Sınırlı ters teorem - Bounded inverse theorem

Gelen matematik , teoremi ters sınırlanan (veya ters dönüşüm teoremi ) teorisinde bir sonucudur sınırlı lineer operatörler ile Banach boşluklar . Bu bildiren örten Sınırlı lineer T başka bir Banach alanı sınırlanmış gelen ters T ^-1 . Bu bir eşdeğer hem açık dönüşüm teoremi ve kapalı grafik teoremi .

Genelleme

Karşı örnek

Bu teorem, tam olmayan normlu uzaylar için geçerli olmayabilir. Örneğin, alan dikkate X, bir dizileri x  :  N  →  R ile donatılmış tek sonlu sayıda sıfır olmayan koşullar sup normunda . T  :  X  →  X haritası ,

${\ displaystyle Tx = \ sol (x_ {1}, {\ frac {x_ {2}} {2}}, {\ frac {x_ {3}} {3}}, \ noktalar \ sağ)}$

sınırlı, doğrusal ve ters çevrilebilir, ancak T ¹ sınırsızdır. Bu durum sınırlı ters teoremi çelişmediğini X'in değil tam ve böylece bir Banach uzayı değildir. Tam olmadığını görmek için, tarafından verilen x ^{( n )}  ∈  X dizilerinin sırasını düşünün.

${\ displaystyle x ^ {(n)} = \ sol (1, {\ frac {1} {2}}, \ noktalar, {\ frac {1} {n}}, 0,0, \ noktalar \ sağ) }$

olarak yakınsak N  → ∞ sekans x ^(∞) tarafından verilen

${\ displaystyle x ^ {(\ infty)} = \ sol (1, {\ frac {1} {2}}, \ noktalar, {\ frac {1} {n}}, \ noktalar \ sağ),}$

sıfır olmayan tüm terimlere sahip olan ve bu yüzden X'te yer almayan .

Tamamlanması X alanıdır bir (kapalı) alt kümesi olan sıfır, yakınsama bütün dizilerin ℓ _s alanı ℓ _∞ ( N , tüm sınırlı dizilerin alandır). Bununla birlikte, bu durumda, T haritası üzerinde değildir ve dolayısıyla bir eşleştirme değildir. Bunu görmek için, sıranın ${\ displaystyle c_ {0}}$

${\ displaystyle x = \ sol (1, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, \ noktalar \ sağ),}$

öğesinin bir öğesidir , ancak aralığında değildir . ${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle T: c_ {0} \ - c_ {0}}$

Ayrıca bakınız

• Neredeyse açık doğrusal harita
• Kapalı grafik  - Aynı zamanda ürün alanının kapalı bir alt kümesi olan bir işlevin grafiği
• Kapalı grafik teoremi
• Açık haritalama teoremi (fonksiyonel analiz)  - Sürekli bir doğrusal haritanın açık bir harita olması için koşullar veren teorem
• Fréchet uzaylarının Surjeksiyonu
• Perdeli alan

Referanslar

Kaynakça

• Köthe, Gottfried (1969). Ben Uzaylar . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159 . Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media tarafından çevrildi. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topolojik Vektör Uzayları . Saf ve uygulamalı matematik (İkinci baskı). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Kısmi diferansiyel denklemlere giriş . Uygulamalı Matematik 13 Metinleri (İkinci baskı). New York: Springer-Verlag. s.  356 . ISBN 0-387-00444-0. (Bölüm 8.2)
• Wilansky, Albert (2013). Topolojik Vektör Uzaylarında Modern Yöntemler . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .