Dinamik ortalama alan teorisi - Dynamical mean-field theory

Dinamik ortalama alan teorisi ( DMFT ), güçlü korelasyonlu malzemelerin elektronik yapısını belirlemek için bir yöntemdir . Bu tür malzemelerde, yoğunluk fonksiyonel teorisinde ve olağan bant yapısı hesaplamalarında kullanılan bağımsız elektronların yaklaştırılması bozulur. Dinamik ortalama alan teorisi, elektronlar arasındaki yerel etkileşimlerin pertürbatif olmayan bir muamelesi, neredeyse serbest elektron gazı limiti ile yoğunlaştırılmış madde fiziğinin atomik limiti arasındaki boşluğu kapatır .

DMFT, çok gövdeli bir kafes problemini, çok gövdeli yerel bir soruna, bir kirlilik modeli olarak adlandırmaktan ibarettir . Kafes problemi genel olarak inatçı olsa da, safsızlık modeli genellikle çeşitli şemalarla çözülebilir. Haritalama kendi başına bir yaklaşım oluşturmaz. Sıradan DMFT şemalarında yapılan tek yaklaşım, kafes öz enerjisinin momentumdan bağımsız (yerel) bir miktar olduğunu varsaymaktır . Bu yaklaşım, sonsuz koordinasyonlu kafeslerin sınırında kesinleşir .

DMFT'nin ana başarılarından biri , elektronik korelasyonların gücü arttığında bir metal ile bir Mott yalıtkanı arasındaki faz geçişini tanımlamaktır . Yoğunluk fonksiyonel teorisinin yerel yoğunluk yaklaşımı ile birlikte gerçek malzemelere başarıyla uygulanmıştır .

Ortalama alan teorisiyle ilişki

Kafes kuantum modellerinin DMFT işlemi , Ising modeli gibi klasik modellerin ortalama alan teorisi (MFT) işlemine benzer . Ising modelinde, kafes problemi, mıknatıslanması etkili bir "ortalama alan" yoluyla kafes manyetizasyonunu yeniden üretmek olan etkili bir tek alan problemine eşlenir. Bu duruma kendi kendine tutarlılık koşulu denir. Tek bölgeli gözlemlenebilirlerin, etkili bir alan aracılığıyla "yerel" gözlenebilir kafes örgüsünü yeniden üretmesi gerektiğini şart koşmaktadır. N-site Ising Hamiltonian'ın analitik olarak çözülmesi zor olsa da (şimdiye kadar, analitik çözümler yalnızca 1D ve 2D vakaları için mevcuttur), tek bölge problemi kolayca çözülebilir.

Benzer şekilde, DMFT bir kafes problemini ( örn . Hubbard modeli ) tek bölgeli bir problemle eşler . DMFT'de yerel gözlemlenebilir, yerel Green'in işlevidir . Bu nedenle, DMFT için kendi kendine tutarlılık koşulu, kirlilik Green işlevinin, DMFT'de safsızlık modelinin hibridizasyon işlevi olan etkili bir ortalama alan aracılığıyla kafes yerel Green işlevini yeniden üretmesidir . DMFT adını, ortalama alanın zamana bağlı veya dinamik olmasına borçludur . Bu aynı zamanda Ising MFT ve DMFT arasındaki büyük farka da işaret ediyor: Ising MFT, N-spin problemini tek lokasyonlu, tek spin problemine eşler. DMFT, kafes problemini tek bölgeli bir problem üzerine haritalandırır, ancak ikincisi temelde elektron-elektron korelasyonlarından kaynaklanan zamansal dalgalanmaları yakalayan bir N-cismi problemi olarak kalır. ${\ displaystyle \ Delta (\ tau)}$${\ displaystyle \ Delta (\ tau)}$

Hubbard modeli için DMFT'nin açıklaması

DMFT eşlemesi

Tek yörüngeli Hubbard modeli

Hubbard modeli, zıt spin elektronları arasındaki yerinde etkileşimi tek bir parametre ile açıklar . Hubbard Hamiltoniyen aşağıdaki biçimi alabilir: ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle H _ {\ text {Hubbard}} = t \ sum _ {\ langle ij \ rangle \ sigma} c_ {i \ sigma} ^ {\ hançer} c_ {j \ sigma} + U \ toplamı _ {i} n_ {i \ uparrow} n_ {i \ downarrow}}$

burada, spin 1/2 endeksleri bastırma ile , tesisinde lokalize yörünge üzerindeki bir elektronun yaratma ve yok etme operatörleri belirtir , ve . ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle c_ {i} ^ {\ hançer}, c_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle n_ {i} = c_ {i} ^ {\ hançer} c_ {i}}$

Aşağıdaki varsayımlar yapılmıştır:

• (süper-iletken bakır atomu mevcut olduğu durumda olabileceği gibi, elektronik özelliklerine sadece bir yörünge katkıda bulunur cuprates olan, -bands dejenere olan), ${\ displaystyle d}$
• orbitaller o kadar lokalize edilmiştir ki, yalnızca en yakın komşu atlama dikkate alınır. ${\ displaystyle t}$

Yardımcı sorun: Anderson safsızlık modeli

Hubbard modeli genel olarak olağan tedirginlik genişletme teknikleri altında inatçı değildir. DMFT, bu kafes modelini Anderson safsızlık modeli (AIM) ile eşleştirir . Bu model (imha ve oluşturma operatörleri tarafından açıklanan elektronik düzeyde bir "banyo" ile bir sitede (katışkı) etkileşimini tarif ve bir hibridizasyon fonksiyonu yoluyla). Tek bölgeli modelimize karşılık gelen Anderson modeli, bazı spin 1/2 endekslerini bastırmak için hamilton formülasyonu olan tek yörüngeli Anderson kirlilik modelidir : ${\ displaystyle a_ {p \ sigma}}$${\ displaystyle a_ {p \ sigma} ^ {\ hançer}}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle H _ {\ text {AIM}} = \ underbrace {\ sum _ {p} \ epsilon _ {p} a_ {p} ^ {\ dagger} a_ {p}} _ {H _ {\ text {banyo} }} + \ underbrace {\ sum _ {p \ sigma} \ left (V_ {p} ^ {\ sigma} c _ {\ sigma} ^ {\ dagger} a_ {p \ sigma} + hc \ sağ)} _ { H _ {\ text {mix}}} + \ underbrace {Un _ {\ uparrow} n _ {\ downarrow} - \ mu \ left (n _ {\ uparrow} + n _ {\ downarrow} \ right)} _ {H _ {\ text {loc}}}}$

nerede

• ${\ displaystyle H _ {\ text {banyo}}}$ banyonun ilişkili olmayan elektronik seviyelerini açıklar ${\ displaystyle \ epsilon _ {p}}$
• ${\ displaystyle H _ {\ text {loc}}}$ iki elektronun enerji maliyeti ile etkileşime girdiği kirliliği tanımlar ${\ displaystyle U}$
• ${\ displaystyle H _ {\ text {karışım}}}$ hibridizasyon terimleri yoluyla safsızlık ve banyo arasındaki hibridizasyonu (veya birleştirmeyi) açıklar ${\ displaystyle V_ {p} ^ {\ sigma}}$

Matsubara Green'in ile tanımlanan bu modelin işlevi , tamamen parametreler ve hibridizasyon işlevi tarafından belirlenir , bu işlevin hayali zaman Fourier dönüşümüdür . ${\ displaystyle G _ {\ text {imp}} (\ tau) = - \ langle Tc (\ tau) c ^ {\ hançer} (0) \ rangle}$${\ displaystyle U, \ mu}$${\ displaystyle \ Delta _ {\ sigma} (i \ omega _ {n}) = \ toplamı _ {p} {\ frac {| V_ {p} ^ {\ sigma} | ^ {2}} {i \ omega _ {n} - \ epsilon _ {p}}}}$${\ displaystyle \ Delta _ {\ sigma} (\ tau)}$

Bu hibridizasyon işlevi, banyoya girip çıkan elektronların dinamiklerini tanımlar. Kafes dinamiklerini, kirlilik Green'in işlevi yerel kafes Green'in işlevi ile aynı olacak şekilde yeniden üretmelidir. Etkileşimsiz Green'in işlevi ile ilişkilidir:

${\ displaystyle ({\ mathcal {G}} _ {0}) ^ {- 1} (i \ omega _ {n}) = i \ omega _ {n} + \ mu - \ Delta (i \ omega _ { n})}$ (1)

Anderson safsızlık modelini çözmek, belirli bir hibridizasyon işlevi için etkileşimli Green işlevi ve . Zor ama çetrefilli olmayan bir sorundur. AIM'yi çözmenin birkaç yolu vardır, örneğin ${\ displaystyle G (i \ omega _ {n})}$${\ displaystyle \ Delta (i \ omega _ {n})}$${\ displaystyle U, \ mu}$

• Sayısal yeniden normalleştirme grubu
• Tam köşegenleştirme
• Yinelemeli pertürbasyon teorisi
• Kesişmeyen yaklaşım
• Sürekli zamanlı kuantum Monte Carlo algoritmaları

Kendi kendine tutarlılık denklemleri

Kendi kendine tutarlılık koşulu, kirlilik Green işlevinin yerel kafes Green işleviyle çakışmasını gerektirir : ${\ displaystyle G _ {\ mathrm {imp}} (\ tau)}$${\ displaystyle G_ {ii} (\ tau) = - \ langle Tc_ {i} (\ tau) c_ {i} ^ {\ hançer} (0) \ rangle}$

${\ displaystyle G _ {\ mathrm {imp}} (i \ omega _ {n}) = G_ {ii} (i \ omega _ {n}) = \ toplamı _ {k} {\ frac {1} {i \ omega _ {n} + \ mu - \ epsilon (k) - \ Sigma (k, i \ omega _ {n})}}}$

nerede kafes kendinden enerji gösterir. ${\ displaystyle \ Sigma (k, i \ omega _ {n})}$

DMFT yaklaşımı: kafes öz enerjisinin yeri

Tek DMFT yaklaşımı (Anderson modelini çözmek için yapılabilecek yaklaşım dışında), kafes öz enerjisinin uzaysal dalgalanmalarını, onu safsızlık öz-enerjisine eşitleyerek ihmal etmekten ibarettir :

${\ displaystyle \ Sigma (k, i \ omega _ {n}) \ yaklaşık \ Sigma _ {imp} (i \ omega _ {n})}$

Bu yaklaşım, sonsuz koordinasyonlu kafeslerin sınırında, yani her sitenin komşu sayısı sonsuz olduğunda kesin hale gelir. Aslında, kafes öz enerjisinin diyagramatik genişlemesinde, sonsuz koordinasyon sınırına girildiğinde yalnızca yerel diyagramların hayatta kaldığı gösterilebilir.

Bu nedenle, klasik ortalama alan teorilerinde olduğu gibi, boyutluluk (ve dolayısıyla komşuların sayısı) arttıkça DMFT'nin daha doğru olması beklenir. Başka bir deyişle, düşük boyutlar için, uzamsal dalgalanmalar DMFT yaklaşımını daha az güvenilir hale getirecektir.

Uzamsal dalgalanmalar da faz geçişlerinin yakınında önemli hale gelir . Burada, DMFT ve klasik ortalama alan teorileri, ortalama alan kritik üsleri ile sonuçlanır , faz geçişinden önceki belirgin değişiklikler DMFT öz enerjisine yansıtılmaz.

DMFT döngüsü

Yerel kafes Green fonksiyonunu bulmak için, hibridizasyon fonksiyonunu, karşılık gelen kirlilik Green'in fonksiyonu, aranan yerel kafes Green fonksiyonu ile çakışacak şekilde belirlemek gerekir. Bu problemi çözmenin en yaygın yolu, belirli bir için, yani, bir ön yineleme yöntemini kullanmaktır , ve sıcaklık : ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle T}$

1. (Tipik olarak ) için bir tahminle başlayın ${\ displaystyle \ Sigma (k, i \ omega _ {n})}$${\ displaystyle \ Sigma (k, i \ omega _ {n}) = 0}$
2. DMFT yaklaşımını yapın: ${\ displaystyle \ Sigma (k, i \ omega _ {n}) \ yaklaşık \ Sigma _ {\ mathrm {imp}} (i \ omega _ {n})}$
3. Yerel Green'in işlevini hesaplayın ${\ displaystyle G _ {\ mathrm {loc}} (i \ omega _ {n})}$
4. Dinamik ortalama alanını hesaplayın ${\ displaystyle \ Delta (i \ omega) = i \ omega _ {n} + \ mu -G _ {\ mathrm {loc}} ^ {- 1} (i \ omega _ {n}) - \ Sigma _ {\ mathrm {imp}} (i \ omega _ {n})}$
5. Green'in yeni bir kirlilik işlevi için AIM'i çözün, kendi enerjisini çıkarın: ${\ displaystyle G _ {\ mathrm {imp}} (i \ omega _ {n})}$${\ displaystyle \ Sigma _ {\ mathrm {imp}} (i \ omega _ {n}) = ({\ mathcal {G}} _ {0}) ^ {- 1} (i \ omega _ {n}) - (G _ {\ mathrm {imp}}) ^ {- 1} (i \ omega _ {n})}$
6. Yakınsamaya, yani ne zamana kadar 2. adıma geri dönün . ${\ displaystyle G _ {\ mathrm {imp}} ^ {n} = G _ {\ mathrm {imp}} ^ {n + 1}}$

Başvurular

Yerel kafes Green işlevi ve diğer kirlilik gözlemlenebilirleri, korelasyonların , bant genişliğinin, doldurmanın (kimyasal potansiyel ) ve sıcaklığın bir işlevi olarak bir dizi fiziksel niceliği hesaplamak için kullanılabilir : ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle T}$

• spektral fonksiyonu (bant yapısını verir)
• kinetik enerji
• bir sitenin iki kat doluluk oranı
• tepki fonksiyonları (sıkıştırılabilirlik, optik iletkenlik, özgül ısı)

Özellikle, arttıkça çift ​​doluluk oranının düşmesi Mott geçişinin bir imzasıdır. ${\ displaystyle U}$

DMFT Uzantıları

DMFT'nin, yukarıdaki biçimciliği çoklu yörünge, çok alanlı problemler, uzun menzilli korelasyonlar ve denge olmayana kadar genişleten çeşitli uzantıları vardır.

Çoklu yörünge uzantısı

DMFT, çoklu yörüngeli Hubbard modellerine, yani farklı yörüngelerin bulunduğu ve gösterdiği formun elektron-elektron etkileşimleriyle genişletilebilir . Yoğunluk fonksiyonel teorisi (DFT + DMFT) ile kombinasyon, daha sonra ilişkili materyallerin gerçekçi bir hesaplamasına izin verir. ${\ displaystyle U _ {\ alpha \ beta} n _ {\ alpha} n _ {\ beta}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$

Genişletilmiş DMFT

Genişletilmiş ÇKDD yerel olmayan etkileşimler için yerel bir kirlilik öz enerjisini verir ve dolayısıyla gibi daha genel modeller için ÇKDD uygulamak bizi tanır t J modeli .

DMFT Küme

DMFT yaklaşımını iyileştirmek için, Hubbard modeli, kişinin safsızlık öz enerjisine bir miktar uzamsal bağımlılık eklemesine izin veren çok bölgeli bir kirlilik (küme) problemi üzerinde haritalanabilir. Kümeler, düşük sıcaklıkta 4 ila 8 bölge ve yüksek sıcaklıkta 100 adede kadar alan içerir.

Şematik uzantılar

Bir faz geçişinin yakınındaki uzun menzilli korelasyonlar da dahil olmak üzere DMFT'nin ötesindeki öz enerjinin mekansal bağımlılıkları, analitik ve sayısal tekniklerin bir kombinasyonu kullanılarak DMFT'nin diyagramatik uzantıları yoluyla da elde edilebilir. Dinamik tepe yaklaşımı ve ikili fermiyon yaklaşımının başlangıç ​​noktası, yerel iki parçacıklı tepe noktasıdır .

Denge dışı

DMFT, denge dışı taşıma ve optik uyarıları incelemek için kullanılmıştır. Burada, AIM'in Green fonksiyonunun denge dışı güvenilir şekilde hesaplanması büyük bir zorluk olmaya devam ediyor.

Referanslar ve notlar

Ayrıca bakınız

• Güçlü bir şekilde ilişkili malzeme

Dış bağlantılar

• Kesinlikle İlişkili Malzemeler: Dinamik Ortalama Alan Teorisinden İçgörüler G. Kotliar ve D. Vollhardt
• Güçlü korelasyonlu malzemeler Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt ve Alexander Lichtenstein (eds.) İçin LDA + DMFT yaklaşımı üzerine ders notları
• Ders notları DMFT 25: Sonsuz Boyutlar Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt ve Alexander Lichtenstein (ed.)
• Ders notları DMFT - Sonsuz Boyutlardan Gerçek Malzemelere Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt ve Alexander Lichtenstein (ed.)