Bölüm uzayı (topoloji) - Quotient space (topology)

Gelen topoloji ve ilgili alanlarda matematik , bölüm alanı a topolojik alan , belirli bir alt denklik ilişkisi , kağıda inşa edilen yeni bir topolojik uzay bölüm kümesi orijinal topolojik alan bölüm topolojisi ile, en topoloji yaptığı kanonik izdüşüm haritasını sürekli hale getirin ( eşdeğerlik sınıflarına işaret eden işlev ). Başka bir deyişle, bir bölüm uzayın bir alt kümesidir açık ise ve bunun yalnızca öngörüntü kurallı projeksiyon Haritanın altında orijinal topolojik uzayda açıktır.

Sezgisel olarak konuşursak, her denklik sınıfının noktaları tanımlanır veya yeni bir topolojik uzay oluşturmak için "birbirine yapıştırılır". Örneğin , aynı çapa ait bir kürenin noktalarını belirlemek, projektif düzlemi bir bölüm uzayı olarak üretir .

Tanım

Izin bir olmak topolojik alan ve izin bir olmak denklik ilişkisi ile ilgili bölüm kümesi , setidir denklik sınıfları elemanlarının eşdeğerlilik sınıfı gösterilir bölüm , standart , projeksiyon haritası ile ilişkili aşağıdaki belirtir örten harita: ${\displaystyle \sol(X,\tau _{X}\sağ)}$${\ Displaystyle \,\sim \,}$${\görüntüleme stili X.}$${\ Displaystyle Y=X/\sim \,}$${\görüntüleme stili X.}$${\displaystyle x\in X}$${\görüntüleme stili [x].}$${\ Displaystyle \,\sim \,}$

Herhangi bir alt küme için (yani özellikle her için ) aşağıdakiler geçerlidir: ${\displaystyle S\subseteq X/\sim \,}$${\displaystyle s\subseteq X}$${\görüntüleme stili s\S}$

Bölüm alanı altında bölüm kümesi ile donatılmıştır bölüm topolojisi topolojisi olan, açık kümeler bütün bileşikler olup alt-gruplar , örneğin bir bir açık alt kümesi arasında olduğu, bir ilgili bölüm topoloji açıktır , ancak ve ancak , Dolayısıyla ${\ Displaystyle \,\sim \,}$${\görüntüleme stili Y}$ ${\displaystyle U\subseteq Y=X/\sim \,}$${\displaystyle \{x\in X:[x]\in U\}=\cup _{u\in U}u}$${\displaystyle \sol(X,\tau _{X}\sağ);}$${\ Displaystyle U\subseteq X/\sim }$${\ Displaystyle X/\sim }$${\displaystyle \{x\in X:[x]\in U\}\in \tau _{X}.}$

Eşdeğer olarak, bölüm topolojisinin açık kümeleri , kanonik harita altında ( ile tanımlanır ) açık bir ön görüntüsü olan alt kümeleridir . Benzer şekilde, bir alt kümesi olup kapalı içinde ancak ve ancak kapalı alt kümesidir${\görüntüleme stili Y}$${\ Displaystyle q:X\to X/\sim }$${\görüntüleme stili q(x)=[x]}$${\displaystyle S\subseteq X/\sim }$${\ Displaystyle X/\sim }$${\displaystyle \{x\in X:[x]\S\}}$${\displaystyle \sol(X,\tau _{X}\sağ).}$

Bölüm topolojisi, haritaya göre bölüm kümesindeki son topolojidir .${\displaystyle x\mapsto [x].}$

Bölüm haritası

Bir harita bir olan

bölüm dönüşümü (bazen denilen kimlik haritası o ise) örten ve bir alt kümesi ancak ve ancak açık açık. Eşdeğer olarak, bir surjection bir bölüm haritasıdır, ancak ve ancak her altküme için kapalıysa ve ancak içinde kapalıysa${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili V\alt küme Y}$${\ Displaystyle f^{-1}(V)}$${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili D\alt küme Y,}$ ${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili Y}$${\ Displaystyle f^{-1}(D)}$${\görüntüleme stili X.}$

Nihai topoloji tanımı

Alternatif olarak, eğer açıksa ve

son topoloji ile donatılmışsa bir bölüm haritasıdır .${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili f.}$

Doymuş kümeler ve bölüm haritaları

Bir alt-kümesi içinde adı verilen bir

doymuş (göre formun ise) bir set için , ancak ve ancak bu durum geçerlidir (her ne kadar her zaman, her bir alt kümesi için de geçerlidir ve olmayan doymuş grubu varsa ve, eşitlik genel garanti olduğu yalnızca enjekte edici değilse ). Atama bir kurar bire bir uygunlukta (ki tersi olan ) alt kümeleri arasında bir ve doymuş alt grupları , bu terminoloji ile, örten bir bölüm dönüşümü ise, her için sadece doymuş bir alt bölgesinin içinde açık olan , ancak ve ancak açık içerisinde , özellikle, açık alt-gruplar bu edilir değil fonksiyonu olsun ya da olmasın herhangi bir etkiye sahip, doymuş bir bölüm haritasıdır; alt-gruplar da açık-dizi tanımına alakasız gibi, "bölüm harita" tanımına alakasız-olmayan doymuş süreklilik (bir işlev için süreklidir ve sadece her için eğer doymuş bir alt bölgesinin açık olmak anlamına gelir açık olduğu ) . ${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f}$${\ Displaystyle S=f^{-1}(T)}$${\görüntüleme stili T,}$${\görüntüleme stili f^{-1}(f(S))=S}$${\displaystyle f^{-1}(f(S))\supseteq S}$${\görüntüleme stili S\alt küme X,}$${\görüntüleme stili f}$${\ Displaystyle T\mapsto f^{-1}(T)}$${\displaystyle S\mapsto f(S)}$${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili Y=f(X)}$${\görüntüleme stili X.}$${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X,}$ ${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f(S)}$${\görüntüleme stili Y.}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f}$${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X,}$ ${\görüntüleme stili f(S)}$${\görüntüleme stili f(X)}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$

Her bölüm haritası süreklidir, ancak her sürekli harita bir bölüm haritası değildir. Sürekli örten

başarısız ancak ve ancak bir bölüm haritası olması bazılarına sahiptir doymuş açıkaltkümeyi böyle olduğu değil açık (kelime "açık" her iki örneği "kapalı" ile değiştirilir ise bu ifade doğrudur kalır). ${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$ ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili f(S)}$${\görüntüleme stili Y}$

Lif karakterizasyonunun bölüm uzayı

Bir Verilen denklik ilişkisi üzerinde kanonik harita gönderir onun için

denklik sınıfının bir bölüm haritası olduğunu karşılar herkes için ; üstelik hepsi için${\ Displaystyle \,\sim \,}$${\görüntüleme stili X,}$${\ Displaystyle q:X\to X/\sim }$${\displaystyle x\in X}$ ${\görüntüleme stili [x]}$${\görüntüleme stili q(x)=q^{-1}(q(x))}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle a,b\in X,}$ ${\displaystyle a\,\sim \,b{\text{ ancak ve ancak }}q(a)=q(b).}$

Aslında, topolojik uzaylar arasında bir kestirim olsun (henüz sürekli veya bölüm haritası olarak kabul edilmemiş) ve o zaman her şey için bir

tekil küme olacak şekilde bir denklik ilişkisi olduğunu ilan edelim , bu nedenle tanımlanmış bir önermeyi indükler. tarafından (bu iyi tanımlanmıştır çünkü bir tekil kümedir ve yalnızca onun benzersiz öğesidir; yani, her için ). Haritayı yukarıdaki gibi tanımlayın ( ile ) ve bölüm topolojisini verin ( bir bölüm haritası yapar ). Bu haritalar ile ilişkilidir: ve bu ve aslında itibaren bir bölüm haritasıdır, o izler ve bu doğrudur ancak eğer süreklidir Ayrıca, bir bölüm dönüşümü ancak ve ancak her ikisi de eğer bir olduğunu homeomorfizma (veya eşdeğer olarak, eğer ve sadece hem ve hem de tersi sürekli ise). ${\ Displaystyle \ pi : X\'ten Y'ye}$${\displaystyle a,b\in X}$${\displaystyle a\,\sim \,b{\text{ ancak ve ancak }}q(a)=q^{-1}\left(q(x)\sağ) ise.}$${\ Displaystyle \,\sim \,}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle [x]=\pi ^{-1}(\pi (x))}$${\displaystyle \pi \left([x]\sağ)=\{\,\pi (x)\,\}\subseteq Y}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}:X/\sim \;\;\to \;Y}$${\displaystyle {\hat {\pi }}([x]):=\pi (x)}$${\görüntüleme stili \pi ([x])}$${\displaystyle {\hat {\pi }}([x])}$${\displaystyle \pi ([x])=\{\,{\hat {\pi }}([x])\,\}}$${\görüntüleme stili x}$${\ Displaystyle q:X\to X/\sim }$${\görüntüleme stili q(x):=[x]}$${\ Displaystyle X/\sim }$${\görüntüleme stili q}$${\displaystyle \pi ={\hat {\pi }}\circ q}$${\displaystyle q={\hat {\pi }}^{-1}\circ \pi .}$${\ Displaystyle q:X\to X/\sim }$${\ Displaystyle \ pi : X\'ten Y'ye}$${\displaystyle {\hat {\pi }}:X/\sim \;\;\to \;Y.}$${\ Displaystyle \ pi : X\'ten Y'ye}$${\displaystyle {\hat {\pi }}:X/\sim \;\;\to \;Y}$${\displaystyle {\hat {\pi }}}$

İlgili tanımlar

A kalıtsal olarak bölüm haritası ,her alt kümeiçin kısıtlamanınaynı zamanda bir bölüm haritası olduğuözelliğine sahipbir örtülü haritadır. Kalıtsal olarak bölüm olmayan bölüm haritaları vardır. ${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili T\alt küme Y,}$${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$

Örnekler

• Yapıştırma . Topologlar noktaları birbirine yapıştırmaktan bahseder. Eğer noktaları yapıştırma, topolojik bir alandır ve içinde vasıtasıyla eşdeğerlik ilişkisi elde edilen bölüm alanı göz önüne alındığında , ancak ve ancak veya (ya da ).${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili X}$${\ Displaystyle a\sim b}$${\görüntüleme stili a=b}$${\görüntüleme stili a=x,b=y}$${\görüntüleme stili a=y,b=x}$
• Tüm sınır noktalarının eşdeğer olması, böylece tüm sınır noktalarını tek bir eşdeğerlik sınıfına tanımlama gereksinimi tarafından oluşturulan birim kareyi ve eşdeğerlik ilişkisini göz önünde bulundurun . Sonra ise

homeomorphic için küre${\displaystyle I^{2}=[0,1]\times [0,1]}$${\ Displaystyle I^{2}/\sim }$${\görüntüleme stili S^{2}.}$

• Ekleme alanı . Daha genel olarak varsayalımbir alandır vebir olan alt uzay içindeOne tüm noktaları belirleyebilirdışında tek bir denklik sınıfı ve izin noktalarınasadece kendilerine denk. Ortaya çıkan bölüm uzayı gösterilir. 2-küre, daha sonra, sınırı tek bir noktaya tanımlanmış olan kapalı bir diske homeomorfiktir:${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili X/A.}$${\displaystyle D^{2}/\kısmi {D^{2}}.}$
• Set düşünün ait gerçek sayılar sıradan topoloji ile ve yazma ve ancak eğer bir olduğunu tam sayı . Daha sonra bölüm alanı olan homeomorphic için birim çember eşdeğerlilik sınıfı gönderir homeomorfizma ile hiç${\displaystyle \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili x\sim y}$ ${\görüntüleme stili xy}$${\ Displaystyle X/\sim }$ ${\görüntüleme stili S^{1}}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili \exp(2\pi ix).}$
• Bir önceki örneğin genellemesi şu şekildedir: Bir topolojik grubun bir uzayda sürekli olarak hareket ettiğini varsayalım. Bir kişi, ancak ve ancak aynı yörüngede bulunuyorlarsa, noktaların eşdeğer olduğunu söyleyerek bir denklik bağıntısı oluşturabilir . Bu ilişki sonucunda bölüm alanı olarak adlandırılır yörünge alanı gösterilmektedir, önceki örnekte üzerinde hareket çeviri tarafından. yörünge uzayı homeomorfiktir${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X/G.}$${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\görüntüleme stili S^{1}.}$
  • Not : Gösterim biraz belirsizdir. Eğer bir grup etkili olduğu anlaşılmaktadır ilave edilmesi aracılığı ile, daha sonra
  bölüm çemberdir. Bununla birlikte, (tek bir nokta olarak tanımlanan) topolojik bir altuzay olarak düşünülürse, o zaman bölüm ( küme ile tanımlanabilir ) tek bir noktada birleştirilmiş sayılabilir sonsuz bir daire buketidir.${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup \{\,\{r\}:r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

Genel olarak olduğu Bu örnek gösterir değil gerçek ki eğer o zaman bir bölüm dönüşümü her bir yakınsak dizisi (sırasıyla her yakınsak net olarak) bir sahiptir asansör (tarafından yakınsak bir dizinin (veya kadar) yakınsak net olarak) Let ve Let ve let bölüm haritası olsun, böylece ve her için tarafından tanımlanan harita iyi tanımlanmıştır (çünkü ) ve bir homeomorfizmadır . Let ve izin herhangi bir dizileri (veya daha genel olarak, herhangi bir ağ) değerli bu şekilde de daha sonra sekans${\ Displaystyle q:X\'den Y'ye}$ ${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili X=[0,1]}$${\displaystyle \,\sim ~=~\{\,\{0,1\}\,\}~\cup ~\left\{\{x\}:x\in (0,1)\,\ sağ\}.}$${\displaystyle Y:=X/\,\sim \,}$${\displaystyle q:X\to X/\sim\,}$${\görüntüleme stili q(x):=[x],}$${\görüntüleme stili q(0)=q(1)=\{0,1\}}$${\görüntüleme stili q(x)=\{x\}}$${\görüntüleme stili x\in (0,1).}$${\displaystyle h:X/\,\sim \,\to S^{1}\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle h([x]):=e^{2\pi ix}}$${\displaystyle e^{2\pi i(0)}=1=e^{2\pi i(1)}}$${\displaystyle I=\mathbb {N} }$${\displaystyle a_{\bullet }:=\left(a_{i}\right)_{i\in I}{\text{ ve }}b_{\bullet }:=\left(b_{i}\sağ) )_{i\ben}}$${\görüntüleme stili (0,1)}$${\displaystyle a_{\bullet }\to 0{\text{ ve }}b_{\bullet }\to 1}$${\görüntüleme stili X=[0,1].}$

$${\displaystyle y_{1}:=q\left(a_{1}\right),y_{2}:=q\left(b_{1}\right),y_{3}:=q\left(a_ {2}\sağ),y_{4}:=q\left(b_{2}\sağ),\ldots }$$

için yakınsak içinde ancak bölüm harita ile bu dizinin herhangi yakınsak asansör orada yok (olduğunu, hiçbir sekans var içinde bazı hem yakınsak ve tatmin her için ). Bu karşı-jeneralize olabilir ağları izin vererek herhangi biri yönlendirilmiş bir dizi , ve verme için herhangi bir beyan bir fileye tutar ve her ikisi de (1) eğer ve (2) eğer daha sonra izin tanımlanan -indexed net eşit ve eşit içinde yakınsak endeksli bir ağa ( tarafından ) bir artışa sahip değildir.${\ Displaystyle [0]=[1]}$${\ Displaystyle X/\sim \,}$${\görüntüleme stili q}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\sağ)_{i\in I}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y_{i}=q\sol(s_{i}\sağ)}$${\görüntüleme stili ben\ben}$${\görüntüleme stili (A,\leq )}$${\displaystyle I:=A\times \{1,2\}}$${\görüntüleme stili (a,m),(b,n)\in I,}$ ${\görüntüleme stili (m,a)\;\leq \;(n,b)}$${\displaystyle a\leq b,}$${\displaystyle a=b{\metin{ ardından }}m\leq n;}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili y_{(a,m)}}$${\displaystyle a_{i}{\text{ if }}m=1}$${\displaystyle b_{i}{\text{ ise }}m=2}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili X=[0,1].}$

Özellikler

Bölüm haritaları , surjective haritalar arasında aşağıdaki özellikle karakterize edilir: eğer herhangi bir topolojik uzay ve herhangi bir fonksiyon ise, o zaman ve ancak sürekli ise süreklidir. ${\ Displaystyle q:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili Z}$${\görüntüleme stili f:Y\to Z}$${\görüntüleme stili f}$${\ Displaystyle f\circ q}$

Bölüm uzayı , bölüm haritası ile birlikte aşağıdaki evrensel özellik ile karakterize edilir : eğer herkes için ima eden bir sürekli harita ise , o zaman benzersiz bir sürekli harita vardır, öyle ki , başka bir deyişle, aşağıdaki diyagram değişir: ${\ Displaystyle X/\sim }$${\ Displaystyle q:X\to X/\sim }$${\görüntüleme stili g:X\to Z}$${\ Displaystyle a\sim b}$${\görüntüleme stili g(a)=g(b)}$${\displaystyle a,b\in X,}$${\displaystyle f:X/\sim \to Z}$${\displaystyle g=f\circ q.}$

Bölüme indiğini söylüyoruz . Bu nedenle üzerinde tanımlanan sürekli haritalar , tam olarak denklik ilişkisine göre (aynı görüntüye eşdeğer öğeler göndermeleri anlamında) üzerinde tanımlanan sürekli haritalardan kaynaklanan haritalardır . Bu kriter, bölüm uzaylarını incelerken bolca kullanılır. ${\görüntüleme stili g}$ ${\ Displaystyle X/\sim }$${\görüntüleme stili X}$

Sürekli bir tahmin verildiğinde, kişinin bir bölüm haritası olup olmadığını belirleyebileceği kriterlere sahip olmak yararlıdır . Açık veya kapalı olmak için iki yeterli kriter vardır . Bu koşulların yalnızca yeterli olduğunu , gerekli olmadığını unutmayın . Ne açık ne de kapalı olan bölüm haritalarının örneklerini oluşturmak kolaydır. Topolojik gruplar için bölüm haritası açıktır. ${\ Displaystyle q:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili q}$

Diğer topolojik kavramlarla uyumluluk

Ayrılma

• Genel olarak, bölüm uzayları ayırma aksiyomlarına göre kötü davranır. ayırma özellikleri tarafından miras alınması gerekmez ve bunlar tarafından paylaşılmayan ayırma özelliklerine sahip olabilir.${\görüntüleme stili X}$${\ Displaystyle X/\sim ,}$${\ Displaystyle X/\sim }$${\görüntüleme stili X.}$
• ${\ Displaystyle X/\sim }$Bir olan T1 uzay ancak ve ancak her denklik sınıfı kapalıdır${\ Displaystyle \,\sim \,}$${\görüntüleme stili X.}$
• Bölüm dönüşümü ise açık , o zaman bir olan Haussdorf uzay ~ kapalı alt grubudur ve ancak eğer ürün alanı${\ Displaystyle X/\sim }$ ${\görüntüleme stili X\kez X.}$

bağlantılılık

• Bir uzay bağlantılıysa veya yol bağlantılıysa , tüm bölüm uzayları da öyle.
• Bir bir bölüm uzayı basit bağlantılı veya kısaltılabilir alan bu özellikleri paylaşan gerekmez.

kompaktlık

• Bir uzay kompakt ise, o zaman tüm bölüm uzayları da öyledir.
• Yerel olarak kompakt bir uzayın bir bölüm uzayının yerel olarak kompakt olması gerekmez.

Boyut

• Topolojik boyutu bir bölüm alanı olabilir daha özgün alan boyutundan daha (ve daha az gibi); boşluk doldurma eğrileri bu tür örnekler sağlar.

Ayrıca bakınız

topoloji

• Ayrık birleşim (topoloji)
• Nihai topoloji  – bazı işlevleri sürekli kılan en iyi topoloji
• Eşleme konisi (topoloji)
• Ürün alanı
• Altuzay (topoloji)
• Topolojik uzay  – Yakınlık kavramıyla donatılmış geometrik uzay
• Kapsama alanı  – Yerel olarak ayrı kopyalar gibi görünen, diğeriyle eşleşen topolojik bir alan

Cebir

• Eşleme konisi (homolojik cebir)  – Homolojik cebirde araç
• Bölüm kategorisi
• bölüm grubu
• Bölüm uzayı (doğrusal cebir)  – Afin Altuzaylardan oluşan vektör uzayı

Referanslar

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Genel Topoloji: Bölüm 1-4 [ Topologie Générale ]. Éléments de matematik . Berlin New York: Springer Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. Genel Topoloji 2: Bölüm 5–10 [ Topologie Générale ]. Éléments de matematik . 4 . Berlin New York: Springer Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063 .
• Dixmier, Jacques (1984). Genel Topoloji . Matematikte Lisans Metinleri. Berberian tarafından tercüme edilmiştir, SK New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• Dugundji, James (1966). Topoloji . Boston: Allyn ve Bacon. ISBN'si 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Kelley, John L. (1975). Genel Topoloji . Matematikte Lisansüstü Metinler . 27 . New York: Springer Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-0-387-90125-1. OCLC  338047 .
• Munkres, James R. (2000). Topoloji (İkinci baskı). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN'si 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Genel Topoloji (İlk baskı). Mineola, NY : Dover Yayınları . ISBN'si 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .
• Willard, Stephen (1970). Genel Topoloji . Okuma, MA: Addison-Wesley . ISBN'si 0-486-43479-6.