Elektronik bant yapısı - Electronic band structure

Gelen katı hal fiziği , elektronik bant yapısı (ya da sadece bant yapısı a) katı madde aralığını tanımlayan enerji elektronlar (denilen sahip olmayabilir, bunun içinde, enerji ve aynı zamanda aralıklara sahip olabilir seviyeleri bant boşlukları ya da yasak bantlar ).

Bant teorisi , büyük, periyodik bir atom veya molekül kafesindeki bir elektron için izin verilen kuantum mekanik dalga fonksiyonlarını inceleyerek bu bantları ve bant boşluklarını türetir . Bant teorisi, katıların elektriksel özdirenç ve optik absorpsiyon gibi birçok fiziksel özelliğini açıklamak için başarıyla kullanılmıştır ve tüm katı hal cihazlarının (transistörler, güneş pilleri vb.) anlaşılmasının temelini oluşturur .

Bantlar ve bant boşlukları neden oluşur?

Elektronik bant yapısının oluşumunu gösteren, bir elmas kristali oluşturmak için bir araya getirilen çok sayıda karbon atomunun varsayımsal bir örneği. Sağdaki grafik, kristal hücre boyutunun (atomlar arasındaki tipik bir boşluk) bir fonksiyonu olarak enerji seviyelerini gösterir. Uzakta olduklarında , tüm N atomları ayrık değerlik orbitallerine sahiptir p ve s . Ancak atomlar yaklaştıkça elektron orbitalleri uzaysal olarak örtüşmeye başlar ve Pauli dışlama ilkesinden dolayı her bir atomik seviye farklı enerjilerde N seviyelerine bölünür . Bu yana , N , çok büyük bir sayıdır, bitişik seviyelerinin etkin sürekli enerji bant oluşturan, enerjik yakındır. (İle gösterilen gerçek elmas kristal hücre boyutuna az bir ), iki bant, oluşan valans ve iletim bandı denilen, bir 5,5-eV bant aralığı ile ayrılır. Atomlar arası aralığın daha da azaltılması (örneğin yüksek basınç altında) bant yapısını daha da değiştirir.
Bant oluşumunun animasyonu ve elektronların onları bir metal ve bir yalıtkanda nasıl doldurduğu

Tek, izole bir atomun elektronları, her biri ayrı bir enerji seviyesine sahip olan atomik orbitalleri işgal eder . Bir molekül oluşturmak için iki veya daha fazla atom bir araya geldiğinde , atomik orbitalleri örtüşür. Pauli ilkesi dikte iki elektron bir molekül içinde aynı kuantum sayısına sahip olabilir. Dolayısıyla, iki özdeş atom bir diatomik molekül oluşturmak üzere birleşirse , her bir atomik orbital , farklı enerjiye sahip iki moleküler orbitale bölünür ve önceki atomik orbitallerdeki elektronların, aynı enerjiye sahip olmadan yeni orbital yapısını işgal etmesine izin verir.

Benzer şekilde , kristal kafes gibi bir katı oluşturmak için çok sayıda N özdeş atom bir araya gelirse , atomların atomik orbitalleri örtüşür. Pauli dışlama ilkesi, katıdaki hiçbir iki elektronun aynı kuantum sayısına sahip olmadığını belirttiğinden, her atomik orbital , her biri farklı enerjiye sahip N ayrı moleküler orbitale bölünür . Makroskopik bir katı parçasındaki atom sayısı çok büyük olduğu için (N~10 22 ) orbitallerin sayısı çok büyüktür ve bu nedenle enerji olarak çok yakın aralıklıdırlar (10 −22  eV mertebesinde ). Bitişik seviyelerin enerjisi birbirine o kadar yakındır ki, bir süreklilik, bir enerji bandı olarak kabul edilebilirler.

Bu bant oluşumu, çoğunlukla , kimyasal bağ ve elektrik iletkenliği ile ilgili olan atomdaki en dıştaki elektronların ( değerlik elektronları ) bir özelliğidir . İç elektron orbitalleri önemli ölçüde örtüşmez, bu nedenle bantları çok dardır.

