Peirce yasası - Peirce's law

In mantık , Peirce yasası almıştır filozof ve mantıkçı Charles Sanders Peirce . Önerme mantığının ilk aksiyomizasyonunda bir aksiyom olarak alındı . Yalnızca bir tür bağlayıcı, yani ima içeren bir biçimde yazılmış dışlanmış orta yasası olarak düşünülebilir .

Gelen önermeler mantığı , Peirce yasası ki ((diyor P → Q →) P →) P . Dışarı Yazılı, bu araçlar o P bir önerme varsa doğru olması gerekir Q gerçeği böyle P izler "eğer gerçeğinin P ardından Q ". Özellikle, Q yanlış bir formül olarak alındığında, yasa , yanlışlığı ima ettiğinde P'nin doğru olması gerekiyorsa, o zaman P'nin doğru olduğunu söyler . Bu şekilde Peirce yasası, dışlanan orta yasası anlamına gelir .

Peirce yasası, sezgisel mantıkta veya ara mantıkta geçerli değildir ve yalnızca tümdengelim teoreminden çıkarılamaz .

Altında Curry-Howard isomorphism , Peirce yasası türüdür devamı operatörleri, örneğin çağrı / cc içinde Planı .

Tarih

İşte Peirce'in kendi kanunu açıklaması:

Bir beşinci simgesi ilkesine için gereklidir orta hariç onunla bağlantılı ve diğer önermeler. Bu türden en basit formüllerden biri:

Bu pek aksiyomatik değildir. Bunun doğru olduğu şu şekilde ortaya çıkıyor. Yalnızca , öncülü ( x → y ) → x doğru iken , nihai sonucu x false olduğunda yanlış olabilir . Eğer bu doğruysa, ya tüm formül doğru olduğunda sonucu olan x doğrudur ya da öncülü x → y yanlıştır. Ama son durumda, x → y'nin öncülü , yani x doğru olmalıdır. (Peirce, The Collected Papers 3.384).

Peirce, yasanın hemen uygulanmasına dikkat çekerek devam ediyor:

Az önce verilen formülden hemen şunu elde ederiz:

burada a öyle bir anlamda kullanılır ki ( x → y ) → a , ( x → y ) den her önermenin geldiği anlamına gelir . Bu anlayışla, formül reddi yanlışlığı o, dışlanmış orta ilkesini belirten x gerçeği izler x . (Peirce, The Collected Papers 3.384).

Uyarı : (( x → y ) → bir ) → x olan olmayan bir gereksiz tekrar . Ancak, [ a → x ]→[(( x → y )→ a )→ x ] bir totolojidir.

Diğer kanıtlar

İşte çifte olumsuzlamayı varsayan ve standart ayrımı bir çıkarımdan türeten Peirce yasasının basit bir kanıtı : ${\görüntüleme stili (\neg \neg P\iff P)}$${\ Displaystyle ((P\rightarrow Q)\Rightarrow (\neg P\vee Q))}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}(p\rightarrow q)\rightarrow p\\\neg (p\rightarrow q)\lor p\\\neg (\neg p\lor q)\lor p\\(p \land \neg q)\lor p\\p\lor p\\p.\\\end{hizalı}}}$

Peirce yasasını kesinti teoremi ile kullanma

Peirce yasası, kişinin teoremleri kanıtlamak için tümdengelim teoremini kullanma tekniğini geliştirmesine izin verir . Birine bir dizi öncül verildiğini ve bunlardan bir Z önermesi çıkarmak istediğini varsayalım . Peirce yasasıyla, Z → P'den Γ'ye kadar ek öncüller (ücretsiz olarak) eklenebilir . Örneğin, bize P → Z ve ( P → Q )→ Z verildiğini ve ( P → Z )→((( P → Q )→ Z sonucunu çıkarmak için tümdengelim teoremini kullanabilmemiz için Z'yi çıkarmak istediğimizi varsayalım. )→ Z ) bir teoremdir. Sonra başka bir öncül Z → Q ekleyebiliriz . Bundan ve P → Z 'den P → Q elde ederiz . Sonra (ile modus Ponens uygulamak P → Q →) Z almak için büyük öncül olarak Z . Tümdengelim teoremini uygulayarak, ( Z → Q )→ Z'nin orijinal öncülden geldiğini elde ederiz . Daha sonra (( Z → Q )→ Z )→ Z ve modus ponens biçimindeki Peirce yasasını, Z'yi orijinal öncüllerden türetmek için kullanırız. O zaman, teoremi başlangıçta amaçladığımız gibi kanıtlamayı bitirebiliriz.

ima edilen önermeler hesabının eksiksizliği

Peirce yasasının önemli olmasının bir nedeni, yalnızca ima kullanan mantıkta dışlanan orta yasasının yerine geçebilmesidir. Aksiyom şemalarından çıkarılabilecek cümleler:

• P →( Q → P )
• ( P →( Q → R ))→(( P → Q )→( P → R ))
• (( P → Q )→ P )→ P
• den P ve P → S anlaması S

(burada P , Q , R bağlaç olarak yalnızca "→" içerir) bağlaç olarak yalnızca "→" kullanan tüm totolojilerdir .

Ayrıca bakınız

• Charles Sanders Peirce bibliyografyası

Notlar

daha fazla okuma

• Peirce, CS, "Mantık Cebiri Üzerine: Notasyon Felsefesine Katkı", American Journal of Mathematics 7, 180–202 (1885). Yeniden basıldı, Charles Sanders Peirce 3.359-403'ün Toplanan Kağıtları ve Charles S. Peirce'in Yazıları: Bir Kronolojik Baskı 5, 162–190.
• Peirce, CS, Charles Sanders Peirce'in Toplanan Belgeleri , Cilt. 1-6, Charles Hartshorne ve Paul Weiss (ed.), Cilt. 7-8, Arthur W. Burks (ed.), Harvard University Press, Cambridge, MA, 1931–1935, 1958.