Aritmetiğin temel teoremi - Fundamental theorem of arithmetic
Gelen sayı teorisi , aritmetik temel teoremi olarak da adlandırılan tek çarpanlara teoremi her ki durumları tam sayı 1 den büyük, asal sayıların bir ürün olarak benzersiz temsil edilebilir kadar faktörleri için. Örneğin,
Teoremi Bu örnek hakkında iki şey söylüyor: Birincisi, 1200 o olabilir bu nasıl yapılır olursa olsun, her zaman tam olarak dört 2s, bir 3, iki 5s, başkası yok olacağı, ikinci asal ürünü olarak temsil edilir ve gereken üründe asal.
Faktörlerin asal olması gerekliliği gereklidir: bileşik sayılar içeren çarpanlara ayırma benzersiz olmayabilir (örneğin, ).
Bu teorem, 1'in asal sayı olarak kabul edilmemesinin ana nedenlerinden biridir : eğer 1 asal olsaydı, o zaman asal sayılara çarpanlara ayırma benzersiz olmazdı; Örneğin,
Öklid'in orijinal versiyonu
Kitap VII önermeler 30, 31 ve 32, ve Kitap IX, bir önerme 14 Öklid 'in Elements esasen beyanı ve temel teoremi kanıtıdır.
İki sayı birbiriyle çarpılarak bir sayı yaparsa ve herhangi bir asal sayı ürünü ölçüyorsa, orijinal sayılardan birini de ölçecektir.
— Öklid, Elementler Kitap VII , Önerme 30
(Modern terminolojisinde: bir ana ise p böler ürün ab , daha sonra p bölme ya bir ya da b . Ya da her ikisi) ÖNERME 30 olarak ifade edilir Öklid Önsavı ve aritmetik temel teoreminin kanıtı anahtarıdır.
Herhangi bir bileşik sayı, bir asal sayı ile ölçülür.
— Öklid, Elementler Kitap VII , Önerme 31
(Modern terminolojide: birden büyük her tam sayı, bir asal sayı ile eşit olarak bölünür.) 31. önerme, doğrudan sonsuz inişle ispatlanır .
Herhangi bir sayı ya asaldır ya da bir asal sayı ile ölçülür.
— Öklid, Elementler Kitap VII , Önerme 32
Önerme 32, önerme 31'den türetilmiştir ve ayrıştırmanın mümkün olduğunu kanıtlar.
Bir sayı, asal sayılarla ölçülen en küçük sayıysa, başlangıçta onu ölçenlerden başka bir asal sayı ile ölçülmez.
— Öklid, Elements Book IX , Önerme 14
(Modern terminolojide: birkaç asal sayının en küçük ortak katı , başka herhangi bir asal sayının katı değildir.) Kitap IX, önerme 14, Kitap VII, önerme 30'dan türetilmiştir ve ayrıştırmanın benzersiz olduğunu kısmen kanıtlar – kritik bir nokta André Weil tarafından not edildi . Gerçekten de, bu önermede üslerin hepsi bire eşittir, dolayısıyla genel durum için hiçbir şey söylenmez.
Madde 16 Gauss ' Disquisitiones Arithmeticae kullanan bir erken modern bir deyim ve kanıtıdır modüler aritmetik .
Uygulamalar
Pozitif bir tamsayının kanonik gösterimi
Her pozitif tam sayı n > 1 asal kuvvetlerin bir ürünü olarak tam olarak tek bir şekilde temsil edilebilir:
burada p 1 < p 2 < ... < p k asal sayılardır ve n i pozitif tam sayılardır. Bu gösterim, boş çarpım 1'e eşit (boş çarpım k = 0'a tekabül eder ) kuralına göre, 1 dahil olmak üzere tüm pozitif tam sayılara yaygın olarak genişletilir .
Bu temsili olarak adlandırılır kanonik gösterimi arasında n ya da standart form ve n . Örneğin,
- 999 = 3 3 × 37,
- 1000 = 2 3 × 5 3 ,
- 1001 = 7×11×13.
p 0 = 1 faktörleri , n'nin değeri değiştirilmeden eklenebilir (örneğin, 1000 = 2 3 ×3 0 ×5 3 ). Aslında, herhangi bir pozitif tam sayı, tüm pozitif asal sayılar üzerinden alınan sonsuz bir çarpım olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir :
burada n i'nin sonlu bir sayısı pozitif tam sayılardır ve geri kalanı sıfırdır. Negatif üslere izin vermek, pozitif rasyonel sayılar için kanonik bir biçim sağlar .
Aritmetik işlemler
İki a ve b sayısının çarpımının, en büyük ortak böleninin (GCD) ve en küçük ortak katının (LCM) kurallı gösterimleri, a ve b'nin kendilerinin kurallı gösterimleri cinsinden basitçe ifade edilebilir :
Bununla birlikte, özellikle büyük sayıların tamsayı çarpanlarına ayırma , ürünleri, GCD'leri veya LCM'leri hesaplamaktan çok daha zordur. Dolayısıyla bu formüllerin pratikte sınırlı kullanımı vardır.
aritmetik fonksiyonlar
Birçok aritmetik fonksiyon, kurallı gösterim kullanılarak tanımlanır. Özellikle toplamsal ve çarpımsal fonksiyonların değerleri, asal sayıların kuvvetleri üzerindeki değerleri ile belirlenir.
Kanıt
Kanıtı kullanan Öklid Lemmasını ( Elemanları VII, 30): Bir asal ise böler iki tamsayılar ürünü, o zaman bu tamsayılar en az birini bölmek gerekir.
Varoluş
Fazla her tam sayı olduğu tespit edilmelidir 1 ya asal veya asal bir ürünüdür. İlk olarak, 2 asaldır. Ardından, tarafından güçlü indüksiyon , bundan daha büyük tüm numaralar için geçerlidir varsayalım 1 den az n . Eğer n asal ise, kanıtlanacak başka bir şey yoktur. Aksi takdirde, a ve b tamsayıları vardır , burada n = ab ve 1 < a ≤ b < n . Tümevarım hipotezine göre, a = p 1 p 2 ⋅⋅⋅ p j ve b = q 1 q 2 ⋅⋅⋅ q k asal sayıların ürünleridir. Ama o zaman n = ab = p 1 p 2 ⋅⋅⋅ p j q 1 q 2 ⋅⋅⋅ q k asal sayıların bir ürünüdür.
benzersizlik
Diyelim ki, tam tersine, iki farklı asal çarpanlaştırmaya sahip bir tamsayı var. Let , n azından bu tamsayı ve yazma olabilir , n = p 1 p 2 ... p J = q 1 q 2 ... q k her biri s i ve q, i asal. Biz görüyoruz p 1 böler q 1 q 2 ... q k yüzden, p 1 böler bazı q i tarafından Öklid lemmasının . Genelliği kaybetmeden, diyelim ki p 1 böler q 1 . Yana p 1 ve q, 1 , her iki asal, bu, aşağıdaki p 1 = q 1 . n'nin çarpanlarına ayırmamıza dönersek , bu iki çarpanı iptal ederek p 2 ... p j = q 2 ... q k sonucuna varabiliriz . Şimdi daha sıkı küçük bazı tamsayı iki ayrı asal ayrıştırmaları sahip n bir minimality çelişmektedir, n .
Öklid'in lemması olmadan teklik
Aritmetiğin temel teoremi, Öklid'in lemmasını kullanmadan da kanıtlanabilir. Aşağıdaki kanıt, Öklid algoritmasının Öklid'in orijinal versiyonundan esinlenmiştir .
Asal sayıların iki farklı şekilde çarpımı olan en küçük pozitif tam sayı olduğunu varsayalım . Bu arada, bu , eğer varsa, ' den büyük bir bileşik sayı olması gerektiği anlamına gelir . Şimdi söyle
Her biri, her Aksi takdirde, farklı olmalıdır , eğer öyleyse , s'den daha küçük ve iki farklı asal çarpanlaştırmaya sahip bir pozitif tamsayı olacaktır . Gerekirse, iki çarpanlaştırmayı değiştirerek de varsayılabilir .
Ayar ve tek olan O izler
s'den küçük pozitif tam sayıların benzersiz bir asal çarpanlara ayırmaya sahip olduğu varsayıldığından , ya veya Q'nun çarpanlarına ayırma işleminde gerçekleşmelidir . Bu sonuncu, imkansız Q , daha küçüktür s , benzersiz bir asal çarpanlara olması ve her farklıdır Birinci durumda, hem, de imkansız bir bölen bir de bir bölen olmalıdır bunun hangi imkansız ve farklı asal sayılardır.
Bu nedenle, birden fazla farklı asal çarpanlara ayırmaya sahip en küçük bir tamsayı olamaz. Her pozitif tamsayı, ya benzersiz bir şekilde çarpanlarına ayıracak bir asal sayı olmalı, ya da aynı zamanda asal sayılarda benzersiz çarpanlara sahip bir bileşik olmalı ya da tamsayı söz konusu olduğunda, herhangi bir asal çarpana ayırmamalıdır.
genellemeler
Teoremin ilk genellemesi Gauss'un iki kuadratik mütekabiliyet üzerine ikinci monografında (1832) bulunur . Bu makale şimdi ne denir tanıtılan halka ait Gauss tamsayılar , tüm kümesi karmaşık sayılar bir + bi yerde bir ve b tam sayılardır. Şimdi O, bu halkanın ±1 ve ± i dört birimine sahip olduğunu, sıfır olmayan, birim olmayan sayıların asal sayılar ve bileşik olmak üzere iki sınıfa ayrıldığını ve (sıra hariç) bileşiklerin sahip olduğunu gösterdi. asal sayıların bir ürünü olarak benzersiz çarpanlara ayırma.
Üzerinde çalışırken Benzer şekilde, 1844 yılında kübik karşılıklılık , Eisenstein halka tanıtıldı , bir küp birlik kökü . Bu, Eisenstein tamsayılarının halkasıdır ve altı birime sahip olduğunu ve benzersiz çarpanlara ayırmaya sahip olduğunu kanıtladı .
Ancak, benzersiz çarpanlara ayırmanın her zaman geçerli olmadığı da keşfedildi. tarafından bir örnek verilmiştir . Bu yüzükte bir
Bunun gibi örnekler "asal" kavramının değişmesine neden oldu. İçinde yukarıdaki faktörlerden herhangi biri, örneğin, bir ürünün, 2 = olarak temsil edilebilir, eğer ispat edilebilir ab sonra bir, bir ya da B bir birim olmalıdır. Bu, "asal"ın geleneksel tanımıdır. Bu faktörlerin hiçbirinin Öklid'in lemmasına uymadığı da kanıtlanabilir; örneğin, 2 bölme de (1 + √ -5 ), ne de (1 - √ -5 ) bu ise kendi ürün 6. böler halde teori cebirsel sayısı 2 olarak adlandırılan indirgenemez olarak değil (kendi başına veya bir birim sadece bölünebilir) asal içinde (bir ürünü bölerse, faktörlerden birini bölmelidir). 2 asal olduğundan ve indirgenemez olduğundan bahsedilmesi gereklidir . Bu tanımları kullanarak herhangi bir integral alanında bir asalın indirgenemez olması gerektiği kanıtlanabilir . Öklid'in klasik lemması "tamsayılar halkasında her indirgenemez asaldır" şeklinde yeniden ifade edilebilir . Bu aynı zamanda doğrudur ve içinde değil
İndirgenemezlere çarpanlara ayırmanın esasen benzersiz olduğu halkalara benzersiz çarpanlara ayırma alanları denir . Önemli örnekler , tamsayılar veya bir alan üzerindeki polinom halkaları , Öklid alanları ve temel ideal alanlardır .
1843'te Kummer , Dedekind (1876) tarafından modern idealler teorisine , halkaların özel alt kümelerine daha da geliştirilen ideal sayı kavramını tanıttı . Çarpma, idealler için tanımlanır ve benzersiz çarpanlarına sahip oldukları halkalara Dedekind etki alanları denir .
Sıra sayıları için benzersiz çarpanlara ayırmanın bir sürümü vardır , ancak benzersizliği sağlamak için bazı ek koşullar gerektirir.
Ayrıca bakınız
- Tamsayı çarpanlarına ayırma - Bir tamsayının bir ürüne ayrıştırılması
- Asal imza – Asal çarpanlara ayırmada çok sayıda asal üs kümesi
Notlar
Referanslar
Disquisitiones Arithmeticae İngilizce ve Almanca'ya Latin çevrildi. Almanca baskı, sayı teorisi üzerine tüm makalelerini içerir: ikinci dereceden karşılıklılığın tüm kanıtları, Gauss toplamının işaretinin belirlenmesi, iki kuadratik karşılıklılık araştırmaları ve yayınlanmamış notlar.
- Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (İngilizceye çeviren) (1986), Disquisitiones Arithemeticae (İkinci, düzeltilmiş baskı) , New York: Springer , ISBN 978-0-387-96254-2
- Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (Almancaya çeviren) (1965), Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & sayı teorisi üzerine diğer makaleler) (İkinci baskı) , New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
Gauss'un iki kareli karşılıklılık üzerine yayınladığı iki monografın bölümleri ardışık olarak numaralandırılmıştır: ilki §§ 1-23 ve ikincisi §§ 24-76'yı içerir. Bunlara atıfta bulunan dipnotlar "Gauss, BQ, § n " biçimindedir . Disquisitiones Arithmeticae'ye atıfta bulunan dipnotlar "Gauss, DA, Art. n " biçimindedir .
- Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Göttingen: Yorum. Soc. regiae bilim, Göttingen 6
- Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Göttingen: Yorum. Soc. regiae bilim, Göttingen 7
Bunlar Gauss'un Werke , Cilt II, s. 65-92 ve 93-148'indedir; Alman çevirileri s. 511-533 ve Alman baskısının 534-586 olan araştırmalarındaki .
- Baker, Alan (1984), Sayılar Teorisine Kısa Bir Giriş , Cambridge, İngiltere: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-28654-1
- Euclid (1956), Elementlerin on üç kitabı , 2 (Kitaplar III-IX), Thomas Little Heath tarafından çevrildi (İkinci Baskı Kısaltılmamış ed.), New York: Dover , ISBN 978-0-486-60089-5
- Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Sayılar Teorisine Giriş . DR Heath-Brown ve JH Silverman tarafından revize edilmiştir . Andrew Wiles'ın önsözü . (6. baskı). Oxford: Oxford Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 978-0-19-921986-5. MR 2445243 . Zbl 1159.11001 .
- A. Kornilowicz; P. Rudnicki (2004), "Aritmetiğin temel teoremi", Biçimselleştirilmiş Matematik , 12 (2): 179–185
- Long, Calvin T. (1972), Sayı Teorisine Temel Giriş (2. baskı), Lexington: DC Heath and Company , LCCN 77-171950.
- Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Sayı Teorisinin Elemanları , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN 77-81766.
- Riesel, Hans (1994), Asal Sayılar ve Çarpanlara ayırma için Bilgisayar Yöntemleri (ikinci baskı) , Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5
- Weil, Andre (2007) [1984]. Sayı Teorisi: Hammurapi'den Legendre'ye Tarih Boyunca Bir Yaklaşım . Modern Birkhäuser Klasikleri. Boston, MA: Birkhäuser. ISBN'si 978-0-817-64565-6.
- Weisstein, Eric W. "Anormal sayı" . Matematik Dünyası .
- Weisstein, Eric W. "Aritmetiğin Temel Teoremi" . Matematik Dünyası .
Dış bağlantılar
- Aritmetiğin temel teoremi neden açık değil?
- OBEB ve Aritmetik temel teoremi de kesme-düğüm .
- PlanetMath: Aritmetiğin temel teoreminin kanıtı
- Fermat'ın Son Teoremi Blogu: Benzersiz Çarpanlara ayırma , Fermat'ın Son Teoreminin İskenderiye Diophantus'tan Andrew Wiles'ın ispatına kadar olan tarihini kapsayan bir blog .
- "Aritmetiğin Temel Teoremi" , Hector Zenil, Wolfram Gösteriler Projesi , 2007.
- Kir, James. "1 ve Asal Sayılar" . Numara meraklısı . Brady Haran'ın fotoğrafı .