Olasılık ölçüsü - Probability measure

İstatistikler serisinin bir parçası
Olasılık teorisi
olasılık aksiyomlar determinizm sistem indeterminizm Rastgelelik
olasılık uzayı örnek uzay Etkinlik Toplu olarak kapsamlı olaylar İlköğretim etkinliği karşılıklı münhasırlık Sonuç tekton Deney Bernoulli denemesi Olasılık dağılımı Bernoulli dağılımı Binom dağılımı Normal dağılım olasılık ölçüsü Rastgele değişken Bernoulli süreci Sürekli veya ayrık Beklenen değer Markov zinciri gözlemlenen değer Rastgele yürüyüş Stokastik süreç
tamamlayıcı etkinlik Bileşik olasılık marjinal olasılık Şartlı olasılık
Bağımsızlık koşullu bağımsızlık Toplam olasılık yasası büyük sayılar yasası Bayes teoremi Boole eşitsizliği
Venn şeması Ağaç diyagramı
v T e

Gelen matematik bir olasılık ölçüsü a, gerçek değerli bir fonksiyondur bir olaylar bir dizi tanımlı olasılık alanı tatmin olduğu ölçmek gibi özellikleri sayılabilir additif . Bir olasılık ölçüsü ile daha genel ölçü kavramı ( alan veya hacim gibi kavramları içerir ) arasındaki fark, bir olasılık ölçüsünün tüm olasılık uzayına 1 değeri ataması gerektiğidir.

Sezgisel olarak, toplamsallık özelliği, ölçü tarafından iki ayrık olayın birleşimine atanan olasılığın, olayların olasılıklarının toplamı olması gerektiğini söyler, örneğin, bir zarın atılmasında "1 veya 2"ye atanan değer şu olmalıdır: "1" ve "2"ye atanan değerlerin toplamı.

Olasılık ölçütlerinin fizikten finans ve biyolojiye kadar çeşitli alanlarda uygulamaları vardır.

Tanım

Olaylar için olasılık uzayını birim aralığına eşleyen bir olasılık ölçüsü .${\ Displaystyle 2^{3}}$

Bir olasılık uzayında bir olasılık ölçüsü olması için μ fonksiyonunun gereksinimleri şunlardır:

• μ ,[0, 1] birim aralığındaki sonuçlarıdöndürmelidir, boş küme için 0 ve tüm alan için 1 döndürmelidir.

• μ , ikili ayrık kümelerin tüm sayılabilir koleksiyonlarıiçin sayılabilir toplamsallık özelliğinisağlamalıdır:${\displaystyle \{E_{i}\}}$

${\displaystyle \mu {\Bigl (}\bigcup _{i\in I}E_{i}{\Bigr )}=\sum _ {i\in I}\mu (E_{i}).}$

Örneğin, 1/4, 1/4 ve 1/2 olasılıklı üç eleman 1, 2 ve 3 verildiğinde, {1, 3}'e atanan değer, aşağıdaki gibi 1/4 + 1/2 = 3/4'tür. sağdaki diyagram.

Aşağıdaki şekilde tanımlanan olayların kesişimine dayalı koşullu olasılık :

${\displaystyle \mu (B\orta A)={\frac {\mu (A\baş B)}{\mu (A)}}.}$

sıfır olmadığı sürece olasılık ölçü gereksinimlerini karşılar . ${\görüntüleme stili \mu (A)}$

Olasılık ölçüleri , bulanık değerlerin toplamının 1 olması şartının olmadığı daha genel bulanık ölçüler kavramından farklıdır ve toplamsal özelliğin, küme içermesine dayalı bir sıra ilişkisi ile değiştirilir .

Örnek uygulamalar

Çoğu durumda, istatistiksel fizik olasılık ölçülerini kullanır , ancak kullandığı tüm ölçüler olasılık ölçüleri değildir.

Pazar önlemleri için atama olasılıkları finansal piyasa gerçek piyasa hareketlerine dayanan alanlarda ilgilendiren olasılık önlemlerinin örnekleridir matematiksel finans fiyatlandırılmasında, örneğin finansal türevler . Örneğin, riskten bağımsız bir ölçü , varlıkların cari değerinin, aynı risk nötr ölçüsüne göre alınan gelecekteki ödemenin beklenen değeri olduğunu varsayan bir olasılık ölçüsüdür (yani karşılık gelen risk nötr yoğunluk fonksiyonu kullanılarak hesaplanır) ve indirimli en risksiz oran . Bir piyasada varlıkları fiyatlandırmak için kullanılması gereken benzersiz bir olasılık ölçüsü varsa, piyasaya tam piyasa denir .

Sezgisel olarak şansı veya olasılığı temsil eden tüm ölçümler olasılık ölçümleri değildir. Örneğin, istatistiksel mekanikte bir sistemin temel kavramı bir ölçü uzayı olsa da, bu tür ölçüler her zaman olasılık ölçüleri değildir. Genel olarak, istatistiksel fizikte, "A durumunun p olduğunu varsayan bir S sisteminin olasılığı" şeklindeki cümleleri ele alırsak, sistemin geometrisi her zaman uygunluk altında bir olasılık ölçüsünün tanımına yol açmaz , ancak bunu yapabilir. yani sadece bir serbestlik derecesine sahip sistemler durumunda.

Olasılık ölçüleri matematiksel biyolojide de kullanılır . Örneğin, karşılaştırmalı dizi analizinde , bir dizideki bir amino asit için bir varyantın kabul edilebilir olma olasılığı için bir olasılık ölçüsü tanımlanabilir .

Ultrafiltreler , ölçümlere dayalı birçok sezgisel kanıta izin veren değerli olasılık ölçümleri olarak anlaşılabilir . Örneğin, Hindman Teoremi , bu ölçülerin ve özellikle de evrişimlerinin daha fazla araştırılmasından kanıtlanabilir . ${\görüntüleme stili \{0,1\}}$

Ayrıca bakınız

• Borel ölçüsü
• Bulanık ölçü
• Haar ölçüsü
• Martingal ölçüsü
• Lebesgue ölçüsü

Referanslar

daha fazla okuma

• Billingsley, Patrick (1995). Olasılık ve Ölçü . John Wiley. ISBN'si 0-471-00710-2.
• Kül, Robert B.; Doléans-Dade, Catherine A. (1999). Olasılık ve Ölçü Teorisi . Akademik Basın. ISBN'si 0-12-065202-1.

Dış bağlantılar

• İlgili Medya Olasılık ölçüsü Wikimedia Commons