Disquisitiones Aritmetik -Disquisitiones Arithmeticae

İlk baskının başlık sayfası

Disquisitiones Arithmeticae ( Latince "Aritmetik Soruşturma" için) bir ders kitabı olan sayılar teorisi tarafından Latince yazılmış Carl Friedrich Gauss Gauss 21 ve o bir devrimci etki vardı ettiği için dikkate değer 24. iken ilk 1801'de yayınlandığında 1798 yılında alan sayılar teorisi değil sadece, aynı zamanda saha gerçekten titiz ve sistemli yapılmış ama gibi modern sayılar teorisi yolunu açtı. Gauss bu kitabında Fermat , Euler , Lagrange , Legendre gibi matematikçiler tarafından elde edilen sayılar teorisindeki sonuçları bir araya getirip uzlaştırmış ve kendine ait birçok derin ve orijinal sonuç eklemiştir.

Dürbün

Disquisitiones hem de kapsar temel sayılar teorisi ve şimdi denilen matematik alanının kısımlarını cebirsel sayılar teorisi . Gauss , modern cebirin merkezinde yer alan grup kavramını açıkça tanımadığı için bu terimi kullanmadı. Konusu için kendi başlığı Yüksek Aritmetik idi. Gauss , İncelemelere Önsözünde kitabın kapsamını şu şekilde açıklar:

Bu cildin araştıracağı sorular, Matematiğin tamsayılarla ilgili bölümüyle ilgilidir.

Gauss ayrıca, "Birçok zor problemle karşılaşıldığında, okuyucular bu esere atıfta bulunduğunda, kısalık uğruna türetmeler bastırılmıştır." ("Quod, in pluribus quaestionibus difficilibus, gösteri sentetik kullanım toplamı, analiz başına quam erutae sunt bastırma, imprimis brevitatis studio tribuendum est, cui quantum fieri poterat consulere oportebat")

İçindekiler

Ayrıca bakınız: Modüler aritmetik

Kitap yedi bölüme ayrılmıştır:

  1. Genel Olarak Eş Sayılar
  2. Birinci Derecenin Eşlikleri
  3. Güçlerin Kalıntıları
  4. İkinci Derecenin Uyumları
  5. İkinci Derecenin Formları ve Belirsiz Denklemleri
  6. Önceki Tartışmaların Çeşitli Uygulamaları
  7. Bir Çemberin Bölümlerini Tanımlayan Denklemler

Bu bölümler, ispatlı bir teoremi ifade eden veya başka bir şekilde bir açıklama veya düşünce geliştiren 366 numaralı maddeye bölünmüştür.

I'den III'e kadar olan kısımlar, esasen Fermat'ın küçük teoremi , Wilson teoremi ve ilkel köklerin varlığı dahil olmak üzere önceki sonuçların bir incelemesidir . Bu bölümlerdeki sonuçların çok azı orijinal olmasına rağmen, Gauss bu materyali sistematik bir şekilde bir araya getiren ilk matematikçiydi. Ayrıca , modern araçları kullanarak yeniden ifade ettiği ve kanıtladığı benzersiz çarpanlara ayırma özelliğinin ( ilk olarak Öklid tarafından incelenen aritmetiğin temel teoremi tarafından güvence altına alınmıştır) önemini fark etti .

IV. Bölümden itibaren, çalışmaların çoğu orijinaldir. Bölüm IV, ikinci dereceden karşılıklılığın bir kanıtını geliştirir ; Kitabın yarısından fazlasını kaplayan Bölüm V, ikili ve üçlü ikinci dereceden formların kapsamlı bir analizidir . Bölüm VI, iki farklı asallık testi içermektedir . Son olarak, Bölüm VII bir analizidir devirli polinomların normal belirlemek kriterleri vererek sonucuna, çokgenler olan inşa edilebilir , yani, bir pusula ve tek başına işaretlenmemiş cetvel ile yapılabilir.

Gauss, yüksek mertebeden uygunluklar üzerine sekizinci bir bölüm yazmaya başladı, ancak onu tamamlamadı ve ölümünden sonra ayrı ayrı Disquisitiones generales de congruentiis (Latince: ' Congruences Üzerine Genel Soruşturmalar') başlığıyla yayınlandı . İçinde Gauss, daha sonra Dedekind , Galois ve Emil Artin tarafından ele alınan bakış açısıyla yakından ilgili bir bakış açısıyla genel uygunluk sorununa saldırarak keyfi derecedeki uyumları tartıştı . İnceleme, sonlu bir sabitler alanı üzerindeki fonksiyon alanları teorisinin yolunu açtı . O Risaleye özgü Fikirler net öneminin tanınması olan Frobemino morfizmalar ve bir versiyonu Hensel Lemması .

Disquisitiones bilimsel yazılmış son matematiksel eserler biriydi Latince . 1965 yılına kadar İngilizce tercümesi yayınlanmadı.

Önem

Disquisitiones yayınlanmadan önce , sayı teorisi izole teoremler ve varsayımlardan oluşuyordu. Gauss, seleflerinin çalışmalarını kendi özgün çalışmalarıyla sistematik bir çerçeveye oturtmuş, boşlukları doldurmuş, yanlış ispatları düzeltmiş ve konuyu çeşitli şekillerde genişletmiştir.

Disquisitiones'ın mantıksal yapısı ( teorem ifadesinin ardından ispat , ardından doğal sonuçlar ) sonraki metinler için bir standart belirler. Gauss, mantıksal kanıtın birincil önemini kabul ederken, birçok teoremi sayısal örneklerle de gösterir.

Disquisitiones dahil diğer 19. yüzyıl Avrupa matematikçiler, başlangıç noktası oldu Ernst Kummer , Peter Gustav Lejeune Dirichlet ve Richard Dedekind . Gauss'un ek açıklamalarının çoğu, aslında, bazıları yayınlanmamış olan, kendi araştırmalarının duyurularıdır. Çağdaşlarına özellikle gizemli görünmüş olmalılar; şimdi , özellikle L-fonksiyonları ve karmaşık çarpma teorilerinin tohumlarını içeriyor olarak okunabilirler .

Disquisitiones 20. yüzyılda uygulamaktadır etkisi devam etti. Örneğin, bölüm V, makale 303'te Gauss , uygun ilkel ikili ikinci dereceden formların sınıf numaralarına ilişkin hesaplamalarını özetledi ve hepsini 1, 2 ve 3 sınıf numaralarıyla bulduğunu tahmin etti. çift ​​diskriminantlı ve sınıf numarası 1, 2 ve 3 olan hayali ikinci dereceden sayı alanlarından oluşur ve tek diskriminant durumuna genişletilir. Bazen sınıf numarası sorunu olarak adlandırılan bu daha genel soru, sonunda 1986'da doğrulandı (Gauss'un sorduğu özel soru, Landau tarafından 1902'de bir numaralı sınıf için doğrulandı ). Bölüm VII, makale 358'de Gauss, sonlu alanlar üzerindeki eğriler için Riemann hipotezinin ilk önemsiz durumu olarak yorumlanabileceğini kanıtladı ( Hasse-Weil teoremi ).

bibliyografya

  • Carl Friedrich Gauss, çev. Arthur A. Clarke, SJ : Disquisitiones Arithmeticae , Yale University Press, 1965, ISBN  0-300-09473-6
  • Disquisitiones Arithmeticae (Latince orijinal metin)
  • Dunnington, G. Waldo (1935), "Gauss, His Disquisitiones Arithmeticae ve Institut de France'daki Çağdaşları", National Mathematics Magazine , 9 (7): 187–192, doi : 10.2307/3028190 , JSTOR  3028190

Referanslar

Dış bağlantılar