Tamamen bağlantısız alan - Totally disconnected space
Gelen topoloji ve ilgili dalları matematik , bir tamamen kesilmiş alan a, topolojik alan maksimum bu hiç olmayan önemsiz olduğu anlamda, kesilir bağlı alt kümeleri. Her topolojik uzayda, tekiller (ve bağlantılı olduğu düşünüldüğünde boş küme) bağlantılıdır; tamamen bağlantısız bir uzayda, bunlar yalnızca bağlı uygun alt kümelerdir.
Tamamen bağlantısız uzayın önemli bir örneği Cantor kümesidir . Başka bir örnek, önemli bir rol oynayan cebirsel sayı teorisi , alandır Q s ait s -adic sayı .
Tanım
Bir topolojik uzay olduğunu tamamen kesildi eğer bağlı bileşenler içinde tek nokta kümeleridir. Benzer olarak, bir topolojik uzay olduğunu tamamen yol-bağlantısız tüm eğer yol-bileşenler içinde tek nokta kümeleridir.
Bir başka yakından ilişkili kavram, tamamen ayrılmış bir uzay , yani yarı- bileşenlerin tekil olduğu bir uzay kavramıdır . Eşdeğer olarak, bir topolojik uzay
tamamen ayrılmış uzaydır, ancak ve ancak her için tüm clopen komşulukların kesişimi singleton ise . Aynı şekilde, ayrı noktalarının her çifti için , ayrık açık bölgelerinden bir çifti, bir bu şekilde .
Tamamen ayrılmış her uzayın tamamen bağlantısız olduğu açıktır, ancak bunun tersi metrik uzaylar için bile yanlıştır. Örneğin , ucu kaldırılmış Knaster-Kuratowski hayranı olan Cantor'un teepee'sini alın . O zaman tamamen bağlantısı kesilir, ancak yarı bileşenleri tekil değildir. Yerel olarak kompakt Hausdorff uzayları için iki kavram ( tamamen bağlantısız ve tamamen ayrılmış ) eşdeğerdir.
Ne yazık ki, literatürde (örneğin) içinde, tamamen kesilmiş alanlarda zaman zaman adlandırılabilinir kalıtımsal bağlantısı terminoloji da tamamen kesilmiş tamamen ayrılmış alanlar için kullanılır.
Örnekler
Aşağıdakiler tamamen bağlantısız alanlara örneklerdir:
- ayrık uzaylar
- rasyonel sayılar
- irrasyonel sayılar
- P-adic numaraları ; daha genel olarak, tüm profinite gruplar tamamen kopuktur .
- Cantor kümesi ve Cantor uzay
- Baire uzay
- Sorgenfrey hattı
- 0 küçük endüktif boyutun her Hausdorff uzayı tamamen kopuktur.
- Erdos uzay ℓ 2 küçük endüktif bir boyut 0 bulunmayan tamamen kesildi Haussdorf alandır.
- Son derece bağlantısız Hausdorff uzayları
- Taş boşluklar
- Knaster-Kuratowski fanı tek bir noktaya çıkarılması tamamen kesilmiş alan üretecek şekilde bağlı bir boşluk, bir örnek teşkil eder.
Özellikleri
- Alt uzaylar , ürünler ve eş çarpımlar tamamen kesildi alanların tamamen kesilir.
- Singleton'lar kapalı olduğundan, tamamen bağlantısız uzaylar T 1 boşluklardır .
- Tamamen bağlantısız uzayların sürekli görüntüleri mutlaka tamamen bağlantısız değildir, aslında her kompakt metrik uzay Cantor kümesinin sürekli bir görüntüsüdür .
- Bir yerel kompakt Hausdorff uzay sahip küçük endüktif bir boyut tamamen kesilir ve ancak eğer 0.
- Tamamen bağlantısız her kompakt metrik uzay, ayrık uzayların sayılabilir bir çarpımının bir alt kümesine homeomorfiktir .
- Tamamen bağlantısız bir uzaydaki her açık kümenin de kapalı olduğu genel olarak doğru değildir.
- Tamamen bağlantısız bir uzaydaki her açık kümenin kapanmasının açık olduğu genel olarak doğru değildir, yani tamamen bağlantısız her Hausdorff uzayı aşırı derecede bağlantısız değildir .
Tamamen bağlantısız bir alan inşa etmek
Let keyfi bir topolojik uzay olsun. Yalnızca ve ancak izin verin (burada , içeren en büyük bağlı alt kümeyi belirtir ). Bu açıkça , denklik sınıfları 'nin bağlantılı bileşenleri olan bir denklik bağıntısıdır . Bölüm topolojisi , yani haritayı sürekli kılan en iyi topoloji ile donatın . Biraz çabayla bunun tamamen kopuk olduğunu görebiliriz . Aynı zamanda şu evrensel özelliğe de sahibiz : eğer tamamen bağlantısız bir uzaya giden sürekli bir haritaysa , o zaman ile benzersiz bir sürekli harita vardır .
Ayrıca bakınız
Referanslar
- Willard, Stephen (2004), Genel topoloji , Dover Publications , ISBN 978-0-486-43479-7, MR 2048350(1970 orijinalinin yeniden basımı, MR 0264581 )