Kolmogorov alanı - Kolmogorov space
Ayırma aksiyonları içinde topolojik boşluk | |
---|---|
Kolmogorov sınıflandırması | |
T 0 | (Kolmogorov) |
Ç 1 | (Fréchet) |
Ç 2 | (Hausdorff) |
T 2 ½ | (Urysohn) |
tamamen T 2 | (tamamen Hausdorff) |
Ç 3 | (normal Hausdorff) |
T 3½ | (Tychonoff) |
Ç 4 | (normal Hausdorff) |
Ç 5 | (tamamen normal Hausdorff) |
Ç 6 | (tamamen normal Hausdorff) |
Gelen topoloji ve ilgili dalları matematik bir topolojik alan X, a, T 0 boşluk veya Kolmogorov alanı (adını Andrey Kolmogorov ayrı noktalarının her çifti için ise) X bunlardan en az birinin bir sahiptir, mahalle diğer içermeyen. Bir T 0 uzayında tüm noktalar topolojik olarak ayırt edilebilir .
T 0 koşulu olarak adlandırılan bu durum , ayırma aksiyomlarının en zayıfıdır . Normalde matematikte çalışılan neredeyse tüm topolojik uzaylar T 0 uzaylarıdır. Özellikle, tüm T 1 uzayları , yani her bir çift ayrı nokta için her birinin diğerini içermeyen bir komşuluğa sahip olduğu tüm uzaylar T 0 uzaylarıdır. Bu, tüm T 2 (veya Hausdorff) uzaylarını , yani farklı noktaların ayrık komşuluklara sahip olduğu tüm topolojik uzayları içerir. Başka bir yönde, her ölçülü boşluk (T 1 olmayabilir ) T 0'dır ; bu, herhangi bir şemanın temelindeki topolojik uzayını içerir . Herhangi bir topolojik uzay göz önüne alındığında, topolojik olarak ayırt edilemeyen noktaları tanımlayarak bir T 0 uzayı inşa edilebilir .
T 1 boşlukları olmayan T 0 boşlukları, uzmanlaşma ön siparişinin önemsiz olmayan kısmi bir sıra olduğu boşluklardır . Bu tür alanlar doğal olarak bilgisayar biliminde , özellikle de gösterime dayalı anlambilimde ortaya çıkar .
Tanım
Bir T 0 uzayı , her çift ayrı nokta çiftinin topolojik olarak ayırt edilebilir olduğu bir topolojik uzaydır . Bu, herhangi bir iki farklı noktaları, bir x ve y , bir olduğu açık grubu bu noktaların dadiğerini içerir. Daha doğrusu, X topolojik uzayı Kolmogorov'dur veya eğer ve ancak eğer:
- Eğer , açık bir küme varsa O st ya da .
Topolojik olarak ayırt edilebilen noktaların otomatik olarak farklı olduğunu unutmayın. Diğer taraftan, tekil setleri { x } ve { y } edilir ayrıldı , daha sonra noktaları x ve y topolojik ayırt edilebilir olmalıdır. Yani,
- ayrılmış ⇒ topolojik olarak ayırt edilebilir ⇒ farklı
Topolojik olarak ayırt edilebilir olma özelliği, genel olarak, ayrı olmaktan daha güçlü, ancak ayrılmaktan daha zayıftır. Bir T 0 alanında, yukarıdaki ikinci ok tersine döner; noktalar, ancak ve ancak ayırt edilebilirlerse farklıdır. T 0 aksiyomunun, ayırma aksiyomlarının geri kalanıyla uyuşması budur .
Örnekler ve karşı örnekler
Normalde matematikte çalışılan neredeyse tüm topolojik uzaylar T 0'dır . Özellikle, tüm Hausdorff (T 2 ) uzayları , T 1 uzayları ve ölçülü uzaylar T 0'dır .
T 0 olmayan boşluklar
- Önemsiz topolojiye sahip birden fazla eleman içeren bir küme . Hiçbir nokta ayırt edilemez.
- Grubu R, 2 açık kümeler açık set Kartezyen ürünü olan R ve R , yani, kendisi, ürün topoloji ve R olağan topolojisi ile R önemsiz topolojisi ile; ( a , b ) ve ( a , c ) noktaları ayırt edilemez.
- Her alan ölçülebilir fonksiyonlar f gelen gerçek hat R ile kompleks düzlem C şekilde Lebesgue arasında | f ( x ) | Tüm gerçek çizgi üzerindeki 2 sonludur . Hemen hemen her yerde eşit olan iki işlev birbirinden ayırt edilemez. Aşağıya da bakın.
T 0 olan ancak T 1 olmayan boşluklar
- Zariski topolojisi Spec (üzerindeki R ), birinci spektrum a değişmeli halka R , her zaman T 0 , ancak genelde, T 1 . Kapalı olmayan noktalar , maksimum olmayan asal ideallere karşılık gelir . Planların anlaşılması için önemlidirler .
- En az iki elemanlı herhangi bir kümedeki belirli nokta topolojisi T 0'dır ancak T 1 değildir, çünkü belirli nokta kapalı değildir (kapanışı tüm uzaydır). Önemli bir özel durum, kümedeki belirli nokta topolojisi olan Sierpiński uzayıdır {0,1}.
- En az iki elemanlı herhangi bir kümede hariç tutulan nokta topolojisi T 0'dır, ancak T 1 değildir . Tek kapalı nokta, hariç tutulan noktadır.
- Alexandrov topolojisi bir ilgili kısmi sıralı dizi T 0 , ancak T olmayacak 1 sırası ayrı olmadıkça (eşitlikle kabul). Her sonlu T 0 uzayı bu türdendir. Bu, özel durumlar olarak belirli noktayı ve hariç tutulan nokta topolojilerini de içerir.
- Sağ derecede topoloji bir üzerinde tamamen sipariş kümesi ilgili bir örnektir.
- Üst üste binen aralığı topolojisi her açık grubu 0 içermesinden dolayı, özellikle nokta topoloji benzerdir.
- Oldukça genel olarak, bir topolojik uzay X , T olacak 0 ancak ve ancak uzmanlık Ön sipariş üzerine X a, kısmi sıralama . Bununla birlikte, X , ancak ve ancak sıra ayrıksa (yani eşitlikle uyumluysa) T 1 olacaktır. Öyleyse bir boşluk T 0 olacaktır, ancak ancak ve ancak X üzerindeki uzmanlaşma ön siparişi ayrık olmayan bir kısmi sıra ise T 1 olmayacaktır .
T 0 boşluklarıyla çalıştırma
Tipik olarak incelenen topolojik uzay örnekleri T 0'dır . Nitekim, birçok alandaki matematikçiler, özellikle analiz , doğal olarak T 0 olmayan uzaylarla karşılaştıklarında, aşağıda açıklanacak şekilde genellikle onları T 0 uzaylarıyla değiştirirler . İlgili fikirleri motive etmek için iyi bilinen bir örneği düşünün. Boşluk L 2 ( R ) tüm alanı çıkartılacaktır ölçülebilir fonksiyonlar f gelen gerçek hat R ile kompleks düzlem C şekilde Lebesgue arasında | f ( x ) | Tüm gerçek çizgi üzerindeki 2 sonludur . Bu uzay normu tanımlayarak normlu bir vektör uzayı haline gelmelidir || f || olmak karekök o integral. Sorun şu ki, bu gerçekten bir norm değil, yalnızca bir seminorm , çünkü sıfır fonksiyonu dışında (yarı) normları sıfır olan fonksiyonlar var . Standart çözüm, L 2 ( R ) 'yi doğrudan bir işlevler kümesi yerine bir dizi eşdeğerlik sınıfları olacak şekilde tanımlamaktır . Bu , orijinal küçük boyutlu vektör uzayının bölüm uzayını oluşturur ve bu bölüm, normlu bir vektör uzayıdır. Yarı biçimlendirilmiş alandan çeşitli uygun özellikleri miras alır; aşağıya bakınız.
Genel olarak, bir X kümesinde sabit bir topoloji T ile uğraşırken, bu topolojinin T 0 olması yararlıdır . Öte yandan, X sabit olduğunda ancak T'nin belirli sınırlar içinde değişmesine izin verildiğinde, T'yi T 0 olmaya zorlamak sakıncalı olabilir, çünkü T 0 olmayan topolojiler genellikle önemli özel durumlar olur. Böylece, T hem anlamak önemli olabilir 0 ve non-T 0 bir topolojik uzay yerleştirilebileceği çeşitli durumların versiyonlarını.
Kolmogorov bölümü
Noktaların topolojik ayırt edilemezliği bir eşdeğerlik ilişkisidir . X'in hangi topolojik uzayı ile başlayacağının önemi yok , bu eşdeğerlik bağıntısının altındaki bölüm uzayı her zaman T 0'dır . Bu bölüm uzayı denir Kolmogorov katsayısı ait X biz KQ (göstereceğiz, X ). Tabii ki, eğer X , T idi 0 , başlamak için daha sonra KQ ( X ) ve X vardır doğal olarak homeomorphic . Kategorik olarak, Kolmogorov uzayları topolojik uzayların yansıtıcı bir alt kategorisidir ve Kolmogorov bölümü yansıtıcıdır.
Topolojik alanlarda X ve Y'nin olan Kolmogorov eşdeğer kendi Kolmogorov torokenodesoksikolat homeomorphic olduğunda. Topolojik uzayların birçok özelliği bu eşdeğerlikle korunur; yani, X ve Y Kolmogorov eşdeğeri ise, o zaman X'in böyle bir özelliği vardır ancak ve ancak Y varsa . Öte yandan, topolojik uzayların diğer özelliklerinin çoğu T 0 -lık anlamına gelir; yani, X'in böyle bir özelliği varsa, X'in T 0 olması gerekir . Ayrık bir alan olma gibi yalnızca birkaç özellik, bu genel kuralın istisnasıdır. Daha da iyisi, topolojik uzaylarda tanımlanan birçok yapı X ve KQ ( X ) arasında aktarılabilir . Sonuç olarak, belirli bir yapı veya özelliğe sahip T 0 olmayan bir topolojik uzayınız varsa , Kolmogorov bölümünü alarak genellikle aynı yapı ve özelliklere sahip bir T 0 uzayı oluşturabilirsiniz.
L 2 ( R ) örneği bu özellikleri gösterir. Topoloji açısından, başladığımız seminormlu vektör uzayı bir çok ekstra yapıya sahiptir; örneğin, bir vektör uzayıdır ve bir seminormu vardır ve bunlar , topoloji ile uyumlu bir psödometrik ve tekdüze bir yapı tanımlar . Ayrıca bu yapıların birkaç özelliği vardır; örneğin, seminorm paralelkenar kimliğini karşılar ve tek tip yapı tamamlanır . L 2 ( R ) 'de hemen hemen her yerde eşit olan herhangi iki fonksiyon bu topolojiyle ayırt edilemez olduğundan , uzay T 0 değildir . Kolmogorov bölümünü oluşturduğumuzda, gerçek L 2 ( R ), bu yapılar ve özellikler korunur. Böylece, L 2 ( R ) aynı zamanda paralelkenar özdeşliğini sağlayan tam bir yarı-biçimlendirilmiş vektör uzayıdır. Ama uzay artık T 0 olduğu için aslında biraz daha fazlasını elde ediyoruz . Bir seminorm, ancak ve ancak temeldeki topoloji T 0 ise bir normdur , bu nedenle L 2 ( R ) aslında paralelkenar kimliğini karşılayan tam bir normlu vektör uzayıdır - aksi takdirde Hilbert uzayı olarak bilinir . Ve bu (ve matematikçiler bir Hilbert uzayı olan fizikçiler de, kuantum mekaniği ) genelde çalışmaya istiyorum. L 2 ( R ) notasyonunun genellikle Kolmogorov bölümünü, basitçe gösterimin önerdiği kare integrallenebilir fonksiyonların vektör uzayından ziyade sıfır ölçü kümelerinde farklılık gösteren kare integrallenebilir fonksiyonların eşdeğerlik sınıfları kümesini gösterdiğine dikkat edin.
T 0 kaldırılıyor
İlk önce normlar tanımlanmış olsa da, insanlar seminorm tanımını da buldular, bu bir normun T 0 olmayan bir versiyonu. Genel olarak, topolojik uzayların hem özelliklerinin hem de yapılarının T 0 olmayan versiyonlarını tanımlamak mümkündür . İlk olarak, Hausdorff gibi topolojik uzayların bir özelliğini düşünün . Daha sonra , ancak ve ancak Kolmogorov bölümü KQ ( X ) Hausdorff ise, X uzayını , özelliği tatmin edecek şekilde tanımlayarak topolojik uzayların başka bir özelliğini tanımlayabiliriz . Bu, daha az ünlü olsa da mantıklı bir mülktür; bu durumda, böyle bir X boşluğuna ön düzenli denir . (Hatta daha doğrudan bir ön düzenlilik tanımı olduğu ortaya çıktı). Şimdi bir metrik gibi topolojik uzaylara yerleştirilebilecek bir yapı düşünün . X üzerindeki yapının bir örneğinin sadece KQ ( X ) üzerinde bir metrik olmasına izin vererek topolojik uzaylarda yeni bir yapı tanımlayabiliriz . Bu, X üzerinde mantıklı bir yapıdır ; bu bir psödometriktir . (Yine, sözde metnin daha doğrudan bir tanımı var.)
Bu şekilde, T kaldırmak için doğal bir yol yoktur 0 bir özellik ya da yapı için gereksinimleri -lık. Genellikle T 0 olan alanları incelemek daha kolaydır , ancak T 0 olmayan yapıların daha tam bir resim elde etmesine izin vermek de daha kolay olabilir . T 0 gereksinimi, Kolmogorov katsayısı kavramı kullanılarak isteğe bağlı olarak eklenebilir veya kaldırılabilir.
Ayrıca bakınız
Referanslar
- Lynn Arthur Steen ve J. Arthur Seebach, Jr., Topolojide Karşı Örnekler . Springer-Verlag, New York, 1978. Dover Publications, New York, 1995 tarafından yeniden basılmıştır. ISBN 0-486-68735-X (Dover baskısı).