Dirac delta işlevi - Dirac delta function
Diferansiyel denklemler |
---|
sınıflandırma |
Çözüm |
Gelen matematik , Dirac delta fonksiyonu ( δ fonksiyonu olarak da bilinir), birim darbe sembol, bir genel fonksiyon ya da dağıtım üzerinde gerçek sayılar değeri sıfır dışında her yerde sıfır, olan ve, yekpare bütün gerçek hattı üzerinden eşittir birine. Aynı zamanda, bir şekilde yorumlanabilir doğrusal fonksiyonel sıfır değerine her işlevi haritalar veya bu şekilde zayıf sınır a dizisi arasında kabartma fonksiyonları orijinde uzun bir başak ile, gerçek hattının en fazla sıfır,. Bump işlevleri bu nedenle bazen "yaklaşık" veya "olmakta olan" delta işlevleri olarak adlandırılır.
Delta işlevi, fizikçi Paul Dirac tarafından durum vektörlerinin normalleştirilmesi için bir araç olarak tanıtıldı . Ayrıca olasılık teorisi ve sinyal işlemede de kullanımları vardır . Gerçek bir matematiksel fonksiyon olmadığı için , Laurent Schwartz dağılımlar teorisini geliştirene kadar bazı matematikçiler buna saçmalık olarak itiraz ettiler .
Kronecker'in ö genellikle ayrı bir etki alanında tanımlandığı gibidir ve 0 değeri 1 alır fonksiyonu, Dirac delta fonksiyonunun ayrık analoğudur.
Motivasyon ve genel bakış
Grafik delta fonksiyonunun, genellikle bütün aşağıdaki olarak düşünülür x -Axis ve pozitif y -Axis. Dirac deltası, uzun, dar bir başak fonksiyonunu (bir dürtü ) ve nokta yükü , nokta kütlesi veya elektron noktası gibi diğer benzer soyutlamaları modellemek için kullanılır . Örneğin, vurulan bir bilardo topunun dinamiklerini hesaplamak için , çarpma kuvveti bir delta fonksiyonu ile tahmin edilebilir . Bunu yaparken, sadece denklemleri basitleştirmekle kalmaz, aynı zamanda atom altı seviyelerdeki tüm elastik enerji transferinin ayrıntılı bir modeli olmadan sadece çarpışmanın toplam itici gücünü dikkate alarak topun hareketini hesaplayabilir (örneğin) .
Daha açık olmak gerekirse, bir bilardo topunun hareketsiz olduğunu varsayalım. Zamanda bir ile biner, başka topun çarptığı ivme P içinde, . Momentum değişimi aslında anlık değildir, moleküler ve atom altı seviyedeki elastik süreçler aracılık eder, ancak pratik amaçlar için enerji transferinin etkin bir şekilde anlık olduğunu düşünmek uygundur. Kuvvet nedenle . (Birimleri vardır .)
Bu durumu daha kesin bir şekilde modellemek için, bunun yerine kuvvetin küçük bir zaman aralığında düzgün bir şekilde dağıldığını varsayalım . Yani,
Daha sonra herhangi bir t anındaki momentum integrasyon ile bulunur:
Şimdi, momentum anlık transferi modeli durum olarak limitini alarak gerektirir , veren
Burada fonksiyonlar , momentumun anlık transferi fikrine faydalı yaklaşımlar olarak düşünülür.
Delta işlevi, bu yaklaşımların idealleştirilmiş bir limitini oluşturmamıza izin verir. Ne yazık ki, fonksiyonların gerçek limiti ( noktasal yakınsama anlamında ) her yerde sıfırdır, ancak sonsuz olduğu tek bir noktadır. Delta fonksiyonunu doğru bir şekilde anlamak için, bunun yerine özelliğin
herkes için geçerli olan, limitte kalmaya devam etmelidir. Böylece denklemde limitin her zaman integralin dışına alındığı anlaşılır .
Uygulamalı matematikte, burada yaptığımız gibi, delta işlevi genellikle , her bir elemanının orijinde uzun bir sivri ucu olan bir işlev dizisinin bir tür sınırı ( zayıf bir sınır ) olarak manipüle edilir : örneğin, bir dizi Gauss dağılımları , sıfıra eğilimli varyansla orijin merkezlidir .
Adına rağmen delta işlevi gerçek bir işlev değildir, en azından gerçek sayılarda etki alanı ve aralığı olan olağan bir işlev değildir . Örneğin, f ( x ) = δ ( x ) ve g ( x ) = 0 nesneleri , x = 0 dışında her yerde eşittir, ancak integralleri farklıdır. Göre Lebesgue entegrasyon teorisi ise, f ve g fonksiyonları olacak şekilde f = gr hemen hemen her yerde , daha sonra f integrallenebilirdir ancak ve ancak gr integrallenebilirdir ve integralleri f ve g aynıdır. Dirac delta fonksiyonunu kendi başına matematiksel bir nesne olarak ele almaya yönelik titiz bir yaklaşım , ölçü teorisini veya dağılımlar teorisini gerektirir .
Tarih
Joseph Fourier , Théorie analytique de la chaleur adlı incelemesinde şimdi Fourier integral teoremi olarak adlandırılan şeyi şu şekilde sundu :
bu, δ fonksiyonunun şu şekilde tanıtılmasıyla eşdeğerdir :
Daha sonra Augustin Cauchy teoremi üstelleri kullanarak ifade etti:
Cauchy, bazı durumlarda bu sonuçtaki entegrasyon sırasının önemli olduğuna dikkat çekti ( Fubini teoreminin aksine ).
Dağılımlar teorisi kullanılarak gerekçelendirildiği gibi , Cauchy denklemi Fourier'in orijinal formülasyonuna benzeyecek şekilde yeniden düzenlenebilir ve δ- fonksiyonu şu şekilde ortaya çıkar:
burada δ -fonksiyonu şu şekilde ifade edilir
Üstel formun titiz bir yorumu ve uygulanması için gerekli f fonksiyonu üzerindeki çeşitli sınırlamalar birkaç yüzyıla yayıldı. Klasik bir yorumla ilgili sorunlar şu şekilde açıklanmaktadır:
- Klasik Fourier dönüşümünün en büyük dezavantajı, etkin bir şekilde hesaplanabilen oldukça dar bir fonksiyon sınıfıdır (orijinaller). Yani, Fourier integralinin varlığını sağlamak için bu fonksiyonların yeterince hızlı bir şekilde sıfıra (sonsuz komşuluğunda) azalması gerekir . Örneğin, polinomlar gibi basit fonksiyonların Fourier dönüşümü klasik anlamda mevcut değildir. Klasik Fourier dönüşümünün dağılımlara genişletilmesi, dönüştürülebilecek fonksiyonların sınıfını önemli ölçüde genişletti ve bu birçok engeli ortadan kaldırdı.
Ek gelişmeler ile başlayan" Fourier integral genelleme dahil Plancherel pathbreaking L 2 ile devam eden, -Teori (1910) Wiener ve Bochner en eserleri (yaklaşık 1930) ve içine birleşmesi ile doruğa L. Schwartz'ın teorisinin dağılımları (1945) ... " ve Dirac delta fonksiyonunun resmi gelişimine yol açar.
Bir sonsuz sonsuz uzun birim darbe delta fonksiyonunun (sonsuz küçük versiyonu için, formül Cauchy dağılımı ) açık bir 1827 metinde görüntülenen Augustin Louis Cauch . Siméon Denis Poisson , konuyu daha sonra Gustav Kirchhoff'un yaptığı gibi dalga yayılımı çalışmasıyla bağlantılı olarak değerlendirdi . Kirchhoff ve Hermann von Helmholtz ayrıca birim impulsu Gaussianların bir limiti olarak tanıttılar ve bu da Lord Kelvin'in nokta ısı kaynağı kavramına karşılık geldi . 19. yüzyılın sonunda, Oliver Heaviside birim dürtüyü manipüle etmek için resmi Fourier serilerini kullandı . Dirac delta işlevi, Paul Dirac tarafından 1930'da yayınlanan The Principles of Quantum Mechanics adlı etkili kitabında "uygun bir gösterim" olarak tanıtıldı . Ayrık Kronecker deltasının sürekli bir analogu olarak kullandığı için buna "delta işlevi" adını verdi .
Tanımlar
Dirac deltası, sonsuz olduğu başlangıç noktası dışında her yerde sıfır olan gerçek doğru üzerinde gevşek bir fonksiyon olarak düşünülebilir.
ve aynı zamanda kimliği tatmin etmek için kısıtlı olan
Bu sadece bir buluşsal karakterizasyondur. Dirac deltası, gerçek sayılar üzerinde tanımlanan hiçbir fonksiyon bu özelliklere sahip olmadığı için geleneksel anlamda bir fonksiyon değildir. Dirac delta işlevi, bir dağılım veya bir ölçü olarak kesin olarak tanımlanabilir .
ölçü olarak
Titizlikle Dirac delta fonksiyonunun kavramını yakalamak için bir yolu tanımlamak için bir ölçü olarak adlandırılan, Dirac ölçer bir alt kabul, A , gerçek hattı R , bağımsız değişken olarak, ve geri dönüş δ ( A ) = 1 ise 0 ∈ bir ve δ ( A ) = 0 aksi halde. Delta fonksiyonu, 0'da idealleştirilmiş bir nokta kütle modelleme olarak kavramsallaştırılırsa, o zaman δ ( A ) , A kümesinde bulunan kütleyi temsil eder . Bir sonra karşı integralini tanımlayabilir ö bu kütlesel dağılım karşı bir fonksiyonu integrali olarak. Resmi olarak, Lebesgue integrali gerekli analitik cihazı sağlar. Ölçüsü ile ilgili Lebesgue δ tatmin
tüm sürekli kompakt olarak desteklenen işlevler için f . δ ölçüsü Lebesgue ölçüsüne göre kesinlikle sürekli değildir - aslında tekil bir ölçüdür . Sonuç olarak, delta ölçüsünün Radon-Nikodym türevi yoktur (Lebesgue ölçüsüne göre) - özelliğin doğru bir fonksiyonu yoktur.
tutar. Sonuç olarak, ikinci gösterim, bir standart ( Riemann veya Lebesgue ) integrali değil , gösterimin uygun bir şekilde kötüye kullanılmasıdır .
R üzerinde bir olasılık ölçüsü olarak delta ölçüsü, birim adım fonksiyonu olan kümülatif dağılım fonksiyonu ile karakterize edilir .
Bu, H ( x ) ' nin δ ölçüsüne göre kümülatif gösterge fonksiyonu 1'in (−∞, x ] integrali olduğu anlamına gelir ;
ikincisi bu aralığın ölçüsüdür; daha resmi olarak, δ ((−∞, x ]) Böylece özellikle delta fonksiyonunun sürekli bir fonksiyona karşı integrasyonu düzgün bir şekilde Riemann–Stieltjes integrali olarak anlaşılabilir :
Tüm yüksek anlar arasında ö sıfırdır. Özellikle, karakteristik fonksiyon ve moment üreten fonksiyon bire eşittir.
dağıtım olarak
Dağılım teorisinde, genelleştirilmiş bir işlev kendi başına bir işlev olarak değil, yalnızca diğer işlevleri onlara karşı "entegre edildiğinde" nasıl etkilediğiyle ilgili olarak kabul edilir. Bu felsefeye uygun olarak delta fonksiyonunu doğru bir şekilde tanımlamak için yeterince "iyi" bir test fonksiyonuna karşı delta fonksiyonunun "integralinin" ne olduğunu söylemek yeterlidir φ . Test işlevleri, çarpma işlevleri olarak da bilinir . Delta fonksiyonu zaten bir ölçü olarak anlaşılırsa, o ölçüye karşı bir test fonksiyonunun Lebesgue integrali gerekli integrali sağlar.
Tipik bir test fonksiyonları uzayı, gerektiği kadar çok türevi olan kompakt destekli R üzerindeki tüm düzgün fonksiyonlardan oluşur . Bir dağılım olarak, Dirac deltası, test fonksiyonları uzayında doğrusal bir fonksiyoneldir ve şu şekilde tanımlanır:
-
( 1 )
her test fonksiyonu için .
İçin δ düzgün bir dağılım olması için, Test fonksiyonlarının alanı üzerinde uygun bir topoloji sürekli olmalıdır. Genel olarak, bir dağılımı tanımlamak üzere test fonksiyonları uzayı üzerindeki bir lineer fonksiyonel S için, her N pozitif tamsayı için bir M N tamsayısının ve her test fonksiyonu φ için bir C N sabitinin olması gerekli ve yeterlidir , bir eşitsizlik var
İle δ dağılımı, bir (böyle bir eşitsizlik sahip Cı- N = 1) ile M N = 0 tüm N . Böylece δ sıfır dereceli bir dağılımdır. Ayrıca, kompakt destekli bir dağıtımdır ( destek {0}'dir).
Delta dağılımı birkaç eşdeğer yolla da tanımlanabilir. Örneğin , Heaviside adım fonksiyonunun dağılımsal türevidir . Bu, her test fonksiyonu φ için birinin sahip olduğu anlamına gelir.
Sezgisel olarak, eğer parçalarla entegrasyona izin veriliyorsa, o zaman ikinci integral,
ve gerçekten de, Stieltjes integrali için parçalara göre bir entegrasyon şekline izin verilir ve bu durumda,
Ölçü teorisi bağlamında, Dirac ölçüsü, entegrasyon yoluyla dağıtıma yol açar. Bunun aksine, denklem ( 1 ) bir tanımlayan Daniell yekpare bütün kompakt desteklenen sürekli fonksiyonların alanı cp ile olan Riesz teoremi , Lebesgue integrali olarak temsil edilebilir cp bazıları ile ilgili Radon ölçüsü .
Genel olarak, " Dirac delta fonksiyonu " terimi kullanıldığında, ölçülerden ziyade dağılımlar anlamındadır, Dirac ölçüsü , ölçü teorisinde karşılık gelen kavram için birkaç terim arasındadır. Bazı kaynaklar Dirac delta dağılımı terimini de kullanabilir .
genellemeler
Delta işlevi, n -boyutlu Öklid uzayı R n'de şu şekilde bir ölçü olarak tanımlanabilir:
kompakt olarak desteklenen her sürekli fonksiyon için f . Ölçü olarak, n boyutlu delta işlevi, her bir değişkendeki 1 boyutlu delta işlevlerinin ayrı ayrı çarpım ölçüsüdür . Böylece, biçimsel olarak x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) ile bir
-
( 2 )
Delta işlevi, tek boyutlu durumda tam olarak yukarıdaki gibi dağılımlar anlamında da tanımlanabilir. Bununla birlikte, mühendislik bağlamlarında yaygın olarak kullanılmasına rağmen, ( 2 ) dağılımların ürünü yalnızca oldukça dar koşullar altında tanımlanabileceğinden dikkatli bir şekilde manipüle edilmelidir.
Dirac ölçüsü kavramı herhangi bir kümede anlamlıdır. Bu nedenle, eğer X, bir dizi, x 0 ∈ X bir işaretlenmiş noktayı ve Σ herhangi bir sigma cebri ait alt kümelerin X , daha sonra setleri tanımlanan ölçü bir ∈ Σ tarafından
x 0'da yoğunlaşan delta ölçüsü veya birim kütledir .
