Sınırlandırılmış daire - Circumscribed circle

Bir döngüsel çokgenin , P çevrelenmiş çemberi, C ve çevremerkezi, O ,

İn geometrisi , sınırlı daire veya circumcircle a çokgen a, daire tüm geçer köşe çokgenin. Bu çemberin merkezi olarak adlandırılır circumcenter ve yarıçapı olarak adlandırılır circumradius .

Her çokgenin çevrelenmiş bir çemberi yoktur. Bir poligona sahip olan bir çokgene , bir döngüsel çokgen veya bazen bir konsiklik çokgen olarak adlandırılır, çünkü köşeleri konsikliktir . Tüm üçgenler , tüm düzgün basit çokgenler , tüm dikdörtgenler , tüm ikizkenar yamuklar ve tüm doğru uçurtmalar döngüseldir.

İlgili bir kavram, dairenin merkezi çokgenin içindeyse, içindeki çokgeni tamamen içeren en küçük daire olan minimum sınırlayıcı dairedir . Her çokgenin, doğrusal bir zaman algoritması ile oluşturulabilen benzersiz bir minimum sınır dairesi vardır . Bir çokgenin çevrelenmiş bir çemberi olsa bile, minimum sınır çemberinden farklı olabilir. Örneğin, geniş bir üçgen için , minimum sınırlayıcı daire çap olarak en uzun kenara sahiptir ve karşı köşeden geçmez.

üçgenler

Tüm üçgenler döngüseldir; yani, her üçgenin çevrelenmiş bir çemberi vardır.

Düz cetvel ve pusula yapımı

ABC ( ) üçgeninin ve Q çevre merkezinin çevrel çemberinin yapımı

Üçgenin circumcenter edilebilir inşa üç herhangi iki çizerek dik bisectors . Doğrusal olmayan üç nokta için bu iki doğru paralel olamaz ve çevre merkezi onların kesiştiği noktadır. Ortaortay üzerindeki herhangi bir nokta, ikiye böldüğü iki noktadan eşit uzaklıktadır ve buradan, her iki ortaydaki bu noktanın, üç üçgenin tüm köşelerinden eşit uzaklıkta olduğu sonucu çıkar. Çevresel yarıçap, ondan üç köşeden herhangi birine olan mesafedir.

Alternatif yapı

Çevre merkezinin alternatif yapısı (kesik çizgilerin kesişimi)

Çevremerkezi belirlemek için alternatif bir yöntem, her biri köşelerden birinden ortak kenar ile bir açıyla ayrılan herhangi iki çizgi çizmektir; ortak ayrılma açısı 90° eksi karşı köşenin açısıdır. (Karşı açının geniş olması durumunda, negatif açıyla bir çizgi çizmek üçgenin dışına çıkmak anlamına gelir.)

Gelen kıyı navigasyon , bir üçgenin circumcircle bazen elde etme yolu olarak kullanılan pozisyon hattını bir kullanırken sekstant- hiçbir zaman pusula mevcuttur. İki yer işareti arasındaki yatay açı, gözlemcinin üzerinde bulunduğu çemberi tanımlar.

Daire denklemleri

Kartezyen koordinatları

Gelen Öklid düzleminde , bakımından açıkça circumcircle bir denklemi vermek mümkündür Kartezyen koordinatlarda yazıtlı üçgenin köşe. Farz et ki

A , B ve C noktalarının koordinatlarıdır . Çemberli daire, Kartezyen düzlemde denklemleri sağlayan v = ( v x ,  v y ) noktalarının geometrik yeridir.

A , B , C ve v noktalarının tümünün dairenin ortak merkezinden u r aynı uzaklıkta olduğunu garanti ederek . Polarizasyon özdeşliğini kullanarak , bu denklemler matrisin

sıfır olmayan bir çekirdeğe sahiptir . Böylece çevreli daire alternatif olarak bu matrisin determinantının sıfırlarının yeri olarak tanımlanabilir :

Kofaktör genişletme kullanarak , izin ver

sonra bir | v | 2 − 2 Svb = 0 burada S = ( S x ,  S y ) ve – üç noktanın bir doğru üzerinde olmadığı varsayılırsa (aksi takdirde çevreli daire, S sonsuzda olan genelleştirilmiş bir daire olarak da görülebilen doğrudur) ) – | v - S / bir | 2 = b / bir + | S | 2 / a 2 , S / a çevre merkezini ve b / a + | S | 2 / bir 2 . Benzer bir yaklaşım, bir denklemini anlayacak sağlar circumsphere a tetrahedron .

parametrik denklem

Daireyi içeren düzleme dik bir birim vektör ile verilir

Dolayısıyla, yarıçap, r , merkez, P c , daire üzerinde bir nokta, P 0 ve daireyi içeren düzlemin bir birim normali, , verilen dairenin P 0 noktasından başlayan ve pozitif yönde ilerleyen bir parametrik denklemi yönelik (yani, sağ elini kullanan ) anlamda şudur:

Trilinear ve barycentric koordinatlar

Circumcircle en çok bir denklem üç çizgili koordinatları x  : y  : z olan bir / x + b / y + c / z = 0 . İçin bir denklem circumcircle içinde barisentrik koordinatlar x  : y  : z olan bir 2 / x + b 2 / y + c 2 / z = 0 .

İzogonal konjugat circumcircle verilen, sonsuzda çizgi üç çizgili koordinatları ile ax + ile + cz = 0 tarafından barisentrik koordinatlarda x + y + z = 0 .

Daha yüksek boyutlar

Ek olarak, d boyutlarına gömülü bir üçgenin çevresi, genelleştirilmiş bir yöntem kullanılarak bulunabilir. Let A , B ve C olmak d bir üçgenin köşe oluşturan boyutlu işaret eder. Sistemi, C'yi başlangıç ​​noktasına yerleştirecek şekilde aktararak başlıyoruz :

Çevresel yarıçap, r , o zaman

burada θ a ve b arasındaki iç açıdır . Çevresel merkez, p 0 , ile verilir

Çapraz çarpım diğer boyutlarda tanımlanmadığından bu formül yalnızca üç boyutta çalışır , ancak çapraz çarpımlar aşağıdaki kimliklerle değiştirilerek diğer boyutlara genellenebilir:

Çevre merkezi koordinatları

Kartezyen koordinatları

Kartezyen koordinatlar circumcenter olan

ile birlikte

Genelliği kaybetmeden bu, A köşesinin Kartezyen koordinat sistemlerinin orijine çevrilmesinden sonra basitleştirilmiş bir biçimde ifade edilebilir , yani A ′ = AA = ( Ax , Ay ) = (0, 0) . Bu durumda, B ′ = BA ve C ′ = CA köşelerinin koordinatları, A ′ köşesinden bu köşelere giden vektörleri temsil eder . Bu önemsiz ötelemenin tüm üçgenler için mümkün olduğuna ve ABC ′ üçgeninin çevre merkezinin aşağıdaki gibi olduğuna dikkat edin.

ile birlikte

Köşe A'nın orijine çevrilmesi nedeniyle , dairesel yarıçap r şu şekilde hesaplanabilir:

ve ABC'nin gerçek çevre merkezi şu şekildedir:

üç doğrusal koordinatlar

Çevre merkezinin üç doğrusal koordinatları var

cos α  : cos β  : cos γ

burada α , β , γ üçgenin açılarıdır.

a, b, c kenar uzunlukları açısından , trilinearlar

Barysentrik koordinatlar

Çevre merkezinin barycentric koordinatları var

burada a , b , c üçgenin kenar uzunluklarıdır ( sırasıyla BC , CA , AB ).

Üçgenin açıları açısından , çevre merkezinin barycentric koordinatları

çevre vektörü

Herhangi bir noktanın Kartezyen koordinatları, noktaların ağırlıkları noktanın barycentric koordinatları olmak üzere toplamı bire eşit olacak şekilde normalize edilerek, köşelerin ağırlıklı ortalaması olduğundan, çevresel merkez vektörü şu şekilde yazılabilir:

Burada U çevre merkezinin vektörüdür ve A, B, C tepe vektörleridir. Buradaki bölen 16 S 2'ye eşittir , burada S üçgenin alanıdır. Daha önce belirtildiği gibi

Çapraz ve nokta çarpımlarından kartezyen koordinatlar

Gelen Öklid alan , herhangi bir üç doğrusal olmayan noktaları içinden geçen bir tek döngü vardır P 1 , p 2 ve p 3 . Bu noktaları uzaysal vektörler olarak temsil etmek için Kartezyen koordinatları kullanarak , dairenin yarıçapını ve merkezini hesaplamak için nokta çarpım ve çapraz çarpım kullanmak mümkündür . İzin vermek

Daha sonra dairenin yarıçapı ile verilir

Dairenin merkezi lineer kombinasyon ile verilir.

nerede

Üçgene göre konum

Çevre merkezinin konumu üçgenin türüne bağlıdır:

  • Dar bir üçgen için (bütün açılar dik açıdan daha küçüktür), çevre merkezi her zaman üçgenin içindedir.
  • Bir dik üçgen için, çevre merkezi daima hipotenüsün orta noktasında bulunur . Bu, Thales teoreminin bir biçimidir .
  • Geniş bir üçgen için (bir açısı dik açıdan daha büyük olan bir üçgen), çevre merkezi her zaman üçgenin dışındadır.
Akut üçgenin çevresi üçgenin içindedir
Bir dik üçgenin çevresi hipotenüsün orta noktasındadır
Geniş bir üçgenin çevresi üçgenin dışındadır

Bu konumsal özellikler, çevre merkezi için yukarıda verilen trilinear veya barisentrik koordinatlar dikkate alınarak görülebilir: her üç koordinat da herhangi bir iç nokta için pozitiftir, herhangi bir dış nokta için en az bir koordinat negatiftir ve bir koordinat sıfırdır ve ikisi pozitiftir. üçgenin bir tarafında köşe olmayan bir nokta.

açılar

Çevrili dairenin üçgenin kenarlarıyla oluşturduğu açılar, kenarların birleştiği açılarla örtüşür. α açısının karşısındaki kenar daireyle iki kez buluşur: her iki uçta bir kez; her durumda α açısında (diğer iki açı için de benzer şekilde). Bunun nedeni , teğet ve kiriş arasındaki açının alternatif segmentteki açıya eşit olduğunu belirten alternatif segment teoremidir .

Üçgen, ABC üçgeninin çevrel çemberini merkezler

Bu bölümde, tepe açıları A , B , C olarak etiketlenmiştir ve tüm koordinatlar trilinear koordinatlardır :

  • Steiner noktası = bc / ( b 2c 2 ) : ca / ( c 2a 2 ) : ab / ( a 2b 2 ) = Steiner elipsiyle çemberin köşe olmayan kesişme noktası. ( Merkez = centroid ( ABC ) olan Steiner elipsi , A , B ve C'den geçen en küçük alanlı elipstir . Bu elipsin denklemi 1/( ax ) + 1/( by ) + 1/( cz ) = 0 .)
  • Katran noktası = sn ( A + ω) : sn ( B + ω) : sn ( C + ω) = Steiner noktasının antipodu
  • Kiepert parabolünün odak noktası = csc ( B - C ) : csc ( C - A ) : csc ( A - B ).

Diğer özellikler

Çapı adı circumcircle, circumdiameter ve iki kez eşit circumradius , bölü üçgenin bir tarafında uzunluğu olarak hesaplanabilir sinüs ters bir açı :

Sinüs yasasının bir sonucu olarak hangi taraftan ve karşı açı alınırsa alınsın sonuç aynı olacaktır.

Çemberin çapı şu şekilde de ifade edilebilir:

burada bir , b , c üçgen ve kenarlarının uzunlukları s = ( a + b + c ) / 2 semiperimeter olup. Yukarıdaki ifade , Heron formülüne göre üçgenin alanıdır . Çevrel çemberin çapı için trigonometrik ifadeler şunları içerir:

Üçgenin dokuz noktalı dairesi , çevrel dairenin çapının yarısına sahiptir.

Herhangi bir üçgende, çevre merkezi her zaman ağırlık merkezi ve ortomerkez ile eşdoğrusaldır . Hepsinin içinden geçen doğruya Euler doğrusu denir .

İzogonal konjugat circumcenter ait orthocenter .

Üç noktadan oluşan yararlı minimum sınırlayıcı daire , ya çevresel çember (üç nokta minimum sınırlayıcı çember üzerindedir) ya da üçgenin en uzun kenarının iki noktası (iki noktanın çemberin çapını tanımladığı) ile tanımlanır. Minimum sınırlayıcı çemberi çevre çemberi ile karıştırmak yaygındır.

Üç eşdoğrusal noktanın çevresi , genellikle sonsuz yarıçaplı bir daire olarak adlandırılan, üç noktanın üzerinde bulunduğu çizgidir . Neredeyse eşdoğrusal noktalar, genellikle çemberin hesaplanmasında sayısal kararsızlığa yol açar .

Üçgenlerin çevreleri , bir dizi noktanın Delaunay üçgenlemesi ile yakın bir ilişkiye sahiptir .

Tarafından geometride Euler teoremi , circumcenter arasındaki mesafe , O ve incenter I olan

burada r daire yarıçapıdır ve R daire yarıçapıdır; dolayısıyla dairesel yarıçap, yarıçapın en az iki katıdır ( Euler üçgeni eşitsizliği ), yalnızca eşkenar durumda eşitlikle .

Arasındaki mesafe O ve orthocenter H olduğu

İçin kitle merkezi G ve dokuz noktalı orta N Elimizdeki

Kenarları a , b ve c olan bir üçgenin çember yarıçapı ile çember yarıçapının çarpımı ,

Çevresel yarıçap R , kenarlar a , b , c ve medyanlar m a , m b ve m c ile , elimizde

Medyan m , yükseklik h ve iç açıortayı t, tüm yarıçapı R olan bir üçgenin aynı tepe noktasından geliyorsa , o zaman

Carnot teoremi , çevre merkezinden üç kenara olan mesafelerin toplamının, dairesel yarıçap ve yarıçapın toplamına eşit olduğunu belirtir . Burada bir parçanın uzunluğu, ancak ve ancak parça tamamen üçgenin dışındaysa negatif olarak kabul edilir.

Bir üçgenin çevresi ve çevresi olarak iki belirli çemberi varsa, aynı çember ve çembere sahip sonsuz sayıda başka üçgen vardır ve çember üzerindeki herhangi bir nokta tepe noktasıdır. (Bu, Poncelet'in gözenekliliğinin n  = 3 durumudur ). Bu tür üçgenlerin var olması için gerekli ve yeterli bir koşul, yukarıdaki eşitliktir.

döngüsel dörtgenler

Sınırlandırılabilen dörtgenler, zıt açıların tamamlayıcı açılar olduğu gerçeği dahil olmak üzere belirli özelliklere sahiptir (180°'ye kadar veya π radyan ekleyerek).

döngüsel n -gonlar

Tek sayıda kenarı olan bir döngüsel çokgen için, ancak ve ancak çokgen düzgünse tüm açılar eşittir. Kenar sayısı çift olan bir döngüsel çokgenin tüm açıları, ancak ve ancak alternatif kenarları eşitse (yani, 1, 3, 5, ... kenarları eşit ve 2, 4, 6, ... kenarları eşitse) eşittir. eşittir).

Rasyonel kenarları ve alanı olan bir döngüsel beşgen , Robbins beşgeni olarak bilinir ; bilinen tüm durumlarda, köşegenlerinin de rasyonel uzunlukları vardır.

Her hangi bir sıklık olarak N bile -gon n , alternatif açılarla bir set toplamı (birinci, üçüncü, beşinci vb) alternatif açılarla diğer kümesi bir toplamına eşittir. Bu, n =4 durumundan tümevarımla kanıtlanabilir , her durumda bir kenar üç kenarla değiştirilir ve bu üç yeni kenarın eski kenarla birlikte kendisi bu özelliğe sahip bir dörtgen oluşturduğuna dikkat edilir; sonraki dörtgenin alternatif açıları, önceki n- gonun alternatif açı toplamlarına yapılan eklemeleri temsil eder .

Bir olsun , n bir daire içinde çizilebilecek açılı ve bir izin N olması -gon teğet ilk köşelerinde o daireye n -gon. Daha sonra herhangi bir noktada gelen P daire üzerinde, gelen dikey mesafelerde ürünü P ilk kenarlarına N -gon gelen dikey mesafelerde ürünü eşit P ikinci yanlarına N -gon.

Çember üzerinde nokta

Bir döngüsel n- gon'un birim çember üzerinde A 1 , ..., A n köşeleri olsun . O zaman, A 1 A n küçük yayı üzerindeki herhangi bir M noktası için , M'den köşelere olan mesafeler şunları sağlar:


Düzgün bir n- gon için, çember üzerindeki herhangi bir noktadan köşelere olan uzaklıklar ise , o zaman

Çokgen sınırlama sabiti

Sınırlandırılmış çokgenler ve daireler dizisi.

Herhangi bir düzenli çokgen döngüseldir. Bir birim çemberi düşünün, sonra her iki kenarı çembere değecek şekilde düzgün bir üçgen çizin. Bir daire çizin, sonra bir kare çizin. Yine bir daire çizin, sonra düzgün bir beşgen çizin , vb. Sınırlandırılmış dairelerin yarıçapları, çokgen sınır sabiti denilen şeye yakınsar.

(sekans A051762 olarak OEIS ). Bu sabitin tersi Kepler-Bouwkamp sabitidir .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar

Matematik Dünyası

etkileşimli