küresel -Spheroid

Dikey dönme eksenli küreler
Spheroids.svg
basık uzatmak

Dönme elipsoidi veya dönme elipsoidi olarak da bilinen bir küremsi , bir elipsin ana eksenlerinden biri etrafında döndürülmesiyle elde edilen dörtgen bir yüzeydir ; başka bir deyişle, iki eşit yarı çapa sahip bir elipsoid . Bir sfero dairesel simetriye sahiptir .

Elips ana ekseni etrafında döndürülürse sonuç, bir ragbi topu gibi uzatılmış, genişleyen bir sferoiddir . Amerikan futbolu benzerdir ancak bir sferoidden daha sivri bir uca sahiptir. Elips küçük ekseni etrafında döndürülürse sonuç, mercimek gibi yassılaştırılmış yassı bir küremsi veya düz bir M&M olur . Oluşturan elips bir daire ise, sonuç bir küredir .

Yerçekimi ve dönüşün birleşik etkileri nedeniyle , Dünya'nın (ve tüm gezegenlerin ) şekli tam olarak bir küre değildir, bunun yerine dönme ekseni yönünde hafifçe yassıdır . Bu nedenle, haritacılıkta ve jeodezide Dünya genellikle bir küre yerine referans elipsoid olarak bilinen yassı bir sferoid ile tahmin edilir . Mevcut Dünya Jeodezik Sistemi modeli, yarıçapı Ekvatorda 6.378.137 km (3.963.191 mi) ve kutuplarda 6.356.752 km (3.949.903 mi) olan bir küreseloid kullanır .

Küremsi kelimesi başlangıçta "yaklaşık olarak küresel bir gövde" anlamına geliyordu ve iki veya üç eksenli elipsoidal şeklin ötesinde bile düzensizlikleri kabul ediyordu; jeodezi üzerine bazı eski makalelerde terim bu şekilde kullanılır (örneğin, Dünya'nın yerçekimi jeopotansiyel modelinin kesik küresel harmonik açılımlarına atıfta bulunularak ).

Denklem

Bir sferoid üzerinde yarı eksenlerin atanması. c < a (solda) ise basıktır ve c > a ( sağda) ise genişler.

Koordinat eksenleri boyunca hizalanmış a , b ve c yarı eksenleri ile orijinde merkezli bir üç eksenli elipsoidin denklemi şu şekildedir:

Simetri ekseni z olan bir sferoidin denklemi, a = b ayarlanarak verilir :

Yarı eksen a , kürenin ekvatoral yarıçapıdır ve c , simetri ekseni boyunca merkezden direğe olan mesafedir. İki olası durum vardır:

  • c < a : basık küremsi
  • c > a : prolate küremsi

a = c durumu bir küreye indirgenir.

Özellikleri

Alan

C < a olan yassı bir küremsi yüzey alanına sahiptir

Yassı sferoid, yarı ana eksen a ve yarı küçük eksen c olan bir elipsin z ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşturulur , bu nedenle e , eksantriklik olarak tanımlanabilir . (Bkz . elips .)

c > a ile prolate bir küremsi yüzey alanına sahiptir

Prolate sferoid, yarı ana eksen c ve yarı küçük eksen a ile bir elipsin z ekseni etrafında döndürülerek oluşturulur ; bu nedenle, e yine eksantriklik olarak tanımlanabilir . (Bkz . elips .)

Bu formüller, S oblate formülünün bir prolate sferoitin yüzey alanını hesaplamak için kullanılabilmesi ve tersi açısından aynıdır. Bununla birlikte, e daha sonra hayali hale gelir ve artık eksantriklikle doğrudan tanımlanamaz. Bu sonuçların her ikisi de, standart matematiksel kimlikler ve elipsin parametreleri arasındaki ilişkiler kullanılarak birçok başka forma dönüştürülebilir.

Ses

Bir kürenin içindeki hacim (herhangi bir türden)

A = 2 a ekvator çapı ve C = 2 c kutup çapı ise, hacim

eğrilik

Bir küreseloid şu şekilde parametrelendirilsin:

burada β azaltılmış enlem veya parametrik enlemdir , λ boylamdır ve - π/2< β < +π/2ve -π < λ < +π . Ardından, sferoidin Gauss eğriliği

ve ortalama eğriliği

Bu eğriliklerin her ikisi de her zaman pozitiftir, böylece küremsi üzerindeki her nokta eliptiktir.

en boy oranı

Basık bir küremsi/elipsin en-boy oranı, c : a  , kutbun ekvator uzunluklarına oranı iken, düzleştirme (basıklık olarak da adlandırılır) f , ekvator-kutup uzunluğu farkının ekvatoral uzunluğa oranıdır:

İlk eksantriklik (yukarıdaki gibi genellikle basitçe eksantriklik) genellikle düzleştirme yerine kullanılır. Şunun tarafından tanımlanır:

Eksantriklik ve düzleşme arasındaki ilişkiler şunlardır:

Tüm modern jeodezik elipsoidler, yarı ana eksen artı yarı küçük eksen (en boy oranını vererek), düzleştirme veya ilk dışmerkezlik ile tanımlanır. Bu tanımlar matematiksel olarak birbirinin yerine kullanılabilir olsa da, gerçek dünyadaki hesaplamaların kesinliği biraz kaybetmesi gerekir. Karışıklığı önlemek için, elipsoidal bir tanım, verdiği biçimde kendi değerlerini tam olarak kabul eder.

Uygulamalar

Bir atom çekirdeğindeki protonların ve nötronların yoğunluk dağılımı için en yaygın şekiller , kutup ekseninin dönme ekseni (veya dönüş açısal momentum vektörünün yönü) olduğu varsayıldığı küresel , prolate ve oblate sferoidaldir . Deforme nükleer şekiller , protonlar arasındaki elektromanyetik itme, yüzey gerilimi ve kuantum kabuk etkileri arasındaki rekabetin bir sonucu olarak ortaya çıkar .

Basık küreseller

Yassı sferoid, Dünya, Satürn , Jüpiter ve hızla dönen yıldız Altair dahil olmak üzere dönen gezegenlerin ve diğer gök cisimlerinin yaklaşık şeklidir . Satürn, 0,09796 düzleşme ile Güneş Sistemindeki en yassı gezegendir . Ayrıntılar için gezegen düzleşmesi ve ekvator çıkıntısına bakın.

Aydınlanma bilimcisi Isaac Newton , Jean Richer'in sarkaç deneylerinden ve bunların yorumlanması için Christiaan Huygens'in teorilerinden yola çıkarak, Jüpiter ve Dünya'nın merkezkaç kuvvetlerinden dolayı basık küremsiler olduğunu düşündü . Dünyanın çeşitli kartografik ve jeodezik sistemleri , tümü basık olan referans elipsoidlere dayanmaktadır .

Prolate sferoidler

Bir ragbi topu .

Prolate sferoid, rugby topu gibi çeşitli sporlarda topun yaklaşık şeklidir .

Güneş Sisteminin birkaç uydusu , aslında üç eksenli elipsoidler olsalar da, şekil olarak prolate sferoidlere yaklaşır . Örnekler Satürn'ün uyduları Mimas , Enceladus ve Tethys ve Uranüs'ün uydusu Miranda'dır .

Gök cisimleri, hızlı dönme yoluyla yassı küremsilere dönüşmenin aksine , yakın bir yörüngede büyük bir cismin yörüngesinde döndüklerinde gelgit kuvvetleri yoluyla hafifçe çıkıntılı küremsilere dönüşürler. En aşırı örnek, Jüpiter'in , hafif bir eksantriklik nedeniyle yörüngesinde az ya da çok prolate hale gelen ve yoğun volkanizmaya neden olan uydusu Io'dur . Prolate sferoitin ana ekseni bu durumda uydunun kutuplarından değil, ekvatorundaki iki noktadan doğrudan birincil noktaya doğru ve ondan uzağa doğru ilerliyor.

Terim aynı zamanda Yengeç Bulutsusu gibi bazı bulutsuların şeklini tanımlamak için de kullanılır . Uzayda dalga yayılımını ve girişimi analiz etmek için kullanılan Fresnel bölgeleri , bir verici ve bir alıcı arasındaki doğrudan görüş hattı boyunca hizalanmış ana eksenleri olan bir dizi eşmerkezli prolate kürelerdir.

Aktinit ve lantanid elementlerinin atom çekirdekleri , prolate sferoidler şeklindedir. Anatomide testis gibi sferoide yakın organlar uzun ve kısa eksenleriyle ölçülebilir .

Birçok denizaltı, prolate sferoid olarak tanımlanabilecek bir şekle sahiptir.

dinamik özellikler

Düzgün yoğunluğa sahip bir küremsi için atalet momenti , ek bir simetri eksenine sahip bir elipsoidinkidir. Bir ana eksen c'ye ve ikincil eksenler a = b'ye sahip bir küremsi tanımı verildiğinde , bu ana eksenler boyunca atalet momentleri C , A ve B'dir . Bununla birlikte, bir sferoidde küçük eksenler simetriktir. Bu nedenle, ana eksenler boyunca atalet terimlerimiz:

burada M , olarak tanımlanan cismin kütlesidir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar