Banach–Alaoğlu teoremi - Banach–Alaoglu theorem

Altında yatan alana göre Göstermek tarafından ya hangi reel sayılar veya kompleks sayılar : Bu kanıt makalelerinde açıklanan temel bazı özelliklerini kullanacak kutup kümesi , ikili sistem ve sürekli lineer operatör . ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Kanıta başlamak için bazı tanımlar ve kolayca doğrulanmış sonuçlar geri çağrılır. Zayıf-* topolojisine sahip olduğunda , bu Hausdorff yerel dışbükey topolojik vektör uzayı ile gösterilir . Uzay her zaman tam bir TVS'dir ; Ancak tam bir boşluk, bu kanıtı alanı kapsar nedeni budur olmaya başarısız olabilir Özellikle bu kanıtı kapatıldığı ve (ve ancak) ise tam Haussdorf alan bir alt kompakt olduğu gerçeğini kullanır, tamamen sınırlanmış . Önemli bir şekilde, alt uzay topolojisi bu devralır na eşit Bu hali hazırda herhangi bir gösteren doğrulanabilir bir net olarak yakınsar ve sadece o da yakınsak eğer bu topolojileri birinde Sonuç iki topolojileri için aşağıdaki (diğer topoloji ancak ve ancak tam olarak aynı yakınsak ağlara sahiplerse eşittirler). ${\görüntüleme stili X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \sol(X^{\#},X\sağ),}$ ${\displaystyle \sol(X^{\#},\sigma \sol(X^{\#},X\sağ)\sağ).}$${\displaystyle \sol(X^{\#},\sigma \sol(X^{\#},X\sağ)\sağ)}$${\displaystyle \sol(X^{\prime },\sigma \sol(X^{\prime },X\sağ)\sağ)}$${\displaystyle \sol(X^{\#},\sigma \sol(X^{\#},X\sağ)\sağ).}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \sol(X^{\#},\sigma \sol(X^{\#},X\sağ)\sağ)}$${\displaystyle \sigma \sol(X^{\prime },X\sağ).}$${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime },}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\görüntüleme stili x^{\birincil }}$${\görüntüleme stili x^{\birincil }}$

Üçlü , ikili bir eşleştirmedir, ancak aksine genel olarak ikili bir sistem olması garanti edilmez. Baştan sona, aksi belirtilmedikçe, tüm kutup kümeleri, kurallı eşleştirmeye göre alınacaktır.${\displaystyle \sol\langle X,X^{\prime }\sağ\rangle }$${\displaystyle \sol\langle X,X^{\#}\sağ\rangle,}$ ${\displaystyle \sol\langla X,X^{\prime }\sağ\rangle .}$

Menşeinin bir mahallesi olsun ve izin ver: ${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili X}$

• ${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$ kanonik eşleşmeye göre kutuplu olsun ;${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle \sol\langle X,X^{\prime }\sağ\rangle }$
• ${\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\} }$olmak bipolar${\görüntüleme stili U}$ göre ;${\displaystyle \sol\langle X,X^{\prime }\sağ\rangle }$
• ${\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$ kanonik ikili sisteme göre kutuplu olmak${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle \sol\langle X,X^{\#}\sağ\rangle .}$

Kümelerin kutupları hakkında iyi bilinen bir gerçek, ${\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }.}$

1. Gösteriyor ki bir olduğu bir -Kapalı alt kümesi Let ve varsayalım içinde net olduğunu o yakınsak içinde olduğu sonucuna için o göstermek için yeterli (ve gerekli) 'dir her için Çünkü skaler alanda ve her değer (kapalı aittir ) altküme de bu ağın limiti bu kümeye ait olmalıdır . Böylece${\ Displaystyle U^{\#}}$${\displaystyle \sigma \sol(X^{\#},X\sağ)}$${\görüntüleme stili X^{\#}:}$${\displaystyle f\in X^{\#}}$${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\sağ)_{i\in I}}$${\ Displaystyle U^{\#}}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle \sol(X^{\#},\sigma \sol(X^{\#},X\sağ)\sağ).}$${\ Displaystyle f\in U^{\#},}$${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$${\görüntüleme stili u\U.}$${\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle f_{i}(u)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\},}$${\görüntüleme stili f(u)}$${\displaystyle |f(u)|\leq 1.}$
2. Bunu gösterin ve ardından bunun her ikisinin de kapalı bir alt kümesi olduğu sonucuna varın ve Dahil etme geçerlidir çünkü her sürekli lineer fonksiyonel (özellikle) bir lineer fonksiyoneldir. Ters dahil için izin böylece doğrusal fonksiyonel tam olarak hangi durumları mahalle sınırlanmaktadır ; Bu şekilde bir sürekli işlevsel doğrusal (diğer bir deyişle, ) ve bu şekilde arzu edilen. (1)' in kullanılması ve altuzay topolojisinde kesişimin kapalı olduğu gerçeği , kapalı olma iddiasını takip eder.${\ Displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}$${\ Displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sol(X^{\#},\sigma \sol(X^{\#},X\sağ)\sağ)}$${\displaystyle \sol(X^{\prime },\sigma \sol(X^{\prime },X\sağ)\sağ):}$${\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}$${\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ },\,}$${\ Displaystyle f\in U^{\#}}$${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle f\in X^{\prime }}$${\ Displaystyle f\in U^{\circ },}$${\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }}$${\displaystyle X^{\prime},}$${\ Displaystyle U^{\circ }}$
3. Gösteriyor ki bir olduğunu - tamamen sınırlı alt kümesi olarak iki kutuplu teoremi , mahalle çünkü bir olan emici alt kümesi içinde kümesinin doğru olması gerekir aynı ; ima ispat etmek mümkündür bir olduğunu - sınırlı alt kümesi içinde Çünkü farklılaşacaktır noktaları arasında bir alt kümesi olup -bounded ve yalnızca eğer - Tamamen sınırlanmış . Yani özellikle, aynı zamanda -tamamen sınırlıdır.${\ Displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \sol(X^{\prime },X\sağ)}$${\displaystyle X^{\prime }:}$${\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili X,}$${\ Displaystyle U^{\circ \circ }}$${\ Displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \sol(X^{\prime },X\sağ)}$${\displaystyle X^{\prime }.}$${\görüntüleme stili X}$ ${\displaystyle X^{\prime},}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \sigma \sol(X^{\prime },X\sağ)}$${\displaystyle \sigma \sol(X^{\prime },X\sağ)}$${\ Displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \sol(X^{\prime },X\sağ)}$
4. Sonucuna da olduğu bir -Totally sınırlanan bir alt kümesi hatırlayın topoloji alt uzay topolojisi ile aynıdır devralır , birlikte (3) sahip olan bu gerçeği, ve "tamamen sınırlı" tanımı, anlamına gelir , bir olan bir -Totally sınırlanan bir alt kümesi${\ Displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \sol(X^{\#},X\sağ)}$${\görüntüleme stili X^{\#}:}$${\displaystyle \sigma \sol(X^{\prime },X\sağ)}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \sol(X^{\#},\sigma \sol(X^{\#},X\sağ)\sağ).}$${\ Displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \sol(X^{\#},X\sağ)}$${\görüntüleme stili X^{\#}.}$
5. Son olarak, çünkü bunun -kompakt bir altkümesi olduğunu , bunun tam bir TVS olduğunu ve bunun bir kapalı ((2) ile) ve tamamen sınırlı ((4) ile) bir altkümesi olduğunu, bunun kompakt olduğunu takip edin . QED${\ Displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \sol(X^{\prime },X\sağ)}$${\displaystyle X^{\prime }:}$${\displaystyle \sol(X^{\#},\sigma \sol(X^{\#},X\sağ)\sağ)}$${\ Displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sol(X^{\#},\sigma \sol(X^{\#},X\sağ)\sağ),}$${\ Displaystyle U^{\circ }}$

Altında yatan alanı tarafından Göstermek tarafından hangi birini ise reel sayılar veya kompleks sayılar herhangi bir gerçek İçin let ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\görüntüleme stili r,}$

$${\displaystyle B_{r}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}}$$

kompakt ve kapalı bir alt kümesi olan orijindeki kapalı yarıçap küresini gösterir .${\görüntüleme stili r}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Çünkü orijinin bir komşuluğu , aynı zamanda

soğurucu bir altkümesi olduğundan, her biri için öyle bir gerçek sayı vardır ki, Let ${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle r_{x}>0}$${\displaystyle x\in r_{x}U:=\left\{r_{x}u:u\in U\right\}.}$

$${\displaystyle U^{\#}:=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}~ =~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$$

polar ifade standart çift sistemi ile ilgili olarak, şu anda gösterilmiştir, bu kutup kümesi polar aynıdır arasında göre${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle \sol\langle X,X^{\#}\sağ\rangle .}$${\ Displaystyle U^{\#}}$${\ Displaystyle U^{\circ }}$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle \sol\langla X,X^{\prime }\sağ\rangle .}$

${\ Displaystyle U^{\circ }=U^{\#}:}$Her sürekli lineer fonksiyonel (özellikle) lineer bir fonksiyonel olduğu için dahil

etmenin geçerli olduğunun kanıtı . Ters dahil için izin böylece doğrusal fonksiyonel tam olarak hangi durumları mahalle sınırlanmaktadır ; Bu şekilde bir sürekli işlevsel doğrusal (diğer bir deyişle, ) ve bu şekilde arzu edilen. QED ${\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}$${\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ },\,}$${\ Displaystyle f\in U^{\#}}$${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle f\in X^{\prime }}$${\ Displaystyle f\in U^{\circ },}$

Bu ispatın geri kalanı, Kartezyen çarpımının , formun tüm fonksiyonlarının uzayı olarak nasıl tanımlandığının doğru bir şekilde anlaşılmasını gerektirir. Şimdi ilgilenen okuyucular için bir açıklama verilmiştir. ${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$${\displaystyle X\to \mathbb {K} .}$

Tuple'larla işlevlerin tanımlanmasıyla ilgili prömiyer

Kartezyen ürün genellikle bütün kümesi olarak düşünülür -indexed küpe şimdi tarif edildiği gibi, aynı zamanda boşluk tespit edilebilir, ancak prototip olan tüm fonksiyonların${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$${\görüntüleme stili X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{x}\sağ)_{x\in X}}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$${\displaystyle X\to \mathbb {K} .}$ Function Tuple${\görüntüleme stili \ için }$ : Bir fonksiyona ait olan ( -indexed) " değer grubu " ile tanımlanır.${\displaystyle s:X\to \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle s_{\bullet }:=(s(x))_{x\in X}.}$ Demet İşlev${\görüntüleme stili \ için }$ : Bir demet içinde fonksiyonu ile tanımlanır ile tanımlanır ; bu işlevin "değerler grubu" orijinal gruptur${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{x}\sağ)_{x\in X}}$${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$${\displaystyle s:X\to \mathbb {K} }$${\görüntüleme stili s(x):=s_{x}}$${\displaystyle \sol(s_{x}\sağ)_{x\in X}.}$ Pek çok yazarın genellikle yorum yapmadan eşitlik ilkesini yazmasının nedeni budur. $${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$$ Kartezyen ürün neden ve bazen haritaları grubu tanımı olarak alınır Ancak, Kartezyen ürün olan (kategorik) ürün olarak kategori içinde setleri (bir tür ters sınırı ), aynı zamanda ilgili haritalar ile donatılmış olarak geliyor (koordinat) projeksiyonları olarak bilinir . ${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}.}$ Kartezyen ürünün herhangi bir verili kanonik izdüşümü , fonksiyondur. ${\displaystyle z\in X}$ $${\displaystyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} \quad {\text{ }}\quad s_{\bullet } ile tanımlanır =\left(s_{x}\sağ)_{x\in X}\mapsto s_{z}}$$ yukarıdaki tanımlama altında, bir işlev gönderdiğinde ${\displaystyle \Pr {}_{z}}$${\displaystyle s:X\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \Pr {}_{z}(s):=s(z).}$$ Yani bir nokta için ve işlevi "takmayı içine " "takmayı aynıdır içine ". ${\görüntüleme stili z}$${\görüntüleme stili s,}$${\görüntüleme stili z}$${\görüntüleme stili s}$${\görüntüleme stili s}$${\displaystyle \Pr {}_{z}}$ topoloji Set sahip varsayılır ürün topoloji . Ürün topolojisinin noktasal yakınsama topolojisiyle aynı olduğu iyi bilinmektedir . Bu verilen nedeni ve net nerede ve her bir elementtir sonra net yakınsak ürün topolojisinde ve ancak eğer ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$${\görüntüleme stili f}$ ${\displaystyle \sol(f_{i}\sağ)_{i\in I},}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle f_{i}}$${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} ,}$${\displaystyle \sol(f_{i}\sağ)_{i\in I}\to f}$ her net yakınsaması için${\displaystyle z\in X,}$${\displaystyle \Pr {}_{z}\left(\left(f_{i}\sağ)_{i\in I}\sağ)\to \Pr {}_{z}(f)}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ nerede ve ${\displaystyle \;\Pr {}_{z}(f)=f(z)\;}$ $${\displaystyle \Pr {}_{z}\left(\left(f_{i}\sağ)_{i\in I}\right):=\left(\Pr {}_{z}\left( f_{i}\sağ)\sağ)_{i\in I}=\left(f_{i}(z)\sağ)_{i\in I}.}$$ Böylece çarpım topolojisinde ' ye yakınsar, ancak ve ancak noktasal olarak yakınsarsa${\displaystyle \sol(f_{i}\sağ)_{i\in I}}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X.}$ Bu ispatta ayrıca noktasal yakınsaklığın topolojisinin topolojik altuzaylara geçerken korunduğu gerçeği kullanılacaktır . Bu, örneğin, her biri için bir (topolojik) altuzay ise , noktasal yakınsama topolojisinin (veya eşdeğer olarak, çarpım topolojisinin) üzerindeki kümenin miras aldığı altuzay topolojisine eşit olduğu anlamına gelir.${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle S_{x}\subseteq \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\textstyle \prod _{x\in X}S_{x}}$${\textstyle \prod _{x\in X}S_{x}}$${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} .}$

Anladıktan sonra sembol dağınıklığı azaltmak için, bu olar seti ile belirtilir ${\ Displaystyle U^{\circ }=U^{\#},}$${\görüntüleme stili P}$

$${\ Displaystyle P:=U^{\circ }}$$

tanımına dikkat çekmek için bir girişimde bulunulmadığı sürece veya${\ Displaystyle U^{\circ }}$${\ Displaystyle U^{\#}.}$

Aşağıdaki ifadeler doğrulandıktan sonra teoremin ispatı tamamlanmış olacaktır:

1. ${\görüntüleme stili P}$ kapalı bir alt kümesidir ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}.}$
   • Burada ,

ürün topolojisiyle aynı olan noktasal yakınsama topolojisi bulunur .${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$

${\displaystyle P\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$

• ${\displaystyle B_{r_{x}}\subseteq \mathbb {K} }$yarıçapı kapalı top i belirtir merkezlenmiş her biri için bu kanıt başlangıcında tanımlanan

bir gerçek tatmin olduğu (böylece, özellikle de her biri için geçerli bir seçimdir ).${\görüntüleme stili r_{x}}$${\görüntüleme stili 0.}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\görüntüleme stili r_{x}}$${\displaystyle r_{x}>0}$${\displaystyle x\in r_{x}U}$${\displaystyle r_{u}:=1}$${\ Displaystyle u\ U'da}$

Bu ifadeler ,

Tychonoff teoremi ile bu çarpım uzayının kompakt olduğu kapalı bir alt küme olduğunu ima eder (çünkü her kapalı top bir kompakt uzaydır). Kompakt bir uzayın kapalı bir alt kümesi kompakt olduğundan , Banach-Alaoğlu teoreminin ana sonucu olan kompakt olduğunu takip eder . ${\görüntüleme stili P}$${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}},}$${\displaystyle B_{r_{x}}}$${\ Displaystyle U^{\circ }=P}$

