İkinci niceleme - Second quantization

kuantum alan teorisi
Feynman diyagramı
Tarih
Arka plan alan teorisi elektromanyetizma Zayıf kuvvet Güçlü kuvvet Kuantum mekaniği Özel görelilik Genel görelilik gösterge teorisi
simetriler Kuantum mekaniğinde simetri C-simetri P-simetrisi T-simetrisi Uzay çeviri simetrisi Zaman öteleme simetrisi dönme simetrisi Lorentz simetrisi poincare simetri ölçer simetri Açık simetri kırılması Spontan simetri kırılması Yang-Mills teorisi ücret yok topolojik yük
Aletler Anomali Geçit Etkili alan teorisi beklenti değeri Faddeev-Popov hayaletleri Feynman diyagramı Kafes ölçer teorisi LSZ azaltma formülü Bölme fonksiyonu yayıcı niceleme düzenlileştirme yeniden normalleştirme vakum durumu Wick teoremi Wightman aksiyomları
denklemler Dirac denklemi Klein-Gordon denklemi Proca denklemleri Wheeler-DeWitt denklemi Bargmann-Wigner denklemleri
Standart Model kuantum elektrodinamiği Elektrozayıf etkileşim kuantum renk dinamiği Higgs mekanizması
eksik teoriler Topolojik kuantum alan teorisi sicim teorisi süpersimetri Tek renkli her şeyin teorisi kuantum yerçekimi
Bilim insanları CD Anderson PW Anderson Ol Björken Bogoliubov brout Callan Coleman DeWitt dirac Dyson Englert fermi Feynman Fierz Fok Fröhlich Glashow Gell-Mann Brüt Güralnik Heisenberg Higgs Haag Hagen 't Toynak Ürdün Kendal Kabaca öğütmek Kuzu Landau Lee Majorana değirmenler Nambu Nishijima Paris Polyakov selam Schwinger Skyrme Sudarşan Tomonaga Veltman koğuş Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Yang Yukawa
v T e

Meslek numarası gösterimi olarak da adlandırılan ikinci nicemleme , kuantum çok cisim sistemlerini tanımlamak ve analiz etmek için kullanılan bir formalizmdir . Olarak kuantum alan teorisi , bu şekilde bilinen standart nicemleme (tipik olarak maddenin dalga fonksiyonları gibi) alanları olarak düşünülen edildiği, alan operatörleri fiziksel miktarlar (konum, ivme vs.) ne kadar benzer bir şekilde, ilk kuantizasyonda operatörler olarak düşünülür . Bu yöntemin temel fikirleri 1927'de Paul Dirac tarafından tanıtıldı ve en önemlisi daha sonra Vladimir Fock ve Pascual Jordan tarafından geliştirildi .

Bu yaklaşımda, kuantum çok-cisim durumları, her bir tek parçacık durumunu belirli sayıda özdeş parçacıkla doldurarak oluşturulan Fock durumu temelinde temsil edilir. İkinci niceleme biçimciliği , Fock durumlarını inşa etmek ve işlemek için yaratma ve yok etme operatörlerini tanıtır ve kuantum çok cisim teorisinin incelenmesine faydalı araçlar sağlar.

Kuantum çok cisim durumları

İkinci niceleme biçimciliğinin başlangıç ​​noktası, kuantum mekaniğinde parçacıkların ayırt edilemezliği kavramıdır . Her bir parçacık bir tat konumu vektörü ile etiketlenir klasik mekanik, aksine ve kümesinin farklı konfigürasyonlarda , s, farklı çok-cisim durumlarına karşılık gelen kuantum mekaniği olarak, parçacıklar, yani, iki parçacık alışverişi, özdeş , yok farklı bir çok cisimli kuantum durumuna yol açar . Bu, kuantum çok cisimli dalga fonksiyonunun, iki parçacığın değişimi altında (bir faz faktörüne kadar) değişmez olması gerektiği anlamına gelir. Parçacık istatistiklerine göre , parçacık değişimi altında çok cisimli dalga fonksiyonu simetrik veya antisimetrik olabilir: ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}}$

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=+\Psi _{\ rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$parçacıklar bozon ise ,

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=-\Psi _{\ rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$parçacıklar fermiyon ise .

Bu değiş tokuş simetrisi özelliği, çok cisimli dalga fonksiyonu üzerinde bir kısıtlama getirir. Çok cisim sisteminden bir parçacık her eklendiğinde veya çıkarıldığında, simetri kısıtlamasını karşılamak için dalga fonksiyonu uygun şekilde simetrik veya anti-simetrik olmalıdır. İlk kuantizasyon formalizminde, bu kısıtlama, dalga fonksiyonunu tek parçacık durumlarının kalıcılarının (bozonlar için) veya belirleyicilerinin (fermiyonlar için) doğrusal kombinasyonu olarak temsil ederek garanti edilir . İkinci nicemleme biçimciliğinde, simetri sorunu yaratma ve yok etme operatörleri tarafından otomatik olarak halledilir, öyle ki gösterimi çok daha basit olabilir.

İlk nicelenmiş çok cisimli dalga fonksiyonu

(bir dizi kuantum sayısının birleşik bir indeksi olabilir) ile etiketlenmiş tek parçacık dalga fonksiyonlarının tam bir setini düşünün . Aşağıdaki dalga fonksiyonu ${\displaystyle \psi _{\alpha }(\mathbf {r} )}$${\görüntüleme stili \alfa }$

${\displaystyle \Psi [\mathbf {r} _{i}]=\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{i}}(\mathbf {r} _{i} )\equiv \psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{N}}}$

Bir temsil N ile -Parçacık durumunu i tek parçacık durumunu işgal inci parçacık . Kısa elli gösterimde, dalga işlevin konumu bağımsız değişken atlanabilir ve varsayılmaktadır I inci tek parçacık dalga fonksiyonu durumunu açıklar i inci parçacık. Dalga fonksiyonu simetrikleştirilmemiştir veya anti-simetrileştirilmemiştir, bu nedenle genel olarak özdeş parçacıklar için çok cisimli dalga fonksiyonu olarak nitelendirilmemiştir. Bununla birlikte, operatör simetriklestirilir (anti-simetriklestirilir) formuna getirilebilir symmetrizer için ve için antisymmetrizer . ${\displaystyle |{\alpha _{i}}\rangle }$${\görüntüleme stili \Psi }$${\görüntüleme stili {\matematiksel {S}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$

Bozonlar için çok cisimli dalga fonksiyonu simetrik olmalıdır,

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {S}}\Psi [\mathbf {r} _{i }]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}} (\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \ psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}};}$

fermiyonlar için, çok cisimli dalga fonksiyonu anti-simetrik olmalıdır,

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {A}}\Psi [\mathbf {r} _{i }]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi } \psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N )}}.}$

Burada bir eleman olduğu , N -body permütasyon grubu (ya da simetrik grubu ) , bir yerine, permütasyon durum etiketler arasında , ve karşılık gelen belirtmektedir permütasyon işareti . dalga fonksiyonunu normalleştiren normalleştirme operatörüdür. ( N dereceli simetrik tensörlere uygun bir sayısal normalleştirme faktörü uygulayan operatördür ; değeri için sonraki bölüme bakın.) ${\görüntüleme stili\pi }$${\displaystyle S_{N}}$${\ Displaystyle \ alfa _ {i}}$${\görüntüleme stili (-1)^{\pi }}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {N}}}$

Bir matristeki tek parçacık dalga fonksiyonları , satır- i sütun- j matris elemanı olacak şekilde düzenlenirse , bozon çok cisimli dalga fonksiyonu basitçe kalıcı olarak yazılabilir ve fermiyon çok cisimli dalga fonksiyonu bir şekilde belirleyici (olarak da bilinir Slater belirleyici ). ${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle U_{ij}=\psi _{\alpha _{j}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \langle \mathbf {r} _{i}|\alpha _{j} \ menzil }$ ${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}={\mathcal {N}}\operatör adı {izin} U}$ ${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}={\mathcal {N}}\operatör adı {det} U}$

İkinci nicelenmiş Fock durumları

Birinci nicelenmiş dalga fonksiyonları, fiziksel olarak gerçekleştirilebilir çok cisimli durumları tanımlamak için karmaşık simetrikleştirme prosedürlerini içerir, çünkü birinci niceleme dili, ayırt edilemez parçacıklar için fazlalıktır. İlk niceleme dilinde, çok cisim durumu, "Hangi parçacık hangi durumda?" gibi bir dizi soruya cevap verilerek tanımlanır. . Ancak bunlar fiziksel sorular değildir, çünkü parçacıklar özdeştir ve ilk etapta hangi parçacığın hangisi olduğunu söylemek imkansızdır. Görünüşte farklı durumlar ve aslında aynı kuantum çok-cisim durumunun gereksiz isimleridir. Bu nedenle, ilk niceleme açıklamasında bu fazlalığı ortadan kaldırmak için simetrikleştirme (veya anti-simetrileştirme) tanıtılmalıdır. ${\displaystyle \psi _{1}\otimes \psi _{2}}$${\displaystyle \psi _{2}\otimes \psi _{1}}$

İkinci nicemleme dilinde, "her parçacık hangi durumda" diye sormak yerine, "Her durumda kaç tane parçacık var?" diye sorulur. . Bu açıklama parçacıkların etiketlenmesine atıfta bulunmadığından, fazla bilgi içermez ve bu nedenle kuantum çok cisim durumunun kesin ve daha basit bir açıklamasına yol açar. Bu yaklaşımda, çok gövdeli durum meslek numarası bazında temsil edilir ve temel durum, belirtilen meslek numaraları kümesi ile etiketlenir.

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle \equiv |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\alpha },\cdots \rangle ,}$

yani tek parçacık durumunda (veya as ) parçacıklar vardır . Meslek sayıları toplam parçacık sayısının toplamıdır, yani . İçin fermiyonlar , işgal numarası yalnızca nedeniyle 0 veya 1 olabilir Pauli ilkesine ; için ise bozonları herhangi bir negatif olmayan bir tam sayı olabilir ${\displaystyle n_{\alfa }}$${\displaystyle |\alfa \rangle }$${\görüntüleme stili\psi _{\alfa }}$${\displaystyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }=N}$${\displaystyle n_{\alfa }}$

${\displaystyle n_{\alpha }={\begin{cases}0,1&{\text{fermiyonlar,}}\\0,1,2,3,...&{\text{bosons.}}\end {durumlar}}}$

Meslek sayısı durumları , Fock durumları olarak da bilinir. Tüm Fock durumları, çok cisimli Hilbert uzayının veya Fock uzayının tam bir temelini oluşturur . Herhangi bir jenerik kuantum çok cisim durumu, Fock durumlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir. ${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle }$

Daha verimli bir dil sağlamanın yanı sıra, Fock uzayının değişken sayıda parçacıklara izin verdiğini unutmayın. Bir Hilbert uzayı olarak , bir-boyutlu sıfır-parçacık uzayı ℂ dahil olmak üzere, önceki bölümde açıklanan n- parçacık bozonik veya fermiyonik tensör uzaylarının toplamına eşbiçimlidir.

Tüm işgal sayıları sıfıra eşit olan Fock durumuna vakum durumu denir ve gösterilir . Yalnızca sıfır olmayan bir işgal numarasına sahip Fock durumu, ile gösterilen tek modlu bir Fock durumudur . İlk nicelenmiş dalga fonksiyonu açısından, vakum durumu birim tensör çarpımıdır ve ile gösterilebilir . Tek parçacık hali dalga fonksiyonuna indirgenir . Diğer tek modlu çok cisimli (bozon) durumlar, ve gibi, o modun dalga fonksiyonunun tensör ürünüdür . Çok modlu Fock durumları için (birden fazla tek parçacık durumunun dahil olduğu anlamına gelir ), karşılık gelen ilk nicelenmiş dalga fonksiyonu, parçacık istatistiklerine göre, örneğin bir bozon durumu ve bir fermiyon durumu için (sembolü) uygun simetrikleştirme gerektirecektir. arasında ve basitlik için atlanmıştır). Genel olarak, normalizasyon olarak bulunur , burada N toplam parçacık sayısıdır. Fermiyon için bu ifade yalnızca sıfır veya bir olabileceği gibi indirgenir . Böylece, Fock durumuna karşılık gelen ilk nicelenmiş dalga fonksiyonu okur ${\displaystyle |0\rangle \equiv |\cdots ,0_{\alpha },\cdots \rangle }$${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle \equiv |\cdots ,0,n_{\alpha },0,\cdots \rangle }$${\görüntüleme stili |0\menzil =1}$${\displaystyle |1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }}$${\displaystyle |2_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\alpha }}$${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }^{\otimes n}}$${\displaystyle |\alfa \rangle }$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2} }}$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2} }}$${\görüntüleme stili \ bazen }$${\görüntüleme stili\psi _{1}}$${\görüntüleme stili\psi _{2}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}{N!}}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {N!}}}}$${\displaystyle n_{\alfa }}$

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {B}}=\left({\frac {\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}{N!}}\right )^{1/2}{\mathcal {S}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

bozonlar için ve

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\mathcal {A}}\bigotimes \limits _{ \alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

fermiyonlar için. Yalnızca fermiyonlar için, bu nedenle yukarıdaki tensör ürününün, tüm dolu tek parçacık durumları üzerinde etkin bir şekilde yalnızca bir çarpım olduğuna dikkat edin. ${\displaystyle n_{\alpha }=0,1}$

Yaratma ve yok etme operatörleri

Yaratma ve yok etme operatörleri eklemek veya çok-cisim sistemi için bir parçacık kaldırmak için eklenir. Bu operatörler, birinci ve ikinci nicelenmiş durumlar arasındaki boşluğu dolduran ikinci nicemleme formalizminin merkezinde yer alır. Yaratma (yok etme) operatörünü birinci nicelenmiş çok cisimli bir dalga fonksiyonuna uygulamak, parçacık istatistiklerine bağlı olarak simetrik bir şekilde dalga fonksiyonundan bir tek-parçacık durumunu ekleyecektir (silecektir). Öte yandan, tüm ikinci nicelenmiş Fock durumları, yaratma operatörlerini tekrar tekrar vakum durumuna uygulayarak oluşturulabilir.

Yaratma ve yok etme operatörleri (bozonlar için) orijinal olarak kuantum harmonik osilatör bağlamında yükseltme ve alçaltma operatörleri olarak inşa edilir ve bunlar daha sonra kuantum alan teorisindeki alan operatörlerine genelleştirilir. Her çok cisim operatörünün (çok cisim sisteminin Hamiltoniyeni ve tüm fiziksel gözlemlenebilirler dahil) onlar cinsinden ifade edilebilmesi anlamında kuantum çok cisim teorisi için temeldirler.

Ekleme ve silme işlemi

Bir parçacığın yaratılması ve yok edilmesi, simetrik veya anti-simetrik bir şekilde birinci nicelenmiş dalga fonksiyonundan tek parçacık durumunun eklenmesi ve silinmesiyle gerçekleştirilir. Izin 1 tensör kimliği (sıfır-parçacık alanı ℂ ve karşılar jeneratör olsun, bir tek parçacık durumu olmak içinde tensör cebir temel Hilbert alanı üzerinde) ve izin genel tensör ürün durum olabilir. Ekleme ve silme operatörleri, aşağıdaki özyinelemeli denklemlerle tanımlanan doğrusal operatörlerdir. ${\görüntüleme stili\psi _{\alfa }}$${\displaystyle \psi _{\alpha }\equiv 1\otimes \psi _{\alpha }\equiv \psi _{\alpha }\otimes 1}$${\displaystyle \Psi =\psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots }$${\ Displaystyle \ bazen _{\pm }}$${\displaystyle \oslash _{\pm }}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }1=\psi _{\alpha },\quad \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\beta }\otimes \Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\otimes _{ \pm }\Psi );}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }1=0,\quad \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi ) =\delta _{\alpha \beta }\Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\oslash _{\pm }\Psi )}$

İşte olan Kronecker delta 1 eğer verir sembol, aksi ve 0. Alt simge girme ya da silme operatörleri (bozonları için) symmetrization ya da (fermiyonlar için), anti-symmetrization uygulanan olup olmadığını gösterir. ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\görüntüleme stili\pm }$

Bozon oluşturma ve yok etme operatörleri

Bozon oluşturma (yani yok etme) operatörü genellikle (ya da ) olarak gösterilir . Yaratma operatörü , tek parçacık durumuna bir bozon ekler ve yok etme operatörü , tek parçacık durumundan bir bozonu çıkarır . Yaratma ve yok etme operatörleri birbirine Hermitian eşleniğidir, ancak ikisi de Hermitian operatör değildir ( ). ${\displaystyle b_{\alpha }^{\hançer }}$${\displaystyle b_{\alfa }}$${\displaystyle b_{\alpha }^{\hançer }}$${\displaystyle |\alfa \rangle }$${\displaystyle b_{\alfa }}$${\displaystyle |\alfa \rangle }$${\displaystyle b_{\alpha }\neq b_{\alpha }^{\hançer }}$

Tanım

Bozon oluşturma (yok etme) operatörü, bir N -parçacığı birinci nicelenmiş dalga fonksiyonu üzerindeki eylemi şu şekilde tanımlanan doğrusal bir operatördür . ${\görüntüleme stili \Psi }$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\hançer }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\Psi ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\Psi ,}$

burada tek parçacık durumunu ekler olarak simetrik mümkün Ekleme pozisyonları ve tek parçacık durum silinir gelen simetrik mümkün silme konumlarına sahip olmasıdır. ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{+}}$${\görüntüleme stili\psi _{\alfa }}$${\ Displaystyle N+1}$${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{+}}$${\görüntüleme stili\psi _{\alfa }}$${\görüntüleme stili N}$

Fock durumlarında eylem

Tek modlu vakum durumundan başlayarak , yaratma operatörünü tekrar tekrar uygulayarak,${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$${\displaystyle b_{\alpha }^{\hançer }}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\hançer }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{+}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\menzil ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\hançer }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }+1}}}\psi _{\alpha }\ otimes _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{ \alpha }+1)}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|n_{\alpha }+1\rangle .}$

Yaratma operatörü, bozon işgal sayısını 1 arttırır. Bu nedenle, tüm işgal sayısı durumları, bozon oluşturma operatörü tarafından vakum durumundan oluşturulabilir.

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }!}}}(b_{\alpha }^{\hançer })^{n_{\alpha } }|0_{\alpha }\rangle .}$

Öte yandan, yok etme operatörü bozon işgal sayısını 1 azaltır. ${\displaystyle b_{\alfa }}$

${\displaystyle b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }-1)}={ \sqrt {n_{\alpha }}}|n_{\alpha }-1\rangle .}$

Ayrıca , vakum durumunda yok edilecek hiçbir bozon kalmadığından, vakum durumunu da söndürecektir. Yukarıdaki formüller kullanılarak gösterilebilir. ${\displaystyle b_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle=0}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\hançer }b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle,}$

yani bozon sayısı operatörünü tanımlar. ${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=b_{\alpha }^{\hançer }b_{\alpha }}$

Yukarıdaki sonuç, bozonların herhangi bir Fock durumuna genelleştirilebilir.

${\displaystyle b_{\alpha }^{\hançer }|\cdots ,n_{\beta},n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots\rangle ={\sqrt {n_{\alpha }+ 1}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }+1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

${\displaystyle b_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots , n_{\beta },n_{\alpha }-1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

Bu iki denklem, ikinci nicemleme formalizminde bozon yaratma ve yok etme operatörlerinin tanımlayıcı özellikleri olarak düşünülebilir. Altta yatan birinci nicemlenmiş dalga fonksiyonunun karmaşık simetrisi, yaratma ve yok etme operatörleri tarafından otomatik olarak halledilir (birinci nicemlenmiş dalga fonksiyonu üzerinde hareket ederken), böylece karmaşıklık ikinci nicemlenmiş seviyede ortaya çıkmaz ve ikinci niceleme formülleri basit ve düzenlidir.

Operatör kimlikleri

Aşağıdaki operatör kimlikleri, bozon oluşturma ve yok etme operatörlerinin Fock durumu üzerindeki eyleminden kaynaklanmaktadır,

${\displaystyle [b_{\alpha }^{\hançer },b_{\beta }^{\hançer }]=[b_{\alpha },b_{\beta }]=0,\quad [b_{\alpha },b_{\beta }^{\hançer }]=\delta _{\alpha \beta }.}$

Bu komütasyon ilişkileri bozon oluşturma ve yok etme operatörlerinin cebirsel tanımı olarak düşünülebilir. Bozon çok cisimli dalga fonksiyonunun parçacık değişimi altında simetrik olduğu gerçeği bozon operatörlerinin komütasyonuyla da kendini gösterir.

Kuantum harmonik osilatörün yükseltme ve alçaltma operatörleri de aynı komütasyon ilişkileri setini sağlar, bu da bozonların bir osilatörün enerji kuantası (fononları) olarak yorumlanabileceğini gösterir. Bir Harmonik osilatörün (veya bir Harmonik salınım modları koleksiyonunun) konum ve momentum operatörleri, fonon yaratma ve yok etme operatörlerinin Hermitian kombinasyonları tarafından verilir,

${\displaystyle x_{\alpha }=(b_{\alpha }+b_{\alpha }^{\hançer })/{\sqrt {2}},\quad p_{\alpha }=(b_{\alpha } -b_{\alpha }^{\hançer })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

konum ve momentum operatörleri arasındaki kurallı komütasyon ilişkisini yeniden üreten ($\hbar=1$ ile)

${\displaystyle [x_{\alpha },p_{\beta }]=\mathrm {i} \delta _{\alpha \beta },\quad [x_{\alpha },x_{\beta }]=[p_ {\alpha },p_{\beta }]=0.}$

Bu fikir, madde alanının her modunu kuantum dalgalanmalarına tabi bir osilatör olarak kabul eden kuantum alan teorisinde genelleştirilmiştir ve bozonlar, alanın uyarımları (veya enerji kuantumları) olarak ele alınır.

Fermiyon oluşturma ve yok etme operatörleri

Fermiyon oluşturma (yok etme) operatörü genellikle ( ) olarak gösterilir . Oluşturma operatörü , tek parçacık durumuna bir fermiyon ekler ve yok etme operatörü , tek parçacık durumundan bir fermiyon çıkarır . ${\displaystyle c_{\alpha }^{\hançer }}$${\displaystyle c_{\alfa }}$${\displaystyle c_{\alpha }^{\hançer }}$${\displaystyle |\alfa \rangle }$${\displaystyle c_{\alfa }}$${\displaystyle |\alfa \rangle }$

Tanım

Fermiyon oluşturma (yok etme) operatörü, N -parçacığı birinci nicemlenmiş dalga fonksiyonu üzerindeki eylemi şu şekilde tanımlanan doğrusal bir operatördür . ${\görüntüleme stili \Psi }$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\hançer }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\Psi ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{-}\Psi ,}$

burada tek parçacık durumunu ekler olarak , anti-simetrik mümkün Ekleme pozisyonları ve tek parçacık durum silinir gelen anti-simetrik mümkün silme konumlarına sahip olmasıdır. ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{-}}$${\görüntüleme stili\psi _{\alfa }}$${\ Displaystyle N+1}$${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{-}}$${\görüntüleme stili\psi _{\alfa }}$${\görüntüleme stili N}$

Fock durumlarında eylem

Tek modlu vakum durumundan başlayarak , fermiyon oluşturma operatörünü uygulayarak , ${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$${\displaystyle c_{\alpha }^{\hançer }}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\hançer }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{-}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\menzil ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\hançer }|1_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\ psi _{\alfa }=0.}$

Tek parçacık durumu boşsa, oluşturma operatörü durumu bir fermiyonla dolduracaktır. Bununla birlikte, durum zaten bir fermiyon tarafından işgal edilmişse, yaratma operatörünün daha fazla uygulanması durumu söndürecek ve iki özdeş fermiyonun aynı anda aynı durumu işgal edemeyeceği Pauli dışlama ilkesini gösterecektir . Bununla birlikte, fermiyon yok etme operatörü tarafından işgal edilen durumdan fermiyon çıkarılabilir , ${\displaystyle |\alfa \rangle }$${\displaystyle c_{\alfa }}$

${\displaystyle c_{\alpha }|1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\oslash _{-}\psi _{\alpha }=1=|0_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0.}$

Vakum durumu, yok etme operatörünün eylemiyle söndürülür.

Bozon durumuna benzer şekilde, fermiyon Fock durumu, fermiyon oluşturma operatörü kullanılarak vakum durumundan oluşturulabilir.

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =(c_{\alpha }^{\hançer })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

(numaralandırma yoluyla) kontrol etmek kolaydır.

${\displaystyle c_{\alpha }^{\hançer }c_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle,}$

yani fermiyon sayısı operatörünü tanımlar. ${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=c_{\alpha }^{\hançer }c_{\alpha }}$

Yukarıdaki sonuç, herhangi bir Fock fermiyon durumu için genelleştirilebilir.

${\displaystyle c_{\alpha }^{\hançer }|\cdots,n_{\beta},n_{\alpha},n_{\gamma},\cdots\rangle =(-1)^{\sum _{ \beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {1-n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta},1-n_{\alpha },n_{\gamma },\ cdots \rangle .}$

${\displaystyle c_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

Fermiyonlar için işgal numarasının sadece 0 veya 1 alabileceğini hatırlayın . Bu iki denklem, ikinci kuantizasyon formalizminde fermiyon oluşturma ve yok etme operatörlerinin tanımlayıcı özellikleri olarak düşünülebilir. Jordan-Wigner dizisi olarak da bilinen fermiyon işareti yapısının , tek parçacık durumlarının önceden tanımlanmış bir sıralamasının ( döndürme yapısı ) var olmasını gerektirdiğine ve önceki tüm durumların fermiyon işgal sayılarının bir sayılmasını içerdiğine dikkat edin; bu nedenle fermiyon oluşturma ve yok etme operatörleri bir anlamda yerel olmayan olarak kabul edilir. Bu gözlem, fermiyonların uzun menzilli dolaşık yerel kübit sisteminde ortaya çıkan parçacıklar olduğu fikrine yol açar . ${\displaystyle n_{\alfa }}$${\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}$

Operatör kimlikleri

Aşağıdaki operatör kimlikleri, Fock durumundaki fermiyon oluşturma ve yok etme operatörlerinin eyleminden kaynaklanmaktadır,

${\displaystyle \{c_{\alpha }^{\hançer },c_{\beta }^{\hançer }\}=\{c_{\alpha },c_{\beta }\}=0,\quad \ {c_{\alpha },c_{\beta }^{\hançer }\}=\delta _{\alpha \beta }.}$

Bu anti-komütasyon ilişkileri, fermiyon oluşturma ve yok etme operatörlerinin cebirsel tanımı olarak düşünülebilir. Fermiyon çok cisimli dalga fonksiyonunun partikül değişimi altında anti-simetrik olduğu gerçeği, fermiyon operatörlerinin anti-komütasyonu ile de kendini gösterir.

Yaratma ve yok etme operatörleri birbirine Hermitian eşleniğidir, ancak ikisi de Hermitian operatör değildir ( ). Fermiyon oluşturma ve yok etme operatörlerinin Hermitian kombinasyonu ${\displaystyle c_{\alpha }\neq c_{\alpha }^{\hançer }}$

${\displaystyle \chi _{\alpha ,{\text{Re}}}=(c_{\alpha }+c_{\alpha }^{\hançer })/{\sqrt {2}},\quad \chi _{\alpha ,{\text{Im}}}=(c_{\alpha }-c_{\alpha }^{\hançer })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

Majorana fermiyon operatörleri denir . Bir "fermiyonik" Harmonik osilatörün konum ve momentum operatörlerinin fermiyonik analoğu olarak görülebilirler. Antikomütasyon ilişkisini sağlarlar.

${\displaystyle \{\chi _{i},\chi _{j}\}=\delta _{ij},}$

Burada, herhangi bir Majorana fermiyon operatörünü eşit temelde etiketler (karmaşık fermiyon operatörlerinin Re veya Im kombinasyonundan kaynaklanmalarına bakılmaksızın ). Antikomütasyon ilişkisi, Majorana fermiyon operatörlerinin , çok cisimli Hilbert uzayında sistematik olarak Pauli operatörleri olarak temsil edilebilen bir Clifford cebiri ürettiğini gösterir . ${\görüntüleme stili ben,j}$${\displaystyle c_{\alfa }}$

Kuantum alan operatörleri

Tanımlama , bir tek parçacık durum için genel bir yok etme (oluşturulması) operatör ya fermiyonik olabilir veya bozonik , gerçek alan gösterimi operatörlerin tanımlayan kuantum alan operatörleri ve ile ${\displaystyle a_{\nu }^{\hançer }}$${\görüntüleme stili \nu }$${\ Displaystyle (c_{\nu }^{\hançer })}$${\ Displaystyle (b_{\nu }^{\hançer })}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Psi ^{\hançer }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \sağ)a_{\nu }}$

${\displaystyle \Psi ^{\hançer }(\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \sağ)a_{\ yok }^{\hançer }}$

Bunlar, katsayıları olan ve sıradan birinci nicemleme dalga fonksiyonları olan ikinci nicemleme operatörleridir . Bu nedenle, örneğin, herhangi bir beklenti değeri, sıradan birinci nicemleme dalga fonksiyonları olacaktır. Basitçe söylemek gerekirse, aşağıdaki gibi düzlem dalgalar olmak zorunda değil , temel durumlardan herhangi biri yoluyla sisteme r konumunda bir parçacık eklemenin tüm olası yollarının toplamıdır . ${\displaystyle \psi _{\nu }\sol(\mathbf {r} \sağ)}$${\displaystyle \psi _{\nu }^{*}\sol(\mathbf {r} \sağ)}$ ${\displaystyle \Psi ^{\hançer }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \psi _{\nu }\sol(\mathbf {r} \sağ)}$

Yana ve uzayda her noktasında tanımlanan ikinci nicemleme operatörleri onlar denir kuantum alan operatörleri. Aşağıdaki temel komütatör ve anti komütatör ilişkilerine uyarlar, ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Psi ^{\hançer }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \left[\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\hançer }(\mathbf {r} _{2})\sağ]=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$ bozon alanları,

${\displaystyle \{\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\hançer }(\mathbf {r} _{2})\}=\delta (\mathbf {r} _{ 1}-\mathbf {r} _{2})}$ fermiyon alanları.

Homojen sistemler için, gerçek uzay ve momentum temsilleri arasında dönüşüm yapmak genellikle arzu edilir, bu nedenle, Fourier bazında kuantum alan operatörleri şunları verir:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \fazla {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k\cdot r} }a_{ \mathbf {k} }}$

${\displaystyle \Psi ^{\hançer }(\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k\ cdot r} }a_{\mathbf {k} }^{\hançer }}$

İsimlendirme hakkında yorum yapın

Jordan tarafından ortaya atılan "ikinci nicemleme" terimi, tarihsel nedenlerle varlığını sürdüren bir yanlış adlandırmadır. Kuantum alan teorisinin kökeninde, Dirac denkleminin , kuantize edildiğinde (skaler alan gibi) bir sonuç veren klasik bir spinor alandan ziyade göreli bir dalga fonksiyonunu (dolayısıyla eski "Dirac denizi" yorumu) tanımladığı uygunsuz bir şekilde düşünülmüştü. fermiyonik kuantum alanı (bosonik kuantum alanına karşı).

"İkinci" teriminin önerebileceği gibi, "tekrar" niceleme yapılmaz; kuantize edilen alan, bir parçacığın nicelenmesinin sonucu olarak üretilen bir Schrödinger dalga fonksiyonu değil, klasik bir alandır (elektromanyetik alan veya Dirac spinor alanı gibi), esasen birleştirilmiş osilatörlerin bir birleşimidir; önceden kuantize edilmiştir. Biri bu düzenekteki her bir osilatörün sadece kuantize edilmesidir, sistemin yarı-klasik bir tedavisinden tamamen kuantum-mekanik olana geçilir .

Ayrıca bakınız

• kanonik nicemleme
• İlk niceleme
• geometrik nicemleme
• Kuantizasyon (fizik)
• Schrödinger fonksiyonel

Referanslar

daha fazla okuma

• İkinci niceleme Carlo Maria Becchi, Scholarpedia , 5(6):7902. doi:10.4249/scholarpedia.7902

Dış bağlantılar

• E. Pavarini, E. Koch ve U. Schollwöck'teki Çok Elektron Durumları: İlişkili Maddede Acil Durum Olayları, Jülich 2013, ISBN  978-3-89336-884-6