eliptik integral - Elliptic integral

Gelen integral hesabı , bir eliptik yekpare belirli integrallerin değeri olarak tanımlanmaktadır ilgili fonksiyonları bir dizi biridir. Başlangıçta, bir elipsin yay uzunluğunu bulma problemi ile bağlantılı olarak ortaya çıktılar ve ilk olarak Giulio Fagnano ve Leonhard Euler ( c.  1750 ) tarafından incelendiler . Modern matematik, bir "eliptik integrali" , formda ifade edilebilen herhangi bir f fonksiyonu olarak tanımlar.

burada R , iki argümanının rasyonel bir fonksiyonudur , P , tekrarlanan kökleri olmayan 3. veya 4. dereceden bir polinomdur ve c bir sabittir.

Genel olarak, bu formdaki integraller temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilemez . Bu genel kuralın istisnaları, P'nin tekrarlanan kökleri olduğu veya R ( x , y )' nin y'nin tek güçlerini içermediği durumlardır . Bununla birlikte, uygun indirgeme formülü ile , her eliptik integral, rasyonel fonksiyonlar üzerinde integraller ve üç Legendre kanonik formu (yani birinci, ikinci ve üçüncü türden eliptik integraller) içeren bir forma getirilebilir .

Aşağıda verilen Legendre formunun yanı sıra eliptik integraller Carlson simetrik formunda da ifade edilebilir . Schwarz-Christoffel haritalamasının incelenmesiyle eliptik integral teorisine ilişkin ek bilgiler elde edilebilir . Tarihsel olarak, eliptik fonksiyonlar, eliptik integrallerin ters fonksiyonları olarak keşfedildi.

argüman gösterimi

Eksik eliptik integraller iki bağımsız değişkenin işlevleridir; tam eliptik integraller tek bir argümanın fonksiyonlarıdır. Bu argümanlar çeşitli farklı fakat eşdeğer şekillerde ifade edilir (aynı eliptik integrali verirler). Çoğu metin, aşağıdaki adlandırma kurallarını kullanarak kurallı bir adlandırma şemasına bağlıdır.

Bir argümanı ifade etmek için:

Yukarıdaki üç niceliğin her biri, diğerlerinden herhangi biri tarafından tamamen belirlenir (negatif olmadıkları göz önüne alındığında). Böylece birbirlerinin yerine kullanılabilirler.

Diğer bağımsız değişken olarak aynı şekilde ifade edilebilir cp , genlik , ya da X ve u , X = sin φ = sn u ve sn biridir Jacobi eliptik fonksiyonlar .

Bu niceliklerden herhangi birinin değerinin belirtilmesi diğerlerini belirler. u'nun da m'ye bağlı olduğunu unutmayın . u içeren bazı ek ilişkiler şunları içerir:

İkincisi bazen delta genliği olarak adlandırılır ve Δ( φ ) = dn u olarak yazılır . Bazen literatür, tamamlayıcı parametreye , tamamlayıcı modüle veya tamamlayıcı modüler açıya da atıfta bulunur . Bunlar, çeyrek dönemlerle ilgili makalede ayrıca tanımlanmıştır .

Birinci türden tamamlanmamış eliptik integral

İlk tür eksik eliptik entegre F olarak tanımlanmaktadır

Bu, integralin trigonometrik şeklidir; ikame t = sin İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ve x = sin cp , bir Legendre normal formu elde:

Eşdeğer olarak, genlik ve modüler açı açısından birinin sahip olduğu:

Bu gösterimde, sınırlayıcı olarak dikey bir çubuğun kullanılması, onu izleyen argümanın (yukarıda tanımlandığı gibi) "parametre" olduğunu gösterirken, ters eğik çizgi bunun modüler açı olduğunu gösterir. Noktalı virgül kullanımı, kendisinden önceki argümanın genliğin sinüsü olduğunu ima eder:

Farklı argüman sınırlayıcılarının bu potansiyel olarak kafa karıştırıcı kullanımı, eliptik integrallerde gelenekseldir ve gösterimlerin çoğu, Abramowitz ve Stegun'un referans kitabında ve Gradshteyn ve Ryzhik'in integral tablolarında kullanılanlarla uyumludur .

İle x = sn ( u , k ) birine sahiptir:

bu nedenle, Jacobian eliptik fonksiyonlar , eliptik integrallerin tersidir.

Birinci türden eksik eliptik integral aşağıdaki toplama teoremine sahiptir:

Eliptik modül şu şekilde dönüştürülebilir:

gösterim varyantları

Literatürde kullanılan eliptik integrallerin gösterimi için hala başka kurallar vardır. F ( k , φ ) , değiştirilen argümanlara sahip notasyona sıklıkla rastlanır; ve benzer şekilde ikinci türün integrali için E ( k , φ ) . Abramowitz ve Stegun birinci tür, integralini yerine F ( φ , k ) bağımsız değişken için, cp yani: bu tartışma çubuğu dikey ardından sürece, ikinci ve üçüncü tür entegrallerinin kendi tanımı D ( F ( φ , k ) | k 2 ) için E ( φ | k 2 ) . Dahası, tamamen integral kullanan parametre k 2 modülü yerine değişken olarak k , örneğin, K ( k 2 ) yerine K ( k ) . Ve Gradshteyn ve Ryzhik tarafından tanımlanan üçüncü tür integral , Π( φ , n , k ) , "karakteristik" n'yi değil, genliği φ ilk sıraya koyar .

Bu nedenle, bu işlevleri kullanırken notasyona dikkat edilmelidir, çünkü çeşitli saygın referanslar ve yazılım paketleri, eliptik işlevlerin tanımlarında farklı kurallar kullanır. Örneğin, bazı referanslar ve Wolfram sitesindeki Mathematica'da yazılım ve Alpha parametre açısından birinci tür tam eliptik integralini tanımlayan m yerine eliptik modüle, k .

