kerte hattı - Rhumb line

Olarak kullan , bir kerte hattı , rhumb , ( / r ʌ m / ) ya da kerte hattı bir bir yay tüm geçiş meridyen arasında boylam aynı de açısı , sabit bir yol, yatak göre ölçülen gerçek kuzeyin .

Tanıtım

Bir küre yüzeyinde bir kerte çizgisi rotasını izlemenin etkisi, ilk olarak 1537'de Portekizli matematikçi Pedro Nunes tarafından , 1590'larda Thomas Harriot tarafından daha fazla matematiksel gelişme ile birlikte , Deniz Haritasının Savunması İncelemesinde tartışıldı .

Bir kerte çizgisi , bir kürenin yüzeyindeki iki nokta arasındaki en kısa mesafenin yolu olan büyük bir daire ile karşılaştırılabilir . Büyük bir daire üzerinde, varış noktasına olan yön sabit kalmaz. Büyük bir daire boyunca bir araba kullanacak olsaydınız, direksiyon simidini sabit tutardı, ancak bir kerte çizgisini takip etmek için direksiyonu çevirmek, direklere yaklaştıkça daha keskin bir şekilde çevirmek gerekirdi. Başka bir deyişle, büyük bir daire sıfır jeodezik eğrilik ile yerel olarak "düzdür" , oysa bir kerte çizgisi sıfır olmayan jeodezik eğriliğe sahiptir.

Boylam meridyenleri ve enlem paralelleri, kesişme açılarının sırasıyla 0° ve 90° olduğu kerte çizgisinin özel durumlarını sağlar. Kuzey-güney geçişinde, ekvator boyunca bir doğu-batı geçişinde olduğu gibi, kerte çizgisi rotası büyük bir daire ile çakışmaktadır .

Bir Mercator projeksiyon haritasında, herhangi bir kerte çizgisi düz bir çizgidir; Böyle bir harita üzerinde, Dünya üzerindeki herhangi iki nokta arasında, haritanın kenarından ayrılmadan bir kerte çizgisi çizilebilir. Ancak teorik olarak bir loxodrom, haritanın sağ kenarının ötesine uzanabilir ve daha sonra aynı eğimle sol kenarda devam edebilir (haritanın tam olarak 360 derece boylamı kapsadığını varsayarak).

Meridyenleri eğik açılarda kesen kerte çizgileri, kutuplara doğru spiral yapan loksodromik eğrilerdir. Bir Mercator izdüşümünde kuzey ve güney kutupları sonsuzda meydana gelir ve bu nedenle asla gösterilmez. Bununla birlikte, sonsuz yükseklikteki bir haritadaki tam loxodrom, iki kenar arasında sonsuz sayıda çizgi parçasından oluşacaktır. Bir stereografik izdüşüm haritasında, bir loxodrom, merkezi kuzey veya güney kutbu olan eş açılı bir spiraldir .

Tüm loxodromlar bir kutuptan diğerine spiral şeklindedir . Kutupların yakınında, logaritmik spiraller olmaya yakındırlar (tam olarak bir stereografik izdüşüm üzerindedirler , aşağıya bakınız), bu nedenle her bir kutbun etrafını sonsuz sayıda sararlar, ancak direğe sonlu bir mesafede ulaşırlar. (Mükemmel varsayarak bir kerte hattı kutup için kutuplu uzunluğu küre ) uzunluğu meridyen bölünmesiyle kosinüs uzağa doğru kuzey yatağın. Loxodromlar kutuplarda tanımlanmamıştır.

• Bir kutuptan direğe loksodromun üç görünümü
• 
• 
• 

Etimoloji ve tarihsel açıklama

Kelime kerte hattı geliyor Antik Yunanca λοξός LOXOS : "eğik" + δρόμος dromoslu : "çalışan" (δραμεῖν dan drameîn : "çalıştırmak"). Kelime kerte gelebilir İspanyolca veya Portekizce Rumbo / Rumo ( "elbette" veya "yönü") ve Yunan ῥόμβος Rhombos gelen, rhémbein .

The Globe Encyclopaedia of Universal Information'ın 1878 baskısı, bir loksodrome hattını şu şekilde tanımlar :

Loxodrom'ic Line, belirli bir yüzeyin eğrilik çizgileri sisteminin her elemanını aynı açıda kesen bir eğridir. Pusulanın aynı noktasına doğru seyreden bir gemi, tüm meridyenleri aynı açıda kesen böyle bir çizgiyi tanımlar. Mercator'un İzdüşümünde (qv) Loxodromic çizgileri açıkça düzdür.

Bir yanlış anlama ortaya çıkabilir, çünkü "kere" terimi, kullanıma girdiğinde kesin bir anlamı yoktu. Loxodromlara olduğu kadar rüzgar gülü hatlarına da eşit derecede uygulandı, çünkü terim yalnızca "yerel olarak" uygulandı ve yalnızca bir denizcinin , bunun ima ettiği tüm belirsizlikle, sabit bir kerterizle yelken açmak için yaptığı her şeyi ifade ediyordu. Bu nedenle, "kerte" konulu düz çizgiler için geçerli olduğu portolanı portolanı yanı sıra her zaman kullanımda Mercator listelerinde düz çizgiler için geçerli iken. Kısa mesafeler için portolan "kerteleri", Mercator kertelerinden anlamlı bir şekilde farklı değildir, ancak bu günlerde "kerte", geriye dönük olarak eşanlamlı hale getirildiğinden, matematiksel olarak kesin "loksodrome" ile eş anlamlıdır.

Leo Bagrow'un belirttiği gibi: "..('Rhumbline') kelimesi, bu dönemin deniz haritalarına yanlış bir şekilde uygulanmıştır, çünkü bir loksodrome ancak harita uygun bir izdüşüm üzerine çizildiğinde doğru bir rota verir. Kartometrik araştırma şunu ortaya çıkarmıştır: erken çizelgelerde hiçbir projeksiyon kullanılmadı, bu nedenle 'portolan' adını koruyoruz."

matematiksel açıklama

Yarıçapı 1 olan bir küre için, azimut açısı λ , kutup açısı − π/2≤ φ ≤π/2(burada enlemine karşılık gelecek şekilde tanımlanmıştır) ve Kartezyen birim vektörleri i , j ve k , yarıçap vektörünü r olarak yazmak için kullanılabilir.

${\displaystyle \mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos { \varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,.}$

Kürenin azimut ve polar yönlerinde ortogonal birim vektörler yazılabilir

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\ kısmi \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\ varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi }) \mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{hizalı} }}$

skaler ürünlere sahip olan

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} = {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,.}$

φ sabiti için λ̂ bir paralel enlemin izini sürerken, λ sabiti için φ̂ bir boylam meridyeninin izini sürer ve birlikte küreye teğet bir düzlem oluştururlar.

birim vektör

${\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos { \beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

herhangi bir λ ve φ için birim vektör φ̂ ile sabit bir β açısına sahiptir , çünkü onların skaler çarpımı

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,.}$

Loxodrom, tüm boylam meridyenleri ile sabit bir β açısına sahip olan ve bu nedenle β̂ birim vektörüne paralel olması gereken küre üzerindeki bir eğri olarak tanımlanır . Sonuç olarak, loxodrom boyunca bir diferansiyel uzunluk ds , bir diferansiyel yer değiştirme üretecektir.

${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {r} &={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\,ds\\[8px]{\frac {\partial \mathbf {r} }{ \partial \lambda }}\,d\lambda +{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\,d\varphi &=((\sin {\beta })\,{ \boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}})ds\\[8px](\cos {\varphi })\ ,d\lambda \,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+d\varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}&=(\sin {\beta })\,ds\ ,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\\[8px]ds&={\frac { \cos {\varphi }}{\sin {\beta }}}\,d\lambda ={\frac {d\varphi }{\cos {\beta }}}\\[8px]{\frac {d\ lambda }{d\varphi }}&=\tan {\beta }\cdot \sec {\varphi }\\[8px]\lambda (\varphi \,|\,\beta ,\lambda _{0},\ varphi _{0})&=\tan \beta \cdot {\big (}\operatöradı {artanh} (\sin \varphi )-\operatöradı {artanh} (\sin \varphi _{0}){\big ) }+\lambda _{0}\\[8px]\varphi (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\arcsin {\Big (}\ tanh {\büyük (}(\lambda -\lamb da _{0})\cot \beta +\operatöradı {artanh} (\sin \varphi _{0}){\big )}{\Big )}\end{hizalı}}}$

λ ve φ arasındaki bu ilişki ile yarıçap vektörü, küre üzerindeki loxodromu izleyerek tek değişkenli parametrik bir fonksiyon haline gelir:

${\displaystyle \mathbf {r} (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})={\Big (}\cos {\lambda }\cdot \operatöradı { sech} \psi {\Big )}\mathbf {i} +{\Big (}\sin {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\Big )}\mathbf {j} +{\Big ( }\tanh \psi {\Büyük )}\mathbf {k} \,,}$

nerede

${\displaystyle \psi \equiv (\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatöradı {artanh} (\sin \varphi _{0})=\operatöradı {artanh} (\sin \varphi ) }$

olan izometrik enlem . Yermerkezli ve izometrik enlemlerde vasıtasıyla birbirlerine ilgili Gudermannian fonksiyon ,

${\displaystyle \varphi =\operatöradı {gd} (\psi )\,.}$

Rhumb hattında, yermerkezli enlem kutuplara yöneldiğinden, φ → ±π/2, sin φ → ±1 , izometrik enlem artanh(sin φ ) → ± ∞ ve boylam λ sınırsız olarak artar, küreyi direğe doğru spiral şeklinde çok hızlı bir şekilde çevrelerken, verilen sonlu toplam yay uzunluğu Δ s'ye yönelir tarafından

${\displaystyle \Delta s={\big |}(\pm \pi /2-\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}}$

Mercator projeksiyonuna bağlantı

Let λ küre üzerinde bir noktanın boylam olabilir ve j onun enlem. Daha sonra, bir harita koordinatlar halinde Merkatör çıkıntı olarak

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\,,\\y&=\operatör adı {artanh} (\sin \varphi )\,,\end{hizalı}}}$

gerçek kuzeyden sabit β taşıyan bir loxodrom düz bir çizgi olacaktır, çünkü (önceki bölümdeki ifadeyi kullanarak)

${\görüntüleme stili y=mx}$

eğimli

${\displaystyle m=\cot \beta \,.}$

Verilen iki nokta arasındaki loxodromları bulmak, bir Mercator haritasında grafiksel olarak veya iki bilinmeyenli m = cot β ve λ _0'da doğrusal olmayan iki denklem sistemini çözerek yapılabilir . Sonsuz sayıda çözüm vardır; en kısa olanı gerçek boylam farkını kapatan yani fazladan devir yapmayan ve "yanlış yoldan" gitmeyendir.

İki nokta arasındaki mesafe Δ s bir kerte hattı boyunca ölçülen, sadece mutlak değeri sekant yatağının (azimut) katı (haricinde kuzey-güney mesafe enlem çevrelerinde mesafe sonsuz olduğu için):

${\displaystyle \Delta s=R\,{\big |}(\varphi -\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}}$

burada R , dünyanın ortalama yarıçaplarından biridir .

Başvuru

Navigasyonda kullanımı , belirli navigasyon haritalarının stili veya projeksiyonu ile doğrudan bağlantılıdır . Bir kerte çizgisi, Mercator projeksiyon haritasında düz bir çizgi olarak görünür .

İsim, sırasıyla Eski Fransızca veya İspanyolca'dan türetilmiştir: "rumb" veya "rumbo", haritadaki tüm meridyenleri aynı açıda kesen bir çizgi. Düz bir yüzeyde bu, iki nokta arasındaki en kısa mesafe olacaktır. Düşük enlemlerde veya kısa mesafelerde Dünya yüzeyi üzerinde bir aracın, uçağın veya geminin rotasını çizmek için kullanılabilir. Daha uzun mesafelerde ve/veya daha yüksek enlemlerde, büyük daire rotası, aynı iki nokta arasındaki kerte çizgisinden önemli ölçüde daha kısadır. Bununla birlikte, büyük bir daire rotasında seyahat ederken sürekli yön değiştirme zorunluluğunun getirdiği rahatsızlık , bazı durumlarda kerte hattı navigasyonunu çekici kılmaktadır .

Bu nokta , ekvator boyunca 90 derecelik bir boylam üzerinde bir doğu-batı geçişi ile gösterilebilir , burada büyük daire ve kerte hattı mesafeleri 5.400 deniz milinde (10.000 km) aynıdır. 20 derece kuzeyde büyük daire mesafesi 4.997 mil (8.042 km) iken kerte hattı mesafesi 5.074 mil (8.166 km), yaklaşık 1+yüzde 1 ⁄ 2 daha fazla. Ancak 60 derece kuzeyde büyük daire mesafesi 2,485 mil (3,999 km), kerte hattı 2,700 mil (4,300 km), fark 8+yüzde 1 ⁄ 2 . Daha uç bir örnek, New York City ve Hong Kong arasındaki hava yoluolup, bunun için kerte hattı yolu 9.700 deniz mili (18.000 km). Kuzey Kutbu üzerindeki büyük daire rotası 7.000 deniz mili (13.000 km) veya 5+Tipik bir seyir hızında 1 ⁄ 2 saat daha az uçuş süresi.

Mercator projeksiyonundaki bazı eski haritalar, enlem ve boylam çizgilerinden oluşan ızgaralara sahiptir, ancak aynı zamanda doğrudan kuzeye, kuzeyden dik açıyla veya kuzeyden bir açıyla yönlendirilen kerte çizgilerini gösterir; bir dik açı. Bu kerte çizgileri haritanın belirli noktalarında birleşecek şekilde çizilecekti: her yöne giden çizgiler bu noktaların her birinde birleşecekti. Bkz. pusula gülü . Bu tür haritalar mutlaka Mercator projeksiyonunda olurdu, bu nedenle tüm eski haritalar kerte çizgi işaretlerini gösteremezdi.

Pusula gülünün üzerindeki radyal çizgilere kerte de denir . "Bir kerte üzerinde yelken açmak" ifadesi , 16. ve 19. yüzyıllarda belirli bir pusula yönünü belirtmek için kullanıldı.

Deniz kronometresinin icadından önceki zamanlardaki ilk denizciler , uzun okyanus geçişlerinde kerte hattı rotaları kullandılar, çünkü geminin enlemi Güneş veya yıldızların görüntülenmesiyle doğru bir şekilde belirlenebilirdi, ancak boylamı belirlemenin kesin bir yolu yoktu. Hedefin enlem ulaşılana kadar gemi kuzey veya güney yol alır ve gemi ardından (aslında bir kerte hattı boyunca doğu veya batı yelken olur paralel sabit enlem koruyarak kerte hattının özel bir durumudur) ve kara kanıtı görülene kadar gidilen mesafenin düzenli tahminlerini kaydetmek.

genellemeler

Riemann küresi üzerinde

Dünyanın yüzeyi matematiksel olarak Riemann küresi , yani kürenin karmaşık düzleme izdüşümü olarak anlaşılabilir . Bu durumda, loxodromlar Möbius dönüşümlerinin belirli sınıfları olarak anlaşılabilir .

küremsi

Yukarıdaki formülasyon kolayca bir sferoide genişletilebilir . Kerte çizgisinin seyri, yalnızca elipsoidal izometrik enlem kullanılarak bulunur . Benzer şekilde mesafeler, elipsoidal meridyen yay uzunluğunun azimut sekantıyla çarpılmasıyla bulunur .

Ayrıca bakınız

• Harika daire
• Bir elipsoid üzerinde jeodezik
• büyük elips
• izoazimutal
• rhumbline ağı
• Seiffert'in spirali
• küçük daire

Referanslar

Not: Bu makale , kamuya açık bir çalışma olan The Globe Encyclopaedia of Universal Information'ın 1878 baskısından bir metin içermektedir.

daha fazla okuma

Dış bağlantılar

• MathPages'te Sabit Başlıklar ve Rhumb Lines .
• RhumbSolve(1) , elipsoidal kerte çizgisi hesaplamaları için bir yardımcı program ( GeographicLib'in bir bileşeni ); ek belgeler .
• RhumbSolve'nin çevrimiçi bir sürümü .
• Seyir Algoritmaları Belgesi: Yelkenler.
• Chart Work - Navigasyon Algoritmaları Chart Work ücretsiz yazılımı: Rhumb line, Great Circle, Kompozit yelken, Meridional parçalar. Konum Hatları Pilotaj - akıntılar ve kıyı düzeltmesi.
• Mathworld Loxodrom.