Peano varoluş teoremi - Peano existence theorem

Diferansiyel denklemler
Bir engel etrafındaki hava akışını simüle etmek için kullanılan Navier-Stokes diferansiyel denklemleri
Dürbün Doğa Bilimleri Mühendislik Astronomi Fizik Kimya Biyoloji jeoloji Uygulamalı matematik Süreklilik mekaniği Kaos teorisi dinamik sistemler Sosyal Bilimler ekonomi Nüfus dinamikleri
sınıflandırma
Türler Sıradan Kısmi diferansiyel-cebirsel integral diferansiyel kesirli Doğrusal doğrusal olmayan Değişken türüne göre Bağımlı ve bağımsız değişkenler özerk karmaşık Birleştirilmiş / Ayrılmış tam Homojen  / Homojen olmayan Özellikleri Sipariş Şebeke gösterim
Süreçlerle ilişkisi Fark (ayrık analog) stokastik Stokastik kısmi gecikme
Çözüm
Varlık ve benzersizlik Picard-Lindelöf teoremi Peano varlığı teoremi Carathéodory'nin varlık teoremi Cauchy-Kowalevski teoremi
Genel başlıklar Wronskiyen Faz portresi Faz boşluğu Lyapunov  / Asimptotik  / Üstel kararlılık yakınsama oranı Seri  / İntegral çözümler Sayısal entegrasyon Dirac delta işlevi
Çözüm yöntemleri muayene özelliklerin yöntemi Euler Üstel yanıt formülü Sonlu fark  ( Crank–Nicolson ) Sonlu elemanlar sonsuz eleman sonlu hacim Galerkin Petrov-Galerkin entegre etme faktörü integral dönüşümler Pertürbasyon teorisi Runge-Kuta Değişkenlerin ayrılması belirsiz katsayılar Parametrelerin varyasyonu
İnsanlar Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy john krank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

Gelen matematik , spesifik olarak çalışmaya olağan diferansiyel denklemler , Peano varlığı teoremi , Peano teoremi veya Cauchy Peano teoremi adını, Giuseppe Peano ve Augustin-Louis Cauch , bir temeldir teoremi garanti varlığını bazı çözümler başlangıç değer problemleri .

Tarih

Peano, teoremi ilk kez 1886'da yanlış bir ispatla yayınladı. 1890'da ardışık yaklaşımları kullanarak yeni bir doğru kanıt yayınladı.

teorem

Izin bir olmak açık alt kümesi R x R ile ${\görüntüleme stili D}$

${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$

sürekli bir fonksiyon ve

${\displaystyle y'(x)=f\sol(x,y(x)\sağ)}$

bir sürekli , açık birinci dereceden diferansiyel denklem ile tanımlanan D , o zaman her başlangıç değer sorun

${\displaystyle y\sol(x_{0}\sağ)=y_{0}}$

için f ile yerel bir çözüm vardır ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\D} içinde$

${\displaystyle z\kolon I\to \mathbb {R} }$

nerede bir olan mahalle arasında yer böyle, herkes için . ${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili x_{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle z'(x)=f\sol(x,z(x)\sağ)}$${\ Displaystyle x\ I}$

Çözümün benzersiz olması gerekmez: bir ve aynı başlangıç ​​değeri birçok farklı çözüme yol açabilir . ${\görüntüleme stili (x_{0},y_{0})}$${\görüntüleme stili z}$

İlgili teoremler

Peano teoremi, aynı bağlamda başka bir varoluş sonucuyla, Picard-Lindelöf teoremi ile karşılaştırılabilir . Picard-Lindelöf teoremi hem daha fazlasını varsayıyor hem de daha fazla sonuca varıyor. Lipschitz sürekliliği gerektirirken Peano teoremi yalnızca süreklilik gerektirir; ancak Peano teoreminin yalnızca çözümlerin varlığını kanıtladığı yerde hem varlığı hem de benzersizliği kanıtlar. Örneklemek için, adi diferansiyel denklemi düşünün

${\displaystyle y'=\sol\vert y\sağ\vert ^{\frac {1}{2}}}$ etki alanında ${\görüntüleme stili \sol[0,1\sağ].}$

Peano teoremine göre, bu denklemin çözümleri vardır, ancak sağ taraf 0 içeren herhangi bir komşulukta Lipschitz sürekli olmadığı için Picard-Lindelöf teoremi geçerli değildir. Böylece varlık sonucuna varabiliriz, ancak teklik değil. Bu adi diferansiyel denklemin , ya da ile başlatıldığında iki tür çözümü olduğu ortaya çıktı . Arasındaki geçiş ve herhangi bir zamanda gerçekleşebilir . ${\görüntüleme stili y(0)=0}$${\görüntüleme stili y(x)=0}$${\görüntüleme stili y(x)=x^{2}/4}$${\görüntüleme stili y=0}$${\görüntüleme stili y=(xC)^{2}/4}$${\görüntüleme stili C}$

Caratheodory varlığı teoremi süreklilik daha zayıf koşullarla Peano varlığı teoremi bir genellemedir.

Notlar

Referanslar

• Osgood, WF (1898). "Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung". Monatshefte für Mathematik . 9 : 331–345.
• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Adi Diferansiyel Denklemler Teorisi . New York: McGraw-Hill .
• Murray, Francis J.; Miller, Kenneth S. (1976) [1954]. Adi Diferansiyel Denklemler için Varlık Teoremleri (Yeni baskı ed.). New York: Kriger.
• Teschl, Gerald (2012). Adi Diferansiyel Denklemler ve Dinamik Sistemler . Providence : Amerikan Matematik Derneği . ISBN'si 978-0-8218-8328-0.