(1) kanıtı :

Cebirsel ikili uzay her zaman kapalı bir altkümesidir (bu sonuca aşina olmayan okuyucular için aşağıdaki lemmada kanıtlanmıştır). İçinde kapalı olduğunu kanıtlamak için , ile tanımlanan kümenin olduğunu göstermek yeterlidir.${\görüntüleme stili X^{\#}}$${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$${\görüntüleme stili P}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{X},}$${\görüntüleme stili P_{U}}$

$${\displaystyle P_{U}~:=~\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right \}}$$

kapalı bir alt kümesi daha sonra da iki kapalı alt-kesişimidir Let ve varsayalım net olduğu için bu yakınsak olarak bu Sonuç olarak her için göstermek için yeterli (ve gerektiğinde) bir (eşdeğer ya da, bu ). Çünkü skaler alanda ve her değer kapalı (içinde aittir ) alt küme de öyle olmalı bu net sınırın bu kapalı kümesine aittir. Böylece (1)'in ispatı tamamlanır. QED ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$${\displaystyle P_{U}\cap X^{\#}=U^{\#}=P}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}.}$${\displaystyle f\in \mathbb {K} ^{X}}$${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\sağ)_{i\in I}}$${\görüntüleme stili P_{U}}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}.}$${\displaystyle f\in P_{U},}$${\ Displaystyle u\ U'da,}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$${\displaystyle f(u)\B_{1}}$${\displaystyle \sol(f_{i}(u)\sağ)_{i\in I}\to f(u)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle f_{i}(u)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle B_{1}=\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\},}$${\görüntüleme stili f(u)}$${\displaystyle f(u)\in B_{1},}$

Bir yan not olarak, bu kanıt, yukarıdaki sonucun özel durum olarak çıktığı aşağıdaki daha genel sonucu kanıtlamak için genelleştirilebilir ve${\displaystyle Y:=\mathbb {K} }$${\görüntüleme stili B:=B_{1}.}$

Önerme : Eğer herhangi kümesidir ve eğer bir olduğunu

kapalı bir topolojik uzayın alt kümesi daha sonra kapalı alt grubudur noktasal yakınsama topoloji açısından.${\ Displaystyle U\subseteq X}$${\görüntüleme stili B\alt küme Y}$${\görüntüleme stili Y,}$${\displaystyle P_{U}:=\sol\{f\in Y^{X}~:~f(U)\subseteq B\sağ\}}$${\görüntüleme stili Y^{X}}$

(2) kanıtı :

Herhangi bir let için izdüşüm

^th koordinatına gösterilir (yukarıda tanımlandığı gibi). Her So fix ve let için bunu göstermenin yeterli (ve gerekli) olduğunu kanıtlamak için ; bu göstermek kalır tanımlayan durum hakkında idi olduğu sonucunu getirir çünkü doğrusal fonksiyonel tatmin ve böylece ima ${\displaystyle z\in X,}$${\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }$${\görüntüleme stili z}$${\textstyle P\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}},}$${\displaystyle \Pr {}_{x}(P)\subseteq B_{r_{x}}}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle x\in X}$${\ Displaystyle f\in P}$${\displaystyle \Pr {}_{x}(f):=f(x)\in B_{r_{x}}.}$${\displaystyle r_{x}>0}$${\displaystyle x\in r_{x}U,\,}$${\textstyle \,u_{x}:=\left({\frac {1}{r_{x}}}\sağ)x\U.\,}$${\ Displaystyle f\in P=U^{\#},}$${\görüntüleme stili f}$${\textstyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\;}$${\displaystyle u_{x}\U}$

${\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\sol|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\sağ|=\sol| f\sol({\frac {1}{r_{x}}}x\sağ)\sağ|=\sol|f\sol(u_{x}\sağ)\sağ|\leq \sup _{u\ içinde U}|f(u)|\leq 1.}$

Böylece istendiği gibi olduğunu gösterir . QED ${\displaystyle |f(x)|\leq r_{x},}$${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}},}$