların karelerinin toplamı, dairesel yarıçapın karesinin on iki katına eşittir:

${\displaystyle AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=12R^{2}.}$

açılar

Ek olarak sinüs yasası , cosines hukuk , teğet hukuk ve trigonometrik varlığı koşullarında daha erken, herhangi bir üçgen için verilen

${\displaystyle a=b\cos C+c\cos B,\dört b=c\cos A+a\cos C,\dört c=a\cos B+b\cos A.}$

Morley'nin trisektör teoremi

Morley'in trisektör teoremi, herhangi bir üçgende, bitişik açı trisektörlerinin üç kesişme noktasının , Morley üçgeni adı verilen bir eşkenar üçgen oluşturduğunu belirtir .

Üçgen içine yazılmış şekiller

konikler

Yukarıda tartışıldığı gibi, her üçgen, üçgenin içinde ve üç kenara da teğet olan benzersiz bir yazılı daireye (daire) sahiptir.

Her üçgen, üçgenin içinde ve kenarların orta noktalarında teğet olan benzersiz bir Steiner elipsine sahiptir. Marden teoremi , bu elipsin odaklarının nasıl bulunacağını gösterir . Bu elips, üçgenin üç kenarına da teğet olan herhangi bir elipsin en büyük alanına sahiptir.

Mandart inellipse bir üçgen de excircles temas noktalarında Kenarlarına üçgen teğet olan yazılı elipstir.

ABC üçgeninde yazılı herhangi bir elips için odak noktaları P ve Q olsun . Sonra

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\ overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\ {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

Dışbükey Poligon

Alanı T olan her dışbükey çokgen , en fazla 2 T'ye eşit bir alan üçgenine yazılabilir . Eşitlik (yalnızca) bir paralelkenar için geçerlidir .

Altıgen

Lemoine altıgen a, siklik altıgen iki ve üzerinden bu geçiş paralel olan üç hatları ile üçgenin kenarlarının altı kesişme tarafından verilen noktalar ile symmedian noktası . Ya basit biçiminde ya da kendi kendini kesen biçiminde , Lemoine altıgeni üçgenin her iki tarafında iki köşe bulunan üçgenin içindedir.

kareler

Her dar üçgenin üç yazılı karesi vardır (içlerinde kareler öyle ki bir karenin köşelerinin dördü de üçgenin bir tarafında bulunur, bu nedenle ikisi aynı tarafta bulunur ve dolayısıyla karenin bir kenarı bir kenarın parçası ile çakışır. üçgen). Bir dik üçgende karelerden ikisi çakışır ve üçgenin dik açısında bir tepe noktasına sahiptir, bu nedenle bir dik üçgende sadece iki farklı yazılı kare vardır. Geniş bir üçgende, bir kenarı üçgenin en uzun kenarının bir kısmına denk gelen yalnızca bir yazılı kare vardır. Belirli bir üçgen içinde, daha uzun bir ortak kenar, daha küçük bir yazılı kare ile ilişkilendirilir. Bir çizilebilen kare uzunluğu yan varsa q _a ve üçgen uzunluğu bir tarafa sahip a , parça karenin bir kenarının, daha sonra bu yan çakışmaktadır ve q, _a , a , yükseklik h _bir yan gelen a ve üçgenin T alanı şuna göre ilişkilidir

${\displaystyle q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.}$

Üçgenin alanına çizilebilen kare alanının mümkün olduğunca büyük bir oranı, zaman meydana geldiği, 1/2 bir ² = 2 , T , q = bir / 2 , ve uzunluk tabanından üçgenin yüksekliği a olan e eşit bir . Aynı geniş olmayan üçgende bir yazılı karenin kenarının diğerinin kenarına mümkün olan en küçük oranıdır . ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}/3=0.94....}$

üçgenler

Bir referans üçgenindeki bir iç noktadan, üç taraftaki en yakın noktalar , o noktanın pedal üçgeninin köşeleri olarak hizmet eder. İç nokta referans üçgenin çevresiyse, pedal üçgeninin köşeleri referans üçgenin kenarlarının orta noktalarıdır ve bu nedenle pedal üçgeni orta nokta üçgeni veya orta üçgen olarak adlandırılır . Orta nokta üçgeni, referans üçgenini, referans üçgene benzeyen dört uyumlu üçgene böler.

Gergonne üçgen , bir referans üçgen veya InTouch üçgen incircle referans üçgenin kenarlarının teğet üç noktada köşeler bulunur. Extouch üçgen referans üçgenin onun iki referans üçgenin excircles teğet noktalarında köşeler bulunur (genişletilmiş) içerir.

