Hahn–Banach teoremi - Hahn–Banach theorem

Hahn-Banach teoremi merkezi bir araçtır fonksiyonel analiz . Bazı vektör uzaylarının bir alt uzayında tanımlanan sınırlı lineer fonksiyonellerin tüm uzaya genişletilmesine izin verir ve ayrıca , dual uzayın çalışmasını "ilginç hale getirmek için her normlu vektör uzayı üzerinde tanımlanmış "yeterli" sürekli lineer fonksiyonların olduğunu gösterir. ". Hahn-Banach teoreminin başka bir versiyonu, Hahn-Banach ayırma teoremi veya hiperdüzlem ayırma teoremi olarak bilinir ve dışbükey geometride çok sayıda kullanıma sahiptir .

Tarih

Teorem, 1920'lerin sonlarında bağımsız olarak kanıtlayan matematikçiler Hans Hahn ve Stefan Banach'ın adını almıştır . Bir aralıktaki sürekli fonksiyonların uzayı için teoremin özel durumu daha önce (1912'de) Eduard Helly tarafından kanıtlandı ve daha genel bir genişleme teoremi, Hahn-Banach teoreminin türetilebileceği M. Riesz genişleme teoremi 1923 yılında Marcel Riesz tarafından kanıtlanmıştır .

İlk Hahn-Banach teoremi, 1921'de, belirli bir tür normlu uzayın ( ) alt uzayında tanımlanan belirli doğrusal fonksiyonellerin aynı normun bir uzantısına sahip olduğunu gösteren Eduard Helly tarafından kanıtlandı . Helly bunu önce tek boyutlu bir uzantının var olduğunu kanıtlama tekniğiyle (doğrusal fonksiyonelin etki alanını bir boyut genişlettiği yerde) ve ardından tümevarım kullanarak yaptı . 1927'de Hahn, genel Banach uzaylarını tanımladı ve Helly'nin tekniğini, Banach uzayları için Hahn-Banach teoreminin normu koruyan bir versiyonunu kanıtlamak için kullandı (burada bir alt uzayda sınırlı bir doğrusal fonksiyonel, tüm uzaya aynı normun sınırlı bir doğrusal uzantısına sahiptir). 1929'da, Hahn'ın sonucundan habersiz olan Banach, normu koruyan versiyonu, sublinear fonksiyonları kullanan baskın uzantı versiyonuyla değiştirerek genelleştirdi . Helly'nin ispatında matematiksel tümevarım kullanılırken, Hahn ve Banach'ın ikisi de transfinit tümevarım kullandı .

Hahn-Banach teoremi, sonsuz lineer denklem sistemlerini çözme girişimlerinden ortaya çıktı. Bu, bir fonksiyonun tüm potansiyel momentleri verildiğinde, bu momentlere sahip bir fonksiyonun var olup olmadığını belirlemeli ve varsa, onu bu momentler cinsinden bulmalı , moment problemi gibi problemleri çözmek için gereklidir . Bu tür başka bir problem, Fourier kosinüs serisi problemidir; burada, tüm potansiyel Fourier kosinüs katsayıları verildiğinde, kişinin bu katsayılara sahip bir fonksiyonun var olup olmadığını belirlemesi ve varsa tekrar bulması gerekir.

Riesz ve Helly, belirli uzay sınıfları ( L p ([0, 1]) ve C([ a , b ]) gibi) için problemi çözdüler ve burada bir çözümün varlığının, uzayın varlığına ve sürekliliğine eşdeğer olduğunu keşfettiler. bazı lineer fonksiyoneller. Aslında, aşağıdaki sorunu çözmeleri gerekiyordu:

( Vektör problemi ) Normlu bir X uzayında sınırlı lineer fonksiyonellerin bir koleksiyonu ve bir skalerler koleksiyonu verildiğinde , tüm iI için f i ( x ) = ci i olacak şekilde bir xX olup olmadığını belirleyin .

Eğer bu çözmek için, X ise dönüşlü sonra aşağıdaki ikili sorunun çözümü için yeterlidir:

( İşlevsel bir sorun , bir toplama Verilen) normlu alan vektörlerin X ve büzülmesi bir koleksiyon işlevsel doğrusal sınırlı olup olmadığını belirlemek f ile X öyle ki f ( x i =) C i tüm iI .

Riesz 1910'da L p ([0, 1]) ( 1 < p < ∞ ) ve 1913'te l p uzaylarını tanımlamaya devam etti. Bu uzayları araştırırken Hahn–Banach teoreminin özel bir durumunu kanıtladı. Helly ayrıca 1912'de Hahn-Banach teoreminin özel bir durumunu kanıtladı. 1910'da Riesz, bazı belirli uzaylar için fonksiyonel problemi çözdü ve 1912'de Helly daha genel bir uzay sınıfı için çözdü. 1932 yılına kadar Banach, Hahn-Banach teoreminin ilk önemli uygulamalarından birinde, genel fonksiyonel problemi çözmedi. Aşağıdaki teorem, genel fonksiyonel problemi belirtir ve çözümünü karakterize eder.

Teoremi  (işlevsel sorun)  -  Let X , gerçek veya karmaşık normlu alanı olması ı boş olmayan bir grubu, ( Cı- ı ) ıI skalerler ailesidir ve ( x i ) iı vektörlerin bir aile X .

Sürekli bir doğrusal fonksiyonel duyulmaktadır F ile X öyle ki f ( x i ) = C i tüm iI ve eğer bir orada var olduğu takdirde K > 0 öyle ki Skalerlerin herhangi bir seçim için ( s ı ) ıI burada tüm ama sonlu sayıda s i 0'dır, mutlaka

Hahn-Banach teoremini çıkarmak için yukarıdaki teoremi kullanabiliriz. Eğer X, dönüşlü, o zaman bu teoremi vektör sorunu çözer.

Hahn-Banach teoremi

Teorem (Hahn-Banach)  —  K'yi R veya C olarak ayarlayın ve X'in bir K -vektör uzayı olmasına izin verin . Eğer f  : MK , bir K- doğrusal alt uzayı M üzerinde bir K- doğrusal fonksiyonel ise ve p  : XR , negatif olmayan, alt-doğrusal bir fonksiyon ise,

| f ( m ) |     tüm mM için p ( m ) .

o zaman bir K -doğrusal F  : XK vardır, öyle ki

    tüm mM için F ( m ) = f ( m ) ,
| F ( x ) |     tüm xX için p ( x ) .

Uzatma F genelde olduğu benzersiz tarafından belirtilmemiş f ve kanıt bulmak için nasıl olarak hiçbir açık yöntem verir F .

Bu biraz üzerinde subadditivity durum dinlenmek mümkündür p sadece gerektiren, tüm bu x , yX ve skalerler bir ve b tatmin | bir | + | b | ≤ 1 ,

p ( ax + by ) ≤ | bir | p ( x )+ | b | p ( y ) .

Ayrıca, sadece p'nin dışbükey olmasını gerektirerek , p üzerindeki pozitif homojenliği ve alt-toplanabilirlik koşullarını gevşetmek de mümkündür .

Mizar projesi tamamen resmiyet ve otomatik HAHNBAN dosyasında Hahn-Banach teoremi kanıtını kontrol etti.

Kanıt

Karmaşık durumda, C- doğrusallık varsayımları , bazı gerçek vektör uzayı N için M = N + Ni olmasını gerektirir . Ayrıca, her bir vektör için xN , f ( ix ) = eğer ( x ) . Bu nedenle, bir lineer fonksiyonelin gerçek kısmı, bir bütün olarak lineer fonksiyonelin davranışını zaten belirler ve gerçek durumu kanıtlamak yeterli olacaktır.

İlk olarak, Helly ilk sonucunu not: eğer M sahiptir keyfi dik boyutlu 1, daha sonra Hahn-Banach kolaydır.

Lemma  (tek boyutlu hakim uzatma teoremi)  -  Let X gerçek vektör uzayı olmak s  : XR, bir sublinear fonksiyonu, f  : MR, bir doğrusal fonksiyonel bir doğru üzerinde vektör alt uzay MX , öyle ki öns üzerine M (yani, f ( m ) ≤ p ( m ) tüm mm ) ve XX bir vektör olup içinde m . Doğrusal bir uzantı vardır F  : ER xR, bir f için MR X = açıklık { M , X } şekilde Fs üzerine MR x .

Kanıt  —

Bu lemmayı kanıtlamak için m , nM olsun . Fonksiyonlarımızın doğrusallık özelliklerine göre,

p (− xn ) − f ( n ) ≤ p ( m + x ) − f ( m ) .

Özellikle, izin ver

ve
Ardından, herhangi bir ab için "belirleyici eşitsizlik" sonucuna varırız . O halde c ∈ [ a , b ] olsun ve F ( m + rx ) = f ( m ) + rc ; sonra
F ( m + rx ) ≤ p ( m ) + rcp ( m + rx )

Ters eşitsizlik benzerdir.

Şimdi Zorn'un lemmasını uygulayın : f'nin olası uzantıları kısmen birbirinin uzantısına göre sıralanmıştır, dolayısıyla bir maksimal uzantı F vardır . Kod boyutu-1 sonucuna göre, eğer F tüm X üzerinde tanımlı değilse , o zaman daha da genişletilebilir. Böylece F , iddia edildiği gibi her yerde tanımlanmalıdır.

Yerel dışbükey uzaylarda

Yukarıdaki formda, genişletilecek olan fonksiyon, hali hazırda bir alt-doğrusal fonksiyon tarafından sınırlandırılmış olmalıdır. Bazı uygulamalarda bu , soruyu sormaya yakın olabilir . Bununla birlikte, yerel dışbükey uzaylarda , herhangi bir sürekli işlevsel, zaten alt-doğrusal olan norm tarafından sınırlandırılmıştır . Biri böylece

Lokal konveks alanlar üzerinde sürekli uzantıları  -  Let X olduğu yerel dışbükey topolojik vektör uzayı içinde K (ya R ' ya da C ), M , bir vektör alt uzay X ve ön ile, bir devamlı doğrusal fonksiyonel M . O zaman f , X'in tümüne sürekli bir doğrusal uzantıya sahiptir . X üzerindeki topoloji bir normdan kaynaklanıyorsa, bu uzantı ile f'nin normu korunur.

Olarak kategori Teorik açıdan, alan K bir bir birebir bir amacı lokal konveks vektör uzayı kategorisinde.

seçim aksiyomu İlişkisi

Yukarıdaki ispat , seçim aksiyomuna eşdeğer olan Zorn lemmasını kullanır . Seçim aksiyomundan biraz daha zayıf olan ultrafiltre lemmasının (veya eşdeğeri, Boolean asal ideal teoremi ) şimdi (aşağıya bakınız) aslında yeterince güçlü olduğu bilinmektedir .

Hahn-Banach teoremi aşağıdakine eşdeğerdir:

(*): Her üzerinde Boole cebri B sabit olmayan bir sonlu katkı harita: bir "olasılık yükü" vardır B içine [0, 1] .

(Boolean asal ideal teoremi, yalnızca 0 ve 1 değerlerini alan sabit olmayan olasılık yüklerinin her zaman olduğu ifadesine eşdeğerdir.)

In Zermelo-Fraenkel seti teorisi , tek Hahn-Banach teoremi olmayan bir Lebesgue ölçülebilir seti varlığını türetmek için yeterli olduğunu gösterebilir. Ayrıca, Hahn-Banach teoremi Banach-Tarski paradoksunu ima eder .

İçin ayrılabilir Banach boşluklar , DK Brown ve SG Simpson Hahn-Banach teoremi WKL izler kanıtladı 0 , zayıf bir alt-sistemi , ikinci dereceden aritmetik bir şeklini alır König lemma bir belit ikili ağaçlara yazılmıştır. Aslında, zayıf bir varsayımlar kümesi altında, ikisinin eşdeğer olduğunu, tersine matematik örneği olduğunu kanıtlıyorlar .

"Geometrik Hahn-Banach" (Hahn-Banach ayırma teoremleri)

Hahn–Banach teoreminin temel öğesi temelde iki dışbükey kümenin ayrılmasıyla ilgili bir sonuçtur: {− p (− x - n ) − f ( n ): nM } ve { p ( m + x ) − f ( m ): mM }. Bu tür bir argüman dışbükey geometride , optimizasyon teorisinde ve ekonomide yaygın olarak görülür . Orijinal Hahn-Banach teoreminden türetilen bu amaca yönelik lemler, Hahn-Banach ayırma teoremleri olarak bilinir .

Teorem  -  Let X gerçek lokal konveks topolojik vektör uzayı olmak ve izin A ve B boş olmayan dışbükey alt kümeleri olsun. Eğer Int bir ≠ ∅ ve B ∩ Int A = ∅ sonra, bir devamlı doğrusal fonksiyonel vardır f ile X bu şekilde destek f ( A ) ≤ inf f ( B ) ve f ( a ) 'inf f ( B ) için tüm a ∈ Int A (böyle bir f mutlaka sıfır değildir).

Çoğu zaman dışbükey kümelerin ek yapıya sahip olduğu varsayılır; yani açık veya kompakt olmaları . Bu durumda, sonuç önemli ölçüde güçlendirilebilir:

Teoremi  -  Let X gerçek olması topolojik vektör uzayı ve tercih A , B ve boş olmayan ayrık alt kümelerini konveks X .

  • Eğer bir daha sonra açık olan bir ve B olan bir (kapalı) hiper ayrılmış . Açıkça, bu, f  : XK ve sR sürekli doğrusal bir haritanın var olduğu anlamına gelir, öyle ki f ( a ) < sf ( b ) tüm aA , bB için . Hem Eğer A ve B sonra açık olan sağ taraf yanı sıkı alınabilir.
  • Eğer X, lokal konveks olan, bir kompakt, ve B , kapalı sonra bir ve B olan katı ayrıldı : bir sürekli lineer harita vardır f  : XK ve s , tR, öyle ki f ( a ) ' t < s < f ( b ) tüm aA , bB için .

Eğer X, karmaşık, daha sonra aynı istemler tutmamaktadır, ancak için gerçek parçanın arasında f .

Önemli bir sonuç, Geometrik Hahn-Banach teoremi veya Mazur teoremi olarak bilinir .

Teorem (Mazur)  —  M , X topolojik vektör uzayının bir vektör alt uzayı olsun . Varsayalım K olmayan bir boş konveks bir biçimde açık bir alt kümesi olup , X ile KM ∅ = . Daha sonra , M içeren , ancak K'den ayrık kalan kapalı bir hiperdüzlem (ko-boyut-1 vektör alt uzayı) NX vardır .

Mazur teoreminin Hahn-Banach ayırma teoremlerinden çıktığını görmek için M'nin dışbükey olduğuna dikkat edin ve ilk maddeyi uygulayın. Mazur teoremi, vektör alt uzaylarının (kapalı olmayanlar bile) lineer fonksiyonellerle karakterize edilebileceğini açıklar.

Sonuç  (bir alt uzay Ayrılması ve açık dışbükey grubu)  -  Let X bir yerel dışbükey vektör uzayı olmak M bir vektör alt uzay ve U dışbükey alt kümesi, ayrık boş olmayan bir açık konumdan M . Daha sonra, bir devamlı doğrusal fonksiyonel vardır f ile X şekilde f ( m ) = 0 tüm mM ve Re f > 0 ile U

Destekleyen hiper düzlemler

Noktalar önemsiz bir şekilde dışbükey olduğundan , geometrik Hahn-Banach, fonksiyonellerin bir kümenin sınırını tespit edebileceğini ima eder . Özellikle, X bir gerçek topolojik vektör uzayı ve AX , Int A ≠ ∅ ile dışbükey olsun . Eğer o zaman en kaybolan olduğunu işlevsel olduğu bir 0 , fakat iç desteklenir A .

Normlu uzay Çağrı X pürüzsüz her noktasında eğer x onun birim topu birim topu benzersiz kapalı altdüzlem vardır x . Köthe 1983'te normlu bir uzayın x noktasında düzgün olduğunu, ancak ve ancak normun bu noktada Gateaux türevlenebilir olması durumunda gösterdi .

Dengeli veya diskli mahalleler

Let , U bir dışbükey dengeli bir 0'a mahalle yerel dışbükey topolojik vektör alan X ve varsayalım xX, bir unsuru değildir U . O zaman X üzerinde sürekli bir lineer fonksiyonel f vardır , öyle ki

destek | f ( U ) | ≤ | f ( x ) | .

Uygulamalar

Hahn-Banach teoremi, fonksiyonel analizde önemli bir felsefenin ilk işaretidir : Bir uzayı anlamak için, onun sürekli fonksiyonellerini anlamak gerekir .

Örneğin, lineer alt uzayları fonksiyonellerin ile karakterize edilir: eğer X, doğrusal bölme odası ile normlu vektör alanıdır M (mutlaka kapatılmamış) ve eğer z bir elemanıdır X değil kapağın arasında M , daha sonra, bir devamlı doğrusal harita vardır f  : XK ile ön ( x ) = 0 tüm x olarak M , f ( z ) = 1 , ve || f || = uzak( z , M ) -1 . (Bu not görmek için damıtılmış (·, E) ., Bir sublinear fonksiyonudur) Ayrıca, eğer z bir elemanıdır X , daha sonra, bir devamlı doğrusal harita vardır f  : XK şekilde f ( Z ) = || z || ve || f || ≤ 1 . Bu, normlu bir X uzayından çift ​​dual V'' içine doğal enjeksiyon J'nin izometrik olduğu anlamına gelir.

Bu son sonuç aynı zamanda Hahn-Banach teoreminin çalışacağı "daha güzel" bir topoloji bulmak için sıklıkla kullanılabileceğini de gösteriyor. Örneğin, fonksiyonel analizdeki birçok sonuç, bir uzayın Hausdorff veya yerel olarak dışbükey olduğunu varsayar . Bununla birlikte, X'in bir topolojik vektör uzayı olduğunu, mutlaka Hausdorff veya yerel olarak dışbükey olmadığını , ancak boş olmayan, uygun, dışbükey, açık bir M kümesine sahip olduğunu varsayalım . O zaman geometrik Hahn-Banach, M'yi herhangi bir başka noktadan ayıran bir hiperdüzlem olduğunu ima eder . Özellikle, X üzerinde sıfırdan farklı bir işlevsellik bulunmalıdır - yani, X * sürekli ikili uzayı önemsiz değildir. X * tarafından indüklenen zayıf topolojiye sahip X düşünüldüğünde , X yerel olarak dışbükey olur; geometrik Hahn-Banach'ın ikinci mermisiyle, bu yeni uzaydaki zayıf topoloji noktaları ayırır . Böylece bu zayıf topoloji ile X , Hausdorff olur . Bu bazen yerel dışbükey topolojik vektör uzaylarından bazı sonuçların Hausdorff olmayan ve yerel olmayan dışbükey uzaylara uygulanmasına izin verir.

Kısmi diferansiyel denklemler

Hahn-Banach teoremi, önsel tahmin yöntemini uygulamak istendiğinde genellikle yararlıdır . Farz edelim ki , u için Pu = f lineer diferansiyel denklemini , bir X Banach uzayında verilen f ile çözmek istiyoruz . Biz büyüklüğüne denetim varsa u açısından ve biz düşünebiliriz u bir test fonksiyonları bazı uygun alanı işlevsel doğrusal sınırlı olarak g , o zaman görebilirsiniz f ilave edilmesiyle bir lineer fonksiyonel olarak: . İlk başta, bu işlevsel yalnızca P'nin görüntüsünde tanımlanır , ancak Hahn–Banach teoremini kullanarak, onu X kod alanının tamamına genişletmeyi deneyebiliriz . Ortaya çıkan fonksiyonel genellikle denklemin zayıf bir çözümü olarak tanımlanır .

Dönüşlü Banach uzaylarını karakterize etme

Teoremi  -  Gerçek Banach alandır dönüşlü boş olmayan ayrık her çifti sınırlanan biri dışbükey alt kümelerini, kapalı halinde ve sıkı bir şekilde bir hiper ile ayrılabilir ise.

Fredholm teorisinden örnek

Hahn-Banach teoreminin gerçek bir uygulamasını göstermek için, şimdi neredeyse tamamen Hahn-Banach teoreminden çıkan bir sonucu kanıtlayacağız.

Önerme  -  Varsayalım X alanın üzerine lokal bir Haussdorf dışbükey TVS olan K ve Y bir vektör alt uzay olduğunu X TVS-izomorftur K I bazı set için ben . O halde Y , X'in kapalı ve tümleyen bir vektör alt uzayıdır .

Kanıt  —

Yana K ı tam bir TVS olduğunu böyledir Y ve Haussdorf TVS herhangi bir tam alt kümesi kapalı olduğundan beri Y'nin kapalı alt kümesidir X . Let f (= f ı ) iI  : YK I TVS izomorfizm olabilir, bu nedenle, her f i  : YK işlevsel doğrusal sürekli örten. Hahn-Banach tarafından, her uzatabilir f i , bir devamlı doğrusal fonksiyonel için F ı  : XK ile X . Let F  (=: F i ) iI  : XK I böylece F , bir devamlı doğrusal örten böyle için, kendi restriksiyon olduğu Y olan K | Y = ( F ben | Y ) benben = ( f ben ) benben = f . P  := f −1F  : XY tanımlarsak , bu sürekli lineer haritanın Y kısıtlaması P | Y  : YY kimlik haritasıdır 1 Y üzerinde Y için, P | Y = f -1F | Y = f -1f = 1 Y . Dolayısıyla özellikle P , Y üzerine sürekli bir doğrusal izdüşümdür (yani PP = P ). Böylece Y , X'de ve X = Y ⊕ ker P'de TVS kategorisinde tamamlanır. ∎

Bir her kapalı vektörü alt uzay göstermek için yukarıdaki örneği kullanabilir R , N ya sonlu boyutlu ya da TVS izomorfik tamamlanmaktadır ve R, N .

genellemeler

Genel şablon

Hahn-Banach teoreminin artık birçok başka versiyonu var. Bu makalede sunulan Hahn-Banach teoreminin çeşitli sürümleri için genel şablon aşağıdaki gibidir:

X, bir vektör alanıdır, s a, sublinear fonksiyonu ile ilgili X (muhtemelen bir seminorm ), E bir vektör alt uzay olan X (muhtemelen kapalı), ve f bir doğrusal işlevsel E tatmin | f | ≤ p on M (ve muhtemelen diğer bazı koşullar). Bir sonra doğrusal bir uzantısı var olduğu sonucuna F ait f için X öyle ki | F | ≤ p on X (muhtemelen ek özelliklerle).

Seminormlar için

Yarınorm Hahn-Banach  -  Eğer M bir vektör alt uzay olan X , p bir seminorm olan M ve q bir seminorm olan X , öyle ki pq | M , o zaman X üzerinde bir seminorm P vardır , öyle ki P | M = p ve Pq .

Bir kanıt aşağıdaki gibi çalışır:

Lemma  -  Let M bir ya da kompleks vektör uzayı bir vektör alt uzayı X izin D bir olmak emici bir disk olarak X ve izin ön üzerinde lineer, fonksiyonel olarak M , öyle ki | f | MD üzerinde ≤ 1 . O zaman , f'yi genişleten X üzerinde doğrusal bir fonksiyonel F vardır , öyle ki | F | ≤ 1 D üzerinde .

izin S dışbükey gövde olmak { mE  : p ( x ) ≤ 1} ∪ { xX  : q ( X ) ≤ 1} . Not, S bir bir emici diski içinde , X , ve çağrı Minkowsky fonksiyonel q . O zaman M üzerinde p = P ve X üzerinde Pq .

geometrik ayırma

Hahn-Banach sandviç teoremi  -  Let S gerçek vektör uzayı herhangi alt kümesi X edelim s üzerinde bir sublinear fonksiyonu X ve izin f  : SR olmak herhangi haritası. Tüm x , yS için a ve b pozitif sayıları varsa ,

Daha sonra lineer fonksiyonel vardır F ile X bu şekilde Fp ile X ve mF ile G .

Maksimum doğrusal uzatma

Teoremi  (Andenaes, 1970)  -  Let M gerçek vektör uzayı bir vektör alt uzayı X , s üzerinde sublinear fonksiyonu olabilir , X , m üzerinde bir lineer fonksiyonel M şekilde öns üzerine M ve izin S herhangi bir alt kümesi olması X . Sonra bir lineer, fonksiyonel var F ile X uzanan f , tatmin F ile ≤ p X ve aşağıdaki anlamda (noktasal) maksimumdur: eğer G üzerinde bir lineer fonksiyonel X uzanan f ve tatmin edici Gp ile X , daha sonra GF anlamına gelir G = F ile G .

Vektör değerli Hahn–Banach

Teoremi  -  Let X ve Y, aynı alan üzerinde vektör uzayı olabilir, E bir vektör alt uzayı X ve f  : MY doğrusal harita olabilir. O zaman , f'yi genişleten doğrusal bir F  : XY haritası vardır .

Doğrusal olmayan fonksiyonlar için

Mazur-Orlicz'in (1953) aşağıdaki teoremi Hahn-Banach teoremine eşdeğerdir.

Mazur-Orlicz teoremi  -  Let T herhangi bir set olmak r  : tR be herhangi bir gerçek değerli harita, X, bir ya da kompleks vektör uzayı olmak v  : TX, herhangi bir harita olabilir ve s üzerinde sublinear fonksiyonu X . O zaman aşağıdakiler eşdeğerdir:

  1. Orada var olan bir gerçek değerli işlevsel doğrusal F ile X bu şekilde Fs ile X ve RFv ile T ;
  2. herhangi bir pozitif tam sayı için n , herhangi bir dizi s 1 , ..., s , n negatif olmayan gerçek sayılar ve herhangi bir dizi t 1 , ..., t , n elemanlarının T ,

Aşağıdaki teorem , X üzerindeki herhangi bir skaler fonksiyonun (mutlaka lineer olması gerekmez), X'in tümüne sürekli bir lineer uzantıya sahip olduğunu karakterize eder .

Teorem  (Genişletme ilkesi)  —  Bir topolojik vektör uzayı X'in bir alt kümesi S üzerinde skaler değerli bir fonksiyon f olsun . Daha sonra, bir devamlı doğrusal fonksiyonel vardır F ile X uzanan f sürekli seminorm vardır, ancak ve ancak p ile X şekildedir

tüm pozitif tam sayılar n ve tüm sonlu diziler için ( a i )n
ben =1
skaler ve elemanlar ( s i )n
ben =1
ve S .

sohbet

Let X'in bir topolojik vektör uzayı. Bir vektör, alt uzay M arasında X sahip uzatma özelliği üzerinde herhangi bir sürekli doğrusal fonksiyonel eğer M sürekli bir doğrusal fonksiyonel uzatılabilir X , ve söylemek X yer alır , Hahn-Banach genişleme özelliğini ( HBEP her vektör alt uzay ise) X yer alır uzatma özelliği.

Hahn-Banach teoremi, her Hausdorff yerel dışbükey uzayının HBEP'ye sahip olduğunu garanti eder. Tam metriklenebilir topolojik vektör uzayları için Kalton'a bağlı olarak bir tersi vardır: Hahn-Banach uzatma özelliğine sahip her tam metriklenebilir TVS yerel olarak dışbükeydir. Öte yandan, en iyi vektör topolojisine sahip, sayılamayan boyutta bir vektör uzayı X , o zaman bu, ne yerel olarak dışbükey ne de ölçülebilir olmayan Hahn-Banach uzatma özelliğine sahip bir topolojik vektör uzayıdır.

Bir vektör alt uzay M TVS arasında X sahip ayırma özelliği , her eleman için, eğer X , öyle ki xM , sürekli bir doğrusal fonksiyonel vardır f ile X şekilde f ( x ) ≠ 0 ve f ( m ) = 0 , tüm için mM . Açıkça, bir TVS X'in sürekli ikili uzayı, yalnızca ve ancak { 0 } ayırma özelliğine sahipse X üzerindeki noktaları ayırır . 1992 yılında, KAKOL bir sonsuz boyutlu vektör uzayı kanıtladı X hakkında TVS-topolojileri orada mevcut X ayrı noktalarına sürekli çift alanı için yeterli sürekli lineer fonksiyonellerin olmasına rağmen HBEP yok X . Bununla birlikte, X, TVS o zaman her vektör alt uzay X uzantısı özelliği ancak ve ancak her vektör alt uzay X ayırma özelliğine sahiptir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

bibliyografya