Etki alanı (matematiksel analiz) - Domain (mathematical analysis)

Olarak matematiksel analiz , bir alan veya bölge a, boş olmayan bağlı açık grubu , bir de topolojik alanı , özellikle de herhangi bir boş olmayan bir alt kümesi, bağlı açık, gerçek koordinat alan R , n ya da kompleks koordinat alanı Cı n . Bu, bir fonksiyonun tanım alanından farklı bir kavramdır , ancak örneğin kısmi diferansiyel denklemlerde ve Sobolev uzaylarında bu amaçla sıklıkla kullanılır .

Bir uzayın bağlantılı bir alt kümesinin temel fikri 19. yüzyıldan kalmadır, ancak kavramlar geliştirildikçe ve terimler Almanca, Fransızca ve İngilizce eserler arasında tercüme edildiğinden kesin tanımlar nesilden nesile, yazardan yazara ve baskıdan baskıya biraz farklılık gösterir. . İngilizce'de bazı yazarlar etki alanı terimini , bazıları bölge terimini , bazıları her iki terimi birbirinin yerine kullanır ve bazıları iki terimi biraz farklı tanımlar; bazıları, boş olmayan bağlı açık altküme gibi bir ifadeye bağlı kalarak belirsizliği önler . Yaygın bir kural, bir etki alanını bağlı bir açık küme olarak, ancak bölgeyi , sınır noktalarının hiçbiri, bir kısmı veya tamamı olmayan bir etki alanının birleşimi olarak tanımlamaktır . Bir kapalı kısım ya da kapalı alan bir etki ve sınır noktaları, tüm birleşimidir.

İntegral teoremleri ( Green teoremi , Stokes teoremi ), Sobolev uzaylarının özellikleri ve sınır ve uzaylar üzerindeki ölçüleri tanımlamak gibi, etki alanında tanımlanan fonksiyonların çeşitli özelliklerinin tutması için etki alanı sınırının çeşitli derecelerde düzgünlüğü gerekir. ait izleri (sınır üzerinde tanımlı fonksiyonlar genelleştirilmiş). Yaygın etki dikkate türleri ile alan adlarıdır sürekli sınır, Lipschitz sınır , C 1 benzeri sınır ve.

Bir sınırlı alanı bir olan bir bölgedir sınırlı seti bir süre dış veya dış etki olan iç ve tamamlayıcı sınırlı bir etki alanının.

Olarak karmaşık analiz , bir kompleks alanı (ya da sadece alan ) ve bağlı herhangi bir açık alt kümesi kompleks düzlem C . Örneğin, tüm karmaşık düzlem, açık birim disk , açık üst yarı düzlem ve benzerleri gibi bir etki alanıdır . Çoğu zaman, karmaşık bir alan, bir holomorfik fonksiyon için tanım alanı olarak hizmet eder . Çalışmasında değişkenli kompleks bir alan tanımı, bağlı olan herhangi bir açık alt grubunu içerecek şekilde genişletilir C n .

Tarihsel notlar

tanım . Her şey dahil Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man and nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann. Gebiet'in en büyük sorunu.

—  Constantin Carathéodory , ( Carathéodory 1918 , s. 222)

Hans Hahn'a göre , açık bağlantılı küme olarak bir alan kavramı, Constantin Carathéodory tarafından ünlü kitabında ( Carathéodory 1918 ) tanıtıldı . Hahn ayrıca kelime "olduğunu belirtiyor: Gebiet " ( " Alan ") zaman zaman daha önce bir olarak kullanıldı eşanlamlı ait açık kümesi . Kaba kavram daha eskidir. 19. yüzyılda ve 20. yüzyılın başlarında, etki alanı ve bölge terimleri genellikle açık bir tanım olmaksızın gayri resmi olarak (bazen birbirinin yerine kullanılabilir) kullanılmıştır.

Bununla birlikte, "alan" terimi zaman zaman yakından ilişkili ancak biraz farklı kavramları tanımlamak için kullanılmıştır. Örneğin, onun nüfuzlu içinde monografların üzerinde eliptik kısmi diferansiyel denklemler , Carlo Miranda dönem "bölgeyi" açık Bağlı setini belirlemek için, ve rezervleri bir içten bağlı, tespit etmek terimi "alan" kullanan mükemmel bir set , her nokta biri bir olduğunu eski ustası Mauro Picone'u izleyerek iç noktaların birikim noktası : bu kurala göre, eğer bir A kümesi bir bölge ise, o zaman kapanışı A bir bölgedir .

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar