Büyük daire navigasyonu - Great-circle navigation

Dünya küresine çizilmiş ortodromik rota.

Büyük daire navigasyon veya ortodromik navigasyon (ilgili ortodromik ders ; dan Yunan ορθóς , doğru açı ve δρóμος , yol) uygulamasıdır navigasyona bir gemiyi (a gemi veya uçak bir birlikte) Büyük çember . Bu tür rotalar , varsayımsal dünya üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi verir .

Kurs

Şekil 1. (φ ₁ , λ ₁ ) ve (φ ₂ , λ ₂ ) arasındaki büyük daire yolu .

Büyük daire yolu, küresel trigonometri kullanılarak bulunabilir ; bu ters jeodezik problemin küresel versiyonudur . Eğer bir gezgin P ₁  = (φ ₁ ,λ ₁ )'de başlar ve büyük daireyi P ₂  = (φ ₂ ,λ ₂ ) noktasındaki bir noktaya kadar seyahat etmeyi planlıyorsa (bkz. Şekil 1, φ enlemdir, pozitif kuzeye doğrudur). ve λ boylamdır, doğuya doğru pozitiftir), ilk ve son rotalar α ₁ ve α ₂ , küresel bir üçgeni çözmek için formüllerle verilir

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\ sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _ {1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{hizalı}}}$

burada λ ₁₂  = λ ₂  − λ ₁ ve α ₁ ,α _2'nin kadranları tanjant formüllerinde pay ve paydanın işaretleri ile belirlenir (örn. atan2 işlevi kullanılarak). Merkezi açısı , iki nokta arasında, σ ₁₂ , ile verilmektedir

${\displaystyle \tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _ {2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12})^{2}}}{\sin \phi _{1} \sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}}.}$

(Bu formülün payı, tanα _1'i belirlemek için kullanılan nicelikleri içerir .) Bu durumda büyük daire boyunca mesafe s ₁₂  =  R σ _{12 olacaktır} ; burada R , dünyanın varsayılan yarıçapıdır ve σ ₁₂ , radyan cinsinden ifade edilir. . Ortalama dünya yarıçapını kullanarak , R  =  R ₁  ≈ 6,371 km (3.959 mi) , WGS84 elipsoidi için jeodezik mesafenin %1'i dahilinde olan s ₁₂ mesafesi için sonuçlar verir .

yol noktaları bulma

Bulmak için bir yol-noktalar arasında çok büyük bir daire üzerinde seçilen noktalarının konumlarını olduğu, P ₁ ve P ₂ , ilk olarak büyük daire geri tahmin düğüm A , büyük çember kuzeye ekvatoru geçtiği noktaya yön: bu noktanın boylamı λ _{0 olsun} — Şekil 1'e bakın. Bu noktadaki azimut, α ₀ , ile verilir.

${\displaystyle \tan \alpha _{0}={\frac {\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1}}{\sqrt {\cos ^{2}\alpha _{1}+ \sin ^{2}\alpha _{1}\sin ^{2}\phi _{1}}}}.}$

Büyük çember boyunca açısal mesafeler olsun A için P ₁ ve P ₂ σ olduğu ₀₁ ve s ₀₂ , sırasıyla. Sonra kullanarak Napier'in kurallarını elimizdeki

${\displaystyle \tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad }$(Eğer φ ₁  = 0 ve α ₁  =  1 ⁄ 2 π ise, σ ₀₁  = 0 kullanın ).

Bu, σ _01'i verir , bu nedenle σ ₀₂  = σ ₀₁  + σ ₁₂ .

Düğümdeki boylam şuradan bulunur:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \lambda _{01}&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma _{01}}{\cos \sigma _{01}} },\\\lambda _{0}&=\lambda _{1}-\lambda _{01}.\end{hizalı}}}$

Şekil 2. Bir düğüm (ekvator geçişi) ile rastgele bir nokta (φ,λ) arasındaki büyük daire yolu.

