Sınırlandırılmış daire - Circumscribed circle
İn geometrisi , sınırlı daire veya circumcircle a çokgen a, daire tüm geçer köşe çokgenin. Bu çemberin merkezi olarak adlandırılır circumcenter ve yarıçapı olarak adlandırılır circumradius .
Her çokgenin çevrelenmiş bir çemberi yoktur. Bir poligona sahip olan bir çokgene , bir döngüsel çokgen veya bazen bir konsiklik çokgen olarak adlandırılır, çünkü köşeleri konsikliktir . Tüm üçgenler , tüm düzgün basit çokgenler , tüm dikdörtgenler , tüm ikizkenar yamuklar ve tüm doğru uçurtmalar döngüseldir.
İlgili bir kavram, dairenin merkezi çokgenin içindeyse, içindeki çokgeni tamamen içeren en küçük daire olan minimum sınırlayıcı dairedir . Her çokgenin, doğrusal bir zaman algoritması ile oluşturulabilen benzersiz bir minimum sınır dairesi vardır . Bir çokgenin çevrelenmiş bir çemberi olsa bile, minimum sınır çemberinden farklı olabilir. Örneğin, geniş bir üçgen için , minimum sınırlayıcı daire çap olarak en uzun kenara sahiptir ve karşı köşeden geçmez.
üçgenler
Tüm üçgenler döngüseldir; yani, her üçgenin çevrelenmiş bir çemberi vardır.
Düz cetvel ve pusula yapımı
Üçgenin circumcenter edilebilir inşa üç herhangi iki çizerek dik bisectors . Doğrusal olmayan üç nokta için bu iki doğru paralel olamaz ve çevre merkezi onların kesiştiği noktadır. Ortaortay üzerindeki herhangi bir nokta, ikiye böldüğü iki noktadan eşit uzaklıktadır ve buradan, her iki ortaydaki bu noktanın, üç üçgenin tüm köşelerinden eşit uzaklıkta olduğu sonucu çıkar. Çevresel yarıçap, ondan üç köşeden herhangi birine olan mesafedir.
Alternatif yapı
Çevremerkezi belirlemek için alternatif bir yöntem, her biri köşelerden birinden ortak kenar ile bir açıyla ayrılan herhangi iki çizgi çizmektir; ortak ayrılma açısı 90° eksi karşı köşenin açısıdır. (Karşı açının geniş olması durumunda, negatif açıyla bir çizgi çizmek üçgenin dışına çıkmak anlamına gelir.)
Gelen kıyı navigasyon , bir üçgenin circumcircle bazen elde etme yolu olarak kullanılan pozisyon hattını bir kullanırken sekstant- hiçbir zaman pusula mevcuttur. İki yer işareti arasındaki yatay açı, gözlemcinin üzerinde bulunduğu çemberi tanımlar.
Daire denklemleri
Kartezyen koordinatları
Gelen Öklid düzleminde , bakımından açıkça circumcircle bir denklemi vermek mümkündür Kartezyen koordinatlarda yazıtlı üçgenin köşe. Farz et ki
A , B ve C noktalarının koordinatlarıdır . Çemberli daire, Kartezyen düzlemde denklemleri sağlayan v = ( v x , v y ) noktalarının geometrik yeridir.
A , B , C ve v noktalarının tümünün dairenin ortak merkezinden u r aynı uzaklıkta olduğunu garanti ederek . Polarizasyon özdeşliğini kullanarak , bu denklemler matrisin
sıfır olmayan bir çekirdeğe sahiptir . Böylece çevreli daire alternatif olarak bu matrisin determinantının sıfırlarının yeri olarak tanımlanabilir :
Kofaktör genişletme kullanarak , izin ver
sonra bir | v | 2 − 2 Sv − b = 0 burada S = ( S x , S y ) ve – üç noktanın bir doğru üzerinde olmadığı varsayılırsa (aksi takdirde çevreli daire, S sonsuzda olan genelleştirilmiş bir daire olarak da görülebilen doğrudur) ) – | v - S / bir | 2 = b / bir + | S | 2 / a 2 , S / a çevre merkezini ve √ b / a + | S | 2 / bir 2 . Benzer bir yaklaşım, bir denklemini anlayacak sağlar circumsphere a tetrahedron .
parametrik denklem
Daireyi içeren düzleme dik bir birim vektör ile verilir
Dolayısıyla, yarıçap, r , merkez, P c , daire üzerinde bir nokta, P 0 ve daireyi içeren düzlemin bir birim normali, , verilen dairenin P 0 noktasından başlayan ve pozitif yönde ilerleyen bir parametrik denklemi yönelik (yani, sağ elini kullanan ) anlamda şudur:
Trilinear ve barycentric koordinatlar
Circumcircle en çok bir denklem üç çizgili koordinatları x : y : z olan bir / x + b / y + c / z = 0 . İçin bir denklem circumcircle içinde barisentrik koordinatlar x : y : z olan bir 2 / x + b 2 / y + c 2 / z = 0 .
İzogonal konjugat circumcircle verilen, sonsuzda çizgi üç çizgili koordinatları ile ax + ile + cz = 0 tarafından barisentrik koordinatlarda x + y + z = 0 .
Daha yüksek boyutlar
Ek olarak, d boyutlarına gömülü bir üçgenin çevresi, genelleştirilmiş bir yöntem kullanılarak bulunabilir. Let A , B ve C olmak d bir üçgenin köşe oluşturan boyutlu işaret eder. Sistemi, C'yi başlangıç noktasına yerleştirecek şekilde aktararak başlıyoruz :
Çevresel yarıçap, r , o zaman
burada θ a ve b arasındaki iç açıdır . Çevresel merkez, p 0 , ile verilir
Çapraz çarpım diğer boyutlarda tanımlanmadığından bu formül yalnızca üç boyutta çalışır , ancak çapraz çarpımlar aşağıdaki kimliklerle değiştirilerek diğer boyutlara genellenebilir:
Çevre merkezi koordinatları
Kartezyen koordinatları
Kartezyen koordinatlar circumcenter olan
ile birlikte
Genelliği kaybetmeden bu, A köşesinin Kartezyen koordinat sistemlerinin orijine çevrilmesinden sonra basitleştirilmiş bir biçimde ifade edilebilir , yani A ′ = A − A = ( A ′ x , A ′ y ) = (0, 0) . Bu durumda, B ′ = B − A ve C ′ = C − A köşelerinin koordinatları, A ′ köşesinden bu köşelere giden vektörleri temsil eder . Bu önemsiz ötelemenin tüm üçgenler için mümkün olduğuna ve A ′ B ′ C ′ üçgeninin çevre merkezinin aşağıdaki gibi olduğuna dikkat edin.
ile birlikte
Köşe A'nın orijine çevrilmesi nedeniyle , dairesel yarıçap r şu şekilde hesaplanabilir:
ve ABC'nin gerçek çevre merkezi şu şekildedir:
üç doğrusal koordinatlar
Çevre merkezinin üç doğrusal koordinatları var
- cos α : cos β : cos γ
burada α , β , γ üçgenin açılarıdır.
a, b, c kenar uzunlukları açısından , trilinearlar
Barysentrik koordinatlar
Çevre merkezinin barycentric koordinatları var
burada a , b , c üçgenin kenar uzunluklarıdır ( sırasıyla BC , CA , AB ).
Üçgenin açıları açısından , çevre merkezinin barycentric koordinatları
çevre vektörü
Herhangi bir noktanın Kartezyen koordinatları, noktaların ağırlıkları noktanın barycentric koordinatları olmak üzere toplamı bire eşit olacak şekilde normalize edilerek, köşelerin ağırlıklı ortalaması olduğundan, çevresel merkez vektörü şu şekilde yazılabilir:
Burada U çevre merkezinin vektörüdür ve A, B, C tepe vektörleridir. Buradaki bölen 16 S 2'ye eşittir , burada S üçgenin alanıdır. Daha önce belirtildiği gibi
Çapraz ve nokta çarpımlarından kartezyen koordinatlar
Gelen Öklid alan , herhangi bir üç doğrusal olmayan noktaları içinden geçen bir tek döngü vardır P 1 , p 2 ve p 3 . Bu noktaları uzaysal vektörler olarak temsil etmek için Kartezyen koordinatları kullanarak , dairenin yarıçapını ve merkezini hesaplamak için nokta çarpım ve çapraz çarpım kullanmak mümkündür . İzin vermek
Daha sonra dairenin yarıçapı ile verilir
Dairenin merkezi lineer kombinasyon ile verilir.
nerede
Üçgene göre konum
Çevre merkezinin konumu üçgenin türüne bağlıdır:
- Dar bir üçgen için (bütün açılar dik açıdan daha küçüktür), çevre merkezi her zaman üçgenin içindedir.
- Bir dik üçgen için, çevre merkezi daima hipotenüsün orta noktasında bulunur . Bu, Thales teoreminin bir biçimidir .
- Geniş bir üçgen için (bir açısı dik açıdan daha büyük olan bir üçgen), çevre merkezi her zaman üçgenin dışındadır.
Bu konumsal özellikler, çevre merkezi için yukarıda verilen trilinear veya barisentrik koordinatlar dikkate alınarak görülebilir: her üç koordinat da herhangi bir iç nokta için pozitiftir, herhangi bir dış nokta için en az bir koordinat negatiftir ve bir koordinat sıfırdır ve ikisi pozitiftir. üçgenin bir tarafında köşe olmayan bir nokta.
açılar
Çevrili dairenin üçgenin kenarlarıyla oluşturduğu açılar, kenarların birleştiği açılarla örtüşür. α açısının karşısındaki kenar daireyle iki kez buluşur: her iki uçta bir kez; her durumda α açısında (diğer iki açı için de benzer şekilde). Bunun nedeni , teğet ve kiriş arasındaki açının alternatif segmentteki açıya eşit olduğunu belirten alternatif segment teoremidir .
Üçgen, ABC üçgeninin çevrel çemberini merkezler
Bu bölümde, tepe açıları A , B , C olarak etiketlenmiştir ve tüm koordinatlar trilinear koordinatlardır :
- Steiner noktası = bc / ( b 2 − c 2 ) : ca / ( c 2 − a 2 ) : ab / ( a 2 − b 2 ) = Steiner elipsiyle çemberin köşe olmayan kesişme noktası. ( Merkez = centroid ( ABC ) olan Steiner elipsi , A , B ve C'den geçen en küçük alanlı elipstir . Bu elipsin denklemi 1/( ax ) + 1/( by ) + 1/( cz ) = 0 .)
- Katran noktası = sn ( A + ω) : sn ( B + ω) : sn ( C + ω) = Steiner noktasının antipodu
- Kiepert parabolünün odak noktası = csc ( B - C ) : csc ( C - A ) : csc ( A - B ).
Diğer özellikler
Çapı adı circumcircle, circumdiameter ve iki kez eşit circumradius , bölü üçgenin bir tarafında uzunluğu olarak hesaplanabilir sinüs ters bir açı :
Sinüs yasasının bir sonucu olarak hangi taraftan ve karşı açı alınırsa alınsın sonuç aynı olacaktır.
Çemberin çapı şu şekilde de ifade edilebilir:
burada bir , b , c üçgen ve kenarlarının uzunlukları s = ( a + b + c ) / 2 semiperimeter olup. Yukarıdaki ifade , Heron formülüne göre üçgenin alanıdır . Çevrel çemberin çapı için trigonometrik ifadeler şunları içerir:
Üçgenin dokuz noktalı dairesi , çevrel dairenin çapının yarısına sahiptir.
Herhangi bir üçgende, çevre merkezi her zaman ağırlık merkezi ve ortomerkez ile eşdoğrusaldır . Hepsinin içinden geçen doğruya Euler doğrusu denir .
İzogonal konjugat circumcenter ait orthocenter .
Üç noktadan oluşan yararlı minimum sınırlayıcı daire , ya çevresel çember (üç nokta minimum sınırlayıcı çember üzerindedir) ya da üçgenin en uzun kenarının iki noktası (iki noktanın çemberin çapını tanımladığı) ile tanımlanır. Minimum sınırlayıcı çemberi çevre çemberi ile karıştırmak yaygındır.
Üç eşdoğrusal noktanın çevresi , genellikle sonsuz yarıçaplı bir daire olarak adlandırılan, üç noktanın üzerinde bulunduğu çizgidir . Neredeyse eşdoğrusal noktalar, genellikle çemberin hesaplanmasında sayısal kararsızlığa yol açar .
Üçgenlerin çevreleri , bir dizi noktanın Delaunay üçgenlemesi ile yakın bir ilişkiye sahiptir .
Tarafından geometride Euler teoremi , circumcenter arasındaki mesafe , O ve incenter I olan
burada r daire yarıçapıdır ve R daire yarıçapıdır; dolayısıyla dairesel yarıçap, yarıçapın en az iki katıdır ( Euler üçgeni eşitsizliği ), yalnızca eşkenar durumda eşitlikle .
Arasındaki mesafe O ve orthocenter H olduğu
İçin kitle merkezi G ve dokuz noktalı orta N Elimizdeki
Kenarları a , b ve c olan bir üçgenin çember yarıçapı ile çember yarıçapının çarpımı ,
Çevresel yarıçap R , kenarlar a , b , c ve medyanlar m a , m b ve m c ile , elimizde
Medyan m , yükseklik h ve iç açıortayı t, tüm yarıçapı R olan bir üçgenin aynı tepe noktasından geliyorsa , o zaman
Carnot teoremi , çevre merkezinden üç kenara olan mesafelerin toplamının, dairesel yarıçap ve yarıçapın toplamına eşit olduğunu belirtir . Burada bir parçanın uzunluğu, ancak ve ancak parça tamamen üçgenin dışındaysa negatif olarak kabul edilir.