Bir üçgen etrafında çevrelenmiş rakamlar

Teğet üçgen bir referans üçgen (bir dik üçgen dışında) arasında olan taraf üzerinde üçgen olan teğetlerin kendi noktaların referans üçgenin circumcircle.

Yukarıda bahsedildiği gibi, her üçgenin benzersiz bir çevresi vardır, merkezi üçgenin kenarlarının dik açıortaylarının kesişimi olan üç köşenin hepsinden geçen bir daire.

Ayrıca, her üçgenin, üçgenin köşelerinden geçen ve merkezi üçgenin ağırlık merkezinde olan benzersiz bir Steiner dairesel çevresi vardır. Üçgenin köşelerinden geçen tüm elipsler arasında en küçük alana sahiptir.

Kiepert hiperbol benzersizdir konik üçgenin üç köşede, kendi ağırlık merkezi, ve circumcenter geçer.

Belirli bir dışbükey çokgenin içerdiği tüm üçgenlerden, köşeleri verilen çokgenin tüm köşeleri olan maksimum alana sahip bir üçgen vardır.

Bir üçgende bir noktanın yerini belirtme

Bir üçgenin içindeki (veya dışındaki) noktaların konumlarını belirlemenin bir yolu, üçgeni Kartezyen düzlemde keyfi bir konuma ve oryantasyona yerleştirmek ve Kartezyen koordinatlarını kullanmaktır. Birçok amaç için uygun olmakla birlikte, bu yaklaşım, tüm noktaların koordinat değerlerinin düzlemdeki keyfi yerleşime bağlı olması dezavantajına sahiptir.

İki sistem bu özellikten kaçınır, böylece bir noktanın koordinatları üçgenin hareket ettirilmesinden, döndürülmesinden veya aynada olduğu gibi yansıtılmasından etkilenmez, bunlardan herhangi biri uyumlu bir üçgen verir veya hatta benzer bir üçgen verecek şekilde yeniden ölçeklendirilmesinden etkilenir. :

• Üç doğrusal koordinatlar , bir noktanın kenarlardan göreli uzaklıklarını belirtir, böylece koordinatlar , noktanın birinci kenardan ikinci kenardan uzaklığına oranının , vb. olduğunu gösterir.${\görüntüleme stili x:y:z}$${\görüntüleme stili x:y}$
• Barycentric koordinatlar formun verilen noktada aksi ağırlıksız üçgen dengelemek amacıyla üç köşeler koymak gerekirdi nispi ağırlıkları ile noktanın konumu belirtin.${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$

düzlemsel olmayan üçgenler

Düzlemsel olmayan bir üçgen, (düz) bir düzlemde yer almayan bir üçgendir. Olmayan Öklid geometrilerde düzlemsel olmayan üçgenler bazı örnekler küresel üçgenler olarak küresel geometri ve hiperbolik üçgenler olarak hiperbolik geometrisi .

Düzlemsel üçgenlerde iç açıların ölçüleri her zaman 180° iken, hiperbolik üçgende açı ölçüleri toplamı 180°'den küçük ve küresel üçgende açı ölçüleri toplamı 180°'den fazla olan açı ölçüleri vardır. Bir hiperbolik üçgen gibi bir gibi bir negatif eğimli yüzeye çekilmesiyle elde edilebilir tel yüzeyi ve bir küresel üçgen bir şekilde pozitif kavisli yüzeye çekilmesiyle elde edilebilir küre . Böylece, Dünya'nın yüzeyine dev bir üçgen çizilirse, açılarının ölçüleri toplamının 180°'den büyük olduğu görülecektir; aslında 180° ile 540° arasında olacaktır. Özellikle, bir küre üzerine, iç açılarının her birinin ölçüsü 90°'ye eşit olacak şekilde, toplamda 270° olacak şekilde bir üçgen çizmek mümkündür.

Spesifik olarak, bir küre üzerinde bir üçgenin açılarının toplamı

180° × (1 + 4 f ),

burada f , kürenin üçgen tarafından çevrelenen alanının kesridir. Örneğin, Dünya yüzeyinde, köşeleri Kuzey Kutbu'nda, ekvator üzerindeki bir noktada 0° boylamda ve ekvator üzerinde bir nokta 90° Batı boylamında olan bir üçgen çizdiğimizi varsayalım . Büyük daire adı geçen son iki nokta arasındaki hat ekvator, ve bu sayı ve iki arasındaki büyük daire hattı Kuzey Kutbu boylam bir çizgidir; yani ekvatorun iki noktasında dik açılar vardır. Ayrıca, Kuzey Kutbu'ndaki açı da 90°'dir, çünkü diğer iki köşe 90° boylamla farklılık gösterir. Yani bu üçgendeki açıların toplamı 90° + 90° + 90° = 270°'dir . Üçgen kuzey yarımkürenin 1/4'ünü (Kuzey Kutbu'ndan bakıldığında 90°/360°) ve dolayısıyla Dünya yüzeyinin 1/8'ini çevreler, dolayısıyla f = 1/8 formülünde ; bu nedenle formül doğru olarak üçgenin açılarının toplamını 270° olarak verir.

Yukarıdaki açı toplamı formülünden, Dünya yüzeyinin yerel olarak düz olduğunu da görebiliriz: Dünya yüzeyindeki bir noktanın komşuluğunda keyfi olarak küçük bir üçgen çizersek , Dünya yüzeyinin üçgen tarafından çevrelenen f kesri , keyfi olarak sıfıra yakın olun. Bu durumda, açı toplamı formülü 180°'ye sadeleşir, bunun Öklid geometrisinin bize düz bir yüzey üzerindeki üçgenler için söylediği şey olduğunu biliyoruz.

İnşaatta üçgenler

Dikdörtgenler , şekillerin istiflenmesi ve düzenlenmesi kolay olduğu için binalar için en popüler ve yaygın geometrik form olmuştur; standart olarak, dikdörtgen biçimli binalara sığacak mobilya ve armatürler tasarlamak kolaydır. Ancak üçgenler, kavramsal olarak kullanımı daha zor olsa da, büyük bir güç sağlar. Bilgisayar teknolojisi mimarların yaratıcı yeni binalar tasarlamasına yardımcı olurken , üçgen şekiller binaların bir parçası olarak ve bazı gökdelen türlerinin yanı sıra yapı malzemeleri için birincil şekil olarak giderek daha yaygın hale geliyor. 1989'da Tokyo'da mimarlar, bu yoğun şehir için uygun fiyatlı ofis alanı sağlamak için 500 katlı bir kule inşa etmenin mümkün olup olmadığını merak etmişlerdi, ancak depremlerden bina tehlikesi ile mimarlar, böyle bir durumda üçgen bir şeklin gerekli olacağını düşündüler. bir bina yapılacaktı.

In New York gibi Broadway önemli caddeleri çaprazından, ortaya çıkan bloklar üçgenler gibi kesilir ve binalar bu şekillerin üzerine inşa edilmiştir; Böyle bir bina, emlakçıların "modern ofis mobilyalarını kolayca barındırmayan garip alanların warren'ine" sahip olduğunu kabul ettiği, ancak yapının bir dönüm noktası simgesi haline gelmesini engellemeyen üçgen şekilli Flatiron Binası'dır . Tasarımcılar, Norveç'te üçgen temalar kullanarak evler yaptılar . Üçgen şekiller kiliselerde ve kolejler de dahil olmak üzere kamu binalarında ve yenilikçi ev tasarımları için desteklerde ortaya çıktı.

Üçgenler sağlamdır; Bir dikdörtgen , noktalarından birine basınçtan paralelkenar içine çökebilirken , üçgenler, yapıları yanal basınçlara karşı destekleyen doğal bir güce sahiptir. Bir üçgen, kenarları bükülmedikçe, uzatılmadıkça veya kırılmadıkça veya eklemleri kırılmadıkça şekil değiştirmez; özünde, üç tarafın her biri diğer ikisini destekler. Bir dikdörtgen, aksine, yapısal anlamda eklemlerinin gücüne daha fazla bağımlıdır. Bazı yenilikçi tasarımcılar, tuğlaları dikdörtgenlerden değil, üç boyutta birleştirilebilen üçgen şekillerle yapmayı önerdiler . Mimarinin karmaşıklığı arttıkça üçgenlerin yeni şekillerde kullanılması muhtemeldir. Üçgenlerin rijitlik açısından güçlü olduğunu hatırlamak önemlidir, ancak bir mozaik düzenlemesinde paketlenirken üçgenler, sıkıştırma altındaki altıgenler kadar güçlü değildir (dolayısıyla doğada altıgen formların yaygınlığı ). Mozaik üçgenler hala konsol için üstün mukavemeti korur ve bu, insan yapımı en güçlü yapılardan biri olan tetrahedral kafes kirişin temelidir .

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar

• Ivanov, AB (2001) [1994], "Üçgen" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
• Clark Kimberling: Üçgen merkezlerinin ansiklopedisi . Herhangi bir üçgenle ilişkili yaklaşık 5200 ilginç nokta listeler.