Fermat'ın Son Teoremi - Fermat's Last Theorem

Fermat'ın Son Teoremi
	1670 baskısı Diophantus 'ın kitaptaki onun 'Son Teoremi'(olarak anılacaktır Fermat bir yorum içerir Observatio Domini Petri de Fermat ölümünden sonra oğlu tarafından yayınlanmıştır).
Alan	Sayı teorisi
Beyan	Herhangi bir n > 2 tamsayı için , a n + b n = c n denkleminin pozitif tamsayı çözümü yoktur.
İlk olarak belirtilen	Pierre de Fermat
İlk olarak belirtilen	C. 1637
tarafından ilk kanıt	Andrew Wiles
İlk kanıt	1994'te yayınlandı 1995'te yayınlandı
tarafından ima edildi
genellemeler

Gelen sayılar teorisi , Fermat'ın Son Teoremi (bazen Fermat varsayım özellikle yaşlı metinlerde,) hiçbir üç devletler pozitif tamsayılar $bir$ , $b$ ve $c$ denklemi tatmin $bir n + b n = c n$ herhangi bir tamsayı değeri için $n$ 2'den büyük $n = 1$ ve $n = 2$ durumlarının sonsuz sayıda çözümü olduğu antik çağlardan beri bilinmektedir.

Önerme ilk olarak Pierre de Fermat tarafından 1637 civarında Arithmetica'nın bir kopyasının kenar boşluğunda bir teorem olarak ifade edildi ; Fermat, kenar boşluğuna sığmayacak kadar büyük bir kanıtı olduğunu da sözlerine ekledi. Fermat tarafından ispatsız olarak iddia edilen diğer ifadeler daha sonra başkaları tarafından ispatlanmış ve Fermat'ın teoremleri olarak kabul edilmiş olsa da (örneğin, Fermat'ın iki kare toplamı teoremi ), Fermat'ın Son Teoremi ispata direnerek, Fermat'ın doğru bir ispatı olduğundan ve bir teoremden ziyade bir varsayım olarak bilinir hale gelir . Matematikçilerin 358 yıllık çabalarından sonra , ilk başarılı kanıt 1994'te Andrew Wiles tarafından yayınlandı ve 1995'te resmen yayınlandı; 2016'da Wiles'in Abel Ödülü ödülüne yapılan atıfta "şaşırtıcı bir ilerleme" olarak tanımlandı . Ayrıca modülerlik teoreminin çoğunu kanıtladı ve çok sayıda başka soruna ve matematiksel olarak güçlü modülerlik kaldırma tekniklerine yepyeni yaklaşımlar açtı .

Çözülmemiş problem , 19. yüzyılda cebirsel sayı teorisinin gelişimini ve 20. yüzyılda modülerlik teoreminin kanıtını teşvik etti . Matematik tarihindeki en dikkate değer teoremler arasındadır ve ispatından önce Guinness Rekorlar Kitabı'nda "en zor matematik problemi" olarak yer almıştır, çünkü teorem en fazla sayıda başarısız ispata sahiptir.

genel bakış

Pisagor kökenleri

Pisagor denklem , x ² + y ² = z ² , pozitif sonsuz sayıda tamsayı için çözeltiler x , y ve z ; bu çözümler Pisagor üçlüleri olarak bilinir (en basit örnek 3,4,5). Yaklaşık 1637, Fermat bir kitabın kenar boşluğunda yazdığı daha genel denklemi a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ ise pozitif tamsayılar hiçbir çözümleri vardı n 2'den büyük bir tam sayı olduğu o genel oluşturduklarını belirtmiştir ancak kanıt onun varsayım , Fermat ispatının hiçbir detayını bırakmadı ve onun tarafından hiçbir kanıt bulunamadı. İddiası, ölümünden yaklaşık 30 yıl sonra keşfedildi. Fermat'ın Son Teoremi olarak bilinen bu iddia, sonraki üç buçuk yüzyıl boyunca çözümsüz kaldı.

İddia sonunda matematiğin çözülmemiş en dikkate değer problemlerinden biri haline geldi. Bunu kanıtlama girişimleri sayı teorisinde önemli gelişmelere yol açtı ve zamanla Fermat'ın Son Teoremi matematikte çözülmemiş bir problem olarak öne çıktı .

Sonraki gelişmeler ve çözüm

Özel bir durum $n = 4$ Fermat kendisi tarafından kanıtlanmıştır, teoremi bazıları için yanlış olması durumunda kurmak için yeterlidir üs n bu değil asal sayı bazı küçük için, aynı zamanda false olmalıdır n , bu yüzden sadece asal değerleri n ihtiyaç daha fazla araştırma. Sonraki iki yüzyıl boyunca (1637-1839), Sophie Germain'in tüm bir asal sınıfla ilgili bir yaklaşım geliştirmesine ve kanıtlamasına rağmen, varsayım sadece 3, 5 ve 7 asal sayıları için kanıtlandı. 19. yüzyılın ortalarında, Ernst Kummer bunu genişletti ve teoremi tüm düzenli asal sayılar için kanıtladı ve düzensiz asalların ayrı ayrı analiz edilmesini sağladı. Kummer'in çalışmasına dayanarak ve karmaşık bilgisayar çalışmalarını kullanarak, diğer matematikçiler ispatı dört milyona kadar tüm asal üsleri kapsayacak şekilde genişletebildiler, ancak tüm üsler için bir ispata erişilemedi (yani matematikçiler genellikle bir ispatı imkansız, aşırı derecede zor veya mevcut bilgi ile ulaşılamaz).

Ayrı olarak, 1955 civarında, Japon matematikçiler Goro Shimura ve Yutaka Taniyama , matematiğin tamamen farklı iki alanı olan eliptik eğriler ve modüler formlar arasında bir bağlantı olabileceğinden şüphelendiler . O zamanlar Taniyama-Shimura varsayımı olarak bilinen (sonunda modülerlik teoremi olarak), Fermat'ın Son Teoremi ile belirgin bir bağlantısı olmaksızın kendi başına duruyordu. Yaygın olarak kendi başına önemli ve önemli olarak görülüyordu, ancak (Fermat'ın teoremi gibi) geniş çapta kanıta tamamen erişilemez olarak kabul edildi.

1984'te Gerhard Frey , daha önce ilgisiz ve çözülmemiş bu iki problem arasında bariz bir bağlantı olduğunu fark etti. Bunun kanıtlanabileceğini düşündüren bir taslak, Frey tarafından verildi. İki problemin yakından bağlantılı olduğunun tam kanıtı 1986'da Ken Ribet tarafından , "epsilon varsayımı" olarak bilinen bir kısım hariç hepsini ispatlayan Jean-Pierre Serre tarafından kısmi bir kanıt üzerine inşa edildi (bkz: Ribet Teoremi ve Frey eğrisi). ). Frey, Serre ve Ribet'in bu makaleleri, Taniyama-Shimura varsayımının en azından yarı kararlı eliptik eğriler sınıfı için kanıtlanabilmesi durumunda, Fermat'ın Son Teoreminin bir kanıtının da otomatik olarak izleneceğini gösterdi. Bağlantı aşağıda açıklanmıştır : Fermat'ın Son Teoremi ile çelişebilecek herhangi bir çözüm, Taniyama-Shimura varsayımıyla çelişmek için de kullanılabilir. Dolayısıyla, modülerlik teoremi doğru bulunursa, tanım gereği Fermat'ın Son Teoremi ile çelişen hiçbir çözüm bulunamaz ve bu nedenle de doğru olması gerekir.

Her ne kadar her iki problem de göz korkutucu olsa ve o zamanlar ispat için "tamamen erişilemez" olarak kabul edilse de, bu, Fermat'ın Son Teoreminin sadece bazı sayılar için değil, tüm sayılar için genişletilebileceği ve kanıtlanabileceği bir yolun ilk önerisiydi. Fermat'ın Son Teoreminin aksine, Taniyama-Shimura varsayımı önemli bir aktif araştırma alanıydı ve daha çok çağdaş matematiğin ulaşabileceği bir yer olarak görülüyordu. Ancak genel kanı, bunun basitçe Taniyama-Shimura varsayımını kanıtlamanın pratik olmadığını gösterdiği yönündeydi. Matematikçi John Coates'in alıntıladığı tepki yaygındı:

"Ben kendim Fermat'ın Son Teoremi ile Taniyama-Shimura varsayımı arasındaki güzel bağlantının aslında herhangi bir şeye yol açacağı konusunda çok şüpheliydim, çünkü itiraf etmeliyim ki Taniyama-Shimura varsayımının kanıtlanabileceğini düşünmedim. , gerçekten kanıtlamak imkansız görünüyordu. İtiraf etmeliyim ki, muhtemelen hayatım boyunca kanıtlandığını göremeyeceğimi düşündüm."

Ribet'in Frey'in bağlantısının doğru olduğunu kanıtladığını duyunca, Fermat'ın Son Teoremi'ne çocukluğunda hayran olan ve eliptik eğriler ve ilgili alanlarla çalışma geçmişine sahip İngiliz matematikçi Andrew Wiles , Taniyama-Shimura varsayımını kanıtlamaya karar verdi. Fermat'ın Son Teoremini kanıtlamanın bir yolu. 1993'te, problem üzerinde altı yıl gizlice çalıştıktan sonra, Wiles, Fermat'ın Son Teoremini kanıtlamaya yetecek kadar varsayımı kanıtlamayı başardı . Wiles'ın makalesi boyut ve kapsam olarak çok büyüktü. Akran değerlendirmesi sırasında orijinal makalesinin bir bölümünde bir kusur keşfedildi ve çözmek için eski bir öğrenci olan Richard Taylor ile bir yıl daha ve işbirliği yapılması gerekiyordu . Sonuç olarak, 1995'teki nihai kanıta, sabit adımların geçerli olduğunu gösteren daha küçük bir ortak makale eşlik etti. Wiles'ın başarısı popüler basında geniş yer buldu ve kitaplarda ve televizyon programlarında popüler oldu. Taniyama–Shimura–Weil varsayımının, şimdi kanıtlanmış ve modülerlik teoremi olarak bilinen geri kalan kısımları, daha sonra, 1996 ve 2001 yılları arasında Wiles'ın çalışmalarını temel alan diğer matematikçiler tarafından kanıtlandı. Kanıtı için Wiles onurlandırıldı ve sayısız ödül aldı, 2016 Abel Ödülü dahil .

Teoremin eşdeğer ifadeleri

Sorunun orijinal ifadesine matematiksel olarak eşdeğer olan Fermat'ın Son Teoremini ifade etmenin birkaç alternatif yolu vardır.

Bunları belirtmek için matematiksel gösterim kullanıyoruz: $N$ , 1, 2, 3, ... doğal sayıların kümesi olsun, $Z$ 0, ±1, ±2, ... tamsayılarının kümesi olsun ve $Q,$ rasyonel sayıların kümesi $bir / B$ , $bir$ ve $b$ olan $Z$ ile $b \neq 0$ . Bundan sonraki bölümde, bir çözüm arayacak $x n + y, n = Z, n$ , bir veya daha fazla burada $x$ , $y$ , ya da $Z$ , sıfır a, önemsiz çözeltisi . Üçünün de sıfır olmadığı bir çözüm, önemsiz olmayan bir çözüm olarak adlandırılacaktır .

Karşılaştırma için orijinal formülasyonla başlıyoruz.

Orijinal ifade. İle $n$ , $x$ , $y$ , $z$ ∈ $N$ (yani , n , x , y , z , tüm pozitif tam sayılardır) ve $n > 2$ , denklem $x n + y, n = Z, n$ bir çözüm vardır.

Konunun en popüler tedavileri bunu bu şekilde ifade eder. Ayrıca genel olarak $Z$ üzerinden belirtilir :

Eşdeğer ifade 1: $x n + y n = z n$ , burada $n$ ≥ 3 tamsayısının önemsiz olmayan çözümleri $x$ , $y$ , $z$ ∈ $Z$ .

$n$ çift ise denklik açıktır . Eğer $n,$ tek ve her üç $x, y, z$ negatif, o zaman yerine $x, y, z$ ile $- X -, y, - Z$ bir çözelti elde etmek için $, N$ . Eğer ikisi negatifse, $x$ ve $z$ veya $y$ ve $z olmalıdır$ . Eğer $x, z$ negatifse ve $y$ pozitifse, $(- z) n + y n = (- x) n'yi$ elde etmek için yeniden düzenleyebiliriz , bu da $N'de$ bir çözümle sonuçlanır ; diğer durum da benzer şekilde ele alınır. Şimdi sadece biri negatifse, $x$ veya $y$ olmalıdır . Eğer $x$ negatifse ve $y$ ve $z$ pozitifse, $(- x) n + z n = y n$ elde etmek için yeniden düzenlenebilir ve bu da $N'de$ bir çözümle sonuçlanır ; Eğer $Y$ negatif sonuç simetrik izler. Bu nedenle, her durumda, $Z'de$ önemsiz olmayan bir çözüm, aynı zamanda , sorunun orijinal formülasyonu olan $N'de$ de bir çözümün var olduğu anlamına gelir .

Eşdeğer ifade 2: $x n + y n = z n$ , burada $n$ ≥ 3 tamsayısının $x$ , $y$ , $z$ ∈ $Q gibi$ önemsiz çözümleri yoktur .

Bu savunucuları çünkü $x, y,$ ve $z$ (eşit $n$ ) 'de bir çözüm ise, yani $Q$ bir çözüm elde etmek için, daha sonra, uygun bir ortak paydası ile ile çarpılabilir $Z$ dolayısıyla ve $N$ .

Eşdeğer ifade 3: $x n + y n = 1$ , burada $n$ ≥ 3 tamsayısının önemsiz olmayan çözümleri $x$ , $y$ ∈ $Q$ .

Bir önemsiz olmayan bir çözüm $, bir$ , $b$ , $c$ ∈ $Z$ için $x, n + y, n = Z, n$ önemsiz olmayan bir çözüm elde edilir $, bir / c$ , $b / c$ ∈ $Q$ için $v, n + W, n = 1$ . Tersine, bir çözelti, $bir / B$ , $C / D$ ∈ $S$ için $v, n + W, n = 1$ verimleri önemsiz olmayan bir çözüm $reklam, cb, bd$ için $x, n + y, n = Z, n$ .

Bu son formülasyon özellikle verimlidir, çünkü sorunu üç boyutlu yüzeylerle ilgili bir problemden iki boyutlu eğrilerle ilgili bir probleme indirger. Ayrıca, $Z$ halkası yerine $Q$ alanı üzerinde çalışmaya izin verir ; alanlar halkalardan daha fazla yapı sergiler , bu da öğelerinin daha derin analizine olanak tanır.

Eşdeğer tablosu 4 - eliptik eğri bağlantı: Eğer $bir$ , $b$ , $c$ için önemsiz olmayan bir çözüm $, bir p + b p = C p$ , $p$ tek asal, o zaman $y 2 = X (X - Bir p) (x + b p)$ ( Frey eğrisi ) eliptik bir eğri olacaktır .

Bu eliptik eğrinin Ribet teoremi ile incelenmesi , modüler bir forma sahip olmadığını göstermektedir . Ancak Andrew Wiles'ın ispatı, $y 2 = x (x - a n)(x + b n)$ biçimindeki herhangi bir denklemin modüler bir forma sahip olduğunu kanıtlar . Bu nedenle , $x p + y p = z p'nin$ ( $p$ tek bir asal sayı ile) önemsiz olmayan herhangi bir çözümü bir çelişki yaratır ve bu da önemsiz olmayan çözümlerin olmadığını kanıtlar.

Başka bir deyişle, Fermat'ın Son Teoremi ile çelişebilecek herhangi bir çözüm, Modülerlik Teoremi ile çelişmek için de kullanılabilir. Dolayısıyla, modülerlik teoreminin doğru olduğu bulunursa, o zaman Fermat'ın Son Teoremi ile de hiçbir çelişki olamayacağı sonucu çıkar. Yukarıda açıklandığı gibi, bu eşdeğer ifadenin keşfi, Fermat'ın Son Teoreminin nihai çözümü için çok önemliydi, çünkü aynı anda tüm sayılar için "saldırıya" geçilebilecek bir araç sağladı.

Matematiksel tarih

Pisagor ve Diophantus

Pisagor üçlüleri

Eski zamanlarda kenarları 3:4:5 oranında olan bir üçgenin açılarından birinin dik açı olacağı biliniyordu . Bu inşaatta ve daha sonra erken geometride kullanıldı . İki kenarın uzunluğunun karesi alınıp sonra toplandığı (3 ² + 4 ² = 9 + 16 = 25) herhangi bir üçgenin, kenar uzunluğunun karesine eşit olduğu genel kuralın bir örneği olarak da biliniyordu . üçüncü kenar (5 ² = 25) , aynı zamanda bir dik açılı üçgen olur . Bu şimdi Pisagor teoremi olarak bilinir ve bu koşulu karşılayan üçlü sayılara Pisagor üçlüsü denir - her ikisi de eski Yunan Pisagor'undan sonra adlandırılır . Örnekler arasında (3, 4, 5) ve (5, 12, 13) bulunur. Böyle sonsuz sayıda üçlü vardır ve bu tür üçlüleri oluşturma yöntemleri, Babillilerden başlayarak ve daha sonra antik Yunan , Çinli ve Hintli matematikçilerden başlayarak birçok kültürde incelenmiştir . Matematiksel olarak, bir Pisagor üçlüsünün tanımı , denklemi sağlayan üç tamsayı ( a , b , c ) kümesidir. $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

Diofant denklemleri

Fermat denklemi, pozitif tamsayı çözümleri ile x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ , bir Diophantine denkleminin bir örneğidir ve adını 3. yüzyılda İskenderiyeli matematikçi Diophantus'tan almıştır. . Tipik bir Diophant problemi, toplamları ve karelerinin toplamı sırasıyla verilen iki A ve B sayısına eşit olacak şekilde iki x ve y tamsayısını bulmaktır :

{\görüntüleme stili A=x+y}

B=x^{2}+y^{2}.

Diophantus'un en önemli eseri Arithmetica'dır ve sadece bir kısmı günümüze ulaşmıştır. Fermat'ın Son Teoremi hakkındaki varsayımı, Arithmetica'nın Latince'ye çevrilen ve 1621'de Claude Bachet tarafından yayınlanan yeni bir baskısını okurken ilham aldı .

Diofant denklemleri binlerce yıldır incelenmiştir. Örneğin, ikinci dereceden Diophant denklemi x ² + y ² = z ^2'nin çözümleri, başlangıçta Babilliler tarafından çözülen Pisagor üçlüleri tarafından verilir (MÖ 1800). 26 x + 65 y = 13 gibi doğrusal Diophant denklemlerinin çözümleri Öklid algoritması kullanılarak bulunabilir (c. MÖ 5. yy). Birçok Diophantine denklemi , cebir açısından Fermat'ın Son Teoremi denklemine benzer bir forma sahiptir , çünkü belirli özelliklerini paylaşmadan iki harfi karıştıran çapraz terimleri yoktur . Örneğin, sonsuz sayıda pozitif tamsayı olduğu bilinmektedir x , y ve z , öyle ki x ^{, n} + y ^{, n} = z ^m burada , n ve m, olan göreceli asal doğal sayılar.

Fermat'ın varsayımı

1621 baskısında Sorun II.8 Arithmetica'sının ait Diophantus . Sağda, Fermat'ın "son teoreminin" iddia edilen kanıtını içermek için çok küçük olan kenar boşluğu var.

Aritmetik Problemi II.8, verilen bir kare sayının diğer iki kareye nasıl bölündüğünü sorar; başka bir deyişle, belirli bir k rasyonel sayısı için , k ² = u ² + v ^{2 olacak şekilde}u ve v rasyonel sayılarını bulun . Diophantus, k = 4 için bu kareler toplamı probleminin nasıl çözüleceğini gösterir (çözümler u = 16/5 ve v = 12/5'tir).

1637 civarında Fermat, Son Teoremi'ni Diophantus'un kareler toplamı probleminin yanındaki Arithmetica kopyasının kenar boşluğuna yazdı :

Cubos cubos'ta Cubum autem, duos quadratoquadratos'ta aut quadratoquadratum ve duos eiusdem nominis fas est bölücüde cuius rei gösteri mirabilem sane detexi'de sonsuz ultra quadratum potestatem. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Bir küpü iki kübe veya dördüncü kuvveti iki dördüncü kuvvete veya genel olarak ikinciden daha yüksek herhangi bir kuvveti iki benzer güce ayırmak imkansızdır. Bunun gerçekten harika bir kanıtını keşfettim, ki bu sınır kapsayamayacak kadar dar.

Fermat'ın 1665'teki ölümünden sonra, oğlu Clément-Samuel Fermat, babasının yorumlarıyla zenginleştirilen kitabın yeni bir baskısını (1670) üretti. O zamanlar aslında bir teorem olmasa da ( kanıtın mevcut olduğu matematiksel bir ifade anlamına gelir ), kenar notu zamanla Fermat'ın Son Teoremi olarak bilinir hale geldi , çünkü Fermat'ın ileri sürülen teoremlerinin kanıtlanmadan kalan sonuncusuydu.

Fermat'ın tüm n üsleri için gerçekten geçerli bir kanıt bulup bulmadığı bilinmiyor , ancak olası görünmüyor. Spesifik üsler için ispatlar bölümünde açıklandığı gibi, n = 4 durumu için, onun tarafından sadece bir ilgili kanıt hayatta kaldı . Fermat, n = 4 ve n = 3 durumlarını Marin Mersenne , Blaise Pascal ve John Wallis gibi matematiksel muhataplarına meydan okuma olarak ortaya koyarken , genel durumu asla ortaya koymadı. Üstelik, yaşamının son otuz yılında Fermat, genel davanın "gerçekten harika kanıtını" bir daha asla yazmadı ve asla yayınlamadı. Van der Poorten, bir kanıtın olmaması önemsiz olsa da, zorlukların olmamasının Fermat'ın bir kanıtı olmadığını fark etmesi anlamına geldiğini öne sürüyor; Weil'in Fermat'ın geri dönüşü olmayan bir fikirle kısaca kendini kandırmış olması gerektiğini söylediğini aktarır .

Fermat'ın böyle bir "muhteşem kanıt"ta kullanmış olabileceği teknikler bilinmiyor.

Taylor ve Wiles'ın kanıtı 20. yüzyıl tekniklerine dayanıyor. Fermat'ın ispatı, zamanının matematiksel bilgisi göz önüne alındığında, karşılaştırmalı olarak basit olmalıydı.

İken Harvey Friedman 'ın büyük varsayım sadece kullanılarak (Fermat'ın son teoremi dahil) kanıtlanabilir teoremi ispat edilebileceğini ima' temel fonksiyon aritmetik , sadece teknik anlamda 'ilköğretim' böyle bir kanıt gerekirse' ve adımları milyonlarca içerebilir ve bu nedenle Fermat'ın kanıtı olamayacak kadar uzun.

Belirli üsler için ispatlar

Fermat'ın sonsuz iniş 1670 baskısında Fermat'ın Son Teoremi vaka n = 4 için kitaptaki ait Diophantus (s. 338-339).

Üs = 4

Fermat'ın , sonsuz iniş tekniğini kullanarak, kenarları tamsayı olan bir dik üçgenin alanının asla bir tamsayının karesine eşit olamayacağını gösteren, konuyla ilgili yalnızca bir kanıtı kalmıştır . Onun kanıtı, denklemin olduğunu göstermeye eşdeğerdir.

x^{4}-y^{4}=z^{2}

tamsayılarda ilkel çözümlere sahip değildir (çiftli asal çözümler yoktur ). Sırasıyla bu, n = 4 durumu için Fermat'ın Son Teoremini kanıtlar , çünkü a ⁴ + b ⁴ = c ⁴ denklemi c ⁴ − b ⁴ = ( a ² ) ² olarak yazılabilir .

n = 4 durumunun alternatif kanıtları daha sonra Frénicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry tarafından geliştirildi. Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), Théophile Pépin (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychlík (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe Vrănceanu (1966), Grant ve Perella (1999), Barbara (2007) ve Dolan (2011).

Diğer üsler

Fermat özel durum ortaya çıktı sonra n = 4, herkes için genel geçirmez n teoremi tüm tek timsâlinden getirilmesini sadece gerekli. Başka bir deyişle, n tek bir asal sayı olduğunda , yalnızca a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ denkleminin pozitif tamsayı çözümleri ( a , b , c ) olmadığını kanıtlamak gerekiyordu . Çözeltisi (çünkü bu, aşağıdaki bir , b , c , belirli bir için) n her faktörleri için bir çözeltiye eşdeğer n . Örnek olarak, n'nin d ve e olarak çarpanlarına ayrılmasına izin verin , n = de . genel denklem

bir ^N + b ^{, n} = C ^N

( a ^d , b ^d , c ^d ) 'nin e üssü için bir çözüm olduğunu ima eder

( a ^d ) ^e + ( b ^d ) ^e = ( c ^d ) ^e .

Böylece, Fermat denkleminin n > 2 için çözümü olmadığını kanıtlamak için, her n'nin en az bir asal çarpanı için çözümü olmadığını kanıtlamak yeterli olacaktır . Her n > 2 tamsayı , 4'e veya tek bir asal sayıya (veya her ikisine) bölünebilir. Bu nedenle, Fermat'ın Son Teoremi, n = 4 ve tüm p tek asal sayıları için kanıtlanabiliyorsa, tüm n için kanıtlanabilir .

Tahminini izleyen iki yüzyılda (1637-1839), Fermat'ın Son Teoremi üç tek asal üs p = 3, 5 ve 7 için kanıtlandı. p = 3 durumu ilk olarak Abu-Mahmud Khojandi (10. yüzyıl) tarafından ifade edildi , ancak teoremi ispatlamaya çalışması yanlıştı. 1770'de Leonhard Euler p = 3'ün bir kanıtını verdi , ancak sonsuz inişle kanıtı büyük bir boşluk içeriyordu. Bununla birlikte, Euler, ispatı başka bir çalışmada tamamlamak için gerekli lemmayı kendisi ispat ettiğinden, genellikle ilk ispatla anılır. Bağımsız kanıtlar Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lamé (1865), Peter Guthrie Tait (1872), Günther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychlík (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), Axel Thue (1917) ve Duarte (1944).

Durumda p = 5 Legendre ve bağımsız olarak kanıtlanmıştır Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1825 Alternatif deliller tarafından geliştirilen çevresinde Carl Friedrich Gauss (1875, ölüm sonrası), (1901) Lebesgue (1843), topal (1847), Gambioli, Werebrusow (1905 ), Rychlik (1910), van der Corput (1915) ve Guy Terjanian (1987).

Vaka p = 7 1839 His ziyade komplike kanıtı topal tarafından ispat edildi Lebesgue tarafından 1840 yılında basitleştirilmiş edildi ve hala daha basit deliller tarafından yayınlanmıştır Angelo Genocchi 1864 yılında, 1874 ve 1876 Alternatif deliller Théphile Pepin (1876) tarafından geliştirilen ve edildi Edmond Maillet (1897).

Fermat'ın Son teoremi da üs için kanıtlanmıştır , n = 6, 10 ve 14. İspatlar için n = 6 Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift ve Breusch tarafından yayınlanmıştır. Benzer şekilde, Dirichlet ve Terjanian her biri n = 14 durumunu ispatlarken , Kapferer ve Breusch her biri n = 10 durumunu kanıtladı . Kesin konuşmak gerekirse, bu ispatlar gereksizdir, çünkü bu durumlar n = 3, 5 ve 7'nin ispatlarından çıkar. sırasıyla. Bununla birlikte, bu çift üslü ispatların gerekçesi, tek üslü muadillerinden farklıdır. Dirichlet'in n = 14 için ispatı 1832'de, Lamé'nin n = 7 için 1839 ispatından önce yayınlandı .

Spesifik üsler için tüm kanıtlar, Fermat'ın sonsuz iniş tekniğini , ya orijinal biçiminde ya da eliptik eğriler veya değişmeli çeşitler üzerinde iniş biçiminde kullandı. Bununla birlikte, ayrıntılar ve yardımcı argümanlar genellikle geçiciydi ve söz konusu bireysel üsle bağlantılıydı. p arttıkça daha da karmaşık hale geldikleri için, Fermat'ın Son Teoreminin genel durumunun, bireysel üsler için ispatlar üzerine inşa edilerek kanıtlanması pek mümkün görünmüyordu. Fermat'ın Son Teoremi ile ilgili bazı genel sonuçlar 19. yüzyılın başlarında Niels Henrik Abel ve Peter Barlow tarafından yayınlanmış olsa da, genel teorem üzerine ilk önemli çalışma Sophie Germain tarafından yapılmıştır .

Erken modern atılımlar

sophie germain

19. yüzyılın başlarında, Sophie Germain , Fermat'ın Son Teoremini tüm üsler için kanıtlamak için birkaç yeni yaklaşım geliştirdi. İlk olarak, o yardımcı asal bir dizi tanımlı birinci üs inşa denklemle , üçe bölünemeyen bir tam sayıdır. Gücüne yükseltilmiş hiçbir tamsayı bitişik modulo değilse ( ardışık olmama koşulu ), o zaman ürünü bölmek gerektiğini gösterdi . Amacı, herhangi bir verili için sonsuz sayıda yardımcı asalın ardışık olmama koşulunu sağladığını ve böylece bölündüğünü kanıtlamak için matematiksel tümevarım kullanmaktı ; çarpım en fazla sonlu sayıda asal faktöre sahip olabileceğinden, böyle bir ispat Fermat'ın Son Teoremini oluşturacaktı. Ardışık olmama durumunu oluşturmak için birçok teknik geliştirmesine rağmen, stratejik hedefinde başarılı olamadı. Ayrıca , Adrien-Marie Legendre tarafından değiştirilmiş bir versiyonu yayınlanan, belirli bir üs için Fermat denkleminin çözümlerinin boyutuna daha düşük sınırlar koymak için çalıştı . Bu sonuncu çalışmanın bir yan ürün olarak, o kanıtladı Sophie Germain teoremini Fermat'ın Son Teoremi (yani, vaka olduğu ilk vaka doğrulanmadı bölmek değil az her tek asal üs için) ve tüm asal için öyle ki en azından biri , , , , ve asal (özellikle, asal olacak şekilde adlandırılır asal Sophie Germain, asal ). Germain için özel olarak, tüm çift üsler için Fermat'ın Son Teoremi ilk davayı kanıtlamak için çabaladılar tarafından ispat edildiği, Guy Terjanian 1985 yılında 1977'de, Leonard Adleman , Roger Heath-Brown ve Étienne Fouvry kanıtladı Fermat'ın Son ilk vaka Teorem, sonsuz sayıda tek asal sayı için geçerlidir . ${\görüntüleme stili\teta }$ ${\görüntüleme stili p}$ $\theta =2hp+1$ ${\görüntüleme stili h}$ ${\ Displaystyle p^{\mathrm {th} }}$ ${\görüntüleme stili\teta }$ ${\görüntüleme stili\teta }$ ${\görüntüleme stili xyz}$ ${\görüntüleme stili p}$ ${\görüntüleme stili\teta }$ ${\görüntüleme stili xyz}$ ${\görüntüleme stili xyz}$ ${\görüntüleme stili p}$ ${\görüntüleme stili p}$ ${\görüntüleme stili xyz}$ ${\ Displaystyle 270}$ ${\görüntüleme stili p}$ ${\ Displaystyle 2p+1}$ ${\ Displaystyle 4p+1}$ ${\ Displaystyle 8p+1}$ ${\ Displaystyle 10p+1}$ ${\ Displaystyle 14p+1}$ ${\ Displaystyle 16p+1}$ ${\görüntüleme stili p}$ ${\ Displaystyle 2p+1}$ ${\görüntüleme stili n=2p}$ ${\görüntüleme stili p}$

Ernst Kummer ve idealler teorisi

1847 yılında, Gabriel Lamé denklemi faktoring göre Fermat'ın Son Teoremi bir kanıt özetlenen $x p + y p = z s$ karmaşık sayı, özellikle devirli alan göre 1 numaralı köklerinin . Ancak ispatı başarısız oldu, çünkü bu tür karmaşık sayıların, tamsayılara benzer şekilde , asal sayılarda benzersiz bir şekilde çarpanlarına ayrılabileceğini yanlış varsayıyordu . Bu boşluk , daha sonra Ernst Kummer tarafından yazılan benzersiz çarpanlara ayırmanın bu başarısızlığını gösteren bir makaleyi okuyan Joseph Liouville tarafından hemen işaret edildi .

Kummer, siklotomik alanın yeni asal sayıları içerecek şekilde genelleştirilip genelleştirilemeyeceğini belirleme görevini üstlendi, böylece benzersiz çarpanlara ayırma geri yüklendi. İdeal sayıları geliştirerek bu görevde başarılı oldu .

(Not: Genellikle Kummer Fermat'ın Son Teoremi olan ilgisi onun "ideal karmaşık sayılar" için önderlik etti belirtilmektedir; genellikle Kummer gibi söylendi hatta bir hikaye var topal , dek Fermat'ın Son Teoremi kanıtlamış inanıyordu Lejeune Dirichlet anlattı Ona argümanı benzersiz çarpanlara ayırmaya dayanıyordu; ancak hikaye ilk olarak 1910'da Kurt Hensel tarafından anlatıldı ve kanıtlar muhtemelen Hensel'in kaynaklarından birinin kafa karışıklığından kaynaklandığını gösteriyor. Harold Edwards , Kummer'in esas olarak Fermat'ın Son Teoremi ile ilgilendiği inancını söylüyor. kesinlikle yanılıyor". İdeal sayıların geçmişine bakın .)

Kummer, Lame tarafından ana hatlarıyla belirtilen genel yaklaşımı kullanarak, tüm düzenli asal sayılar için Fermat'ın Son Teoreminin her iki durumunu da kanıtladı . Ancak, zamanın yaklaşık %39'unda varsayımsal olarak meydana gelen istisnai asal sayılar (düzensiz asal sayılar) için teoremi ispatlayamadı ; 270'in altındaki tek düzensiz asal sayılar 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 ve 263'tür.

Mordell varsayımı

1920'lerde Louis Mordell , n üssü ikiden büyükse , Fermat denkleminin en fazla sonlu sayıda önemsiz ilkel tamsayı çözümüne sahip olduğunu ima eden bir varsayımda bulundu. Bu varsayım 1983 yılında Gerd Faltings tarafından kanıtlandı ve şimdi Faltings teoremi olarak biliniyor .

hesaplamalı çalışmalar

20. yüzyılın ikinci yarısında, Kummer'in düzensiz asal sayılara yaklaşımını genişletmek için hesaplama yöntemleri kullanıldı. 1954'te Harry Vandiver, 2521'e kadar olan tüm asal sayılar için Fermat'ın Son Teoremini kanıtlamak için bir SWAC bilgisayarı kullandı. 1978'de, Samuel Wagstaff bunu 125.000'den küçük tüm asal sayılara genişletmişti. 1993 yılına gelindiğinde, Fermat'ın Son Teoremi, dört milyondan küçük tüm asal sayılar için ispatlanmıştı.

Ancak, bu çabalara ve sonuçlarına rağmen, Fermat'ın Son Teoreminin hiçbir kanıtı yoktu. Tek tek üslerin kanıtları, doğası gereği asla genel durumu kanıtlayamaz : tüm üsler çok büyük bir X sayısına kadar doğrulansa bile, iddianın doğru olmadığı X'in ötesinde daha yüksek bir üs hala mevcut olabilir. (Geçmişteki bazı varsayımlarda da durum böyleydi ve bu varsayımda göz ardı edilemezdi.)

Eliptik eğrilerle bağlantı

Sonunda Fermat'ın Son Teoreminin başarılı bir kanıtına yol açan strateji, 1955 civarında önerilen "şaşırtıcı" Taniyama-Shimura-Weil varsayımından doğdu - birçok matematikçinin kanıtlamanın neredeyse imkansız olduğuna inandığı ve 1980'lerde Gerhard tarafından birbirine bağlandı. Frey , Jean-Pierre Serre ve Ken Ribet , Fermat denklemine. Andrew Wiles , 1994 yılında bu varsayımın kısmi bir kanıtını gerçekleştirerek, Fermat'ın Son Teoremi'ni kanıtlamayı başardı ve aynı zamanda şu anda modülerlik teoremi olarak bilinen şeyin başkaları tarafından tam bir kanıtına yol açtı .

Taniyama–Shimura–Weil varsayımı

1955 civarında, Japon matematikçiler Goro Shimura ve Yutaka Taniyama , matematiğin görünüşte tamamen farklı iki dalı, eliptik eğriler ve modüler formlar arasında olası bir bağlantı gözlemlediler . Ortaya çıkan modülerlik teoremi (o zamanlar Taniyama-Shimura varsayımı olarak biliniyordu), her eliptik eğrinin modüler olduğunu , yani benzersiz bir modüler formla ilişkilendirilebileceğini belirtir .

Bağlantı başlangıçta olası veya oldukça spekülatif olarak reddedildi, ancak sayı teorisyeni André Weil , kanıtlamasa da onu destekleyen kanıtlar bulduğunda daha ciddiye alındı ; Sonuç olarak bu varsayım genellikle Taniyama–Shimura–Weil varsayımı olarak biliniyordu.

Ciddi bir ilgi gördükten sonra bile, varsayım, çağdaş matematikçiler tarafından olağanüstü derecede zor veya belki de kanıtlanması imkansız olarak görüldü. Örneğin, Wiles'ın doktora danışmanı John Coates , bunun "gerçekte kanıtlamanın imkansız" göründüğünü ve Ken Ribet'in kendisini "[bunun] tamamen erişilemez olduğuna inanan insanların büyük çoğunluğundan biri" olarak gördüğünü belirterek, "Andrew Wiles muhtemelen bir tanesiydi. gerçekten gidip [bunu] kanıtlayabileceğinizi hayal etme cüretini gösteren dünyadaki birkaç insandan."

Frey eğrileri için Ribet teoremi

1984'te Gerhard Frey , Fermat denklemi ile modülerlik teoremi arasında bir bağlantı olduğunu kaydetti, o zaman hala bir varsayım. Fermat denkleminin p > 2 üssü için herhangi bir çözümü ( a , b , c ) varsa , o zaman yarı kararlı eliptik eğrinin (şimdi Frey-Hellegouarch olarak bilinir ) olduğu gösterilebilirdi.

y ² = x ( x − bir ^p )( x + b ^p )

modüler olması pek olası olmayan olağandışı özelliklere sahip olacaktı. Bu, tüm eliptik eğrilerin modüler olduğunu iddia eden modülerlik teoremi ile çelişir. Bu nedenle Frey, Taniyama-Shimura-Weil varsayımının bir kanıtının aynı zamanda Fermat'ın Son Teoremini de kanıtlayabileceğini gözlemledi. By , tersine , bir çürütmek Fermat'ın Son Teoremi veya çürütülmesi Taniyama-Shimura-Weil varsayım çürütmek istiyorum.

Frey, sade bir İngilizceyle, denklemiyle ilgili bu sezgi doğruysa, o zaman Fermat'ın Son Teoremini çürütebilecek herhangi bir 4 sayı (a, b, c, n) kümesinin Taniyama-Shimura'yı çürütmek için de kullanılabileceğini göstermişti. –Weil varsayımı. Bu nedenle, ikincisi doğru olsaydı, birincisi kanıtlanamazdı ve aynı zamanda doğru olması gerekirdi.

Bu stratejiyi takiben, Fermat'ın Son Teoreminin ispatı iki adım gerektiriyordu. İlk olarak, modülerlik teoremini kanıtlamak gerekiyordu - ya da en azından Frey denklemini ( yarı kararlı eliptik eğriler olarak bilinir) içeren eliptik eğri türleri için kanıtlamak gerekiyordu . Bunun çağdaş matematikçiler tarafından kanıtlanamayacağına yaygın olarak inanılıyordu. İkinci olarak, Frey'in sezgisinin doğru olduğunu göstermek gerekiyordu: Fermat denkleminin bir çözümü olan bir dizi sayı kullanılarak bu şekilde bir eliptik eğri oluşturulsaydı, elde edilen eliptik eğri modüler olamazdı. Frey bunun makul olduğunu gösterdi, ancak tam bir kanıt verecek kadar ileri gitmedi. Eksik parça ( şimdi Ribet teoremi olarak bilinen sözde " epsilon varsayımı " ) Jean-Pierre Serre tarafından tespit edildi ve o da neredeyse tam bir kanıt verdi ve Frey'in önerdiği bağlantı nihayet 1986'da Ken Ribet tarafından kanıtlandı .

Frey, Serre ve Ribet'in çalışmasının ardından mesele şuydu:

Fermat'ın Son Teoreminin asal sayı olan tüm n üsleri için kanıtlanması gerekiyordu .
Modülerlik teoremi - yarı kararlı eliptik eğriler için kanıtlanırsa - tüm yarı kararlı eliptik eğrilerin modüler olması gerektiği anlamına gelir .
Ribet teoremi, bir asal sayı için Fermat denkleminin herhangi bir çözümünün modüler olamayacak yarı kararlı bir eliptik eğri oluşturmak için kullanılabileceğini gösterdi ;
Bu ifadelerin her ikisinin de doğru olabilmesinin tek yolu, Fermat'ın denklemine hiçbir çözüm bulunmamasıydı (çünkü o zaman böyle bir eğri oluşturulamazdı), Fermat'ın Son Teoreminin söylediği buydu. Ribet Teoremi zaten kanıtlandığı için bu, Modülerlik Teoreminin bir kanıtının Fermat'ın Son teoreminin de doğru olduğunu otomatik olarak kanıtlayacağı anlamına geliyordu.

Wiles'ın genel kanıtı

İngiliz matematikçi Andrew Wiles .

Ribet'in 1986'daki epsilon varsayımının kanıtı, Frey tarafından önerilen iki hedeften ilkini gerçekleştirdi. Ribet'in başarısını duyduktan sonra , Fermat'ın Son Teoremi'ne çocukluğunda hayranlık duyan ve eliptik eğriler üzerinde çalışmış olan İngiliz matematikçi Andrew Wiles , kendisini ikinci yarıyı gerçekleştirmeye adamaya karar verdi: modülerlik teoreminin (o zamanlar bilinen özel bir durumunu kanıtlamak) yarı kararlı eliptik eğriler için Taniyama-Shimura varsayımı gibi).

Wiles, bu görev üzerinde altı yıl boyunca neredeyse tamamen gizlilik içinde çalıştı, önceki çalışmalarını küçük bölümler halinde ayrı kağıtlar halinde yayınlayarak ve yalnızca karısına güvenerek çabalarını örtbas etti. İlk çalışması tümevarım yoluyla kanıt önerdi ve 1990-91 yılları arasında tümevarımsal argüman için yatay Iwasawa teorisini genişletme girişimine geçmeden önce ilk çalışmasını ve ilk önemli atılımını Galois teorisine dayandırdı. sorun. Bununla birlikte, 1991'in ortalarında, Iwasawa teorisi de problemdeki temel konulara ulaşmıyor gibi görünüyordu. Yanıt olarak, en son araştırma ve yeni tekniklerin ipuçlarını aramak için meslektaşlarına yaklaştı ve yakın zamanda Victor Kolyvagin ve Matthias Flach tarafından geliştirilen ve ispatının tümevarımsal kısmı için "terzi yapılmış" görünen bir Euler sistemi keşfetti . Wiles, işe yarayan bu yaklaşımı inceledi ve genişletti. Çalışmaları büyük ölçüde matematik ve Wiles için yeni olan bu yaklaşıma dayandığından, Ocak 1993'te Princeton'daki meslektaşı Nick Katz'dan akıl yürütmesini ince hatalara karşı kontrol etmesine yardım etmesini istedi. O sırada vardıkları sonuç, Wiles'ın kullandığı tekniklerin doğru çalıştığıydı.

1993 yılının Mayıs ayının ortalarında, Wiles karısına Fermat'ın Son Teoreminin ispatını çözdüğünü düşündüğünü söyleyebildiğini hissetti ve Haziran ayına kadar 21-23 Haziran 1993'te Isaac Newton'da verdiği üç derste sonuçlarını sunacak kadar kendinden emin hissetti. Matematik Bilimleri Enstitüsü . Spesifik olarak, Wiles yarı kararlı eliptik eğriler için Taniyama-Shimura varsayımına ilişkin kanıtını sundu; Ribet'in epsilon varsayımının kanıtı ile birlikte bu, Fermat'ın Son Teoremi'ni ima etti. Ancak, emsal incelemesi sırasında ispattaki kritik bir noktanın yanlış olduğu ortaya çıktı. Belirli bir grubun sırasına göre bir sınırda bir hata içeriyordu . Hata, Wiles'ı 23 Ağustos 1993'te uyaran Katz (inceleme rolündeki rolünde) dahil olmak üzere Wiles'ın makalesine hakemlik yapan birkaç matematikçi tarafından yakalandı.

Hata, çalışmasını değersiz kılmazdı - Wiles'ın çalışmasının her bir parçası, çalışması sırasında yarattığı birçok gelişme ve teknik gibi kendi başına oldukça önemli ve yenilikçiydi ve yalnızca bir bölüm etkilendi. Ancak bu kısım ispatlanmadan Fermat'ın Son Teoreminin gerçek bir ispatı yoktu. Wiles, başlangıçta kendi başına ve daha sonra eski öğrencisi Richard Taylor ile işbirliği içinde, başarılı olamadı. 1993'ün sonunda, inceleme altında Wiles'in kanıtının başarısız olduğuna dair söylentiler yayıldı, ancak ne kadar ciddi olduğu bilinmiyordu. Matematikçiler, Wiles'a, çalışmasının tamamlanmış olup olmadığını ifşa etmesi için baskı yapmaya başlıyorlardı, böylece daha geniş topluluk, başarmayı başardığı her şeyi keşfedebilir ve kullanabilirdi. Ancak, başlangıçta küçük görünen sorun, düzeltilmek yerine, şimdi çok önemli, çok daha ciddi ve çözülmesi daha az kolay görünüyordu.

Wiles, 19 Eylül 1994 sabahı, pes etmenin eşiğinde olduğunu ve başarısız olduğunu kabul etmeye ve başkalarının üzerine inşa edip hatayı düzeltmesi için çalışmalarını yayınlamaya neredeyse istifa ettiğini belirtiyor. O denemek ve o aniden varken onun yaklaşımı, işe yapılamadı neden temel nedenlerini anlamak için son bir kez göz sahip olduğunu ekleyen fikir belirli nedeni Kolyvagin-Flach yaklaşım doğrudan işe yaramaz olduğunu - Ayrıca geliyordu Kolyvagin-Flach yaklaşımından edindiği deneyimi kullanarak onu güçlendirirse, Iwasawa teorisini kullanan orijinal girişimlerinin işe yarayabileceğini söyledi. Bir yaklaşımı diğer yaklaşımın araçlarıyla düzeltmek, hakemli makalesi tarafından henüz kanıtlanmamış tüm durumlar için sorunu çözecektir. Daha sonra, Iwasawa teorisi ve Kolyvagin-Flach yaklaşımının her birinin kendi başına yetersiz olduğunu, ancak birlikte bu son engelin üstesinden gelmek için yeterince güçlü hale getirilebileceklerini açıkladı.

"Masamda oturmuş Kolyvagin-Flach yöntemini inceliyordum. Onu çalıştırabileceğime inanmıyordum, ama en azından neden işe yaramadığını açıklayabileceğimi düşündüm. Birdenbire inanılmaz bir keşifle karşılaştım. Kolyvagin-Flach yönteminin işe yaramadığını fark ettim, ancak orijinal Iwasawa teorimi üç yıl öncesinden çalıştırmak için ihtiyacım olan tek şey buydu. Anlatılamayacak kadar güzeldi, çok sade ve zarifti.Nasıl kaçırdığımı anlayamadım ve inanamayarak yirmi dakika baktım. Masama gelip duruyor mu diye bakmaya devam ederdim.Hala oradaydı. Kendimi tutamadım, çok heyecanlandım. Çalışma hayatımın en önemli anıydı. Bir daha asla yapacağım bir şey yok. kadar anlam ifade edecek."

- Andrew Wiles, Simon Singh tarafından alıntılandığı gibi

24 Ekim 1994'te Wiles, "Modüler eliptik eğriler ve Fermat'ın Son Teoremi" ve "Belirli Hecke cebirlerinin halka teorik özellikleri" adlı iki el yazması sundu, ikincisi Taylor ile birlikte yazdı ve ihtiyaç duyulan belirli koşulların karşılandığını kanıtladı. ana kağıttaki düzeltilmiş adımı doğrulamak için. İki makale incelendi ve Annals of Mathematics'in Mayıs 1995 sayısının tamamı olarak yayınlandı . Bu makaleler, tahmin edildikten 358 yıl sonra Fermat'ın Son Teoremini kanıtlamanın son adımı olan yarı kararlı eliptik eğriler için modülerlik teoremini oluşturdu.

sonraki gelişmeler

Tam Taniyama-Shimura-Weil varsayımı nihayet Diamond (1996), Conrad ve diğerleri tarafından kanıtlandı. (1999), ve Breuil ve diğerleri. (2001), Wiles'ın çalışmasını temel alarak, tam sonuç kanıtlanana kadar kalan davalarda aşamalı olarak yontuldu. Artık tamamen kanıtlanmış varsayım, modülerlik teoremi olarak bilinir hale geldi .

Fermat'ın Son Teoremine benzer sayı teorisindeki diğer birkaç teorem de modülerlik teoremini kullanarak aynı akıl yürütmeyi takip eder. Örneğin: hiçbir küp iki asal n -inci kuvvetinin toplamı olarak yazılamaz , n ≥ 3. ( n = 3 durumu Euler tarafından zaten biliniyordu .)

Diğer problemler ve genellemelerle ilişkisi

Fermat'ın Son teoremi Fermat denkleme çözüm göz önünde bulundurur: $a n + b, n = C N$ pozitif tamsayılar ile $bir$ , $b$ ve $c$ ve bir tam sayı $, n$ Fermat denkleminin genellemeler daha genel denklemlere vardır 2'den büyük izin veren $n$ üssünün negatif bir tamsayı veya rasyonel olması veya üç farklı üs dikkate alınması.

Genelleştirilmiş Fermat denklemi

Genelleştirilmiş Fermat denklemi , a, b, c, m, n, k'yi sağlayan pozitif tamsayı çözümlerini dikkate alarak Fermat'ın son teoreminin ifadesini genelleştirir.

a^{m}+b^{n}=c^{k}.

( 1 )

Özellikle, m , n , k üslerinin eşit olması gerekmez, oysa Fermat'ın son teoremi $m$ $=$ $n$ $=$ $k$ durumunu dikkate alır $.$

Beal varsayım da Mauldin varsayım ve Tijdeman-Zagier varsayım olarak bilinen, pozitif tamsayılar genelleştirilmiş Fermat denkleme çözüm yoktur olduğunu bildiren bir , b , c , m , n , k, ile bir , b ve c bir varlık ikili asal ve m , n , k'nin tümü 2'den büyük.

Fermat-Katalan varsayım fikirleri ile Fermat'ın son teoremini genelleştirir Katalan varsayım . Varsayım, genelleştirilmiş Fermat denkleminin, a , b , c'nin pozitif olduğu farklı değer üçlüleri ( a ^m , b ⁿ , c ^k ) ile yalnızca sonlu sayıda çözüme ( a , b , c , m , n , k ) sahip olduğunu belirtir. asal tam sayılar ve m , n , k tatmin edici pozitif tam sayılardır

{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.

( 2 )

Bu ifade çözüm kümesinin sonluluğu ile ilgilidir çünkü bilinen 10 çözüm vardır .

Ters Fermat denklemi

$n$ üssünün bir tamsayının tersi olmasına izin verdiğimizde , yani bazı $m$ tamsayıları için $n = 1/ m$ ters Fermat denklemi elde ederiz. Bu denklemin tüm çözümleri 1992'de Hendrik Lenstra tarafından hesaplanmıştır . m, ^inci kökleri gerçek ve pozitif olunmalıdır, tüm çözeltiler tarafından verilmektedir $a^{1/m}+b^{1/m}=c^{1/m}.$

{\ Displaystyle a=rs^{m}}

{\görüntüleme stili b=rt^{m}}

{\görüntüleme stili c=r(s+t)^{m}}

pozitif tamsayı için r, t, s ile s ve t göreceli asal.

rasyonel üsler

Diofant denklemi için olan n olup 1'e eşit, Bennett, cam ve SSzékely 2004 ispat n , eğer> 2 , n ve m, göreceli asal olan, o zaman sadece ve sadece 6 bölme halinde çözeltiler tam sayıdır m ve , ve vardır aynı gerçek sayının farklı karmaşık 6. kökleri. $a^{n/m}+b^{n/m}=c^{n/m}$ ${\görüntüleme stili a^{1/m}}$ ${\görüntüleme stili b^{1/m},}$ ${\görüntüleme stili c^{1/m}}$

Negatif tamsayı üsleri

n = -1

Optik denklemin tüm ilkel tamsayı çözümleri (yani, a , b ve c'nin tümü için ortak asal çarpanı olmayanlar ) şu şekilde yazılabilir: $a^{-1}+b^{-1}=c^{-1}$

a=mk+m^{2},

b=mk+k^{2},

{\görüntüleme stili c=mk}

pozitif, asal tam sayılar için m , k .

n = -2

Durumda , n = -2 solüsyonlar için sınırsız sahiptir ve bu bakımından geometrik yorumu vardır tamsayı kenarları doğru üçgenler ve hipotenüs bir tamsayıdır yükseklik . Tüm ilkel çözümler tarafından verilir $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$

a=(v^{2}-u^{2})(v^{2}+u^{2}),

b=2uv(v^{2}+u^{2}),

d=2uv(v^{2}-u^{2}),

asal tamsayılar için u , v ile v > u . Geometrik yorum, a ve b'nin bir dik üçgenin tamsayı bacakları olduğu ve d' nin hipotenüsün tamsayı yüksekliği olduğu şeklindedir. O zaman hipotenüsün kendisi tam sayıdır

c=(v^{2}+u^{2})^{2},

yani ( a, b, c ) bir Pisagor üçlüsüdür .

n < -2

n < -2 tamsayıları için tamsayılarda çözüm yoktur . Eğer olsaydı, denklemi elde etmek için ile çarpılabilirdi ki bu Fermat'ın Son Teoremi ile imkansızdır. ${\ Displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ $a^{|n|}b^{|n|}c^{|n|}$ $(bc)^{|n|}+(ac)^{|n|}=(ab)^{|n|}$

abc varsayımı

ABC tahmin kabaca bildiren üç pozitif tamsayılar durumunda bir , b ve c (adı gibi) göreceli asal olan ve tatmin bir + b = c , daha sonra kök d ait abc genellikle daha küçük daha c . Özellikle, en standart formülasyonunda abc varsayımı , yeterince büyük olan n için Fermat'ın son teoremini ima eder . Modifiye Szpiro tahmin ABC varsayım eşdeğerdir ve bu nedenle aynı etkisi söz konusudur. Abc varsayımının etkili bir versiyonu veya değiştirilmiş Szpiro varsayımının etkili bir versiyonu, doğrudan Fermat'ın Son Teoremini ima eder.

Ödüller ve yanlış kanıtlar

Fermat'ın Son Teoreminin "kanıtı" için Ukrayna telif hakkı sertifikası

1816'da ve yine 1850'de, Fransız Bilimler Akademisi , Fermat'ın Son Teoreminin genel bir kanıtı için bir ödül verdi. 1857'de Akademi, Kummer'e ideal sayılar üzerine yaptığı araştırma için 3.000 frank ve altın madalya verdi, ancak ödül için bir giriş sunmamıştı. 1883'te Brüksel Akademisi tarafından bir başka ödül daha verildi.

1908'de Alman sanayici ve amatör matematikçi Paul Wolfskehl , Fermat'ın Son Teoreminin tam bir kanıtı için bir ödül olarak Göttingen Bilimler Akademisi'ne 100.000 altın mark - o zamanlar büyük bir miktar) miras bıraktı . 27 Haziran 1908'de Akademi, ödülün verilmesi için dokuz kural yayınladı. Diğer şeylerin yanı sıra, bu kurallar kanıtın hakemli bir dergide yayınlanmasını gerektiriyordu; ödül, yayınlandıktan iki yıl sonrasına kadar verilmeyecektir; ve yarışmanın başlamasından yaklaşık bir asır sonra, 13 Eylül 2007'den sonra hiçbir ödül verilmeyecekti. Wiles, 27 Haziran 1997'de Wolfskehl ödül parasını, daha sonra 50.000 $ değerinde topladı. Mart 2016'da Wiles, "Fermat'ın Son Teoreminin yarı kararlı eliptik eğriler için modülerlik varsayımı yoluyla çarpıcı kanıtı için 600.000 € değerinde Norveç hükümetinin Abel ödülüne layık görüldü. , sayı teorisinde yeni bir çağ açıyor."

Wiles'ın kanıtından önce, Wolfskehl komitesine kabaca 10 fit (3 metre) yazışma tutarında binlerce yanlış kanıt sunuldu. Yalnızca ilk yılda (1907-1908), 621 kanıt denemesi sunuldu, ancak 1970'lere gelindiğinde, gönderme oranı ayda kabaca 3-4 deneme kanıtına düştü. Bazı iddialara göre, Edmund Landau , bu tür ispatlar için önceden basılmış özel bir form kullanma eğilimindeydi, burada ilk hatanın yeri, lisansüstü öğrencilerinden biri tarafından doldurulmak üzere boş bırakıldı. Bir Wolfskehl eleştirmeni olan F. Schlichting'e göre, kanıtların çoğu okullarda öğretilen temel yöntemlere dayanıyordu ve genellikle "teknik eğitim almış ancak başarısız bir kariyere sahip kişiler" tarafından sunuldu. Matematik tarihçisi Howard Eves'in sözleriyle , "Fermat'ın Son Teoremi, en fazla sayıda yanlış ispatın yayınlandığı matematik problemi olma gibi tuhaf bir ayrıcalığa sahiptir."

popüler kültürde

Wiles'in kanıtını anan Çek posta pulu

In The Simpsons bölüm " Evergreen Terrace Büyücüsü ," Homer Simpson denklemini yazar Fermat'ın Son Teoremi bir counterexample gibi görünen bir tahtaya, üzerinde. Denklem yanlıştır, ancak bir hesap makinesine 10 anlamlı rakamla girilirse doğru gibi görünür . ${\textstyle 3987^{12}+4365^{12}=4472^{12}}$

"In Royale ", 24 yüzyıl ayarlı TV dizilerinin bir 1989 bölüm Star Trek: The Next Generation , Picard söyler Komutanı Riker'ı hala 800 yıl sonra çözülmemiş teoremi, çözmek için yaptığı girişimleri hakkında. "Kibirimiz içinde kendimizi çok ileri düzeyde hissediyoruz. Yine de bilgisayar olmadan tek başına çalışan yarı zamanlı bir Fransız matematikçinin bağladığı basit bir düğümü çözemiyoruz." (Andrew Wiles'ın çığır açan kanıtına yol açan içgörüsü, dizinin sona ermesinden dört ay sonra gerçekleşti. Wiles'ın kanıtına, Star Trek: Deep Space Nine sezon üç bölüm Facets'de atıfta bulunuldu ; burada Jadzia Dax , Tobin Dax'a teoremin kanıtının " üç yüz yıl önce Wiles'ten bu yana kanıta en özgün yaklaşım".)

Ayrıca bakınız

Euler'in güçler toplamı varsayımı
imkansızlığın kanıtı
Kuvvetler toplamı , ilgili varsayım ve teoremlerin bir listesi
Duvar-Güneş-Güneş asal

Dipnotlar

Referanslar

bibliyografya

Aczel, Emir (1996). Fermat'ın Son Teoremi: Eski Bir Matematik Probleminin Sırrını Çözmek . Dört Duvar Sekiz Pencere. ISBN'si 978-1-56858-077-7.
Dickson LE (1919). Sayılar Teorisi Tarihi. Cilt II. Diofant Analizi . New York: Chelsea Yayıncılık. 545–550, 615–621, 688–691, 731–776.
Edwards, HM (1997). Fermat'ın Son Teoremi. Cebirsel Sayı Teorisine Genetik Bir Giriş . Matematikte Lisansüstü Metinler. 50 . New York: Springer-Verlag.
Friberg, Joran (2007). Yunan Matematiğinde Babil Kökeninin Şaşırtıcı İzleri . Dünya Bilimsel Yayıncılık Şirketi. ISBN'si 978-981-270-452-8.
Kleiner I (2000). "Fermat'tan Wiles'a: Fermat'ın Son Teoremi Bir Teorem Oluyor" (PDF) . Elemente der Mathematik . 55 : 19–37. doi : 10.1007/PL00000079 . S2CID 53319514 . Arşivlenmiş orijinal (PDF) 13 Temmuz 2010 tarihinde.
Mordell LJ (1921). Fermat'ın Son Teoremi Üzerine Üç Ders . Cambridge: Cambridge University Press.
Panchishkin, Alekseĭ Alekseevich (2007). Modern Sayı Teorisine Giriş (Matematiksel Bilimler Ansiklopedisi . Springer Berlin; Heidelberg New York. ISBN 978-3-540-20364-3.
Ribenboim P (2000). Amatörler için Fermat'ın Son Teoremi . New York: Springer-Verlag. ISBN'si 978-0-387-98508-4.
Singh S (1998). Fermat'ın Gizemi . New York: Çapa Kitapları. ISBN'si 978-0-385-49362-8.
Stark H (1978). Sayı Teorisine Giriş . MİT Basın. ISBN'si 0-262-69060-8.

daha fazla okuma

Bell, Eric T. (1998) [1961]. Son Sorun . New York: Amerika Matematik Derneği. ISBN'si 978-0-88385-451-8.
Benson, Donald C. (2001). Kanıt Anı: Matematiksel Epifaniler . Oxford Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-19-513919-8.
Brudner, Harvey J. (1994). Fermat ve Eksik Sayılar . WLC, Inc. ISBN'si 978-0-9644785-0-3.
Edwards, HM (1996) [1977]. Fermat'ın Son Teoremi . New York: Springer-Verlag. ISBN'si 978-0-387-90230-2.
Faltings G (Temmuz 1995). "R. Taylor ve A. Wiles tarafından Fermat'ın Son Teoreminin Kanıtı" (PDF) . Amerikan Matematik Derneği Bildirimleri . 42 (7): 743-746. ISSN 0002-9920 .
Mozzochi, Charles (2000). Fermat Günlüğü . Amerikan Matematik Derneği. ISBN'si 978-0-8218-2670-6.
Ribenboim P (1979). 13 Fermat'ın Son Teoremi Üzerine Dersler . New York: Springer Verlag. ISBN'si 978-0-387-90432-0.
van der Poorten, Alf (1996). Fermat'ın Son Teoremi Üzerine Notlar . WileyBlackwell. ISBN'si 978-0-471-06261-5.
Saikia, Manjil P (Temmuz 2011). "Düzenli Asal Sayılar için Fermat'ın Son Teoreminin Kummer Kanıtı Üzerine Bir Çalışma" (PDF) . IISER Mohali (Hindistan) Yaz Projesi Raporu . arXiv : 1307.3459 . Bibcode : 2013arXiv1307.3459S . Arşivlenmiş orijinal (PDF) 22 Eylül 2015 tarihinde . Erişim tarihi: 9 Mart 2014 .
Stevens, Glenn (1997). "Fermat'ın Son Teoreminin İspatına Genel Bir Bakış" . Modüler Formlar ve Fermat'ın Son Teoremi . New York: Springer. s. 1-16. ISBN'si 0-387-94609-8.

Dış bağlantılar

İlgili Medya Fermat'ın son teoremi Wikimedia Commons

Daney, Charles (2003). "Fermat'ın Son Teoreminin Matematiği" . Arşivlenmiş orijinal 3 Ağustos 2004 tarihinde . Erişim tarihi: 5 Ağustos 2004 .
Elkies, Noam D. "Fermat Tabloları " ramak kalalar " – x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ "' ⁿⁱⁿ yaklaşık çözümleri .
Freeman, Larry (2005). "Fermat'ın Son Teoremi Blogu" . Fermat'tan Wiles'a Fermat'ın Son Teoreminin tarihini kapsayan blog.
"Fermat'ın son teoremi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
Ribet, Ken (1995). "Galois temsilleri ve modüler formlar". arXiv : matematik/9503219 . Fermat'ın Son Teoreminin ispatıyla ilgili çeşitli materyalleri tartışır: eliptik eğriler, modüler formlar, Galois temsilleri ve deformasyonları, Frey'in yapısı ve Serre ve Taniyama-Shimura varsayımları.
Shay, David (2003). "Fermat'ın Son Teoremi" . 14 Ocak 2017'de alındı . Hikaye, tarih ve gizem.
Weisstein, Eric W. "Fermat'ın Son Teoremi" . Matematik Dünyası .
O'Connor JJ, Robertson EF (1996). "Fermat'ın son teoremi" . Arşivlenmiş orijinal 4 Ağustos 2004 tarihinde . Erişim tarihi: 5 Ağustos 2004 .
"Kanıt" . PBS televizyon dizisi NOVA'nın bir baskısının başlığı, Andrew Wiles'ın Fermat'ın Son Teoremini kanıtlama çabasını tartışıyor.
"Fermat'ın Son Teoremi (1996) Üzerine Belgesel Film" . Simon Singh ve John Lynch'in filmi Andrew Wiles'ın hikayesini anlatıyor.

1670 baskısı Diophantus 'ın kitaptaki onun 'Son Teoremi'(olarak anılacaktır Fermat bir yorum içerir Observatio Domini Petri de Fermat ölümünden sonra oğlu tarafından yayınlanmıştır).
Alan	Sayı teorisi
Beyan	Herhangi bir $n > 2$ tamsayı için , $a n + b n = c n$ denkleminin pozitif tamsayı çözümü yoktur.
İlk olarak belirtilen	Pierre de Fermat
İlk olarak belirtilen	C. 1637
tarafından ilk kanıt	Andrew Wiles
İlk kanıt	1994'te yayınlandı 1995'te yayınlandı
tarafından ima edildi
genellemeler

Languages

In other projects