Spektrum (fonksiyonel analiz) - Spectrum (functional analysis)

Gelen matematik , özellikle de fonksiyonel analiz , spektrum a sınırlı lineer operatörü (ya da daha genel olarak, bir sınırsız lineer operatörü ) kümesinin bir genellemedir eigen a matris . Spesifik olarak, bir karmaşık sayı λ bir sınırlı lineer operatör spektrumunda olduğu söylenir T ise değildir tersi burada, I olan kimlik belgesi . Spektrum ve ilgili özelliklerin incelenmesi , çok sayıda uygulamaya sahip olan, özellikle kuantum mekaniğinin matematiksel formülasyonu olan spektral teori olarak bilinir . ${\displaystyle T-\lambda I}$

Sonlu boyutlu bir vektör uzayındaki bir operatörün spektrumu tam olarak özdeğerler kümesidir. Ancak sonsuz boyutlu uzayda bir operatör, spektrumunda ek elemanlara sahip olabilir ve özdeğerleri olmayabilir. Örneğin , Hilbert uzayı ℓ ² üzerinde sağa kaydırma operatörü R'yi düşünün ,

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots).}$

Bunun özdeğeri yoktur, çünkü eğer Rx = λx ise bu ifadeyi genişleterek x ₁ =0, x ₂ =0, vb. olduğunu görürüz . Öte yandan, 0 tayftadır çünkü R  − 0 operatörü (yani R'nin kendisi) ) ters çevrilemez: ilk bileşeni sıfır olmayan herhangi bir vektör kendi aralığında olmadığı için surjective değildir. Aslında karmaşık bir Banach uzayındaki her sınırlı lineer operatör, boş olmayan bir spektruma sahip olmalıdır.

Spektrum kavramı, sınırsız (yani zorunlu olarak sınırlı olmayan) operatörlere kadar uzanır . Bir kompleks sayı λ söylenen sınırsız bir operatör spektrumunda olduğu alan ile tanımlanan bir sınırlı ters varsa bütün tanımlanan durumunda T olduğu kapalı (durum içeren T sınırlanan) sınırlılık, otomatik olarak aşağıdaki onun varoluş. ${\görüntüleme stili T:\,X\to X}$${\ Displaystyle D(T)\subseteq X}$${\ Displaystyle (T-\lambda I)^{-1}:\,X\to D(T)}$${\görüntüleme stili X.}$${\ Displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$

Bir Banach uzayı X üzerindeki sınırlı lineer operatörler B ( X ) uzayı , bir birimsel Banach cebirinin bir örneğidir . Spektrum tanımı, bu tür herhangi bir cebirin sahip olduğu özellikler dışında B ( X )' in herhangi bir özelliğinden bahsetmediğinden, spektrum kavramı aynı tanım kelimesi kelimesine kullanılarak bu bağlamda genelleştirilebilir.

Sınırlı bir operatörün spektrumu

Tanım

Let bir olmak sınırlı lineer operatör Banach uzayında hareket eden karmaşık skaler alanın üzerine ve olmak kimlik operatörü üzerinde . Tayfı ait tüm dizi operatörün olan sınırlı bir doğrusal operatörü bir ters bulunmamaktadır. ${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili T}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle T-\lambda I}$

İtibaren doğrusal operatörüdür, ters varsa doğrusal olduğu; ve sınırlı ters teorem ile sınırlıdır. Bu nedenle, spektrum tam bu skalerler oluşur olan değil örten . ${\displaystyle T-\lambda I}$${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle T-\lambda I}$

Belirli bir operatörün spektrumu genellikle belirtilir ve tamamlayıcısı olan çözücü kümesi gösterilir . ( bazen spektral yarıçapı belirtmek için kullanılır ) ${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili \sigma (T)}$${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$${\görüntüleme stili \rho (T)}$${\görüntüleme stili T}$

özdeğerlerle ilişkisi

Eğer bir özdeğeridir , daha sonra operatör bire bir değildir ve bu nedenle, ters tanımlanmamıştır. Bununla birlikte, ters ifade doğru değildir: operatörün bir özdeğeri olmasa bile tersi olmayabilir . Bu nedenle, bir operatörün spektrumu her zaman tüm özdeğerlerini içerir, ancak bunlarla sınırlı değildir. ${\ Displaystyle \ lambda }$${\görüntüleme stili T}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\ Displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\ Displaystyle \ lambda }$

Örneğin, tüm iki sonsuz gerçek sayı dizilerinden oluşan Hilbert uzayını düşünün.${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )}$

sonlu bir kareler toplamına sahip olan . İki taraflı kayma operatörün sadece bir konum dizisinin her eleman değiştirir; yani her tamsayı için if o zaman . Özdeğer denkleminin bu uzayda hiçbir çözümü yoktur, çünkü tüm değerlerin aynı mutlak değere sahip olduğunu (if ) veya geometrik bir ilerleme (if ) olduğunu ima eder ; her iki durumda da karelerinin toplamı sonlu olmayacaktır. Ancak, eğer operatör tersine çevrilemez . Örnek olarak, dizilimin bu şekilde olduğu ; ama herhangi bir dizi olduğu de olduğu gibi (vardır tüm ). ${\textstyle \sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}}$${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili u=T(v)}$${\displaystyle u_{i}=v_{i-1}}$${\görüntüleme stili ben}$${\displaystyle T(v)=\lambda v}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle \vert \lambda \vert =1}$${\displaystyle \vert \lambda \vert \neq 1}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle |\lambda |=1}$${\görüntüleme stili u}$${\displaystyle u_{i}=1/(|i|+1)}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$${\görüntüleme stili v}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$${\görüntüleme stili (TI)v=u}$${\displaystyle v_{i-1}=u_{i}+v_{i}}$${\görüntüleme stili ben}$

Temel özellikler

Bir sınırlı operatör T'nin spektrumu her zaman karmaşık düzlemin kapalı , sınırlı ve boş olmayan bir alt kümesidir .

Spektrum boşsa, çözücü işlevi

${\displaystyle R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathbb {C} ,}$

karmaşık düzlemde her yerde tanımlanacak ve sınırlandırılacaktır. Ama resolvent fonksiyonu olduğu gösterilebilir R ise holomorfik kendi etki alanında. Liouville teoreminin vektör değerli versiyonuna göre , bu fonksiyon sabittir, dolayısıyla sonsuzda sıfır olduğu için her yerde sıfırdır. Bu bir çelişki olacaktır.

Spektrumun sınırlılık izler Neumann serileri genişlemesi olarak X ; spektrum σ ( T ) || ile sınırlıdır. T ||. Benzer bir sonuç, spektrumun kapalı olduğunu gösterir.

bağlı || T || spektrumda biraz rafine edilebilir. Spektral yarıçapı , R ( T ) 'in T merkezi orijinde ve spektrum içeren kompleks bir düzlemde en küçük dairenin yarıçapıdır σ ( T ) bunun içinde, yani,

${\displaystyle r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}.}$

Spektral yarıçapı formülü herhangi bir element söylüyor a Banach cebir , ${\görüntüleme stili T}$

${\displaystyle r(T)=\lim _{n\to \infty }\left\|T^{n}\sağ\|^{1/n}.}$

Sınırsız bir operatörün spektrumu

Bir Banach uzayı X üzerindeki sınırsız operatörlere spektrum tanımı genişletilebilir . Artık Banach cebirinde B ( X ) öğesi olmayan bu operatörler .

Tanım

Let X bir Banach uzayı olmak ve bir olmak lineer operatör etki alanında tanımlı . Karmaşık bir λ sayısının , operatörün if çözümleyici kümesinde ( düzenli küme olarak da adlandırılır ) olduğu söylenir.${\görüntüleme stili T:\,X\to X}$${\ Displaystyle D(T)\subseteq X}$${\görüntüleme stili T}$

${\displaystyle T-\lambda I:\,D(T)\to X}$

sınırlı her yerde tanımlı bir tersi vardır, yani sınırlı bir operatör varsa

${\displaystyle S:\,X\sağ ok D(T)}$

öyle ki

${\displaystyle S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}.}$

Bir kompleks sayı λ içinde daha sonra spektrumu ise λ çözücü grubu değildir.

İçin λ (yani değil spektrumda) Resolvent olmak, sadece sınırlı durumda olduğu gibi, bu iki taraflı ters olması gerektiğinden, bijective olmalıdır. Daha önce olduğu gibi, eğer bir tersi varsa, o zaman doğrusallığı dolaysızdır, ancak genel olarak sınırlı olmayabilir, bu nedenle bu koşul ayrıca kontrol edilmelidir. ${\displaystyle T-\lambda I}$

Tarafından kapalı grafik teoremi , sınırlılığı etmez zaman varlığını şirketinden izleyin , T bir kapalı . O halde, tıpkı sınırlı durumda olduğu gibi, bir λ karmaşık sayısı, yalnızca ve ancak bijektif değilse , kapalı bir T operatörünün spektrumunda yer alır . Kapalı işleçler sınıfının tüm sınırlı işleçleri içerdiğine dikkat edin. ${\ Displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

Temel özellikler

Sınırsız bir operatörün spektrumu genellikle karmaşık düzlemin kapalı, muhtemelen boş bir alt kümesidir. T operatörü kapalı değilse , o zaman . ${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} }$

Spektrumdaki noktaların sınıflandırılması

Bir Banach uzayında sınırlı bir T operatörü tersinirdir, yani ancak ve ancak T aşağıda sınırlıysa ve yoğun aralığa sahipse sınırlı bir tersi vardır. Buna göre, T spektrumu aşağıdaki bölümlere ayrılabilir:

1. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$eğer üstten sınırlıdır edilmez. Özellikle, bu durum, injektif değilse, yani λ bir özdeğerdir. Özdeğerler grubu olarak adlandırılan nokta spektrumunu arasında T ve ile gösterilen σ _p ( t ). Alternatif olarak, bire bir olabilir , ancak yine de aşağıda sınırlı değildir. Böyle bir λ bir özdeğer değil, yine de T'nin yaklaşık bir özdeğeridir (özdeğerlerin kendileri de yaklaşık özdeğerlerdir). Yaklaşık özdeğerler kümesi (nokta spektrumunu içerir), T'nin yaklaşık nokta spektrumu olarak adlandırılır ve σ _ap ( T ) ile gösterilir.${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle T-\lambda I}$
2. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$eğer yoğun bir aralık bulunmuyor. Bu tür grubu X olarak adlandırılan sıkıştırma spektrumu ve T ile gösterilen, . Eğer yoğun bir aralığı vardır, ancak birebirdir etmez, λ içinde olduğu söylenen artık spektrum bölgesinin T ile gösterilen, .${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {res} }(T)}$

Yaklaşık nokta tayfı ve artık tayfın mutlaka ayrık olmadıklarına dikkat edin (ancak nokta tayfı ve artık tayf ayrıdır).

Aşağıdaki alt bölümler, yukarıda çizilen σ ( T ) 'nin üç bölümü hakkında daha fazla ayrıntı sağlar .

nokta spektrumu

Bir operatör injektif değilse (yani T ( x ) = 0 olan sıfırdan farklı bir x vardır ), o zaman açıkça ters çevrilemez değildir. Dolayısıyla, λ , T'nin bir özdeğeriyse , mutlaka λ  ∈  σ ( T ) vardır. T'nin özdeğerler kümesi , aynı zamanda , σ _p ( T ) ile gösterilen , T'nin nokta spektrumu olarak da adlandırılır .

Yaklaşık nokta spektrumu

Daha genel olarak, sınırlı ters teorem ile T , aşağıda sınırlı değilse, tersine çevrilemez; yani, eğer c  > 0 yoksa || Tx || ≥  c || x || tüm x ∈ X için . Tayfı kümesi içerir Bu nedenle yaklaşık eigen olanlardır, λ böyle T - λI altında sınırlı değildir; eşdeğer olarak, x ₁ , x ₂ , … birim vektörleri dizisinin bulunduğu λ kümesidir.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0}$.

Yaklaşık özdeğerler kümesi yaklaşık nokta spektrumu olarak bilinir ve ile gösterilir . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ap} }(T)}$

Özdeğerlerin yaklaşık nokta spektrumunda olduğunu görmek kolaydır.

Örneğin, tarafından tanımlanan R üzerinde sağa kaymayı düşünün : ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathbb {Z} ,}$

standart ortonormal taban nerede . Doğrudan hesaplama, R'nin özdeğeri olmadığını, ancak her λ'nın | λ | = 1 yaklaşık bir özdeğerdir; izin x _n vektör ${\displaystyle {\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1- n},0,\noktalar )}$

şunu görebiliriz || x _n || tüm n için = 1 , ancak

${\displaystyle \|Rx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0.}$

Yana R, üniter bir operatör birim çember üzerinde spektrumu yalan. Bu nedenle, R'nin yaklaşık nokta spektrumu , onun tüm spektrumudur.

Bu sonuç, daha genel bir operatör sınıfı için de geçerlidir. Üniter bir operatör normaldir . Tarafından spektral teoremi , Hilbert alan H ile sınırlı operatör normal olup olmadığını ve (tanımlanmasından sonra denk olması durumunda , H , bir ile bir boşluk) ve • çarpma operatörü . Sınırlı çarpma operatörünün yaklaşık nokta spektrumunun, spektrumuna eşit olduğu gösterilebilir. ${\ Displaystyle L^{2}}$

sürekli spektrum

Tüm grubu X olan birebirdir ve yoğun aralığı vardır, ama örten değil, adı sürekli spektrum bölgesinin T ile gösterilen, . Bu nedenle sürekli spektrum, özdeğer olmayan ve artık spektrumda yer almayan yaklaşık özdeğerlerden oluşur. Yani, ${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathbb {c} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))}$.

Örneğin , , , , eklidir ve henüz yoğun bir aralığa sahiptir . Gerçekten de, birlikte böyle bir mutlaka yok o zaman, ve . ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j}/j}$${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathrm {Ran} (A)\subsetneq l^{2}(\mathbb {N} )}$${\textstyle x=\sum _{j\in \mathbb {N} }c_{j}e_{j}\in l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle c_{j}\in \mathbb {C} }$${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|c_{j}|^{2}<\infty }$${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }\left|jc_{j}\sağ|^{2}<\infty }$${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\notin l^{2}(\mathbb {N} )}$

Sıkıştırma spektrumu

Grubu için yoğun aralığı olarak da bilinir olmayan sıkıştırma spektrum bölgesinin T ve ile gösterilir . ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$

artık spektrum

Grubu olan birebirdir ancak yoğun aralığı olarak da bilinir bulunmamaktadır elde edilen kalıntı sinyali arasında T ve ile gösterilir : ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T).}$

Bir operatör injektif olabilir, hatta aşağıda sınırlı olabilir, ancak yine de tersine çevrilemez. , , , üzerinde sağa kaydırma böyle bir örnektir. Bu değişim operatör olan izometrisi nedenle 1. aşağıda sınırlanmış, Ama buna (surjective olmadığı için tersine çevrilemez ) ve dahası yoğun değildir ( ). ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle e_{1}\değil \mathrm {Ran} (R)}$${\displaystyle \mathrm {Ran} (R)}$${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle e_{1}\notin {\overline {\mathrm {Ran} (R)}}}$

periferik spektrum

Bir operatörün çevresel spektrumu, spektrumundaki modülüs spektral yarıçapına eşit olan noktaların kümesi olarak tanımlanır.

ayrık spektrum

Ayrık spektrumu grubu olarak tanımlanır normal özdeğerler . Eşdeğer olarak, karşılık gelen Riesz projektörü sonlu sırada olacak şekilde spektrumun izole edilmiş noktaları kümesi olarak karakterize edilebilir .

temel spektrum

Aşağıdakileri karşılayan kapalı yoğun tanımlanmış doğrusal operatörün temel spektrumunun beş benzer tanımı vardır:${\ Displaystyle A:\,X\to X}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}( A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).}$

Tüm bu spektrumlar , kendine eşlenik operatörler durumunda çakışmaktadır. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A),\ 1\leq k\leq 5}$

1. Temel spektrum , spektrumun yarı Fredholm olmayan noktaları kümesi olarak tanımlanır . ( Aralığı kapalıysa ve çekirdeği veya çok çekirdeği (veya her ikisi) sonlu boyutluysa operatör yarı Fredholm'dur .) Örnek 1: operatör için , (çünkü bu operatörün aralığı kapalı değildir: aralık değişmez kapatılmasına rağmen hepsini içerir ). Örnek 2: for , for any (çünkü bu operatörün hem çekirdeği hem de çok çekirdeği sonsuz boyutludur).${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)}$${\displaystyle N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle N:\,v\mapsto 0}$${\displaystyle v\in l^{2}(\mathbb {N} )}$
2. Temel spektrum , operatörün sonsuz boyutlu çekirdeğe veya kapalı olmayan bir aralığa sahip olduğu spektrumun noktaları kümesi olarak tanımlanır . Ayrıca açısından karakterize edilebilir Weyl kriter bir vardır: sekans alanı içinde X , öyle ki , ve böyle bir yakınsak içeren alt-dizisinin . Böyle bir diziye tekil dizi (veya tekil Weyl dizisi ) denir . Örnek: operatör için , eğer j çift ve zaman j tek (çekirdek sonsuz boyutlu olduğu; cokernel sıfır boyutlu). Bunu not edin .${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)}$${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle \Vert x_{j}\Vert =1}$${\textstyle \lim _{j\to \infty }\left\|(A-\lambda I)x_{j}\sağ\|=0,}$${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N}}}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)}$${\displaystyle B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}}$${\displaystyle e_{j}\mapsto 0}$${\displaystyle \lambda =0\değil \in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(B)}$
3. Temel spektrum , spektrumun Fredholm olmayan noktaları kümesi olarak tanımlanır . (Operatörü Fredholm . Yelpazesini kapalı olup, çekirdek ve cokernel iki sonlu boyutlu ise) Örnek: operatör için , (çekirdek sıfır boyutlu, cokernel sonsuz boyutludur). Bunu not edin .${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)}$${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)}$${\displaystyle J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}}$${\displaystyle \lambda =0\değil \in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(J)}$
4. Temel spektrum , Fredholm indeksi sıfır olmayan spektrumun noktaları kümesi olarak tanımlanır . Aynı zamanda , kompakt pertürbasyonlar tarafından korunan A spektrumunun en büyük parçası olarak da karakterize edilebilir . Diğer bir deyişle ; burada X üzerindeki tüm kompakt operatörlerin kümesini belirtir . Örnek: sağa kaydırma operatörü nerede , , for (çekirdeği sıfırdır, çok çekirdeği tek boyutludur). Bunu not edin .${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)}$${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle A-\lambda I}$${\textstyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$${\görüntüleme stili B_{0}(X)}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)}$${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1}}$${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \lambda =0\değil \in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(R)}$
5. Temel spektrum , çözücü seti ile kesişmeyen tüm bileşenlerinin birleşimidir . olarak da karakterize edilebilir . Örnek: operatörünü düşünün , için , . Çünkü biri var . ile herhangi biri için , aralığı yoğundur ancak kapalı değildir, bu nedenle birim diskin sınırı, temel spektrumun ilk tipindedir: . Herhangi biri için olan , kapalı bir aralığı, tek boyutlu bir çekirdek ve tek boyutlu cokernel vardır, bu yüzden , ancak için ; böylece, için . İki bileşeni vardır : ve . Bileşenin , çözücü seti ile kesişimi yoktur; tanım gereği, .${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (A)}$${\displaystyle \sigma (A)\setminus \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$
   ${\displaystyle T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}}$${\displaystyle j\neq 0}$${\displaystyle T:\,e_{0}\mapsto 0}$${\displaystyle \Vert T\Vert=1}$${\displaystyle \sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\görüntüleme stili |z|=1}$${\görüntüleme stili T-zI}$${\displaystyle \partial \mathbb {D} _{1}\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\görüntüleme stili |z|<1}$${\görüntüleme stili T-zI}$${\displaystyle z\in \sigma (T)}$${\displaystyle z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)=\partial \mathbb {D} _{1}}$${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|>1\}}$${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}}$${\displaystyle \{|z|<1\}}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\cup \{z\in \mathbb {C} :\,| z|<1\}=\{z\in \mathbb {C} :\,|z|\leq 1\}}$

Örnek: Hidrojen atomu

Hidrojen atomu, spektrumlarının farklı türde bir örneğini sağlar. Hamilton operatör hidrojen atomu , etki alanı ile, (kesikli spektruma özdeğerler ayrı bir kümesi vardır noktası spektrumu ile Bu durumda çakışır olarak, hesaplanabilmektedir sürekli spektrum içine gömülü bir özdeğerler vardır çünkü) Rydberg formül . Karşılık gelen özfonksiyonlarına özdurumlar veya bağlı durumlar denir . İyonizasyon işleminin nihai sonucu , spektrumun sürekli kısmı ile tanımlanır (çarpışma/iyonizasyon enerjisi "kuantize edilmez"), ile temsil edilir (aynı zamanda temel spektrum ile de örtüşür ). ${\displaystyle H=-\Delta -{\frac {Z}{|x|}}}$${\displaystyle Z>0}$${\displaystyle D(H)=H^{1}(\mathbb {R} ^{3})}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(H)}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(H)}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {devamı} }(H)=[0,+\infty )}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(H)=[0,+\infty )}$

Birleşik operatörün spektrumu

Let X bir Banach uzayı ve olmak bir kapalı lineer operatör yoğun etki alanı ile . Eğer X * ikili alanıdır X ve bir hermisyen eşlenik ait T , sonra ${\görüntüleme stili T:\,X\to X}$${\görüntüleme stili D(T)\alt küme X}$${\displaystyle T^{*}:\,X^{*}\to X^{*}}$

${\displaystyle \sigma (T^{*})={\overline {\sigma (T)}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\bar {z}}\in \sigma (T) )\}.}$

Ayrıca aşağıdaki argümanı da elde ederiz : X, izometrik olarak X** içine gömülür . Bu nedenle, çekirdeğindeki sıfır olmayan her öğe için, X**' de kaybolan sıfır olmayan bir öğe vardır . Böylece yoğun olamaz. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {r}}(T^{*})\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$

Ayrıca, eğer X dönüşlü ise, elimizde . ${\displaystyle {\overline {\sigma _{\mathrm {r}}(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {p}}(T)}$

Belirli operatör sınıflarının spektrumları

Kompakt operatörler

Eğer T a, kompakt operatör daha genel olarak, ya da, bir gereksiz operatör , o zaman bu, sıfır mümkündür, spektrum sayılabilir olduğu gösterilebilir yığılma noktası ve herhangi bir sıfırdan farklı olduğu λ spektrumda bir özdeğeridir.

Quasinilpotent operatörler

Sınırlı operatör olan yarınilpotent ise olarak (diğer bir deyişle, spektral yarıçapı ise A sıfıra eşit). Bu tür operatörler, koşulla eşdeğer olarak karakterize edilebilir. ${\ Displaystyle A:\,X\to X}$${\displaystyle \lVert A^{n}\rVert ^{1/n}\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \sigma (A)=\{0\}.}$

Böyle bir operatöre örnek olarak , for . ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}}$${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

Kendinden eşlenik operatörler

Eğer X, a, Hilbert uzayı ve T a, özeslenik'tir (ya da daha genel olarak, bir normal operatör ), daha sonra bilinen bir dikkate değer sonuç, spektral teoremi , normal sonlu boyutlu operatörler için diyagonalleştirme teoreminin bir analog (Hermitsel matrisler verir , Örneğin).

Kendinden-eşlenik operatörler için, spektrumun kesinlikle sürekli, saf nokta ve tekil parçalara ayrışmasını tanımlamak için spektral ölçüler kullanılabilir .

Gerçek bir operatörün spektrumu

Resolvent ve spektrum tanımları herhangi bir sürekli doğrusal operatör için uzatılabilir Banah alanı etki eden , gerçek alan üzerinde (yerine karmaşık alanında onun üzerinden) karmaşıklaştırma . Bu durumda, çözücü kümesini tanımlayan tüm kümesi olarak böyle complexified alan üzerinde etki eden bir operatörü olarak tersinirdir ; sonra tanımlarız . ${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }}$${\görüntüleme stili \rho (T)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle T_{\mathbb {C} }-\lambda I}$${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} \setminus \rho (T)}$

gerçek spektrum

Gerçek spektrum , bir devamlı doğrusal operatörün gerçek Banach alan üzerine etki eden , belirtilen her bir kümesi olarak tanımlanır olan operatörler üzerine etki eden doğrusal sınırlı gerçek cebir tersinir olduğu başarısız . Bu durumda elimizde . Gerçek tayfın karmaşık tayfla çakışabileceğine veya çakışmayacağına dikkat edin. Özellikle, gerçek spektrum boş olabilir. ${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \sigma _{\mathbb {R} }(T)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$${\displaystyle T-\lambda I}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)}$

Tek bir Banach cebirinin spektrumu

B , bir e birimi içeren karmaşık bir Banach cebiri olsun . Sonra spektrumu tanımlayan σ ( x ) (ya da daha çok açık bir şekilde σ _B ( x , bir eleman)) x ve B , bu grubu olduğu karmaşık sayılar X olan ve sözkonusu peptidin  -  X de, ters çevrilemez B . Bu , B ( X ) bir Banach cebiri olduğundan , bir Banach uzayı X üzerindeki sınırlı doğrusal operatörler B ( X ) tanımını genişletir .

Ayrıca bakınız

• temel spektrum
• Ayrık spektrum (matematik)
• Kendinden eşlenik operatör
• sözde spektrum
• Çözücü seti

Referanslar

• Dales ve diğerleri, Banach Cebirlerine Giriş, Operatörler ve Harmonik Analiz , ISBN  0-521-53584-0
• "Bir operatörün spektrumu" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]