Delta fonksiyonunun bir başka genel genellemesi , türevlenebilir yapı nedeniyle dağıtım olarak özelliklerinin çoğunun da kullanılabileceği türevlenebilir bir manifolddur . x 0 ∈ M noktasında ortalanmış bir manifold M üzerindeki delta fonksiyonu aşağıdaki dağılım olarak tanımlanır:
-
( 3 )
tüm kompakt olarak desteklenen düzgün gerçek değerli fonksiyonlar için φ on M . Bu yapı genel bir özel durum içinde olmasıdır M bir bir açık grubu Öklid alan içinde R, n .
Bir üzerinde yerel kompakt Hausdorff alan X , Dirac delta bir noktada konsantre x olan radon ölçü Daniell integrali (ilişkili 3 sıkılaştırılmış destekli sürekli fonksiyonlar ile ilgili) cp . Bu genellik düzeyinde, kalkülüs artık mümkün değildir, ancak soyut analizden çeşitli teknikler mevcuttur. Örneğin, haritalama sürekli gömme olan X üzerinde sonlu Radon tedbirlerin uzaya X onun donatılmış, belirsiz topoloji . Ayrıca, dışbükey imgesinin X bu katıştırma altında yoğun üzerindeki olasılık önlemlerinin uzayda X .
Özellikler
Ölçekleme ve simetri
Delta işlevi, sıfır olmayan bir skaler α için aşağıdaki ölçekleme özelliğini karşılar:
ve bu yüzden
-
( 4 )
Kanıt:
Özellikle delta işlevi, şu anlamda eşit bir dağılımdır:
hangi derece -1 homojendir .
cebirsel özellikler
Dağılım ürünü arasında ö ile x sıfıra eşittir:
Tersine, eğer xf ( x ) = xg ( x ) ise , burada f ve g dağılımlardır, o zaman
bazı sabit c için .
Tercüme
Zaman gecikmeli Dirac deltasının integrali
Bu bazen eleme özelliği veya örnekleme özelliği olarak adlandırılır . Delta fonksiyonunun t = T'deki değeri "elediği" söylenir .
Etkisi, aşağıdaki evriştirerek bir işlev f ( t zaman gecikmeli Dirac delta) zaman geciktirme için f ( t aynı miktarda):
Bu, f'nin temperli bir dağılım olması koşuluyla geçerlidir ( aşağıdaki Fourier dönüşümü tartışmasına bakın ). Özel bir durum olarak, örneğin, kimliğe sahibiz (dağıtım anlamında anlaşılır)
Fonksiyonlu kompozisyon
Daha genel olarak, ö dağılımı olabilir oluşan yumuşak bir fonksiyonu olan g ( x değişkenleri, formül bilinen bir değişiklik olduğunu, tutan bir şekilde)
g'nin g ' hiçbir yerde sıfır olan sürekli türevlenebilir bir fonksiyon olması şartıyla . Yani, bu özdeşliğin tüm kompakt olarak desteklenen test fonksiyonları f için geçerli olması için dağılıma anlam atamanın benzersiz bir yolu vardır . Bu nedenle, g ′ = 0 noktasını hariç tutmak için etki alanı bölünmelidir . Bu dağılım karşılayan δ ( g ( x )) = 0 ise gr hiçbir sıfırdır ve aksi takdirde gr bir gerçek sahip kök de x , 0 , daha sonra
Nedenle, doğal tanımlayan bileşim Í ( g ( x sürekli türevlenebilir fonksiyonlar için)) g ile
burada toplam , basit olduğu varsayılan g ( x ) ' in tüm köklerine (yani, tüm farklı köklerine) uzanır . Böylece, örneğin
İntegral formda, genelleştirilmiş ölçekleme özelliği şu şekilde yazılabilir:
Properties N boyutları
n boyutlu bir uzaydaki delta dağılımı, bunun yerine aşağıdaki ölçekleme özelliğini karşılar,
öyle ki δ , derece − n'nin homojen bir dağılımıdır .
Herhangi bir yansıma veya döndürme ρ altında , delta işlevi değişmezdir,
Bir değişkenli durumda olduğu gibi, bileşimini tanımlamak mümkündür ö bir ile iki Lipschitz fonksiyonu g : R, N → R n benzersiz böylece bir kimlik bu
kompakt olarak desteklenen tüm işlevler için f .
Kullanma coarea formül gelen geometrik ölçü teorisi , bir de delta fonksiyonunun bileşimi tanımlayabilir altında kalma farklı boyutlara sahip olan başka biri, bir Öklid boşluktan; sonuç bir tür akımdır . Bir sürekli türevlenebilir fonksiyon özel durumda g : R n → R, öyle ki gradyan arasında g hiçbir sıfır, aşağıdaki kimlik tutan
sağdaki integralin g -1 (0) üzerinde olduğu durumda , Minkowski içerik ölçüsüne göre g ( x ) = 0 ile tanımlanan ( n − 1) boyutlu yüzey . Bu, basit bir katman integrali olarak bilinir .
Daha genel olarak, eğer S , R n 'nin düzgün bir hiper yüzeyi ise , o zaman herhangi bir kompakt olarak desteklenen düzgün fonksiyonu g üzerinde S ile bütünleştiren dağılımı S ile ilişkilendirebiliriz :
burada σ, S ile ilişkili hiper yüzey ölçüsüdür . Bu genelleme ile ilişkili potansiyel teori arasında basit bir tabaka potansiyelleri hakkında S . Eğer D a, alan içinde R , n düz sınır ile S , daha sonra δ S eşittir , normal türevinin bir gösterge işlevi arasında D , dağıtım anlamda
burada n dışa doğru normaldir. Kanıt için, örneğin yüzey delta işleviyle ilgili makaleye bakın .
Fourier dönüşümü
Delta işlevi, temperli bir dağılımdır ve bu nedenle iyi tanımlanmış bir Fourier dönüşümüne sahiptir . Resmi olarak, biri bulur
Doğru söylemek gerekirse, bir dağılımın Fourier dönüşümü , Schwartz fonksiyonları ile temperlenmiş dağılımların dualite eşleşmesi altında Fourier dönüşümünün kendi kendine bitişikliği empoze edilerek tanımlanır . Böylece , tatmin edici benzersiz temperli dağıtım olarak tanımlanır.
tüm Schwartz işlevleri için . Ve gerçekten de bundan şu sonuç çıkıyor:
Bu özdeşliğin bir sonucu olarak , delta fonksiyonunun diğer herhangi bir temperlenmiş dağılım S ile evrişimi basitçe S'dir :
Yani yani δ bir olan kimlik unsuru temperli dağıtımlarında konvolüsyon için ve aslında, kıvrımla altında sıkılaştırılmış destekli dağılımların uzay bir olan ilişkisel cebir kimlik delta fonksiyonu ile. Temperlenmiş dağılıma sahip evrişim doğrusal zamanla değişmeyen bir sistem olduğundan ve doğrusal zamanla değişmeyen sistemin uygulanması darbe yanıtını ölçtüğünden, bu özellik sinyal işlemede temeldir . Darbe yanıtı, δ için uygun bir yaklaşım seçilerek istenen herhangi bir doğruluk derecesinde hesaplanabilir ve bir kez bilindiğinde, sistemi tamamen karakterize eder. Bkz. LTI sistem teorisi § Darbe yanıtı ve evrişim .
Temperlenmiş dağılım f ( ξ ) = 1'in ters Fourier dönüşümü delta fonksiyonudur. Resmi olarak, bu ifade edilir
ve daha titiz bir şekilde, o zamandan beri takip eder
tüm Schwartz fonksiyonları için f .
Bu terimlerle, delta işlevi, Fourier çekirdeğinin R üzerindeki dikgenlik özelliğinin anlamlı bir ifadesini sağlar . Resmi olarak, bir
Bu, elbette, temperli dağılımın Fourier dönüşümünün olduğu iddiasının kısaltılmış halidir.
NS
bu da yine Fourier dönüşümünün kendi kendine eşliğini empoze ederek takip eder.
Tarafından analitik devam Fourier dönüşümü, Laplace dönüşümü olduğu bulunmuştur delta fonksiyonunun
dağıtım türevleri
Dirac delta dağılımının dağılım türevi dağılımı δ sıkılaştırılmış destekli düz bir test fonksiyonları üzerinde tanımlı ' cp ile
Buradaki ilk eşitlik, parçalara göre bir tür entegrasyondur, çünkü δ gerçek bir fonksiyon olsaydı, o zaman
K alınmış türevi ö test fonksiyonları verilen dağıtım benzer şekilde tanımlanmaktadır
Özellikle, δ sonsuz türevlenebilir bir dağılımdır.
Delta fonksiyonunun birinci türevi, fark bölümlerinin dağılım sınırıdır:
Daha doğrusu, bir
burada τ h , fonksiyonlarda τ h φ ( x ) = φ ( x + h ) tarafından ve S dağılımında şu şekilde tanımlanan çevirme operatörüdür .
Elektromanyetizma teorisinde delta fonksiyonunun ilk türevi , orijinde bulunan bir nokta manyetik dipolünü temsil eder . Buna göre, bir dipol veya ikili fonksiyon olarak adlandırılır .
Delta fonksiyonunun türevi, aşağıdakiler de dahil olmak üzere bir dizi temel özelliği karşılar:
Bu özelliklerin ikincisi, dağılımsal türev tanımı, Liebnitz teoremi ve iç çarpımın doğrusallığı uygulanarak kolayca gösterilebilir:
Bundan başka, evrişim ö küçük olarak desteklenen yumuşak bir fonksiyonu olan ' f olduğu
bu, bir evrişimin dağılımsal türevinin özelliklerinden kaynaklanmaktadır.
Daha yüksek boyutlar
Daha genel olarak, bir de açık grubu U içinde n- boyutlu Öklid alan R , n , Dirac delta dağılımı, bir noktasında merkezlenmiş a ∈ U ile tanımlanır
tüm cp ∈ S ( U ) , tüm alanı kompakt işlevleri desteklenen pürüzsüz yapıda U . Eğer α (= α 1 , ..., α n ) herhangi biri çoklu dizin ve ∂ α O anlamına gelir bağlantılı karma kısmi türev operatörü daha sonra α ∂ türevi inci α ö bir bölgesinin ö bir tarafından verilir
Kendisine, α türevi inci ö bir değeri, herhangi bir test fonksiyonu dağılımı cp olan a türevi inci cp de bir (uygun pozitif ya da negatif bir işaret ile birlikte).
Delta fonksiyonunun ilk kısmi türevleri , koordinat düzlemleri boyunca çift katmanlar olarak düşünülür . Daha genel olarak, bir yüzey üzerinde desteklenen basit bir katmanın normal türevi , o yüzey üzerinde desteklenen bir çift katmandır ve laminer bir manyetik monopolü temsil eder. Delta fonksiyonunun daha yüksek türevleri fizikte çok kutuplu olarak bilinir .
Daha yüksek türevler, nokta destekli dağılımların tam yapısı için yapı taşları olarak doğal olarak matematiğe girer. Eğer S olduğu hakkında herhangi bir dağıtım U grubu üzerinde desteklenen { a } tek bir noktadan oluşan, o zaman bir tamsayıdır vardır m ve katsayılar c a şekildedir
Delta fonksiyonunun temsilleri
Delta işlevi, bir dizi işlevin sınırı olarak görülebilir.
burada η ε ( x ) bazen yeni oluşan delta işlevi olarak adlandırılır. Bu sınır zayıf bir anlamda kastedilmektedir: ya
-
( 5 )
f kompakt desteğe sahip tüm sürekli işlevler için veya bu sınırın kompakt desteğe sahip tüm düzgün işlevler f için geçerli olduğu. Bu iki hafif farklı zayıf yakınsama modu arasındaki fark genellikle incedir: ilki, ölçülerin belirsiz topolojisindeki yakınsamadır ve ikincisi, dağılımlar anlamında yakınsamadır .
Kimliğe Yaklaşımlar
Tipik olarak yeni oluşan bir delta fonksiyonu η ε aşağıdaki şekilde oluşturulabilir. η , toplam integral 1'in R üzerinde mutlak integrallenebilir bir fonksiyon olsun ve tanımlayın
Gelen n boyutları, tek bir kullanım yerine ölçekleme
Sonra bunu değişkenler gösterileri basit bir değişiklik η £ da 1. Bir (yani gösterebilir ayrılmaz sahiptir 5 ) Tüm sürekli sıkılaştırılmış destekli fonksiyonlar için de geçerlidir f ve böylece η £ yakınsak zayıf üzere δ önlemlerin anlamında.
R | s , bu şekilde imal edilen bir şekilde bilinmektedir kimliğine yaklaşım . Boşluk, bu terminoloji L 1 ( R, kesinlikle integre edilebilir fonksiyonları) çalışması altında kapalı olan konvolüsyon fonksiyonlarının: f * g ∈ L 1 ( R ) her ön ve g olan L 1 ( R ). Bununla birlikte, herhangi bir kimlik yoktur L 1 ( R, kıvrım ürünü için): hiçbir öğe s , öyle ki ön * h = f tüm f . Bununla birlikte, η ε dizisi şu anlamda böyle bir özdeşliğe yaklaşır:
Bu sınır, ortalama yakınsama ( L 1'deki yakınsama) anlamında geçerlidir . η ε üzerindeki diğer koşullar, örneğin kompakt olarak desteklenen bir fonksiyonla ilişkili bir yumuşatıcı olması gibi, hemen hemen her yerde noktasal yakınsama sağlamak için gereklidir .
Başlangıç durumunda η = η 1 olduğu kendini düzgün ve kompakt sekansı bir denir, desteklenen mollifier . Standart yumuşatıcı, örneğin uygun şekilde normalleştirilmiş bir çarpma işlevi olarak η seçilerek elde edilir.
Gibi bazı durumlarda , sayısal analizi , bir parçalı lineer kimliğine yaklaşım tercih edilir. Bu alarak elde edilebilir η 1 bir olmaya şapka işlevi . Bu η 1 seçimi ile ,
pürüzsüz ve yumuşatıcı olmamasına rağmen hepsi sürekli ve kompakt olarak desteklenir.
olasılıksal düşünceler
Bağlamında olasılık kuramı , başlangıçtaki ek durum empoze doğaldır η 1 , böyle bir fonksiyonu daha sonra bir temsil eder kimliğine bir yaklaşım olarak, pozitif olmalıdır olasılık dağılımını . Çıktı, girdi değerlerinin dışbükey bir birleşimi olduğundan ve dolayısıyla girdi fonksiyonunun maksimum ve minimum değerleri arasında yer aldığından, bir olasılık dağılımına sahip evrişim, aşma veya yetersiz kalma ile sonuçlanmadığından bazen uygundur . Alarak η 1 hiç bir olasılık dağılımı olabilir, ve izin η ε ( x ) = η 1 ( x / ε ) / ε kimliğine bir yaklaşım sebebiyet verecek yukarıdaki gibi. Genel olarak bu, ek olarak, η 0 ortalamaya sahipse ve küçük daha yüksek momentlere sahipse, bir delta fonksiyonuna daha hızlı yakınsar . Örneğin, η 1 , dikdörtgen fonksiyon olarak da bilinen [−1/2, 1/2] üzerindeki düzgün dağılım ise , o zaman:
Başka bir örnek Wigner yarım daire dağılımı ile
Bu süreklidir ve kompakt olarak desteklenir, ancak pürüzsüz olmadığı için bir yumuşatıcı değildir.
yarıgruplar
Yeni oluşan delta fonksiyonları genellikle evrişim yarıgrupları olarak ortaya çıkar . Bu evrişim daha ileri kısıtlama tutarındadır r | s ile r | ö uygun olmalıdır
hepsi için ε , δ > 0 . Yeni oluşan bir delta işlevi oluşturan L 1'deki evrişim yarı grupları her zaman yukarıdaki anlamda özdeşliğe bir yaklaşımdır, ancak yarı grup koşulu oldukça güçlü bir kısıtlamadır.