Son olarak, doğrudan jeodezik problemin küresel versiyonuyla keyfi bir nokta olan P'deki (bkz. Şekil 2) konumu ve azimutu hesaplayın . Napier kuralları verir

${\displaystyle {\color {beyaz}.\,\qquad )}\tan \phi ={\frac {\cos \alpha _{0}\sin \sigma }{\sqrt {\cos ^{2}\sigma +\sin ^{2}\alpha _{0}\sin ^{2}\sigma }}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\lambda -\lambda _{0})&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma }{\cos \sigma }},\ \\tan \alpha &={\frac {\tan \alpha _{0}}{\cos \sigma }}.\end{hizalı}}}$

Atan2 fonksiyonu σ belirlemek için kullanılmalıdır ₀₁ , λ, ve a. Örneğin, yolun orta noktasını bulmak için yerine σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ); alternatif olarak, noktayı başlangıç ​​noktasından d uzaklığında bulmak için σ = σ ₀₁  +  d / R alın . Benzer şekilde, büyük dairenin en büyük enlemine sahip noktası olan tepe noktası, σ = + 1 ⁄ 2 π ile değiştirilerek bulunur. kullanarak boylam açısından rotayı parametreleştirmek uygun olabilir.

${\displaystyle \tan \phi =\cot \alpha _{0}\sin(\lambda -\lambda _{0}).}$

Düzenli boylam aralıklarındaki enlemler bulunabilir ve sonuçta ortaya çıkan konumlar Merkatör haritasına aktarılarak büyük dairenin bir dizi kerte çizgisiyle yaklaştırılmasına izin verilir . Bu şekilde belirlenen yol , koordinatların elipsoid üzerinde coğrafi koordinatlar olarak yorumlanması koşuluyla, uç noktaları birleştiren büyük elipsi verir . ${\görüntüleme stili (\phi ,\lambda )}$

Bu formüller, dünyanın küresel bir modeli için geçerlidir. Ayrıca, bir devrim elipsoidi üzerinde en kısa yolu veya jeodezik olanı bulmak için bir cihaz olan yardımcı küre üzerindeki büyük dairenin çözümünde de kullanılırlar ; bir elipsoid üzerindeki jeodezikler hakkındaki makaleye bakın .

Örnek

Valparaíso , φ ₁  = −33°, λ ₁  = −71.6° ile Şanghay , φ ₂  = 31.4°, λ ₂  = 121.8° arasındaki büyük daire rotasını hesaplayın .

 Rota ve mesafe formülleri λ ₁₂ = -166.6°, α ₁  = −94.41°, α ₂  = −78.42° ve σ ₁₂  = 168.56°'yi verir. Alarak yer çapındaki olduğu R  = 6371 km, mesafe s ₁₂  = 18743 km.

Rota boyunca noktaları hesaplamak için önce α ₀  = −56.74°, σ ₁  = −96.76°, σ ₂  = 71.8°, λ ₀₁  = 98.07°  ve λ ₀ = −169.67°'yi bulun. Ardından, rotanın orta noktasını hesaplamak için (örneğin), σ =  1 ⁄ 2 (σ ₁  + σ ₂ ) = −12.48° alın ve φ = −6.81°, λ = −159.18° ve α = − için çözün. 57.36°.

WGS84 elipsoidinde jeodezik doğru bir şekilde hesaplanırsa , sonuçlar α ₁  = −94.82°, α ₂  = −78.29° ve s ₁₂  = 18752 km'dir. Jeodezinin orta noktası φ = −7.07°, λ = −159.31°, α = −57,45°'dir.

Gnomonik harita

Bir gnomonik haritada çizilen düz bir çizgi harika bir daire izi olurdu. Bu bir Mercator grafiğine aktarıldığında bir eğri olur. Konumlar uygun bir boylam aralığında aktarılır ve bu, Mercator grafiğinde çizilir.

Ayrıca bakınız

• pusula gülü
• Harika daire
• Büyük daire mesafesi
• büyük elips
• Bir elipsoid üzerinde jeodezik
• coğrafi mesafe
• izoazimutal
• Loxodromic navigasyon
• Harita
  • Portolan haritası
• Deniz kum saati
• kerte hattı
• Küresel trigonometri
• rüzgar gülü ağı

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar

• Great Circle – MathWorld Great Circle tanımından, şekillerinden ve denklemlerinden. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
• Harika daire rotaları çizmek için Great Circle Mapper Etkileşimli araç.
• Great Circle Calculator (ilk) rotayı ve iki nokta arasındaki mesafeyi türetiyor.
• Haritalar üzerinde harika daireler çizmek için Büyük Daire Mesafesi Grafik aracı. Ayrıca bir tabloda mesafe ve azimutu gösterir.
• Ortodromik navigasyon için Google yardım programı