Bir üçgenin çevresi ve çevresi olarak iki belirli çemberi varsa, aynı çember ve çembere sahip sonsuz sayıda başka üçgen vardır ve çember üzerindeki herhangi bir nokta tepe noktasıdır. (Bu, Poncelet'in gözenekliliğinin n = 3 durumudur ). Bu tür üçgenlerin var olması için gerekli ve yeterli bir koşul, yukarıdaki eşitliktir.
döngüsel dörtgenler
Sınırlandırılabilen dörtgenler, zıt açıların tamamlayıcı açılar olduğu gerçeği dahil olmak üzere belirli özelliklere sahiptir (180°'ye kadar veya π radyan ekleyerek).
döngüsel n -gonlar
Tek sayıda kenarı olan bir döngüsel çokgen için, ancak ve ancak çokgen düzgünse tüm açılar eşittir. Kenar sayısı çift olan bir döngüsel çokgenin tüm açıları, ancak ve ancak alternatif kenarları eşitse (yani, 1, 3, 5, ... kenarları eşit ve 2, 4, 6, ... kenarları eşitse) eşittir. eşittir).
Rasyonel kenarları ve alanı olan bir döngüsel beşgen , Robbins beşgeni olarak bilinir ; bilinen tüm durumlarda, köşegenlerinin de rasyonel uzunlukları vardır.
Her hangi bir sıklık olarak N bile -gon n , alternatif açılarla bir set toplamı (birinci, üçüncü, beşinci vb) alternatif açılarla diğer kümesi bir toplamına eşittir. Bu, n =4 durumundan tümevarımla kanıtlanabilir , her durumda bir kenar üç kenarla değiştirilir ve bu üç yeni kenarın eski kenarla birlikte kendisi bu özelliğe sahip bir dörtgen oluşturduğuna dikkat edilir; sonraki dörtgenin alternatif açıları, önceki n- gonun alternatif açı toplamlarına yapılan eklemeleri temsil eder .
Bir olsun , n bir daire içinde çizilebilecek açılı ve bir izin N olması -gon teğet ilk köşelerinde o daireye n -gon. Daha sonra herhangi bir noktada gelen P daire üzerinde, gelen dikey mesafelerde ürünü P ilk kenarlarına N -gon gelen dikey mesafelerde ürünü eşit P ikinci yanlarına N -gon.
Çember üzerinde nokta
Bir döngüsel n- gon'un birim çember üzerinde A 1 , ..., A n köşeleri olsun . O zaman, A 1 A n küçük yayı üzerindeki herhangi bir M noktası için , M'den köşelere olan mesafeler şunları sağlar:
Düzgün bir n- gon için, çember üzerindeki herhangi bir noktadan köşelere olan uzaklıklar ise , o zaman
Çokgen sınırlama sabiti
Herhangi bir düzenli çokgen döngüseldir. Bir birim çemberi düşünün, sonra her iki kenarı çembere değecek şekilde düzgün bir üçgen çizin. Bir daire çizin, sonra bir kare çizin. Yine bir daire çizin, sonra düzgün bir beşgen çizin , vb. Sınırlandırılmış dairelerin yarıçapları, çokgen sınır sabiti denilen şeye yakınsar.
(sekans A051762 olarak OEIS ). Bu sabitin tersi Kepler-Bouwkamp sabitidir .
Ayrıca bakınız
- Kütle merkezi
- sirkumgon
- çevrelenmiş küre
- yazılı daire
- döngüsel çokgenler için Japon teoremi
- döngüsel dörtgenler için Japon teoremi
- Jung teoremi , ilgili bir eşitsizlik çapı minimum sınırlayıcı kürenin yarı çapına noktası kümesinin
- kosnita teoremi
- Lester teoremi
- teğet çokgen
- üçgen merkezi
Referanslar
Dış bağlantılar
- Mathalino.com'da üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı formülünün türetilmesi
- Açı gons ve yan gons yarı normal: dikdörtgenler ve rhombi ilgili genellemeler de dinamik geometri Eskiz , etkileşimli dinamik geometri kroki.
Matematik Dünyası
- Weisstein, Eric W. "Çember" . Matematik Dünyası .
- Weisstein, Eric W. "Döngüsel Çokgen" . Matematik Dünyası .
- Weisstein, Eric W. "Steiner döngüsel" . Matematik Dünyası .
etkileşimli
- Üçgen çember ve çember merkezi Etkileşimli animasyon ile
- Çevre merkezi için etkileşimli bir Java uygulaması