İkinci türden tamamlanmamış eliptik integral

İkinci tür eksik eliptik tamamlayıcı E trigonometrik formdadır

İkame t = sin İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ve x = sin cp , bir Legendre normal formu elde:

Genlik ve modüler açı açısından eşdeğer olarak:

Jacobi eliptik fonksiyonları ile ilişkiler şunları içerir:

Meridyen yay uzunluk ekvator için enlem cp açısından yazılır E :

burada bir bir yarı-büyük eksene ve E bir eksantriklik .

İkinci türün eksik eliptik integrali aşağıdaki toplama teoremine sahiptir:

Eliptik modül şu şekilde dönüştürülebilir:

Üçüncü türden eksik eliptik integral

Üçüncü tür eksik eliptik ayrılmaz tt olduğunu

veya

n sayısı karakteristik olarak adlandırılır ve diğer argümanlardan bağımsız olarak herhangi bir değer alabilir. Not da bu değer Π (1; π/2| m ) herhangi bir m için sonsuzdur .

Jacobian eliptik fonksiyonlarla bir ilişki

Enlem için ekvatordan meridyen yay uzunluğu cp da özel bir durum ile ilgilidir TT :

Birinci türden tam eliptik integral

Birinci tür K ( k ) tam eliptik integralinin grafiği

Genlik Integr = olduğunda Eliptik İntegrallerin 'tamamlanmış' olduğu söylenir.π/2ve dolayısıyla x = 1 . İlk tür tam eliptik tamamlayıcı K böylece olarak tanımlanabilir

veya daha kompakt olarak birinci türden tamamlanmamış integral açısından

Kuvvet serisi olarak ifade edilebilir.

burada P n , aşağıdakine eşdeğer olan Legendre polinomlarıdır .

nerede n !! çift ​​faktöriyelini ifade eder . Gauss hipergeometrik fonksiyonu açısından , birinci türün tam eliptik integrali şu şekilde ifade edilebilir:

Birinci türden tam eliptik integrale bazen çeyrek periyot denir . Aritmetik-geometrik ortalama açısından çok verimli bir şekilde hesaplanabilir :

Ayrıntılar için bkz. Carlson (2010 , 19.8).

Bu nedenle modül şu şekilde dönüştürülebilir:

Bu ifade tüm n ∈ ℕ ve 0 ≤ k ≤ 1 için geçerlidir:

Jacobi teta işleviyle ilişkisi

Jacobi'nin teta işleviyle ilişkisi şu şekilde verilir:

burada nome q olduğu

asimptotik ifadeler

Bu yaklaşım, göreli kesinliğe göre daha iyi k < için 3 × 10 −41/2. Yalnızca ilk iki terimi tutmak, k < için 0,01 hassasiyette doğrudur1/2.

diferansiyel denklem

Birinci türden eliptik integralin diferansiyel denklemi

Bu denklemin ikinci bir çözümü . Bu çözüm ilişkiyi tatmin eder.

Devam eden kesir

Bir sürekli kesir genişlemesi:

burada nome olduğu q = q ( k ) .

İkinci türden tam eliptik integral

İkinci türden tam eliptik integralin grafiği

İkinci tür tam eliptik tamamlayıcı E olarak tanımlanmaktadır

veya ikinci tür E'nin ( φ , k ) tamamlanmamış integrali açısından daha kompakt olarak

Yarı büyük ekseni a ve yarı küçük ekseni b ve eksantrikliği e = 1 − b 2 / a 2 olan bir elips için, ikinci tür E ( e )' nin tam eliptik integrali, c çevresinin dörtte birine eşittir . yarı ana eksenin birimlerinde ölçülen elips a . Diğer bir deyişle:

İkinci türün tam eliptik integrali bir kuvvet serisi olarak ifade edilebilir.

hangi eşdeğerdir

Gauss hipergeometrik fonksiyonu açısından , ikinci türün tam eliptik integrali şu şekilde ifade edilebilir:

Modül şu şekilde dönüştürülebilir:

Hesaplama

Birinci türün integrali gibi, ikinci türün tam eliptik integrali de aritmetik-geometrik ortalama kullanılarak çok verimli bir şekilde hesaplanabilir ( Carlson 2010 , 19.8).

Sıra tanımlayın ve nerede , ve tekrarlama ilişkileri , tutun. Ayrıca, tanımlayın . Tanım olarak,

.

Ayrıca, . Sonra

Pratikte, aritmetik-geometrik ortalama bir limite kadar basitçe hesaplanır. Bu formül herkes için ikinci dereceden yakınsar . Hesaplamayı daha da hızlandırmak için ilişki kullanılabilir.

Türev ve diferansiyel denklem

Bu denklemin ikinci çözümü E ( 1 − k 2 ) − K ( 1 − k 2 )'dir .

Üçüncü türden tam eliptik integral

Birkaç sabit değeri olan üçüncü türden tam eliptik integralin grafiği

Üçüncü tür tam eliptik tamamlayıcı tt olarak tanımlanabilir

Bazen üçüncü türden eliptik integralin n karakteristiği için ters bir işaretle tanımlandığına dikkat edin ,

Birinci ve ikinci türün tam eliptik integralleri gibi, üçüncü türün tam eliptik integrali de aritmetik-geometrik ortalama kullanılarak çok verimli bir şekilde hesaplanabilir ( Carlson 2010 , 19.8).

Kısmi türevler

fonksiyonel ilişkiler

Legendre'nin ilişkisi :

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar