Kompozisyon serisi - Composition series

Gelen soyut cebir bir bileşim serisi bir kırmak için bir yol sağlar cebirsel yapısı , örneğin, bir şekilde, grup ya da bir modül basit parçalar halinde. Modüllerin bağlamında bileşim serisi dikkate ihtiyacı birçok doğal olarak oluşan modüller olmadığı gerçeği ortaya çıkar yarı basit dolayısıyla ayrılmıştır edilemez, direkt toplamı arasında basit modülleri . Bir modül bir bileşimi serisi M sonlu artmaktadır filtrasyon ve M ile alt birimlerin ardışık katsayılarıdır bu şekilde basit ve direk toplam bozunma yerine hizmet veren M basit bileşenlerine.

Bir kompozisyon dizisi mevcut olmayabilir ve var olduğunda benzersiz olması gerekmez. Bununla birlikte, Jordan-Hölder teoremi genel adı altında bilinen bir grup sonuç, bileşim serileri olduğunda , basit parçaların izomorfizm sınıflarının (belki de söz konusu bileşim dizilerindeki konumları olmasa da ) ve çokluklarının benzersiz bir şekilde belirlendiğini iddia eder . Kompozisyon serileri böylece sonlu grupların ve Artinian modüllerinin değişmezlerini tanımlamak için kullanılabilir .

İlişkili fakat farklı bir kavram, bir baş seridir : bir kompozisyon serisi, bir maksimal normal altı seridir , baş seri ise bir maksimal normal seridir .

Gruplar için

Bir G grubu normal bir N alt grubuna sahipse , o zaman G / N faktör grubu oluşturulabilir ve G'nin yapısının çalışmasının bazı yönleri "daha küçük" G/N ve N grupları incelenerek parçalanabilir . Eğer G farklıdır hiçbir normal alt grubu olan G ve önemsiz gruptan, daha sonra G, a, basit bir grup . Aksi takdirde, G'nin basit "parçalara" indirgenip indirgenemeyeceği sorusu doğal olarak ortaya çıkar ve eğer öyleyse, bunun yapılabileceği benzersiz özellikler var mı?

Daha teorik bir bileşim serisi a grubu G a, normal-altı dizi sonlu uzunlukta

${\displaystyle 1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,}$

katı kapanımlarla, öyle ki her bir H _i , H _{i +1'in} bir maksimal uygun normal alt grubudur . Eşdeğer olarak, bir bileşim serisi, her faktör grubu olduğu bir normal-altı dizi lH _{i + 1} / H _i olan basit . Faktör gruplarına kompozisyon faktörleri denir .

Normal altı bir dizi, ancak ve ancak maksimum uzunluktaysa bir bileşim dizisidir . Yani, bir kompozisyon serisine "eklenebilecek" hiçbir ek alt grup yoktur. Serinin uzunluğu n , kompozisyon uzunluğu olarak adlandırılır .

Bir bileşim serisi bir grup varsa G , daha sonra, herhangi bir normal-altı dizi G edilebilir rafine maksimallikten seri kadar içine alt grupları sokarak, gayri bir bileşim serisi. Her sonlu grubun bir kompozisyon dizisi vardır, ancak her sonsuz grubun bir tane yoktur. Örneğin, kompozisyon dizisi yoktur. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Teklik: Jordan–Hölder teoremi

Bir grubun birden fazla kompozisyon serisi olabilir. Bununla birlikte, ( Camille Jordan ve Otto Hölder'den sonra adlandırılan) Jordan-Hölder teoremi , belirli bir grubun herhangi iki kompozisyon serisinin eşdeğer olduğunu belirtir. Yani, permütasyon ve izomorfizme kadar aynı bileşim uzunluğuna ve aynı bileşim faktörlerine sahiptirler . Bu teorem, Schreier arıtma teoremi kullanılarak kanıtlanabilir . Jordan-Hölder teoremi, aynı zamanda transfinite artan kompozisyon serileri için de geçerlidir , ancak transfinite azalan kompozisyon serileri için geçerli değildir ( Birkhoff 1934 ). Baumslag (2006) , bir normal altı serideki terimleri diğer serilerdeki terimlerle kesiştirerek Jordan-Hölder teoreminin kısa bir kanıtını verir.

Örnek

Bir için siklik grup düzenin n , sıralı ana çarpanlama bileşimin serisi karşılık gelir , n , ve aslında bir kanıtı elde edilir aritmetik temel teoremi .

Örneğin, siklik bir grup yer alır ve üç farklı bileşim serisi. İlgili durumlarda elde edilen bileşim faktörlerinin dizileri ve${\ Displaystyle C_{12}}$${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12},\ \,C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12 },}$${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}$${\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2},\ \,C_{2},C_{2},C_{3},}$${\displaystyle C_{3},C_{2},C_{2}.}$

Modüller için

Modüller için kompozisyon serisinin tanımı, tüm dikkati alt modüllerle sınırlandırarak, alt modül olmayan tüm katkı alt gruplarını yok sayar. Bir R halkası ve bir R modülü M verildiğinde , M için bir kompozisyon serisi , bir dizi alt modüldür

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M}$

burada tüm eklemeler katıdır ve J _k , her k için J _{k +1'in} maksimum bir alt modülüdür . Eğer grup için olduğu gibi, M hiç bir bileşimin dizi, bir alt birime daha sonra herhangi bir sonlu kesin artan seri M bir bileşimin serisine rafine edilebilir, ve uygun herhangi bir iki bileşim serisi M eşdeğerdir. Bu durumda, (basit) bölüm modülleri J _{k + 1} / J _k olarak bilinir bileşim faktörler arasında M, Ürdün-tutucu teoremi sağlanması tutan basit her izomorfizm tip geçiş sayısı R Modül olarak bir bileşim faktörü, bileşim serisinin seçimine bağlı değildir.

İyi bir hem de, ancak ve ancak bir modül sonlu bir bileşim dizi bilinmektedir artinian modülü ve bir Notherian modülü . Eğer R, bir bir artinian halka , o zaman her sonlu oluşturulan R Modül artinian ve Noether ve böylece sınırlı bir bileşim serisi vardır. Özellikle, herhangi bir alan için K , üzerinde sonlu boyutlu cebir sonlu boyutlu modülü K bir bileşim serisi, denklik özgü kadar sahiptir.

genelleme

Bir dizi operatöre sahip gruplar, grup eylemlerini genelleştirir ve bir grup üzerindeki eylemleri çaldırır. Hem gruplara hem de modüllere yönelik birleşik bir yaklaşım ( Bourbaki 1974 , Bölüm 1) veya ( Isaacs 1994 , Bölüm 10)'de olduğu gibi, bazı açıklamaları basitleştirerek izlenebilir. G grubu , bir Ω kümesinden elemanlar (operatörler) tarafından etkileniyor olarak görülür . Dikkat öğelerin etkisi altında alt gruplar değişmez tamamen sınırlı Q olarak adlandırılan Ω -subgroups. Bu nedenle, Ω- kompozisyon serileri sadece Ω alt gruplarını kullanmalıdır ve Ω- kompozisyon faktörlerinin sadece Ω-basit olması gerekir. Jordan-Hölder teoremi gibi yukarıdaki standart sonuçlar, hemen hemen aynı ispatlarla oluşturulmuştur.

Kurtarılan özel durumlar, Ω = G olduğunda G'nin kendi kendine etki etmesini içerir . Bunun önemli bir örneği, G'nin öğelerinin konjugasyonla hareket etmesidir, böylece operatörler kümesi iç otomorfizmlerden oluşur . Bu eylemin altında bir beste dizisi tam bir baş dizidir . Modül yapıları, Ω'un bir halka olduğu ve bazı ek aksiyomların karşılandığı bir Ω-eylemleri durumudur.

Değişken bir kategorideki nesneler için

Bir bileşim serisi , bir bir amacı, A , bir in değişmeli kategori alt nesnelerin bir sırası

${\displaystyle A=X_{0}\supsetneq X_{1}\supsetneq \dots \supsetneq X_{n}=0}$

Bu tür her birinin bölüm nesne X _ı  / x _{i  + 1} olan basit için ( 0 ≤ i < n ). Eğer bir bir bileşimin dizi, tam sayı , n , sadece bağlıdır A ve adı uzunluğu arasında A .

Ayrıca bakınız

• Krohn-Rhodes teorisi , bir yarı grup analogu
• Schreier iyileştirme teoremi , herhangi iki eşdeğer normal altı serinin eşdeğer bileşim serisi iyileştirmeleri vardır
• Zassenhaus lemma , Schreier Arıtma Teoremini kanıtlamak için kullanılır

Notlar

Referanslar

• Birkhoff, Garrett (1934), "Transfinite alt grup serisi" , Amerikan Matematik Derneği Bülteni , 40 (12): 847–850, doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05982-2
• Baumslag, Benjamin (2006), "Jordan-Hölder-Schreier teoremini kanıtlamanın basit bir yolu", American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935, doi : 10.2307/27642092
• Bourbaki, N. (1974), Algebra , Hermann, Paris; Addison-Wesley Publishing Co., Okuma Kitlesi.
• Isaacs, I. Martin (1994), Cebir: Bir Lisansüstü Kursu , Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-19002-6
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Kategoriler ve kasnaklar