Pratikte, delta fonksiyonuna yaklaşan yarı gruplar , fiziksel olarak motive edilmiş eliptik veya parabolik kısmi diferansiyel denklemlere temel çözümler veya Green fonksiyonları olarak ortaya çıkar . Uygulamalı matematik bağlamında , yarı gruplar doğrusal zamanla değişmeyen bir sistemin çıktısı olarak ortaya çıkar . Soyut olarak, eğer A , x'in fonksiyonlarına göre hareket eden bir lineer operatör ise , o zaman başlangıç değer problemini çözerek bir konvolüsyon yarı grubu ortaya çıkar.
sınırın her zamanki gibi zayıf anlamda anlaşıldığı. η ε ( x ) = η ( ε , x ) ayarı , ilişkili yeni oluşan delta fonksiyonunu verir.
Böyle bir temel çözümden kaynaklanan fiziksel olarak önemli evrişim yarı gruplarının bazı örnekleri aşağıdakileri içerir.
- ısı çekirdeği
Isı çekirdek ile tanımlanan,
t = 0 anında telin orijininde bir ısı enerjisi birimi depolanıyorsa, t > 0 anında sonsuz bir teldeki sıcaklığı temsil eder. Bu yarı grup, tek boyutlu ısı denklemine göre gelişir :
Olarak olasılık teorisi , r | ε ( X ) a, normal dağılım arasında varyans £ değerinin ortalama 0. temsil olasılık yoğunluk zamanda T = ε standart aşağıdaki kökenli başlayan bir parçacığın konumunun Brown hareketi . Bu bağlamda, yarı grup koşulu, Brownian hareketinin Markov özelliğinin bir ifadesidir .
Daha yüksek boyutlu Öklid uzayında R n , ısı çekirdeği
ve aynı fiziksel yoruma sahiptir, gerekli değişiklikler yapılmıştır . Ayrıca , dağılım anlamında η ε → δ'nin ε → 0 olarak olması anlamında yeni oluşan bir delta fonksiyonunu temsil eder .
- Poisson çekirdeği
üst yarı düzlemde Laplace denkleminin temel çözümüdür . Kenar boyunca potansiyeli delta fonksiyonunda sabit tutulan yarı sonsuz bir plakadaki elektrostatik potansiyeli temsil eder . Poisson çekirdeği ayrıca Cauchy dağılımı ve Epanechnikov ve Gauss çekirdek fonksiyonları ile yakından ilişkilidir . Bu yarı grup denkleme göre gelişir
operatörün kesin olarak Fourier çarpanı olarak tanımlandığı yer
salınımlı integraller
Dalga yayılımı ve dalga mekaniği gibi fizik alanlarında , ilgili denklemler hiperboliktir ve dolayısıyla daha tekil çözümlere sahip olabilir. Sonuç olarak, ilişkili Cauchy problemlerinin temel çözümleri olarak ortaya çıkan yeni oluşan delta fonksiyonları genellikle salınımlı integrallerdir . İhtiva eden bir çözeltiye gelen bir örnek, Euler-Tricomi denkleminin bir transonik gaz dinamiği , yeniden olçeklendirilmiş bir havadar işlevi
Fourier dönüşümünü kullanmasına rağmen, bunun bir anlamda bir yarı grup oluşturduğunu görmek kolaydır - kesinlikle entegre edilemez ve bu nedenle yukarıdaki güçlü anlamda bir yarı grup tanımlayamaz. Salınımsal integraller olarak oluşturulan birçok yeni oluşan delta işlevi , ölçümler anlamında değil, yalnızca dağılımlar anlamında yakınsar (bir örnek aşağıdaki Dirichlet çekirdeğidir ).
Bir başka örnek için Cauchy sorun dalga denklemi içinde R 1 + 1 :
Çözüm u , başlangıçtaki bir bozulma ile sonsuz elastik bir sicimin dengesinden yer değiştirmesini temsil eder.
Bu tür kimliğe yönelik diğer yaklaşımlar, sinc işlevini içerir (elektronik ve telekomünikasyonda yaygın olarak kullanılır)
Düzlem dalga ayrışması
Doğrusal kısmi diferansiyel denklem çalışmasına bir yaklaşım
burada L , R n üzerinde bir diferansiyel operatördür , önce denklemin bir çözümü olan temel bir çözüm aramaktır.
Tüm L özellikle basittir, bu sorun, genellikle Fourier (önceden örnek gösterilmiş Poisson çekirdeği ve ısı çekirdek durumunda olduğu gibi), doğrudan dönüşümü kullanılarak çözülebilir. Daha karmaşık operatörler için, bazen ilk önce formun bir denklemini düşünmek daha kolaydır.
burada h a, düzlem dalgası işlevi bir biçime sahip olduğu anlamına gelir,
bazı vektör ξ için. Bu tür bir denklem (katsayıları halinde çözülebilir L olan analitik fonksiyonlar ile) Cauchy- Kovalevskaya teoremi ya da (katsayıları halinde L sabittir) kareleme ile. Dolayısıyla, delta fonksiyonu düzlem dalgalara ayrıştırılabilirse, prensipte lineer kısmi diferansiyel denklemler çözülebilir.
Delta fonksiyonunun düzlem dalgalara böyle bir ayrıştırılması, ilk olarak Johann Radon tarafından tanıtılan ve daha sonra bu biçimde Fritz John ( 1955 ) tarafından geliştirilen genel bir tekniğin parçasıydı . k'yi seçin, böylece n + k çift bir tam sayı olur ve gerçek bir s sayısı için ,
Daha sonra δ bir gücün tatbik edilmesi suretiyle elde edilir Laplace birimi ile ilgili olarak integraline küre ölçü arasında dco g ( x · ξ ) için Karsılık içinde birim küre S , n -1 :
Buradaki Laplacian zayıf bir türev olarak yorumlanır, böylece bu denklem, herhangi bir test fonksiyonu φ için ,
Sonuç, Newton potansiyeli formülünden (Poisson denkleminin temel çözümü) çıkar. Bu, esasen Radon dönüşümü için ters çevirme formülünün bir biçimidir, çünkü φ ( x ) değerini hiperdüzlemler üzerindeki integrallerinden geri alır. Örneğin, n tek ve k = 1 ise, sağ taraftaki integral
burada Rφ ( ξ , s ) Radon dönüşümü olan cp :
Gelfand & Shilov'dan (1966–1968 , I, §3.10) düzlem dalga ayrışmasının alternatif bir eşdeğer ifadesi şudur:
n çift için ve
için n garip.
Fourier çekirdekleri
Çalışmasında Fourier serilerinin , büyük bir soru ile ilişkili Fourier serilerini anlamda neyi ister ve belirleyici oluşur periyodik fonksiyon işlevine yakınsak. N, bir işlev Fourier serisi inci kısmi toplam f süresi 2 tt (aralığına kıvrım ile tanımlanır [-π, π] ) ile Dirichlet çekirdek :
Böylece,
nerede
Temel Fourier serilerinin temel bir sonucu, Dirichlet çekirdeğinin delta fonksiyonunun N → ∞ olarak katlarına eğilimli olduğunu belirtir . Bu, dağıtım anlamında yorumlanır,
kompakt olarak desteklenen her düzgün işlev için f . Böylece, resmi olarak bir
[−π,π] aralığında .
Buna rağmen, sonuç, kompakt olarak desteklenen tüm sürekli fonksiyonlar için geçerli değildir : yani, D N , ölçüler anlamında zayıf bir şekilde yakınsamaz. Fourier serilerinin yakınsama eksikliği, yakınsama üretmek için çeşitli toplanabilirlik yöntemlerinin getirilmesine yol açmıştır . Cesàro toplama yöntemi Fejér çekirdeğine yol açar
Fejér çekirdekleri daha güçlü bir anlamda ki delta fonksiyonu eğilimindedir
kompakt olarak desteklenen her sürekli fonksiyon için f . Bunun anlamı, herhangi bir sürekli fonksiyonun Fourier serisinin, her noktadaki fonksiyonun değerine Cesàro ile toplanabilir olmasıdır.
Hilbert uzay teorisi
Dirac delta dağılımı olan yoğun tanımlandığı sınırsız işlevsel doğrusal üzerinde Hilbert uzayı L 2 bir kare İntegrallenebilir fonksiyonlar . Gerçekten de, düzgün kompakt desteklenen işlevler şunlardır yoğun olarak L 2 ve bu tür fonksiyonların delta dağılım işlemi iyi tanımlanmış olduğu. Birçok uygulamada, L 2'nin alt uzaylarını belirlemek ve delta fonksiyonunun bir sınırlı lineer fonksiyonel tanımladığı daha güçlü bir topoloji vermek mümkündür .
- Sobolev uzayları
Sobolev gömme teoremi için sobolev boşluklar gerçek hattı üzerinde R ima bir kare integre işlevinin, f şekildedir
otomatik olarak süreklidir ve özellikle tatmin edicidir
Böylece δ , Sobolev uzayı H 1 üzerinde sınırlı bir lineer fonksiyoneldir . Eşdeğer bir δ bir elemanıdır , sürekli çift boşluk H -1 arasında , H 1 . Daha genel olarak, n boyutta, s > n / 2 olması koşuluyla δ ∈ H − s ( R n ) vardır .
Holomorfik fonksiyonların uzayları
Olarak karmaşık analiz , delta fonksiyonu yoluyla girer Cauchy integral formül ise ileri sürerken, D bir alan olan kompleks düzlemde düz sınır ile, daha sonra
tüm Holomorfik fonksiyonların f içinde D kapatılmasına ilişkin süreklidir D . Sonuç olarak, delta fonksiyonu δ z , bu holomorfik fonksiyonlar sınıfında Cauchy integrali ile temsil edilir:
Ayrıca, izin H 2 (∂ D ) olmak Hardy alan kapağın oluşan L 2 (∂ D ) tüm Holomorfik fonksiyonların D sınırına kadar sürekli D . Daha sonra H 2 (∂ D ) içindeki işlevler benzersiz bir şekilde D içindeki holomorfik işlevlere uzanır ve Cauchy integral formülü geçerliliğini korur. Özellikle z ∈ D için delta işlevi δ z , H 2 (∂ D ) üzerinde sürekli bir doğrusal işlevseldir . Bu, düz alanlar D için Szegő çekirdeğinin Cauchy integralinin rolünü oynadığı birkaç karmaşık değişkendeki durumun özel bir durumudur .
Kimlik Çözümleri
Ayrılabilir bir Hilbert uzayında { φ n } fonksiyonlarının tam bir ortonormal temel kümesi verildiğinde , örneğin, bir kompakt kendine eşlenik operatörün normalleştirilmiş özvektörleri , herhangi bir f vektörü şu şekilde ifade edilebilir:
{α n } katsayıları şu şekilde bulunur:
hangi gösterimle temsil edilebilir:
Dirac'ın bra-ket gösteriminin bir şekli . Bu gösterimi benimseyen f'nin açılımı ikili biçimi alır :
Letting Ben belirtmek kimlik operatörü Hilbert uzayında, ifade
kimliğin çözümü olarak adlandırılır . Hilbert uzayı, bir D alanı üzerindeki kare integrallenebilir fonksiyonların L 2 ( D ) uzayı olduğunda , nicelik:
bir integral operatördür ve f ifadesi yeniden yazılabilir
Sağ taraf , L 2 anlamında f'ye yakınsar . f sürekli bir fonksiyon olsa bile noktasal anlamda tutması gerekmez . Bununla birlikte, gösterimi kötüye kullanmak yaygındır ve yazar
delta fonksiyonunun temsili ile sonuçlanan:
Uygun bir Hilbert uzayıyla (Φ, L 2 ( D ), Φ*) burada Φ ⊂ L 2 ( D ) tüm kompakt olarak desteklenen düzgün fonksiyonları içerir, bu toplama, temelin özelliklerine bağlı olarak Φ*'da yakınsak olabilir φ n . Pratik ilginin çoğu durumunda, ortonormal taban bir integral veya diferansiyel operatörden gelir, bu durumda seri dağılım anlamında yakınsar .
Sonsuz küçük delta fonksiyonları
Cauchy Dirac tipi delta fonksiyonu sonsuz uzun bir birim dürtü yazmak ve daraltmak için son derece küçük bir a kullanılan ö a tatmin edici bir sonsuz 1827 Cauch eşya bir dizi tanımlanmış Cours d'analiz bir sekans aksama açısından (1827) sıfıra. Yani böyle bir boş dizi, Cauchy ve Lazare Carnot'un terminolojisinde sonsuz küçük olur .
Standart olmayan analiz , birinin sonsuz küçükleri titizlikle ele almasına izin verir. Yamashita'nın (2007) makalesi , hiper gerçekler tarafından sağlanan sonsuz küçük zenginleştirilmiş bir süreklilik bağlamında modern Dirac delta fonksiyonları hakkında bir kaynakça içermektedir . İşte Dirac delta her gerçek işlevi için söz konusu özelliği olan, gerçek bir işlev tarafından verilebilir F biri olan Fourier ve Cauchy de öngördüğü gibi.
Dirac tarak
Dirac tarak veya Shah dağılımı olarak bilinen Dirac delta ölçümlerinin sözde tek tip "darbe dizisi" , genellikle dijital sinyal işlemede (DSP) ve ayrık zamanlı sinyal analizinde kullanılan bir örnekleme işlevi oluşturur . Dirac tarağı, limiti dağılım anlamında anlaşılan sonsuz toplam olarak verilir ,
bu, tam sayıların her birinde nokta kütlelerinin bir dizisidir.
Genel bir normalleştirme sabitine kadar, Dirac tarak kendi Fourier dönüşümüne eşittir. Eğer, bu önemli herhangi biridir Schwartz işlevi , daha sonra dönemlere ait kıvrım verilir
Özellikle,
tam olarak Poisson toplama formülüdür . Daha genel olarak, bu formül , hızlı alçalmanın tavlanmış bir dağılımıysa veya eşdeğer olarak, tavlanmış dağılımların uzayı içinde yavaş büyüyen, sıradan bir fonksiyon ise , doğru olmaya devam eder .
Sokhotski-Plemelj teoremi
Sokhotski-Plemelj teoremi kuantum mekaniği olarak önemli, 1 / dağıtım pv delta fonksiyonu ile ilgilidir X , Cauchy temel değer fonksiyon 1 / X ile tanımlanan
Sokhotsky'nin formülü şunu belirtir:
Burada sınır, dağıtım anlamında, kompakt olarak desteklenen tüm düzgün fonksiyonlar için f ,
Kronecker deltası ile ilişkisi
Kronecker'in ö δ ij tarafından tanımlanan miktar
tüm tamsayılar için i , j . Bu fonksiyon daha sonra eleme özelliğinin aşağıdaki analogunu karşılar: eğer herhangi bir çift sonsuz dizi ise , o zaman
Benzer şekilde, R üzerinde herhangi bir reel veya karmaşık değerli sürekli fonksiyon f için , Dirac deltası eleme özelliğini sağlar.
Bu, Kronecker delta fonksiyonunu Dirac delta fonksiyonunun ayrı bir analogu olarak gösterir.
Uygulamalar
Olasılık teorisi
Gelen Olasılık teorisi ve istatistik Dirac delta fonksiyonu genellikle temsil etmek için kullanılır ayrık dağılımı , ya da kısmen ayrı ayrı, kısmi sürekli dağılımı bir kullanarak, olasılık yoğunluk fonksiyonu (normal olarak sürekli dağılımlar temsil etmek için kullanılır). Örneğin, x = { x 1 , ..., x n } noktalarından oluşan ve karşılık gelen olasılıklar p 1 , ..., p n olan ayrık bir dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu f ( x ) şu şekilde yazılabilir:
Başka bir örnek olarak, zamanın 6/ 10'unun standart bir normal dağılım döndürdüğü ve zamanın 4/10'unun tam olarak 3.5 değerini döndürdüğü bir dağılımı düşünün (yani, kısmen sürekli, kısmen ayrık bir karışım dağılımı ). Bu dağılımın yoğunluk fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:
Delta fonksiyonu ayrıca sürekli türevlenebilir fonksiyon tarafından dönüştürülen bir rastgele değişkenin elde edilen olasılık yoğunluk fonksiyonunu temsil etmek için kullanılır. Eğer Y = gr ( X ), kesintisiz türevlenebilir fonksiyonu, daha sonra yoğunluğu Y şekilde yazılabilir
Delta işlevi ayrıca bir difüzyon sürecinin yerel zamanını temsil etmek için tamamen farklı bir şekilde kullanılır ( Brown hareketi gibi ). Bir stokastik B ( t ) işleminin yerel saati şu şekilde verilir:
ve sürecin, süreç aralığında x noktasında harcadığı süreyi temsil eder . Daha doğrusu, bir boyutta bu integral yazılabilir
burada 1 [ x - ε , x + ε ] , [ x - ε , x + ε ] aralığının gösterge fonksiyonudur .
Kuantum mekaniği
Delta işlevi kuantum mekaniğinde uygundur . Dalga fonksiyonunun bir parçacığın belirli bir alan içerisine bölge içindeki bir parçacık bulma olasılığı amplitüdü veren. Dalga fonksiyonları Hilbert alan elemanları olduğu varsayılır L 2 bir kare integrallenebilme özellikleri ve belirli bir zaman aralığı içinde bir parçacık bulma toplam olasılık dalga fonksiyonunun büyüklük yekpare bir aralık üzerinden karesi alınmış. Bir { } dalga fonksiyonu kümesi , şu şekilde normalleştirilirlerse ortonormaldir.
Kronecker deltası nerede . Herhangi bir dalga fonksiyonu , karmaşık katsayılarla { }' nin lineer bir kombinasyonu olarak ifade edilebiliyorsa, kare-integrallenebilir fonksiyonlar uzayında bir ortonormal dalga fonksiyonu seti tamamlanmıştır :
ile . Dalga fonksiyonlarının tam ortonormal sistemleri gibi doğal olarak görünen Özfonksiyonların arasında Hamiltoniyen'in (a bağlı sistem kuantum mekaniği olarak) önlemler bu öz olarak adlandırılır enerji seviyeleri. Bu durumda özdeğerler kümesi Hamiltoniyen spektrumu olarak bilinir . Gelen sütyen ket gösterim olarak , yukarıda , bu eşitlik kimlik çözünürlüğü ifade eder:
Burada özdeğerlerin ayrık olduğu varsayılır, ancak bir gözlenebilirin özdeğerleri kümesi ayrık olmaktan çok sürekli olabilir. Bir örnek gözlemlenebilir konumdur , Qψ ( x ) = x ψ( x ) . Konumun spektrumu (bir boyutta) gerçek çizginin tamamıdır ve sürekli spektrum olarak adlandırılır . Ancak, Hamiltonyen'den farklı olarak, konum operatörü uygun özfonksiyonlardan yoksundur. Bu eksikliğin üstesinden gelmenin geleneksel yolu, dağılımlara da izin vererek mevcut fonksiyonların sınıfını genişletmektir: yani, kuantum mekaniğinin Hilbert uzayını uygun bir hileli Hilbert uzayıyla değiştirmek . Bu bağlamda, konum operatörü, gerçek çizginin y noktalarıyla etiketlenmiş ,
Konumun özfonksiyonları Dirac notasyonu ile gösterilir ve konum özdurumları olarak bilinir.
Benzer değerlendirmeler, momentum operatörünün özdurumları için de geçerlidir , ya da Hilbert uzayındaki diğer herhangi bir kendi kendine ekli sınırsız operatör P için, P'nin spektrumunun sürekli olması ve dejenere özdeğerlerin olmaması şartıyla geçerlidir . Bu durumda, bir dizi Ω reel sayı (spektrum) ve Ω elementleri tarafından indekslenen bir φ y dağılım koleksiyonu vardır , öyle ki,
Yani, φ y , P'nin özvektörleridir . Özvektörler normalize edilirse,
dağıtım anlamında, herhangi bir test fonksiyonu için ψ,
nerede
Yani, ayrık durumda olduğu gibi, kimliğin bir çözümü vardır.
operatör değerli integralin yine zayıf anlamda anlaşıldığı yer. Spektrumu ise P sürekli ya da kesikli bölümden oluşur, daha sonra bir kimlik çözünürlüğü farklı spektrumu üzerindeki toplamını kapsar ve sürekli spektrum üzerinde tamamlayıcı.
Delta fonksiyonu ayrıca, tek ve çift potansiyel kuyusu için delta potansiyel modelleri gibi kuantum mekaniğinde daha birçok özel uygulamaya sahiptir .
yapısal mekanik
Delta işlevi, yapılara etki eden geçici yükleri veya nokta yükleri tanımlamak için yapısal mekanikte kullanılabilir . t = 0 anında ani bir kuvvet darbesi I tarafından uyarılan basit bir kütle-yay sisteminin yönetici denklemi yazılabilir.
burada m, bir kütle olup sapmasını Karsılık ve k yay sabitini .
Başka bir örnek olarak, bir ince statik sapmasını temel denklemler ışını göre olan Euler-Bernoulli teori ,
burada EI olan bükülme sertliği kirişin, ağırlık sapması , x koordinatı ve hacimsel q ( X yük dağılımı). Bir ışın, bir nokta kuvveti tarafından yüklendiğinde ise F de X = X 0 , yük dağıtım yazılır
Delta fonksiyonunun entegrasyonu Heaviside adım fonksiyonu ile sonuçlandığından, çok noktalı yüklere maruz kalan ince bir kirişin statik sapmasının bir dizi parçalı polinom tarafından tanımlandığı sonucu çıkar .
Ayrıca, bir kirişe etki eden nokta momenti delta fonksiyonları ile tanımlanabilir. Birbirinden d uzaklığında iki zıt F nokta kuvvetini düşünün . Daha sonra kirişe etki eden bir M = Fd momenti üretirler . Şimdi, M sabit tutulurken d mesafesinin limit sıfıra yaklaşmasına izin verin . x = 0'da saat yönünde hareket eden bir moment varsayılarak yük dağılımı yazılır.
Nokta momentleri böylece delta fonksiyonunun türevi ile temsil edilebilir . Kiriş denkleminin integrali yine parçalı polinom sapmasıyla sonuçlanır .
Ayrıca bakınız
- Atom (ölçü teorisi)
- Delta potansiyeli
- Dirac ölçüsü
- temel çözüm
- Green'in işlevi
- Göstergenin Laplasiyen
Notlar
Referanslar
- Aratyn, Henrik; Rasinariu, Constantin (2006), Maple ile matematiksel yöntemlerde kısa bir kurs , World Scientific, ISBN 978-981-256-461-0.
- Arfken, GB ; Weber, HJ (2000), Fizikçiler için Matematiksel Yöntemler (5. baskı), Boston, Massachusetts: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0.
- Bracewell, RN (1986), Fourier Dönüşümü ve Uygulamaları (2. baskı), McGraw-Hill.
- Córdoba, A. (1988), "La formül sommatoire de Poisson", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 306 : 373-376.
- Courant, Richard ; Hilbert, David (1962), Matematiksel Fizik Yöntemleri, Cilt II , Wiley-Interscience.
- Davis, Howard Ted; Thomson, Kendall T (2000), Mathematica , Academic Press, ISBN'deki uygulamalarla mühendislikte lineer cebir ve lineer operatörler 978-0-12-206349-7
- Dieudonné, Jean (1976), Analiz üzerine inceleme. Cilt II , New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-215502-4, MR 0530406.
- Dieudonné, Jean (1972), Analiz üzerine inceleme. Cilt III , Boston, Massachusetts: Academic Press, MR 0350769
- Dirac, Paul (1930), Kuantum Mekaniğinin İlkeleri (1. baskı), Oxford University Press.
- Driggers, Ronald G. (2003), Optik Mühendisliği Ansiklopedisi , CRC Press, Bibcode : 2003eoe..book.....D , ISBN 978-0-8247-0940-2.
- Duistermaat, Hans ; Kolk (2010), Dağılımlar: Teori ve uygulamalar , Springer.
- Federer, Herbert (1969), Geometrik ölçü teorisi , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 153 , New York: Springer-Verlag, pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325.
- Gannon, Terry (2008), "Vertex operatörü cebirleri" , Princeton Companion to Matematiğe , Princeton University Press, ISBN 978-1400830398.
- Gelfand, IM ; Shilov, GE (1966–1968), Genelleştirilmiş fonksiyonlar , 1–5 , Academic Press, ISBN 978148326246.
- Hartmann, William M. (1997), Sinyaller, ses ve duyum , Springer, ISBN 978-1-56396-283-7.
- Hazewinkel, Michel (2011). Matematik ansiklopedisi . 10 . Springer. ISBN'si 978-90-481-4896-7. OCLC 751862625 .
- Hewitt, E ; Stromberg, K (1963), Gerçek ve soyut analiz , Springer-Verlag.
- Hörmander, L. (1983), Lineer kısmi diferansiyel operatörlerin analizi I , Grundl. Matematik. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN 978-3-540-12104-6, MR 0717035.
- Isham, CJ (1995), Kuantum teorisi üzerine dersler: matematiksel ve yapısal temeller , Imperial College Press, ISBN 978-81-7764-190-5.
- John, Fritz (1955), Kısmi diferansiyel denklemlere uygulanan düzlem dalgalar ve küresel ortalamalar , Interscience Publishers, New York-London, ISBN 9780486438047, MR 0075429.
- Lang, Serge (1997), Lisans analizi , Matematikte Lisans Metinleri (2. baskı), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4757-2698-5 , ISBN 978-0-387-94841-6, MR 1476913.
- Lange, Rutger-Jan (2012), "Potansiyel teori, yol integralleri ve göstergenin Laplace'ı", Journal of High Energy Physics , 2012 (11): 29–30, arXiv : 1302.0864 , Bibcode : 2012JHEP...11. .032L , doi : 10.1007/JHEP11(2012)032 , S2CID 56188533.
- Laugwitz, D. (1989), "Sonsuz toplamların belirli değerleri: 1820 civarında sonsuz küçük analizin temellerinin yönleri", Arch. Geçmiş. Kesin Bilim. , 39 (3): 195–245, doi : 10.1007/BF00329867 , S2CID 120890300.
- Levin, Frank S. (2002), "Koordinat-uzay dalga fonksiyonları ve tamlık" , Kuantum teorisine giriş , Cambridge University Press, pp. 109 ff , ISBN 978-0-521-59841-5
- Li, YT; Wong, R. (2008), "Dirac delta fonksiyonunun integral ve seri gösterimleri", Commun. Saf Uygulama Anal. , 7 (2): 229–247, arXiv : 1303.1943 , doi : 10.3934/cpaa.2008.7.229 , MR 2373214 , S2CID 119319140.
- de la Madrid, R.; Bohm, A.; Gadella, M. (2002), "Sürekli Spektrumun Rigged Hilbert Uzay Tedavisi", Fortschr. Fizik , 50 (2): 185–216, arXiv : quant-ph/0109154 , Bibcode : 2002ForPh..50..185D , doi : 10.1002/1521-3978(200203)50:2<185::AID-PROP185>3.0 .CO;2-S.
- McMahon, D. (2005-11-22), "Durum Uzayına Giriş" (PDF) , Kuantum Mekaniği Demystified, A Self-Teaching Guide , Demystified Series, New York: McGraw-Hill, s. 108, doi : 10.1036/0071455469 , ISBN 978-0-07-145546-6, alındı 2008-03-17.
- van der Pol, Balth.; Bremmer, H. (1987), Operasyonel hesap (3. baskı), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0327-6, MR 0904873.
- Rudin, W. (1991), Fonksiyonel Analiz (2. baskı), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054236-5.
- Vallée, Olivier; Soares, Manuel (2004), Havalı fonksiyonlar ve fiziğe uygulamaları , Londra: Imperial College Press, ISBN 9781911299486.
- Saichev, AI; Woyczyński, Wojbor Andrzej (1997), "Bölüm1: Temel tanımlar ve işlemler" , Fizik ve Mühendislik Bilimlerinde Dağılımlar: Dağılımsal ve fraktal hesap, integral dönüşümler ve dalgacıklar , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3924-2
- Schwartz, L. (1950), Theorie des dağılımları , 1 , Hermann.
- Schwartz, L. (1951), Theorie des dağılımları , 2 , Hermann.
- Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Öklid Uzayları Üzerine Fourier Analizine Giriş , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
- Strichartz, R. (1994), Dağılım Teorisi ve Fourier Dönüşümleri Kılavuzu , CRC Press, ISBN 978-0-8493-8273-4.
- Vladimirov, VS (1971), Matematiksel fizik denklemleri , Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-1713-1.
- Weisstein, Eric W. "Delta Fonksiyonu" . Matematik Dünyası .
- Yamashita, H. (2006), "Skaler alanların noktasal analizi: Standart olmayan bir yaklaşım", Journal of Mathematical Physics , 47 (9): 092301, Bibcode : 2006JMP....47i2301Y , doi : 10.1063/1.2339017
- Yamashita, H. (2007), "Comment on "Skaler alanların noktasal analizi: Standart olmayan bir yaklaşım" [J. Math. Phys. 47, 092301 (2006)]", Journal of Mathematical Physics , 48 (8): 084101, Bibcode : 2007JMP....48h4101Y , doi : 10.1063/1.2771422
Dış bağlantılar
- Wikimedia Commons'ta Dirac dağıtımıyla ilgili medya
- "Delta-fonksiyonu" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
- KhanAcademy.org video dersi
- Dirac Delta işlevi , Dirac delta işlevi hakkında bir eğitim.
- Video Dersler – Ders 23 , Arthur Mattuck tarafından verilen bir ders .
- Dirac delta ölçüsü bir hiperfonksiyondur.
- Kaynak terim bir Dirac delta ölçüsü olduğunda, benzersiz bir çözümün varlığını gösteriyoruz ve sonlu eleman yaklaşımını analiz ediyoruz.
- R. Lebesgue-Stieltjes ölçüsünde Lebesgue olmayan ölçüler, Dirac delta ölçüsü.