elipsoid - Ellipsoid
Bir elipsoid , bir küreden yön ölçeklemeleri veya daha genel olarak bir afin dönüşüm yoluyla deforme edilerek elde edilebilen bir yüzeydir .
Bir elipsoid, kuadrik bir yüzeydir ; bu, a, bir yüzey olarak tanımlanabilir sıfır grubu a polinom üç değişken olarak derece iki. Kuadrik yüzeyler arasında, bir elipsoid, aşağıdaki iki özellikten biri ile karakterize edilir. Her düzlemsel kesit ya bir elipstir ya da boştur ya da tek bir noktaya indirgenmiştir (bu, "elips benzeri" anlamına gelen adı açıklar). Edilir sınırlı yeterince büyük bir küre içine edilebileceği bu cihazlar.
Bir elipsoidin, elipsoidin merkezi olarak adlandırılan bir simetri merkezinde kesişen çiftler halinde dik üç simetri ekseni vardır . Çizgi parçası elipsin göre simetri eksenleri ile sınırlandırılır adlandırılır ana eksenleri , ya da sadece elipsoidin eksenleri. Üç eksenin farklı uzunlukları varsa, elipsoidin üç eksenli veya nadiren skalen olduğu söylenir ve eksenler benzersiz bir şekilde tanımlanır.
Eksenlerinin iki aynı uzunlukta ise, elips bir elipsoit devrimi de denilen, sfero . Bu durumda, elipsoid üçüncü eksen etrafında bir dönüş altında değişmezdir ve dolayısıyla aynı uzunluktaki iki dik ekseni seçmenin sonsuz sayıda yolu vardır. Üçüncü eksen daha kısaysa, elipsoid yassı bir küreseldir ; daha uzunsa, bir prolate sferoiddir . Üç eksenin uzunluğu aynıysa, elipsoid bir küredir.
standart denklem
Orijinin elipsoidin merkezi olduğu ve koordinat eksenlerinin elipsoidin eksenleri olduğu bir Kartezyen koordinat sistemi kullanılarak, elipsoidin örtük denklemi standart forma sahiptir.
Nerede bir , b , c pozitif reel sayılar .
Noktaları ( a , 0, 0) , (0, b , 0) ve (0, 0, c ) yüzeyinde yer alır. Orijinden bu noktalara kadar olan doğru parçalarına elipsoidin ana yarı eksenleri denir, çünkü a , b , c asal eksenlerin uzunluğunun yarısıdır. Bunlar karşılık gelen yarı-büyük eksene ve yarı-küçük eksen bir bölgesinin elips .
Eğer bir = b > c , tek bir sahiptir Sferoit ; Eğer bir = b < c , tek bir sahiptir uzatılmış küremsi ; Eğer bir = b = c , tek bir sahiptir küre .
parametrelendirme
Elipsoid, elipsoid eksenleri koordinat eksenleriyle çakıştığında ifade edilmesi daha basit olan birkaç yolla parametrelenebilir. Ortak bir seçimdir
nerede
Bu parametreler küresel koordinatlar olarak yorumlanabilir , burada θ kutup açısıdır ve φ elipsoidin noktasının ( x , y , z ) azimut açısıdır .
Bir kutuptan ziyade merkezden ölçüm yapmak,
nerede
θ olan azaltılmış enlem , parametrik enlem ya da eksantrik anomali ve λ azimut veya boylam.
Sınırlı küreye değil, doğrudan elipsoidin yüzeyine açıları ölçmek,
nerede
γ olurdu jeosantrik enlem Dünya'da ve λ boylam olduğunu. Bunlar, orijini elipsoidin merkezinde olan gerçek küresel koordinatlardır.
Gelen jeodezide , jeodezik enlem en yaygın olarak bir çift eksenli elipsoid için tanımlanan yatay ve ekvator düzlemi arasındaki açı olarak kullanılır. Daha genel bir üç eksenli elipsoid için, bkz. elipsoidal enlem .
Ses
Hacim elipsin tarafından sınırlanmaktadır
A , B , C ana çapları açısından (burada A = 2 a , B = 2 b , C = 2 c ), hacim
- .
Bu denklem, her üç eliptik yarıçapları eşittir bir kürenin hacminden azaltır, ve bu için oblate veya uzatılmış küremsi ikisi eşit olduğunda.
