Hubbard modeli - Hubbard model

Hubbard modeli , özellikle de kullanılan yeterli bir yaklaşım olan katı hal fiziği arasındaki geçişi tanımlamak için, iletken ve yalıtım sistemleri . Adını Hubbard modeli, John Hubbard , sadece iki terimlerle, bir kafes içinde parçacıkların etkileşim basit bir modelidir Hamiltonyenin (aşağıdaki örnek): kinetik bir dönem için izin tünel siteleri arasında parçacıkların ( "atlamalı") kafes ve yerinde etkileşimden oluşan potansiyel bir terim. Parçacıklar ya Hubbard'ın orijinal çalışmasında olduğu gibi fermiyonlar ya da bozonlar olabilir , bu durumda modele " Bose–Hubbard modeli " denir .

Hubbard modeli, tüm parçacıkların en düşük Bloch bandında olduğu varsayılabileceği ve parçacıklar arasındaki uzun menzilli etkileşimlerin göz ardı edilebileceği , yeterince düşük sıcaklıklarda periyodik potansiyeldeki parçacıklar için yararlı bir yaklaşımdır . Kafesin farklı bölgelerindeki parçacıklar arasındaki etkileşimler dahil edilirse, model genellikle "genişletilmiş Hubbard modeli" olarak adlandırılır. Özellikle, en yaygın olarak U ile ifade edilen Hubbard terimi, Yoğunluk Fonksiyonel Teorisi , DFT kullanılarak ilk ilkelere dayalı simülasyonlarda uygulanır . Hubbard teriminin DFT simülasyonlarına dahil edilmesi, elektron lokalizasyonunun tahminini geliştirdiği ve böylece yalıtım sistemlerinde metalik iletimin yanlış tahminini önlediği için önemlidir. Model ilk olarak 1963'te katılardaki elektronları tanımlamak için önerildi. O zamandan beri, yüksek sıcaklık süperiletkenliği , kuantum manyetizması ve yük yoğunluğu dalgalarının incelenmesine uygulanmıştır. Hubbard modeli , yalnızca kinetik enerjiyi ("atlama" terimi) ve kafesin atomları ile etkileşimleri ("atomik" potansiyel) içeren sıkı bağlama modeline elektronlar arasındaki kısa menzilli etkileşimleri sunar . Elektronlar arasındaki etkileşim güçlü olduğunda, Hubbard modelinin davranışı sıkı bağlama modelinden niteliksel olarak farklı olabilir. Örneğin, Hubbard modeli Mott yalıtkanlarının varlığını doğru bir şekilde tahmin eder : Birim hücre başına tek sayıda elektrona sahip olmak gibi iletkenler için olağan kriterleri karşılamalarına rağmen, elektronlar arasındaki güçlü itme nedeniyle yalıtkan malzemeler.

Dar enerji bandı teorisi

Hubbard modeli , bazen kafes olarak adlandırılan periyodik bir potansiyelde hareket eden parçacıkları tanımlayan katı hal fiziğinin sıkı bağlayıcı yaklaşımına dayanmaktadır. Gerçek malzemeler için, bu kafesin her bölgesi bir iyonik çekirdeğe karşılık gelebilir ve parçacıklar bu iyonların değerlik elektronları olacaktır. Sıkı bağlayıcı yaklaşımda, Hamiltonian, her kafes bölgesi merkezli yerelleştirilmiş durumlar olan Wannier durumları cinsinden yazılır . Komşu kafes sitelerindeki Wannier durumları birleştirilir ve bir sitedeki parçacıkların diğerine "sıçramasına" izin verir. Matematiksel olarak, bu bağlantının gücü, yakındaki siteler arasında bir "atlamalı integral" veya "aktarım integrali" ile verilir. Atlamalı integrallerin gücü mesafe ile hızla düştüğünde, sistemin sıkı bağlama sınırında olduğu söylenir. Bu eşleşme, her kafes bölgesi ile ilişkili durumların hibritleşmesine izin verir ve böyle bir kristal sistemin özdurumları , enerji seviyeleri ayrılmış enerji bantlarına bölünmüş Bloch'un fonksiyonlarıdır . Bantların genişliği, atlamalı integralin değerine bağlıdır.

Hubbard modeli, kafesin her yerinde zıt spinli parçacıklar arasında bir temas etkileşimi sunar. Hubbard modeli elektron sistemlerini tanımlamak için kullanıldığında, bu etkileşimlerin, taranan Coulomb etkileşiminden kaynaklanan itici olması beklenir . Bununla birlikte, çekici etkileşimler de sıklıkla düşünülmüştür. Hubbard modelinin fiziği, sistemin kinetik enerjisini karakterize eden atlamalı integralin gücü ile etkileşim teriminin gücü arasındaki rekabet tarafından belirlenir . Hubbard modeli bu nedenle belirli etkileşimli sistemlerde metalden yalıtkana geçişi açıklayabilir. Örneğin, en yakın komşu aralığındaki buna karşılık gelen artışın, yerinde potansiyelin baskın olduğu noktaya atlama integralini azalttığı, ısıtıldıklarında metal oksitleri tanımlamak için kullanılmıştır . Benzer şekilde, Hubbard modeli gibi sistemlerde yalıtkan iletkenden geçiş açıklayabilir nadir toprak pyrochlores olarak atom numarası , çünkü ender toprak metal artar kristal parametresi artar (veya atom arasındaki açı da değiştirebilir - bkz Crystal yapı ) nadir toprak elementinin atom numarası arttıkça, yerinde itmeye kıyasla atlamalı integralin göreceli önemini değiştirir.

Örnek: 1D hidrojen atomları zinciri

Hidrojen atomu olarak, tek bir elektron sahip olarak adlandırılan s yörünge ya kadar spin (olabilen ) veya aşağı spin ( ). Bu yörünge, biri yukarı, diğeri aşağı dönüşlü en fazla iki elektron tarafından işgal edilebilir (bkz. Pauli dışlama ilkesi ). ${\görüntüleme stili\yukarı }$${\görüntüleme stili\aşağı ok}$

Şimdi, 1 boyutlu bir hidrojen atomu zinciri düşünün. Bant teorisi altında , 1s orbitalinin tam olarak yarısı dolu olan sürekli bir bant oluşturmasını beklerdik. 1D hidrojen atomları zincirinin bu nedenle geleneksel bant teorisi altında bir iletken olduğu tahmin edilmektedir.

Ama şimdi hidrojen atomları arasındaki mesafenin kademeli olarak arttığı durumu düşünün. Bir noktada zincirin bir yalıtkan haline gelmesini bekliyoruz.

Hubbard modeli ile ifade edilen Hamiltonyen ise artık iki terimden oluşmaktadır. İlk terim, sistemin atlamalı integrali ile parametrelendirilen kinetik enerjisini tanımlar . İkinci terim, elektron itmesini temsil eden kuvvetin yerinde etkileşimidir . İkinci niceleme notasyonunda yazılan Hubbard Hamiltonian daha sonra şu şekli alır: ${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili U}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-t\sum _{i,\sigma }\left({\hat {c}}_{i,\sigma }^{\hançer }{\hat {c} }_{i+1,\sigma }+{\hat {c}}_{i+1,\sigma }^{\hançer }{\hat {c}}_{i,\sigma }\sağ)+ U\sum _{i}{\hat {n}}_{i\uparrow }{\hat {n}}_{i\aşağı },}$

nerede spin için sıkma yoğunluklu operatörüdür üzerinde -th sitede. Toplam yoğunluk operatörü ve dalga fonksiyonu için -inci bölgenin işgali dir . Tipik olarak t pozitif olarak alınır ve U genel olarak pozitif veya negatif olabilir, ancak burada olduğumuz gibi elektronik sistemler düşünüldüğünde pozitif olduğu varsayılır. ${\displaystyle {\hat {n}}_{i\sigma }={\hat {c}}_{i\sigma }^{\hançer }{\hat {c}}_{i\sigma }}$${\görüntüleme stili \sigma }$${\görüntüleme stili ben}$${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {n}}_{i\uparrow }+{\hat {n}}_{i\downarrow }}$${\görüntüleme stili ben}$${\görüntüleme stili\Phi }$${\displaystyle n_{i}=\langle \Phi \vert {\hat {n}}_{i}\vert \Phi \rangle}$

Hamiltoniyeni ikinci terimin katkısı olmadan ele alırsak, sadece düzenli bant teorisinden gelen sıkı bağlama formülü ile kalırız .

Bununla birlikte, ikinci terim dahil edildiğinde, etkileşimin sıçramaya oranı değiştikçe iletkenden yalıtkana bir geçişi de öngören daha gerçekçi bir model elde ederiz . Bu oran, örneğin, atomlar arası aralığın arttırılmasıyla değiştirilebilir; bu, 'yi etkilemeden büyüklüğünü azaltacaktır . Sınırda , zincir basitçe bir dizi izole manyetik momente dönüşür . Eğer çok büyük değildir, üst üste binme yekpare sağlar superexchange modeli parametrelere bağlı olarak, örneğin, ferromanyetik, antiferromanyetik vb gibi ilginç manyetik korelasyonlar, çeşitli yol açabilir manyetik momentlerini, komşu arasındaki etkileşimler. Tek boyutlu Hubbard modeli, Bethe ansatz kullanılarak Lieb ve Wu tarafından çözüldü . 1990'larda önemli ilerleme kaydedildi: gizli bir simetri keşfedildi ve saçılma matrisi , korelasyon fonksiyonları , termodinamik ve kuantum dolaşıklık değerlendirildi. ${\görüntüleme stili U/t}$${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili U}$${\ Displaystyle U/t\gg 1}$${\görüntüleme stili U/t}$

Daha karmaşık sistemler

Hubbard modeli, 1D hidrojen atomları zinciri gibi sistemleri tanımlamada faydalı olsa da, daha karmaşık sistemlerde Hubbard modelinin dikkate almadığı başka etkilerin olabileceğini belirtmek önemlidir. Genel olarak yalıtkanlar, Mott-Hubbard tipi yalıtkanlara (bkz. Mott yalıtkanı ) ve yük transfer yalıtkanlarına ayrılabilir .

Mott-Hubbard yalıtkanının aşağıdaki açıklamasını göz önünde bulundurun:

${\displaystyle (\mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-})_{2}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{3+}\mathrm {O} ^{2- }+\mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{2-}.}$

Bu, birim hücreler arasındaki iletimin bir transfer integrali ile tanımlanabildiği, hidrojen zincirleri için Hubbard modeline benzer olarak görülebilir.

Ancak elektronların başka tür bir davranış sergilemesi mümkündür:

${\displaystyle \mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{1-}.}$

Bu, yük transferi olarak bilinir ve yük transfer izolatörleri ile sonuçlanır . Bunun Mott-Hubbard yalıtkan modelinden oldukça farklı olduğuna dikkat edin, çünkü birim hücreler arasında elektron transferi yoktur, yalnızca birim hücre içindedir.

Bu etkilerin her ikisi de karmaşık iyonik sistemlerde mevcut olabilir ve rekabet edebilir.

sayısal tedavi

Hubbard modelinin analitik olarak keyfi boyutlarda çözülmemiş olması, bu güçlü korelasyonlu elektron sistemleri için sayısal yöntemlere yönelik yoğun araştırmalara yol açmıştır. Bu araştırmanın temel amaçlarından biri, bu modelin özellikle iki boyutlu olarak düşük sıcaklık faz diyagramını belirlemektir. Hubbard modelinin sonlu sistemler üzerinde yaklaşık sayısal tedavisi bir dizi yöntemle mümkündür.

Böyle bir yöntem, Lanczos algoritması , sistemin statik ve dinamik özelliklerini üretebilir. Bu yöntemi kullanan temel durum hesaplamaları, durum sayısı büyüklüğünde üç vektörün depolanmasını gerektirir. Durumların sayısı, mevcut donanımda kafesteki sitelerin sayısını yaklaşık 20 ile sınırlayan, sistemin boyutuna göre katlanarak ölçeklenir. Projektör ve sonlu sıcaklık yardımcı alanı Monte Carlo ile sistemin belirli özelliklerini de elde edebilen iki istatistiksel yöntem mevcuttur. Düşük sıcaklıklar için, fermiyon işareti problemi adı verilen problemden dolayı azalan sıcaklıkla birlikte hesaplama eforunun üstel büyümesine yol açan yakınsama problemleri ortaya çıkar .

Hubbard modeli, dinamik ortalama alan teorisi (DMFT) içinde de incelenebilir . Bu şema, Hubbard Hamiltonian'ı tek bölgeli bir kirlilik modeline eşler; bu, yalnızca sonsuz boyutlarda ve sonlu boyutlarda resmi olarak kesin olan bir haritalama, yalnızca tüm tamamen yerel korelasyonların tam tedavisine karşılık gelir. DMFT, verilen ve verilen bir sıcaklık için Hubbard modelinin yerel Green fonksiyonunu hesaplamaya izin verir . DMFT içinde, spektral fonksiyonun evrimi hesaplanabilir ve korelasyonlar arttıkça üst ve alt Hubbard bantlarının görünümü gözlemlenebilir. ${\görüntüleme stili U}$

Ayrıca bakınız

• Bloch teoremi
• Elektronik bant yapısı
• Katı hal fiziği
• Bose-Hubbard modeli
• tJ modeli
• Heisenberg modeli (kuantum)
• Dinamik ortalama alan teorisi
• Stoner kriteri

Referanslar

daha fazla okuma

• Hubbard, J. (1963). "Dar Enerji Bantlarında Elektron Korelasyonları". Londra Kraliyet Cemiyeti Bildirileri . 276 (1365): 238-257. Bibcode : 1963RSPSA.276..238H . doi : 10.1098/rspa.1963.0204 . JSTOR  2414761 . S2CID  35439962 .
• Bach, V.; Lieb, EH; Solovej, JP (1994). "Genelleştirilmiş Hartree-Fock Teorisi ve Hubbard Modeli". İstatistiksel Fizik Dergisi . 76 (1–2): 3. arXiv : koşul-mat/9312044 . Bibcode : 1994JSP....76....3B . doi : 10.1007/BF02188656 . S2CID  207143 .
• Lieb, EH (1995). "Hubbard Modeli: Bazı Titiz Sonuçlar ve Açık Sorunlar". Xi Int. Kong. Mp, Int. (?) tuşuna basın . 1995 : koşul-mat/9311033. arXiv : koşul-mat/9311033 . Bibcode : 1993cond.mat.11033L .
• Gebhard, F. (1997). "Metal-İzolatör Geçişi". Mott Metal-Yalıtkan Geçişi: Modeller ve Yöntemler . Modern Fizikte Springer Yolları. 137 . Springer . s. 1-48. ISBN'si 9783540614814.
• Lieb, EH; Wu, FY (2003). "Tek boyutlu Hubbard modeli: Bir anımsama". Physica A . 321 (1): 1–27. arXiv : koşul-mat/0207529 . Bibcode : 2003PhyA..321....1L . doi : 10.1016/S0378-4371(02)01785-5 . S2CID  44758937 .