Bant boşlukları , esasen, enerji bantlarının sonlu genişliklerinin bir sonucu olarak, herhangi bir bant tarafından kapsanmayan artık enerji aralıklarıdır. Bantlar, çıktıkları atomik orbitallerdeki örtüşme derecesine bağlı olarak genişlikleri ile farklı genişliklere sahiptir. İki bitişik bant, enerji aralığını tamamen kapsayacak kadar geniş olmayabilir. Örneğin, çekirdek orbitallerle ( 1s elektronları gibi) ilişkili bantlar, bitişik atomlar arasındaki küçük örtüşme nedeniyle son derece dardır. Sonuç olarak, çekirdek bantlar arasında büyük bant boşlukları olma eğilimindedir. Daha yüksek bantlar, daha fazla örtüşen nispeten daha büyük orbitalleri içerir, daha yüksek enerjilerde giderek genişler, böylece daha yüksek enerjilerde bant boşlukları olmaz.

Temel konseptler

Bant yapısı teorisinin varsayımları ve sınırları

Bant teorisi, birbirine bağlı birçok özdeş atom veya molekülden oluşan katılar için geçerli olan, bir katının kuantum durumuna yalnızca bir yaklaşımdır. Bant teorisinin geçerli olması için gerekli varsayımlar şunlardır:

  • Sonsuz boyutlu sistem : Bantların sürekli olması için malzeme parçasının çok sayıda atomdan oluşması gerekir. Makroskopik bir malzeme parçası 10 22 atom mertebesinde içerdiğinden , bu ciddi bir kısıtlama değildir; bant teorisi , entegre devrelerdeki mikroskobik boyutlu transistörler için bile geçerlidir . Değişikliklerle, bant yapısı kavramı, iki boyutlu elektron sistemleri gibi bazı boyutlar boyunca yalnızca "büyük" olan sistemlere de genişletilebilir .
  • Homojen sistem : Bant yapısı, malzemenin homojen olduğunu varsayan bir malzemenin içsel bir özelliğidir. Pratik olarak bu, malzemenin kimyasal yapısının parça boyunca aynı olması gerektiği anlamına gelir.
  • Etkileşimsizlik : Bant yapısı "tek elektron durumlarını" tanımlar. Bu durumların varlığı, elektronların kafes titreşimleri , diğer elektronlar, fotonlar vb. ile dinamik olarak etkileşime girmeden statik bir potansiyelde hareket ettiğini varsayar .

Yukarıdaki varsayımlar, bir dizi önemli pratik durumda bozulur ve bant yapısının kullanımı, bant teorisinin sınırlamalarını yakından kontrol etmeyi gerektirir:

  • Homojenlik ve arayüzeyler: Yakın yüzeyler, kavşaklar ve diğer homojen olmayanlar, toplu bant yapısı bozulur. Sadece yerel küçük ölçekli bozulmalar (örneğin, bant aralığı içindeki yüzey durumları veya dopant durumları) değil, aynı zamanda yerel yük dengesizlikleri de vardır. Bu yük dengesizliklerinin yarı iletkenlere, yalıtkanlara ve vakuma derinlemesine uzanan elektrostatik etkileri vardır (bkz. doping , bant bükme ).
  • Aynı doğrultuda, çoğu elektronik etki ( kapasitans , elektriksel iletkenlik , elektrik alan taraması ), yüzeylerden ve/veya yakın arayüzlerden geçen elektronların fiziğini içerir. Bir bant yapısı resminde bu etkilerin tam açıklaması, en azından ilkel bir elektron-elektron etkileşimi modelini gerektirir (bkz. uzay yükü , bant bükülmesi ).
  • Küçük sistemler: Her boyutta küçük olan sistemler için (örneğin, küçük bir molekül veya bir kuantum noktası ), sürekli bir bant yapısı yoktur. Küçük ve büyük boyutlar arasındaki geçiş, mezoskopik fiziğin alanıdır .
  • Güçlü bir şekilde ilişkili malzemeler (örneğin, Mott izolatörleri ) tek elektron durumları açısından anlaşılamaz. Bu malzemelerin elektronik bant yapıları yetersiz tanımlanmıştır (veya en azından benzersiz olarak tanımlanmamıştır) ve fiziksel durumları hakkında yararlı bilgiler sağlamayabilir.

Kristal simetri ve dalga vektörleri

Şekil 1. Brillouin bölgesinin a yüzey merkezli kübik kafes özel simetri noktaları için markayı.
Şekil 2. Sıkı bağlama modeli ile oluşturulan Si , Ge , GaAs ve InAs için bant yapısı grafiği . GaAs ve InAs doğrudan iken Si ve Ge'nin dolaylı bant aralığı malzemeleri olduğuna dikkat edin.

Bant yapısı hesaplamaları, simetrisinden yararlanarak bir kristal kafesin periyodik doğasından yararlanır. Tek elektronlu Schrödinger denklemi , bir kafes-periyodik potansiyelde bir elektron için çözülür ve çözüm olarak Bloch elektronları verir :

,

burada k dalga vektörü olarak adlandırılır. Her k değeri için , enerji bantlarını basitçe numaralandıran bant indeksi olan n ile etiketlenen Schrödinger denkleminin birden çok çözümü vardır . Bu enerji seviyelerinin Her değişikliklere sorunsuz geliştikçe k durumlarının düzgün bir bant oluşturan. Her bant için, o banttaki elektronlar için dağılım ilişkisi olan bir E n ( k ) fonksiyonu tanımlayabiliriz .

Dalga vektörü , kristalin kafesiyle ilgili dalga vektörü ( karşılıklı kafes ) uzayında bir çokyüzlü olan Brillouin bölgesi içindeki herhangi bir değeri alır . Brillouin bölgesi dışındaki dalga vektörleri, Brillouin bölgesi içindeki durumlarla fiziksel olarak aynı olan durumlara karşılık gelir. Brillouin bölgesindeki özel yüksek simetri noktalarına/çizgilerine Γ, Δ, Λ, Σ gibi etiketler atanır (bkz. Şekil 1).

Dört boyutlu uzayda, E'ye karşı k x , k y , k z'de bir çizim gerektireceğinden, bir bandın şeklini dalga vektörünün bir fonksiyonu olarak görselleştirmek zordur . Bilimsel literatürde görmek için yaygın bir bant yapısı araziler değerlerini gösteren E n ( k değerleri için) k simetri noktaları, çoğu kez etiketlenmiş Δ, Λ, Σ veya bağlayan düz hatlar boyunca [100], [111] ve [110] , sırasıyla. Bant yapısını görselleştirmenin başka bir yöntemi, belirli bir değere eşit enerjiye sahip tüm durumları gösteren, dalga vektörü uzayında sabit enerjili bir eş yüzey çizmektir . Fermi düzeyine eşit enerjiye sahip durumların eşyüzeyi Fermi yüzeyi olarak bilinir .

Enerji bandı boşlukları, bant aralığını çevreleyen durumların dalga vektörleri kullanılarak sınıflandırılabilir:

Asimetri: Kristal olmayan katılarda bant yapıları

Elektronik bant yapıları genellikle kristal malzemelerle ilişkilendirilse de , yarı kristal ve amorf katılar da bant boşlukları sergileyebilir. Bunlar bir kristalin basit simetrisinden yoksun oldukları için teorik olarak çalışmak biraz daha zordur ve kesin bir dağılım ilişkisi belirlemek genellikle mümkün değildir. Sonuç olarak, katıların elektronik bant yapısı üzerine mevcut teorik çalışmaların neredeyse tamamı kristal malzemelere odaklanmıştır.

durumların yoğunluğu

Durumların yoğunluğu fonksiyonu g ( E ), E'ye yakın elektron enerjileri için birim hacim başına, birim enerji başına elektronik durum sayısı olarak tanımlanır .

Durumların yoğunluğu fonksiyonu, bant teorisine dayalı etkilerin hesaplanması için önemlidir. Gelen Fermi'nin Altın Kuralı , oranı için bir hesaplama optik absorpsiyon , bu uyanlabilir elektron sayısı bir elektron için son durum sayısını hem de sağlar. Mobil durumların sayısını sağladığı elektriksel iletkenlik hesaplamalarında ve saçılmadan sonra son durumların sayısını sağladığı elektron saçılma oranlarının hesaplanmasında görünür .

Bir bant aralığı içindeki enerjiler için g ( E ) = 0.

Bantların doldurulması

Dengede çeşitli malzeme türlerinde elektronik hallerin doldurulması . Burada yükseklik enerjidir, genişlik ise listelenen malzemede belirli bir enerji için mevcut durumların yoğunluğudur . Gölge, Fermi-Dirac dağılımını takip eder ( siyah : tüm durumlar dolu, beyaz : durum dolu değil). Olarak metal ve yarı metallerin Fermi düzeyi E F , en az bir bant içinde yer almaktadır.
Gelen izolatör ve yarı iletkenler Fermi seviyesi içinde olan bant aralığı ; bununla birlikte, yarı iletkenlerde bantlar, elektronlar veya delikler ile termal olarak doldurulacak Fermi seviyesine yeterince yakındır .

En termodinamik denge , enerji durumuna olasılığı E ile verilir bir elektron ile doldurulurken Fermi Dirac dağılımı , dikkate alan bir termodinamik dağıtım Pauli prensibi :

nerede:

Malzemedeki elektronların yoğunluğu, basitçe, Fermi-Dirac dağılımı çarpı durum yoğunluğunun integralidir:

Sonsuz sayıda bant ve dolayısıyla sonsuz sayıda durum olmasına rağmen, bu bantlara yerleştirilecek yalnızca sonlu sayıda elektron vardır. Elektron sayısı için tercih edilen değer, elektrostatiklerin bir sonucudur: bir malzemenin yüzeyi yüklenebilse bile, bir malzemenin iç hacmi yük nötr olmayı tercih eder. Yük nötrlüğü koşulu, N / V'nin malzemedeki proton yoğunluğuna uyması gerektiği anlamına gelir . Bunun gerçekleşmesi için, malzeme elektrostatik, kendini ayarlar (ve böylece vites kendi bant yapısını değiştirme veya enerji aşağı g ( E bu Fermi seviyesine göre doğru dengededir kadar)).

Fermi seviyesine yakın bantların isimleri (iletkenlik bandı, değerlik bandı)

Bir katının sonsuz sayıda izin verilen bandı vardır, tıpkı bir atomun sonsuz sayıda enerji düzeyine sahip olması gibi. Bununla birlikte, bantların çoğu basitçe çok yüksek enerjiye sahiptir ve genellikle sıradan koşullar altında göz ardı edilir. Tersine, çekirdek orbitallerle ( 1s elektronları gibi ) ilişkili çok düşük enerji bantları vardır . Bu düşük enerjili çekirdek bantlar , her zaman elektronlarla dolu kaldıkları ve dolayısıyla eylemsiz oldukları için genellikle göz ardı edilir. Benzer şekilde, malzemelerin bant yapıları boyunca çeşitli bant boşlukları vardır.

Elektronik ve optoelektronik ile ilgili olan en önemli bantlar ve bant boşlukları, Fermi seviyesine yakın enerjilere sahip olanlardır. Fermi seviyesine yakın bantlar ve bant boşlukları, malzemeye bağlı olarak özel isimler verilir:

  • Bir de yarı iletken ya da bant yalıtkan Fermi seviyesi olarak adlandırılan bir bant boşluk ile çevrili bir bant boşluk (bant yapısında diğer grup boşlukları ayırmak için). Bant aralığı üzerinde yakın bant olarak adlandırılır iletim bandı ve bant boşluk altında yakın bant olarak adlandırılır valans bandı . Yarı iletkenlerde (ve yalıtkanlarda) değerlik bandı değerlik orbitallerinden oluşturulduğundan, "değerlik bandı" adı kimyaya benzetilerek türetilmiştir .
  • Bir metal veya yarı metalde , Fermi seviyesi bir veya daha fazla izin verilen bandın içindedir. Yarı metallerde bantlar, yük aktarımının yarı iletkenlere benzer şekilde daha elektron benzeri veya delik benzeri olmasına bağlı olarak genellikle "iletkenlik bandı" veya "değerlik bandı" olarak adlandırılır. Bununla birlikte, birçok metalde, bantlar ne elektron benzeri ne de delik benzeridir ve genellikle değerlik orbitallerinden yapıldıkları için "değerlik bandı" olarak adlandırılırlar. Bir metalin bant yapısındaki bant boşlukları, Fermi seviyesinden çok uzak oldukları için düşük enerji fiziği için önemli değildir.

kristallerde teori

Ansatz kullanarak düzenli kristal kafes içinde elektron dalgaları özel bir durumdur Bloch'ın teoremini genel olarak tedavi olarak kırınım dinamik teori . Her kristal, ile karakterize edilebilir bir periyodik yapısı Bravis kafes ve her biri için Bravis kafes biz belirleyebilir karşılıklı kafes (üç karşılıklı örgü vektörlerinin bir dizi periyodikliğini kapsüller, b , 1 b, 2 b 3 ). Şimdi, doğrudan kafes ile aynı periyodikliği paylaşan herhangi bir periyodik potansiyel V( r ) , yalnızca kaybolmayan bileşenleri karşılıklı kafes vektörleriyle ilişkili olan bir Fourier serisi olarak genişletilebilir . Böylece genişleme şu şekilde yazılabilir:

burada K = m 1 b 1 + m 2 b 2 + m 3 b 3 herhangi bir tam sayı kümesi için (m 1 ,m 2 ,m 3 ).

Bu teoriden, belirli bir malzemenin bant yapısını tahmin etmek için bir girişimde bulunulabilir, ancak elektronik yapı hesaplamalarına yönelik çoğu ab initio yöntemi, gözlemlenen bant aralığını tahmin etmekte başarısız olur.

Neredeyse serbest elektron yaklaşımı

Neredeyse serbest elektron yaklaşımında, elektronlar arasındaki etkileşimler tamamen göz ardı edilir. Bu yaklaşım, periyodik bir potansiyeldeki elektronların, komşu karşılıklı kafes vektörleri arasında sabit bir faz kaymasına kadar dalga vektöründe periyodik olan dalga fonksiyonlarına ve enerjilerine sahip olduğunu belirten Bloch Teoreminin kullanılmasına izin verir . Periyodikliğin sonuçları matematiksel olarak Bloch teorem fonksiyonu ile tanımlanır:

fonksiyonun kristal kafes üzerinde periyodik olduğu, yani,

.

Burada indeks n , n'inci enerji bandını ifade eder , dalga vektörü k elektronun hareket yönü ile ilgilidir, r kristaldeki konumdur ve R bir atomik bölgenin konumudur.

NFE modeli, komşu atomlar arasındaki mesafelerin küçük olduğu metaller gibi malzemelerde özellikle iyi çalışır. Bu tür malzemelerde, komşu atomlardaki atomik orbitallerin ve potansiyellerin örtüşmesi nispeten büyüktür. Bu durumda elektronun dalga fonksiyonuna (değiştirilmiş) bir düzlem dalga yaklaşılabilir. Alüminyum gibi bir metalin bant yapısı boş kafes yaklaşımına bile yaklaşır .

Sıkı bağlama modeli

Neredeyse serbest elektron yaklaşımının zıt uç noktası, kristaldeki elektronların daha çok kurucu atomlar topluluğu gibi davrandığını varsayar. Bu sıkı bağlanma modeli zamandan bağımsız bir elektron çözüm kabul Schrödinger denklemi de bir yaklaşılır lineer kombinasyonu arasında atom orbitalleri .

,

burada katsayılar bu formun en iyi yaklaşık çözümünü verecek şekilde seçilir. İndeks n , bir atomik enerji seviyesini belirtir ve R , bir atomik bölgeyi belirtir. Bu fikri kullanan daha doğru bir yaklaşım , şu şekilde tanımlanan Wannier işlevlerini kullanır :

;

burada Bloch teoreminin periyodik kısmı ve integral Brillouin bölgesinin üzerindedir . İşte endeks n atıfta n kristal -th enerji bandı. Wannier fonksiyonları, atomik yörüngeler gibi atomik bölgelerin yakınında lokalizedir, ancak Bloch fonksiyonları cinsinden tanımlandıklarında, kristal potansiyeline dayalı çözümlerle doğru bir şekilde ilişkilidirler. Farklı atomik siteler R üzerindeki Wannier fonksiyonları ortogonaldir. Wannier fonksiyonları Schrödinger çözelti oluşturmak için kullanılabilir , n -inci enerji bandı olarak:

.

TB modeli, atomik orbitaller ve komşu atomlardaki potansiyeller arasında sınırlı örtüşme olan malzemelerde iyi çalışır . Gibi malzemelerin bant yapıları Si , GaAs , SiO 2 ve elmas örneği için de atom sp temelinde TB-Hamiltonyenlerin tarif edilmektedir 3 orbitalleri. Olarak geçiş metalleri karışık TB-NFE modeli geniş NFE açıklamak için kullanılan iletim bandı ve TBC D-bantları yerleştirilmiş dar ve. Wannier fonksiyonlarının yörüngeler kısmının radyal fonksiyonları en kolay kullanımı ile hesaplanmıştır pseudopotansiyel yöntem. NFE, TB veya birleşik NFE-TB bant yapısı hesaplamaları, bazen psödopotansiyel yöntemlere dayalı dalga fonksiyonu yaklaşımlarıyla genişletilir, genellikle daha sonraki hesaplamalar için ekonomik bir başlangıç ​​noktası olarak kullanılır.

KKR modeli

"Çoklu saçılma teorisi" veya Green fonksiyon yöntemi olarak da adlandırılan KKR yöntemi, Hamiltonyen yerine ters geçiş matrisi T'nin durağan değerlerini bulur. Korringa , Kohn ve Rostocker tarafından varyasyonel bir uygulama önerildi ve genellikle Korringa–Kohn–Rostoker yöntemi olarak anılır . KKR veya Green'in fonksiyon formülasyonunun en önemli özellikleri şunlardır: (1) sorunun iki yönünü ayırır: yapı (atomların konumları) saçılmadan (atomların kimyasal kimliği); ve (2) Green'in işlevleri, alaşımlara ve diğer düzensiz sistemlere uyarlanabilen elektronik özelliklerin yerelleştirilmiş bir tanımına doğal bir yaklaşım sağlar. Bu yaklaşımın en basit biçimi , atomik konumlarda örtüşmeyen küreleri ( çörek kutuları olarak adlandırılır) merkezler . Bu bölgeler içinde, bir elektronun deneyimlediği potansiyelin, verilen çekirdek etrafında küresel olarak simetrik olduğu varsayılır. Kalan interstisyel bölgede, taranan potansiyel bir sabit olarak tahmin edilir. Atom merkezli küreler ile arayer bölgesi arasındaki potansiyelin sürekliliği zorlanır.

Yoğunluk fonksiyonel teorisi

Son fizik literatüründe, elektronik yapıları ve bant araziler büyük bir çoğunluğu kullanılarak hesaplanır yoğunluk fonksiyonel teorisi model değil, bir teori, yani mikroskobik bir ilk ilkeler teorisi değil (DFT), yoğun madde fiziği o dener elektron-elektron çok-cisim problemiyle , elektronik yoğunluğun fonksiyonelinde bir değişim-korelasyon teriminin eklenmesiyle başa çıkmak . DFT ile hesaplanan bantların birçok durumda, örneğin açı çözümlü fotoemisyon spektroskopisi (ARPES) ile deneysel olarak ölçülen bantlarla uyumlu olduğu bulunmuştur. Özellikle, bant şekli tipik olarak DFT tarafından iyi bir şekilde yeniden üretilir. Ancak deney sonuçlarıyla karşılaştırıldığında DFT bantlarında sistematik hatalar da vardır. Özellikle, DFT, yalıtkanlar ve yarı iletkenlerdeki bant aralığını sistematik olarak yaklaşık %30-40 oranında hafife alıyor gibi görünmektedir.

DFT'nin yalnızca bir sistemin temel durum özelliklerini (örneğin toplam enerji , atomik yapı vb.) öngören bir teori olduğuna ve uyarılmış durum özelliklerinin DFT tarafından belirlenemeyeceğine yaygın olarak inanılır . Bu bir yanlış anlamadır. Prensipte, DFT, temel durum yoğunluğunu o özelliğe eşleyen bir işlev verilen bir sistemin herhangi bir özelliğini (temel durum veya uyarılmış durum) belirleyebilir. Hohenberg-Kohn teoreminin özü budur. Ancak pratikte, temel durum yoğunluğunu bir malzeme içindeki elektronların uyarma enerjilerine eşleyen bilinen hiçbir işlevsel yoktur. Bu nedenle, literatürde bir DFT bant grafiği olarak alıntılanan şey, DFT Kohn-Sham enerjilerinin bir temsilidir , yani, hiçbir fiziksel yorumu olmayan kurgusal etkileşimsiz bir sistemin, Kohn-Sham sisteminin enerjileridir. Kohn-Sham elektronik yapısı , bir sistemin gerçek, yarı parçacıklı elektronik yapısı ile karıştırılmamalıdır ve Hartree-Fock enerjileri için olduğu gibi Kohn-Sham enerjileri için de geçerli bir Koopmans teoremi yoktur . quasiparticle enerjileri için bir yaklaşım . Bu nedenle, prensipte Kohn-Sham tabanlı DFT bir bant teorisi değildir, yani bantları ve bant grafiklerini hesaplamak için uygun bir teori değildir. Pratikte bu genellikle zor olsa da, prensipte zamana bağlı DFT gerçek bant yapısını hesaplamak için kullanılabilir. Popüler bir yaklaşım, Hartree-Fock kesin değişiminin bir kısmını içeren hibrit işlevlerin kullanılmasıdır ; bu, yarı iletkenlerin öngörülen bant aralıklarında önemli bir gelişme sağlar, ancak metaller ve geniş bant aralıklı malzemeler için daha az güvenilirdir.

Green'in fonksiyon yöntemleri ve ab initio GW yaklaşımı

Elektron-elektron etkileşimi çok cisim etkilerini içeren bantları hesaplamak için Green'in fonksiyon yöntemlerine başvurulabilir . Gerçekten de, bir sistemin Green fonksiyonunun bilgisi, sistemin hem zeminini (toplam enerjiyi) hem de uyarılmış durum gözlemlenebilirlerini sağlar. Green fonksiyonunun kutupları, bir katının bantları olan quasiparticle enerjileridir. Green fonksiyonu çözme hesaplanabilir Dyson denklemi kez kendini enerji sisteminin bilinir. Katılar gibi gerçek sistemler için öz-enerji çok karmaşık bir niceliktir ve sorunu çözmek için genellikle yaklaşık değerlere ihtiyaç vardır. Bu tür bir yaklaşım GW yaklaşımıdır ve öz-enerjinin Green fonksiyonunun G ve dinamik olarak taranan etkileşimi W'nin Σ = GW ürünü olarak aldığı matematiksel formdan adlandırılır . Bu yaklaşım, bant çizimlerinin (ve ayrıca spektral fonksiyon gibi ötesindeki miktarların) hesaplanmasına değinirken daha uygundur ve ayrıca tamamen baştan sona bir şekilde formüle edilebilir . GW yaklaşımı, deneyle uyumlu olarak yalıtkanların ve yarı iletkenlerin bant boşluklarını sağlıyor ve dolayısıyla sistematik DFT eksik tahminini düzeltiyor gibi görünüyor.

Dinamik ortalama alan teorisi

Neredeyse serbest elektron yaklaşımı, elektron bant yapılarının birçok özelliğini tanımlayabilmesine rağmen, bu teorinin bir sonucu, her birim hücrede aynı sayıda elektronu tahmin etmesidir. Elektron sayısı tek ise, o zaman her birim hücrede eşleşmemiş bir elektron olduğunu ve dolayısıyla değerlik bandının tam olarak işgal edilmediğini ve bu da malzemeyi bir iletken haline getirmesini beklerdik. Bununla birlikte, CoO gibi birim hücre başına tek sayıda elektrona sahip malzemeler yalıtkandır ve bu sonuçla doğrudan çelişir. Bu tür bir malzeme Mott yalıtkanı olarak bilinir ve tutarsızlığı açıklamak için ayrıntılı elektron-elektron etkileşimlerinin dahil edilmesini gerektirir (sadece bant teorisinde kristal potansiyeli üzerinde ortalama bir etki olarak ele alınır). Hubbard modeli bu etkileşimler içerebilir yaklaşık teoridir. Neredeyse serbest elektron yaklaşımı ile atomik limit arasındaki boşluğu kapatmaya çalışan dinamik ortalama alan teorisi adı verilen teori dahilinde, pertürbatif olmayan bir şekilde ele alınabilir . Bununla birlikte, resmi olarak, bu durumda durumlar etkileşimli değildir ve bir bant yapısı kavramı bu durumları açıklamak için yeterli değildir.

Diğerleri

Bant yapılarının hesaplanması teorik katı hal fiziğinde önemli bir konudur . Yukarıda belirtilen modellere ek olarak, diğer modeller aşağıdakileri içerir:

  • Boş kafes yaklaşımı : bir kafese bölünmüş bir boş alan bölgesinin "bant yapısı".
  • k·p pertürbasyon teorisi , bir bant yapısının sadece birkaç parametre cinsinden yaklaşık olarak tanımlanmasına izin veren bir tekniktir. Teknik, yarı iletkenler için yaygın olarak kullanılır ve modeldeki parametreler genellikle deneyle belirlenir.
  • Kronig-Penney modeli , bant oluşumu gösterim için yararlı olan bir tek boyutlu dikdörtgen şekilli sıra model. Basit olmakla birlikte, birçok önemli fenomeni öngörür, ancak nicel değildir.
  • Hubbard modeli

Bant yapısı, karmaşık sayılar olan dalga vektörlerine genelleştirildi , bu da yüzeylerde ve arayüzlerde ilgi çekici olan karmaşık bant yapısı olarak adlandırılan şeyle sonuçlandı .

Her model, bazı katı türlerini çok iyi, bazılarını ise yetersiz tanımlar. Neredeyse serbest elektron modeli, metaller için iyi çalışır, ancak metal olmayanlar için zayıftır. Sıkı bağlanma modeli, metal halojenür tuzları (örn. NaCl ) gibi iyonik yalıtkanlar için son derece doğrudur .

Bant diyagramları

Bant yapısının gerçek uzayda Fermi seviyesine göre nasıl değiştiğini anlamak için, bir bant yapısı grafiği genellikle ilk olarak bir bant diyagramı şeklinde basitleştirilir . Bir bant diyagramında dikey eksen enerjidir, yatay eksen ise gerçek alanı temsil eder. Yatay çizgiler enerji seviyelerini, bloklar ise enerji bantlarını temsil eder. Bu diyagramdaki yatay çizgiler eğik olduğunda, seviyenin veya bandın enerjisi mesafe ile değişir. Şematik olarak, bu, kristal sistem içinde bir elektrik alanının varlığını gösterir. Bant diyagramları, birbirleriyle temas halinde yerleştirildiğinde, farklı malzemelerin genel bant yapısı özelliklerini birbiriyle ilişkilendirmede faydalıdır.

Ayrıca bakınız

Referanslar

bibliyografya

daha fazla okuma

  1. Mikroelektronik , Jacob Millman ve Arvin Gabriel, ISBN  0-07-463736-3 , Tata McGraw-Hill Edition.
  2. Katı Hal Fiziği , Neil Ashcroft ve N. David Mermin , ISBN  0-03-083993-9
  3. Temel Katı Hal Fiziği: İlkeler ve Uygulamalar , yazan M. Ali Omar, ISBN  0-201-60733-6
  4. Yarı İletken Yapıların Elektronik ve Optoelektronik Özellikleri – Bölüm 2 ve 3 , Jasprit Singh, ISBN  0-521-82379-X
  5. Elektronik Yapı: Temel Teori ve Pratik Yöntemler , Richard Martin, ISBN  0-521-78285-6
  6. Yoğun Madde Fiziği , Michael P. Marder, ISBN  0-471-17779-2
  7. Katı Hal Fiziğinde Hesaplamalı Yöntemler, VV Nemoshkalenko ve NV Antonov, ISBN  90-5699-094-2
  8. Temel Elektronik Yapı , Walter A. Harrison, ISBN  981-238-708-0
  9. Metal teorisinde sözde potansiyeller Walter A. Harrison, WA Benjamin (New York) 1966
  10. Bant Yapısı Yöntemleri Eğitimi Dr. Vasileska (2008)

Dış bağlantılar