Thoralf Skolem - Thoralf Skolem

Thoralf Skolem
ThoralfSkolem-OB.F06426c.jpg
Doğmak ( 1887-05-23 )23 Mayıs 1887
Sandsvær , Norveç
Öldü 23 Mart 1963 (1963-03-23)(75 yaşında)
Oslo , Norveç
Milliyet Norveççe
gidilen okul Oslo Üniversitesi
Bilinen Skolem–Noether teoremi
Löwenheim–Skolem teoremi
Bilimsel kariyer
Alanlar Matematikçi
kurumlar Oslo Üniversitesi
Chr. Michelsen Enstitüsü
Doktora danışmanı Axel Thue
Doktora öğrencileri Øystein Cevheri

Thoralf Albert Skolem ( Norveççe:  [ˈtùːrɑɫf ˈskùːlɛm] ; 23 Mayıs 1887 - 23 Mart 1963), matematiksel mantık ve küme teorisi üzerine çalışan Norveçli bir matematikçiydi .

Hayat

Skolem'in babası ilkokul öğretmeni olmasına rağmen, geniş ailesinin çoğu çiftçiydi. Skolem , 1905'te üniversite giriş sınavlarını geçerek Kristiania'da (daha sonra Oslo olarak yeniden adlandırıldı ) ortaokula gitti . Daha sonra matematik okumak için Det Kongelige Frederiks Universitet'e girdi ve ayrıca fizik , kimya , zooloji ve botanik dersleri aldı .

1909'da, manyetize edilmiş küreleri elektronlarla bombardıman etmesi ve aurora benzeri etkiler elde etmesiyle tanınan fizikçi Kristian Birkeland'ın asistanı olarak çalışmaya başladı ; böylece Skolem'in ilk yayınları Birkeland ile ortaklaşa yazılan fizik makaleleriydi. 1913 yılında, Skolem devlet sınavlarını başarıyla geçti ve Mantık Cebiri Üzerine Araştırmalar başlıklı bir tezi tamamladı . Zodyak ışığını gözlemlemek için Birkeland ile Sudan'a da gitti . 1915 kış dönemini, matematiksel mantık , metamatematik ve soyut cebir alanlarında önde gelen araştırma merkezi olan Göttingen Üniversitesi'nde geçirdi . 1916'da Det Kongelige Frederiks Universitet'e araştırma görevlisi olarak atandı. 1918'de Matematik alanında Doçent oldu ve Norveç Bilim ve Edebiyat Akademisi'ne seçildi .

Skolem ilk başta resmi olarak doktora programına kaydolmadı. aday, doktora olduğuna inanan. Norveç'te gereksizdi. Daha sonra fikrini değiştirdi ve 1926'da, bazı cebirsel denklemlerin ve eşitsizliklerin integral çözümleri hakkında bazı teoremler başlıklı bir tez sundu . Thue 1922'de ölmüş olmasına rağmen, onun kavramsal tez danışmanı Axel Thue idi .

1927'de Edith Wilhelmine Hasvold ile evlendi.

Skolem (adını Det Kongelige Frederiks Universitet de öğretme devam Oslo Üniversitesi o bir Araştırma Associate olunca 1930 yılına kadar 1939 yılında) Chr. Michelsen Enstitüsü içinde Bergen . Bu kıdemli görev, Skolem'in idari ve öğretim görevlerinden bağımsız olarak araştırma yapmasına izin verdi. Bununla birlikte, pozisyon aynı zamanda o zamanlar bir üniversiteye sahip olmayan ve dolayısıyla araştırma kütüphanesi olmayan bir şehir olan Bergen'de ikamet etmesini de gerektiriyordu , bu nedenle matematiksel literatürü takip edemiyordu. 1938'de üniversitede Matematik Profesörü olarak görev yapmak üzere Oslo'ya döndü. Orada cebir ve sayılar teorisi ve sadece ara sıra matematiksel mantık üzerine lisansüstü dersler verdi. Skolem'in Ph.D. öğrenci Øystein Ore , kariyerine ABD'de devam etti.

Skolem, Norveç Matematik Derneği'nin başkanı olarak görev yaptı ve uzun yıllar Norsk Matematisk Tidsskrift'in ("Norveç Matematik Dergisi") editörlüğünü yaptı. Aynı zamanda Mathematica Scandinavica'nın kurucu editörüydü .

1957'de emekli olduktan sonra, Amerika Birleşik Devletleri'ne çeşitli geziler yaptı, oradaki üniversitelerde konuşma ve ders verdi. Ani ve beklenmedik ölümüne kadar entelektüel olarak aktif kaldı.

Skolem'in akademik hayatı hakkında daha fazla bilgi için bkz. Fenstad (1970).

Matematik

Skolem, Diophantine denklemleri , grup teorisi , kafes teorisi ve hepsinden önemlisi küme teorisi ve matematiksel mantık üzerine yaklaşık 180 makale yayınladı . Çoğunlukla sınırlı uluslararası tirajı olan Norveç dergilerinde yayınladı, böylece sonuçları ara sıra başkaları tarafından yeniden keşfedildi. Bir örnek, basit cebirlerin otomorfizmlerini karakterize eden Skolem-Noether teoremidir . Skolem 1927'de bir kanıt yayınladı, ancak Emmy Noether bağımsız olarak birkaç yıl sonra onu yeniden keşfetti.

Skolem, kafesler üzerine ilk yazanlardan biriydi . 1912'de, n eleman tarafından üretilen bir serbest dağıtım kafesini tanımlayan ilk kişiydi . 1919'da, her örtük kafesin (şimdi Skolem kafesi olarak da adlandırılır ) dağıtıcı olduğunu ve kısmi bir tersi olarak, her sonlu dağıtıcı kafesin implikatif olduğunu gösterdi. Bu sonuçlar başkaları tarafından yeniden keşfedildikten sonra, Skolem, kafes teorisindeki daha önceki çalışmalarını inceleyen Almanca, "Über gewisse 'Verbände' oder 'Kafesler'" adlı 1936 tarihli bir makale yayınladı.

Skolem öncü bir model teorisyeniydi . 1920'de, Leopold Löwenheim'ın ilk kez 1915'te kanıtladığı bir teoremin kanıtını büyük ölçüde basitleştirdi ve Löwenheim-Skolem teoremi ile sonuçlandı; bu , sayılabilir bir birinci dereceden teorinin sonsuz bir modeli varsa, o zaman sayılabilir bir modeli olduğunu belirtir. 1920 kanıtı , seçim aksiyomunu kullandı , ancak daha sonra (1922 ve 1928) , bu aksiyom yerine Kőnig'in lemmasını kullanarak kanıtlar verdi . Bu Skolem, Löwenheim gibi, matematiksel mantık ve yoldaşı öncü modeli teorisyenlerinin gösterimi kullanılarak bir dizi teori yazdığı dikkat çekicidir Charles Sanders Peirce ve Ernst Schröder tt, a dahil değişken bağlayıcı niceleyicilerin olarak, simgelemeleri aksine Peano , Principia Mathematica ve Matematiksel Mantığın İlkeleri . Skolem (1934), standart olmayan aritmetik ve küme teorisi modellerinin oluşturulmasına öncülük etti .

Skolem (1922), Zermelo'nun belirsiz bir "kesin" özellik kavramını birinci dereceden mantıkta kodlanabilecek herhangi bir özellik ile değiştirerek küme teorisi için Zermelo'nun aksiyomlarını geliştirdi . Ortaya çıkan aksiyom artık küme teorisinin standart aksiyomlarının bir parçasıdır. Skolem ayrıca Löwenheim-Skolem teoreminin bir sonucunun şu anda Skolem paradoksu olarak bilinen şey olduğuna dikkat çekti : Zermelo'nun aksiyomları tutarlıysa, sayılamayan kümelerin varlığını kanıtlasalar bile, sayılabilir bir alanda tatmin edilebilir olmalıdırlar.

eksiksizlik

Tamlık ait Birinci derece mantık Skolem 1920'lerin başında kanıtladı ve (1928) Skolem tartışılan sonuçların bir sonuç olduğunu ama matematikçiler ve mantıkçıların temel metamathematical olarak bütünlük tam olarak farkında olmadı belki de, bu gerçeği dikkate başarısız Hilbert ve Ackermann'ın Principles of Mathematical Logic'in 1928'deki ilk baskısına kadar problem açıkça dile getirildi . Her halükarda, Kurt Gödel bu eksiksizliği ilk kez 1930'da kanıtladı.

Skolem tamamlanmış sonsuzluğa güvenmedi ve matematikte sonluluğun kurucularından biriydi . Skolem (1923) , sonsuzun sözde paradokslarından kaçınmanın bir yolu olarak , hesaplanabilir fonksiyonlar teorisine çok erken bir katkı olan ilkel özyinelemeli aritmetiğini ortaya koyuyor . Burada, ilk önce nesneleri ilkel özyineleme ile tanımlayarak , ardından ilk sistem tarafından tanımlanan nesnelerin özelliklerini kanıtlamak için başka bir sistem tasarlayarak doğal sayıların aritmetiğini geliştirdi . Bu iki sistem onun asal sayıları tanımlamasını ve önemli miktarda sayı teorisi ortaya koymasını sağladı . Bu sistemlerden ilki nesneleri tanımlamak için bir programlama dili, ikincisi nesnelerle ilgili özellikleri kanıtlamak için bir programlama mantığı olarak kabul edilebilirse, Skolem teorik bilgisayar biliminin farkında olmadan öncüsü olarak görülebilir.

1929'da Presburger , çarpma olmaksızın Peano aritmetiğinin tutarlı , eksiksiz ve karar verilebilir olduğunu kanıtladı . Ertesi yıl, Skolem aynı şeyin eksiz Peano aritmetiği için de geçerli olduğunu kanıtladı, onun onuruna Skolem aritmetiği adlı bir sistem . Gödel'in 1931'deki ünlü sonucu, Peano aritmetiğinin kendisinin (hem toplama hem de çarpma ile) tamamlanamaz ve dolayısıyla a posteriori karar verilemez olmasıdır.

Hao Wang , Skolem'in çalışmalarını şöyle övdü:

"Skolem, genel sorunları somut örneklerle ele alma eğilimindedir. Genellikle kanıtları, onları keşfetmeye geldiği sırayla sunuyor gibiydi. Bu, yeni bir kayıt dışılığın yanı sıra belirli bir sonuçsuzluğa da yol açıyor. Makalelerinin çoğu, ilerleme raporları gibi görünüyor. Yine de fikirleri genellikle hamiledir ve potansiyel olarak geniş bir uygulama alanına sahiptir.O, fazlasıyla 'özgür bir ruhtu': herhangi bir okula ait değildi, kendine ait bir okul kurmadı, genellikle yoğun bir şekilde kullanmadı. bilinen sonuçlar... o çok yenilikçiydi ve makalelerinin çoğu, çok fazla uzmanlık bilgisi olmayanlar tarafından okunabilir ve anlaşılabilir.Görünüşe göre bugün genç olsaydı, mantık... ona çekici gelmezdi. " (Skolem 1970: 17-18)

Skolem'in başarıları hakkında daha fazla bilgi için bkz. Hao Wang (1970).

Ayrıca bakınız

Referanslar

Öncelik

  • Skolem, Thoralf (1934). "Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (Almanca). 23 (1): 150-161. doi : 10.4064/fm-23-1-150-161 .
  • Skolem, TA, 1970. Mantıkta seçme eserler , Fenstad, JE, ed. Oslo: İskandinav Üniversitesi Kitapları. 22 Almanca, 26 İngilizce, 2 Fransızca, orijinal olarak Norveççe yayınlanmış bir makalenin 1 İngilizce çevirisi ve eksiksiz bir kaynakça içerir.

İngilizce çeviri yazıları

  • Jean van Heijenoort , 1967. Frege'den Gödel'e : Matematiksel Mantıkta Bir Kaynak Kitap, 1879–1931 . Harvard Üniv. Basmak.
    • 1920. "Matematiksel önermelerin karşılanabilirliği veya kanıtlanabilirliği üzerine mantıksal-kombinatoryal araştırmalar: Löwenheim tarafından bir teoremin basitleştirilmiş bir kanıtı", 252-263.
    • 1922. "Aksiyomatize edilmiş küme teorisi üzerine bazı açıklamalar", 290-301.
    • 1923. "Temel aritmetiğin temelleri", 302-33.
    • 1928. "Matematiksel mantık üzerine" 508-524.

İkincil

  • Brady, Geraldine, 2000. Peirce'den Skolem'e . Kuzey Hollanda.
  • Fenstad, Jens Erik, 1970, Skolem'de "Thoralf Albert Skolem in Memoriam" (1970: 9-16).
  • Hao Wang, 1970, Skolem'de "Skolem'in mantıktaki çalışmasına dair bir araştırma" (1970: 17–52).

Dış bağlantılar