Hacim , bir elipsoid olan2/3sınırlandırılmış bir eliptik silindirin hacmi veπ/6sınırlı kutunun hacmi. Hacimleri arasında yazılı ve sınırlı kutuları sırasıyla şunlardır:
Yüzey alanı
Yüzey alanı genel (üç eksenli) bir elipsoit
nerede
ve burada F ( φ , k ) ve E ( φ , k ) sırasıyla birinci ve ikinci türden eksik eliptik integrallerdir .
Bir dönüş elipsoidinin (veya sferoidin) yüzey alanı, temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilir :
veya
veya
ve
bu, temel trigonometrik kimlikleri çıkan sonuç, eşdeğer ifadeler (yani formülü olan S oblate bir uzatılmış yüzey alanının hesaplanması için kullanılabilir elips ve tam tersi). Her iki durumda da e yine simetri ekseni boyunca kesit tarafından oluşturulan elipsin dışmerkezliği olarak tanımlanabilir . (bkz. elips ). Bu sonuçların türevleri, örneğin Mathworld gibi standart kaynaklarda bulunabilir .
yaklaşık formül
Burada p ≈ 1.6075 , en fazla % 1.061'lik bir göreli hata verir; p değeri =8/5= 1,6 , en fazla %1.178'lik bir göreli hatayla, neredeyse küresel elipsoidler için idealdir.
a ve b'den çok daha küçük olan c'nin "düz" limitinde , alan yaklaşık olarak 2π ab'dir , p ≈ 1.5850'ye eşittir .
Düzlem bölümleri
Özellikler
Bir düzlem ve bir kürenin kesişimi bir dairedir (veya tek bir noktaya indirgenmiştir veya boştur). Herhangi bir elipsoid, bir afin dönüşüm altındaki birim kürenin görüntüsüdür ve herhangi bir düzlem, aynı dönüşüm altındaki başka bir düzlemin görüntüsüdür. Dolayısıyla, afin dönüşümler daireleri elipslere eşlediğinden, bir düzlemin bir elipsoidle kesişimi bir elips veya tek bir noktadır veya boştur. Açıkçası, sferoidler daireler içerir. Bu, üç eksenli elipsoidler için de geçerlidir, ancak daha az belirgindir (bkz. Dairesel bölüm ).
Bir düzlem bölümünün elipsinin belirlenmesi
Verilen: Elipsoidx 2/bir 2 + y 2/b 2 + z 2/c 2= 1 ve ortak bir elipse sahip n x x + n y y + n z z = d denklemine sahip düzlem .
Aranıyor: Üç vektör f 0 (merkez) ve f 1 , f 2 (eşlenik vektörler), öyle ki elips parametrik denklemle gösterilebilir
(bkz. elips ).
Çözüm: Ölçeklendirme u =x/a, v =y/B, w =z/Celipsoidi u 2 + v 2 + w 2 = 1 birim küresine ve verilen düzlemi denklemle düzleme dönüştürür
Let m u u + m v v + m ağırlık ağırlık = δ olmak Hesse, normal bir şekilde yeni bir düzlemin ve
birim normal vektörü. Buradan
olan merkez kesişme çemberin ve
yarıçapı (şemaya bakın).
Burada m, w = ± 1 (yani düzlem yataydır), izin
nerede m w ≠ ±1 , olsun
Her durumda, e 1 , e 2 vektörleri ortogonaldir, kesişim düzlemine paraleldir ve ρ (dairenin yarıçapı) uzunluğuna sahiptir . Dolayısıyla kesişim çemberi parametrik denklem ile tanımlanabilir.
Ters ölçekleme (yukarıya bakın) birim küreyi tekrar elipsoide dönüştürür ve e 0 , e 1 , e 2 vektörleri kesişim elipsinin parametrik gösterimi için istenen f 0 , f 1 , f 2 vektörlerine eşlenir. .
Köşeleri ve elips yarı eksenleri anlatılan bulmak için elips .
Örnek: Diyagramlar , x + y + z = 5 düzlemi tarafından kesilen, yarım eksenleri a = 4, b = 5, c = 3 olan bir elipsoidi göstermektedir .
Pimli ve ipli yapı
Bir elipsoidin pin ve sicim yapısı, iki pin ve bir ip kullanarak bir elips oluşturma fikrinin aktarılmasıdır (şemaya bakınız).
Döndürülmüş elipsin pim ve sicim yapısı, bir dönüş elipsoidinin iğne ve sicim yapısı ile verilir.
Üç eksenli bir elipsoidin noktalarının yapımı daha karmaşıktır. İlk fikirler İskoç fizikçi JC Maxwell'e (1868) aittir. Ana araştırmalar ve Quadrics uzantısı 1882 1886 ve 1898 yılında Alman matematikçi O. Staude tarafından yapıldı ellipsoids ve hiperboloitlerin pimleri-ve-string inşaat açıklama kitabın içerdiği Geometri ve hayal yazdığı D. Hilbert ve S. Vossen de.
İnşaatın adımları
- Bir çift odak konisi olan bir elips E ve bir hiperbol H seçin :
elipsin köşeleri ve odakları ile
- Dizenin bir ucunu S 1 köşesine , diğer ucunu F 2'ye odaklamak için sabitleyin . Dize noktasında dar tutulur P pozitif ile y ve - Z dize çalışır, öyle ki -coordinates, S 1 için P hiperbol üst kısmının arkasında (bakınız şekil) ve hiperbol serbestçe kayabilirken. Dan dize parçası P için F 2 elips önünde çalışır ve slaytlar. İp, uzaklığın | S 1 P | herhangi bir hiperbol noktası üzerinde minimumdur. Dizenin ikinci kısmı ve elips üzerindeki benzer ifade de doğru olmalıdır.
- O zaman: P , denklemli elipsoidin bir noktasıdır.
- Elipsoidin kalan noktaları, odak koniklerinde ipin uygun değişiklikleriyle oluşturulabilir.
yarı eksenler
Üretilen elipsoidin yarı eksenleri için denklemler, P noktası için özel seçimlerle türetilebilir :
Diyagramın alt kısmı, F 1 ve F 2'nin de xy - düzlemindeki elipsin odakları olduğunu göstermektedir. Bu nedenle, verilen elipsle eş odaklıdır ve dizenin uzunluğu l = 2 r x + ( a - c ) olur . İçin çözme r x verimleri r x =1/2( l - bir + c ) ; ayrıca r2
yıl= r2
x- c 2 .
Üst diyagramdan, S 1 ve S 2'nin elipsoidin xz -düzlemindeki elips bölümünün odakları olduğunu ve r'nin2
z= r2
x- bir 2 .
sohbet
Tersine, üç eksenli elipsoid onun denklem ile verilir, sonra 3. adımda bir yer denklemlerinden parametreleri türetebilirsiniz bir , b , l bir pin-ve-string inşaatı için.
konfokal elipsoidler
Eğer E elipsoid olan konfokal için E kendi yarı eksenleri kareler ile
sonra E denklemlerinden
Pim ve sicim yapısı için kullanılan ilgili odak koniklerinin , elipsoid E ile aynı a , b , c yarı eksenlerine sahip olduğu bulunur . Bu nedenle (bir elipsin odaklarına benzer şekilde), üç eksenli bir elipsoidin odak koniklerini (sonsuz sayıda) odaklar olarak kabul eder ve onlara elipsoidin odak eğrileri denir.
Converse ifadesi de doğrudur: l uzunluğunda ikinci bir dize seçer ve tanımlarsa
sonra denklemler
geçerlidir, bu da iki elipsoidin eş odaklı olduğu anlamına gelir.
Limit durum, devir elipsoidi
Halinde , bir = C , (a küremsi ) bir alır S 1 = F 1 ve G 2 = F 2 bir çizgi parçası ve fokal hiperbol odak elips dejenere iki sonsuz hat segmentleri üzere çöktüğü bir aracı, x -Axis . Elipsoid, x ekseni etrafında dönel olarak simetriktir ve
- .
Odak hiperbolünün özellikleri
- Gerçek eğri
- Bir elipsoid , odak hiperbolünün V dış noktasından bakıldığında, bir küre gibi göründüğünden, bu onun görünen şekli bir dairedir. Eşdeğer olarak, V noktasını içeren elipsoidin tanjantları, dönme ekseni V'deki hiperbolün teğet çizgisi olan dairesel bir koninin çizgileridir . V merkezinin sonsuza doğru kaybolmasına izin verilirse , yönü olarak odak hiperbolünün karşılık gelen asimptotu ile ortogonal paralel bir izdüşüm elde edilir . Şeklin doğru eğri Elipsoidde (teğet noktası) bir çember değildir. Diyagramın alt kısmı solda bir elipsoidin (60, 40, 30 yarı eksenli) bir asimptot boyunca paralel bir izdüşümü ve sağda hiperbolün tanjantı üzerinde V merkezi ve ana H noktası olan bir merkezi izdüşüm gösterir. V noktasında . ( H , V'den görüntü düzlemine dik olanın ayağıdır.) Her iki izdüşüm için de görünen şekil bir dairedir. Paralel durumda O başlangıç noktasının görüntüsü dairenin merkezidir; merkezi durumda ana nokta H merkezdir.
- göbek noktaları
- Fokal hiperbol, elipsoidi dört göbek noktasında keser .
Odak elipsinin özelliği
Odak elips iç kısmıyla birlikte a , b için r z → 0 ile belirlenen konfokal elipsoidlerin kaleminin sınır yüzeyi (sonsuz derecede ince bir elipsoid) olarak düşünülebilir . Limit durum için bir alır
Genel pozisyonda
kuadrik olarak
Eğer v , bir nokta ve bir gerçek, simetrik olduğu pozitif tanımlı bir matris , daha sonra puan grubu x denklemi tatmin
v merkezli bir elipsoiddir . Özvektörler ve A elipsoidin ana eksenleri ve özdeğerler ve A yarı ekseni kareler tanıma değerleri şunlardır: a -2 , b -2 ve c -2 .
Bir küreye uygulanan tersinir bir doğrusal dönüşüm , polar ayrışmanın bir sonucu olarak, uygun bir döndürme ile yukarıdaki standart forma getirilebilen bir elipsoid üretir (ayrıca, spektral teoreme bakınız ). Doğrusal dönüşüm simetrik bir 3 x 3 matris ile temsil ediliyorsa , matrisin özvektörleri ortogonaldir ( spektral teoremden dolayı ) ve elipsoidin eksenlerinin yönlerini temsil eder; yarı eksenlerin uzunlukları öz değerlerden hesaplanır. Tekil değer ayrışımı ve polar ayrışma yakından geometrik gözlemlere ilişkin matris ayrıştırma vardır.
parametrik gösterim
Bir elipsoidin genel pozisyonda parametrik gösteriminin anahtarı, alternatif tanımdır:
- Bir elipsoid, birim kürenin afin bir görüntüsüdür.
Bir afin dönüşüm , bir f 0 vektörü ve normal bir 3 × 3 matris A ile bir öteleme ile temsil edilebilir :
burada f 1 , f 2 , f 3 , A matrisinin sütun vektörleridir .
Bir elipsoidin genel konumdaki parametrik gösterimi, bir birim kürenin (yukarıya bakın) parametrik gösterimi ve bir afin dönüşüm ile elde edilebilir:
- .
Eğer f 1 , f 2 , f 3 vektörleri ortogonal bir sistem oluşturuyorsa, f 0 ± f 1,2,3 vektörlerine sahip altı nokta elipsoidin köşeleridir ve | f 1 |, | f 2 |, | f 3 | yarı ana eksenlerdir.
Noktasında bir yüzey normal vektör x ( İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin , φ ) olduğu
Herhangi bir elipsoid için örtük bir temsil vardır F ( x , y , z )=0 . Basitlik için, elipsoidin merkezi orijin ise, f 0 = 0 , aşağıdaki denklem yukarıdaki elipsoidi tanımlar:
Uygulamalar
Elipsoidal şekil birçok pratik uygulama bulur:
- Dünya elips , şeklini yaklaşan bir matematiksel figür Dünya'da .
- Referans elipsoidi , genel olarak gezegen cisimlerinin şekline yaklaşan matematiksel bir şekil .
- Poinsot elipsoidi , dönen bir katı cismin torksuz hareketini görselleştirmek için geometrik bir yöntem .
- Lamé'nin stres elipsoidi , bir noktadaki stres durumunun grafiksel gösterimi için Mohr dairesine bir alternatif .
- Manipüle edilebilirlik elipsoidi , bir robotun hareket özgürlüğünü tanımlamak için kullanılır.
- Jacobi elipsoid , dönen bir sıvı tarafından oluşturulan bir üç eksenli elipsoid
- İndeks elipsoidi , bir kristaldeki kırılma indislerinin oryantasyonunu ve göreli büyüklüğünü gösteren bir elipsoid diyagramı .
- Termal elipsoid , kristal yapılardaki atomların termal titreşimlerinin büyüklüklerini ve yönlerini belirtmek için kristalografide kullanılan elipsoidler .
- Aydınlatma
- İlaç
dinamik özellikler
Kütle düzgün bir elipsoid yoğunluğu p'ye olan
Eylemsizlik momentleri eşit yoğunluktaki elipsoite vardır
İçin bir = b = c atalet momentleri, bu düzgün yoğunlukta bir küre için kişilerce azaltır.
Elipsoidler ve küboidler , orta eksenleri boyunca değil, büyük veya küçük eksenleri boyunca kararlı bir şekilde dönerler. Bu, bir miktar spin ile bir silgi fırlatarak deneysel olarak görülebilir. Ek olarak, atalet momenti hususları, ana eksen boyunca dönüşün, küçük eksen boyunca dönüşten daha kolay bozulduğu anlamına gelir.
Bunun pratik bir etkisi, Haumea gibi ölçekli astronomik cisimlerin genellikle küçük eksenleri boyunca dönmesidir (sadece yassı olan Dünya'nın yaptığı gibi ); ek olarak, gelgit kilitlemesi nedeniyle, Mimas gibi senkron yörüngede bulunan uydular , ana eksenleri gezegenlerine radyal olarak hizalanmış olarak dönerler.
Homojen, kendi kendine yerçekimi olan bir akışkandan oluşan dönen bir gövde, hidrostatik dengedeyken ve orta derecede dönme hızları için bir Maclaurin sferoidi (oblate sferoid) veya Jacobi elipsoid (skalen elipsoid) şeklini alacaktır . Daha hızlı dönüşlerde, elipsoidal olmayan piriform veya oviform şekiller beklenebilir, ancak bunlar kararlı değildir.
Akışkanlar dinamiği
Elipsoid, katı şeklin etrafındaki sıvının sürünen akışını hesaplamanın mümkün olduğu en genel şekildir. Hesaplamalar, bir akışkanın içinden geçmek ve onun içinde dönmek için gereken kuvveti içerir. Uygulamalar, büyük moleküllerin boyut ve şeklinin, küçük parçacıkların batma hızının ve mikroorganizmaların yüzme yeteneklerinin belirlenmesini içerir .
Olasılık ve istatistikte
Eliptik dağılımlar genelleme, çok değişkenli normal dağılım ve kullanılan finans , kendi açısından tanımlanabilir yoğunluk fonksiyonları . Var olduklarında, yoğunluk fonksiyonları f şu yapıya sahiptir:
burada k, bir ölçek faktörü olup, X , bir olduğu , n boyutlu rastgele satır vektörü orta vektörü u (aynı zamanda ikinci varsa ortalama vektördür), Σ a, pozitif belirli bir matris ile orantılıdır kovaryans matrisinin ikinci varsa ve g , eğrinin altında sonlu bir alan veren, negatif olmayan gerçeklerden negatif olmayan gerçeklere bir fonksiyon eşlemesidir. Çok değişkenli normal dağılım, g ( z ) = exp(−) olduğu özel durumdur.z/2) ikinci dereceden form z için .
Dolayısıyla yoğunluk fonksiyonu, ikinci dereceden bir ifadenin skalerden skalere dönüşümüdür. Ayrıca, herhangi bir eş yoğunluklu yüzey denklemi, ikinci dereceden ifadenin, yoğunluğun bu değerine özgü bir sabite eşit olduğunu ve eş yoğunluklu yüzeyin bir elipsoid olduğunu belirtir.
Daha yüksek boyutlarda
Bir hyperellipsoid veya boyutunun elipsoid bir de Öklid alan boyutunun , a, kuadratik hiperyüzey bir sahiptir derece iki bir polinomla tanımlanmış homojen bir parçası a, derece iki pozitif tanımlı ikinci dereceden bir şekilde .
Bir hiperelipsoidi, ters çevrilebilir bir afin dönüşüm altındaki bir kürenin görüntüsü olarak da tanımlayabiliriz . Spektral teorem, formun standart bir denklemini elde etmek için tekrar kullanılabilir.
Bir hacmi n boyutlu hyperellipsoid değiştirerek elde edilebilir R n yan ürünü yarı eksenleri bir 1 , bir 2 ... bir n formül içinde bir hiperkürenin hacmi :
(burada Γ olan gama fonksiyonu ).
Ayrıca bakınız
- elipsoidal kubbe
- elipsoid yöntemi
- elipsoidal koordinatlar
- İstatistiklerde eliptik dağılım
- Düzleştirme olarak da adlandırılan, elips ve basıklık sırasıyla bir elips ya da devrimi (küremsi) bir elipsoid oluşturmak için çapı boyunca bir daire ya da küre sıkıştırılması için bir ölçüdür.
- Focaloid , iki eş merkezli, eş odaklı elipsoid tarafından sınırlanan bir kabuk
- Bir elipsoid üzerinde jeodezik
- Jeodezik veri , en uygun elipsoid tarafından modellenen yerçekimi Dünya
- Homoeoid , iki eşmerkezli benzer elipsoid tarafından sınırlanan bir kabuk
- Yüzeylerin listesi
Notlar
- ^ Kreyszig (1972 , s. 455–456)
- ^ FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert ve CW Clark, editörler, 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions ( Cambridge University Press ), "DLMF: 19.33 Triaxial Ellipsoids" adresinde çevrimiçi olarak bulunabilir . Arşivlenen 2012-12-02 tarihinde orijinalinden . 2012-01-08 alındı . (sonraki referansa bakınız).
- ^ At NIST (Ulusal Standartlar ve Teknoloji Enstitüsü) http://www.nist.gov Arşivlenen de 2015/06/17 Wayback Machine
- ^ "DLMF: 19.2 Tanımlar" .
- ^ W., Weisstein, Eric. "Prolate Sferoid" . matematik dünyası.wolfram.com . 3 Ağustos 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi . 25 Mart 2018'de alındı .
- ^ Son cevaplar Gerard P. Michon (2004-05-13) tarafından Wayback Machine'de 2011-09-30 tarihinde arşivlendi . Thomsen'in formüllerine ve Cantrell'in yorumlarına bakın.
- ^ Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Katı Analitik Geometri , Dover, s. 117, ISBN 978-0-486-81026-3
- ^ W. Böhm: Die FadenKonstruktion der Flächen zweiter Ordnung , Mathemat. Nachrichten 13, 1955, S. 151
- ^ Staude, O.: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides . Matematik. Anne. 20, 147–184 (1882)
- ^ Staude, O.: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Sınıflar. Matematik. Anne. 27, 253-271 (1886).
- ^ Staude, O.: Die cebirsel Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Anne. 50, 398 - 428 (1898).
- ^ D. Hilbert & S Cohn-Vossen: Geometri ve hayal gücü , Chelsea New York, 1952, ISBN 0-8284-1087-9 , s. 20 .
- ^ O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes , Teubner, Leipzig 1861, s. 287
- ^ D. Hilbert & S Cohn-Vossen: Geometri ve Hayal Gücü , s. 24
- ^ O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes , s. 301
- ^ W. Blaschke: Analytische Geometrie , s. 125
- ^ "Arşivlenmiş kopya" (PDF) . 2013-06-26 tarihinde orijinalinden arşivlendi (PDF) . 2013-10-12 alındı .CS1 bakımı: başlık olarak arşivlenmiş kopya ( bağlantı ) s. 17-18.
- ^ Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. 2013-11-10'da Wayback Machine Uni Darmstadt'ta arşivlendi (PDF; 3,4 MB), S. 88.
- ^ Bezinque, Adam; et al. (2018). "Prostat Hacmi Tespiti: Çağdaş Yöntemlerin Karşılaştırılması". Akademik Radyoloji . 25 (12): 1582–1587. doi : 10.1016/j.acra.2018.03.014 . PMID 29609953 .
- ^ Goldstein, HG (1980). Klasik Mekanik , (2. baskı) Bölüm 5.
- ^ Dusenbery, David B. (2009). Mikro Ölçekte Yaşamak , Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts ISBN 978-0-674-03116-6 .
- ^ Frahm, G., Junker, M., & Szimayer, A. (2003). Eliptik kopulalar: uygulanabilirlik ve sınırlamalar. İstatistik ve Olasılık Mektupları, 63(3), 275–286.
Referanslar
- Kreyszig, Erwin (1972), İleri Mühendislik Matematiği (3. baskı), New York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
Dış bağlantılar
- Jeff Bryant tarafından " Elipsoid ", Wolfram Gösteriler Projesi , 2007.
- Elipsoid ve Kuadratik Yüzey , MathWorld .