Tamamen sınırlı uzay - Totally bounded space

Gelen topoloji ve ilgili dalları matematik , toplam-sınırlılık bir genellemedir kompakt bir dizi ille edildiği durumlar için kapalı . Tamamen sınırlı bir küme , her sabit "boyutun" sonlu sayıda alt kümesi tarafından kapsanabilir ("boyut"un anlamı, ortam boşluğunun yapısına bağlıdır ).

Terimi precompact (veya precompact ), bazen aynı anlamda kullanılmıştır, ancak precompact da ifade etmek için kullanılmaktadır nispeten kompakt . Bu tanımlar, tam bir metrik uzayın alt kümeleri için örtüşür , ancak genel olarak değil.

Metrik uzaylarda

Bir metrik uzay olduğu tamamen sınırlanmış ve sadece her gerçek sayı için eğer , sonlu koleksiyonu mevcuttur açık topları içinde M yarıçapı olan birlik içeriyor  M . Eşdeğer, metrik uzay M ve sadece her için eğer tamamen sınırlandırılmış olan bir vardır sonlu kapak , kapağın her bir elemanın çapı en fazla olduğu şekilde . Bu, sonlu bir ε-netin varlığına eşdeğerdir . Her dizi bir Cauchy alt dizisini kabul ediyorsa , bir metrik uzayın Cauchy-precompact olduğu söylenir ; tam metrik uzaylarda, bir küme ancak ve ancak tamamen sınırlıysa Cauchy önceden kompakttır. ${\görüntüleme stili (M,d)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\görüntüleme stili\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\görüntüleme stili\varepsilon }$

Her tamamen sınırlı uzay sınırlıdır (sonlu sayıda sınırlı kümenin birleşimi sınırlı olduğu gibi). Öklid uzayının alt kümeleri için ( altuzay topolojisi ile ) bunun tersi doğrudur , ancak genel olarak değil. Örneğin, ayrık metrik ile donatılmış sonsuz bir küme sınırlıdır, ancak tamamen sınırlı değildir.

Düzgün (topolojik) uzaylar

Toplam sınırlılık tanımında yalnızca sonlu kapağın her bir elemanının karşılaştırılabilir boyutta olmasını ve tek tip bir yapınınkiyle zayıflatılabilmesini sağlamak için bir metrik görünür . Düzgün bir X uzayının bir S alt kümesi , ancak ve ancak, herhangi bir E çevresi için , her biri Kartezyen kareleri E'nin bir alt kümesi olan X'in alt kümeleri tarafından S'nin sonlu bir örtüsü varsa tamamen sınırlıdır . (Diğer bir deyişle, E "boyut" yerine £ değenni ve bir alt kümesi boyutu olan E onun Kartezyen kare bir alt kümesi ise E ).

Tanım, kompaktlık ve Cauchy tamamlama kavramına sahip herhangi bir uzay kategorisine daha da genişletilebilir : bir uzay, ancak ve ancak (Cauchy) tamamlaması kompakt ise tamamen sınırlıdır.

Örnekler ve temel özellikler

• Kavram tanımlandığında, her kompakt küme tamamen sınırlıdır.
• Her tamamen sınırlı küme sınırlıdır.
• Gerçek çizginin bir alt kümesi veya daha genel olarak sonlu boyutlu Öklid uzayının bir alt kümesi, ancak ve ancak sınırlandırılmışsa tamamen sınırlıdır .
• Birim top bir de Hilbert uzayında , ya da daha genel olarak bir de Banach uzayı , tamamen uzay sonlu vardır ancak ve ancak (norm topolojisinde) sınırlanan bir boyut .
• Bir kompakt küme üzerindeki eş-sürekli sınırlı fonksiyonlar, düzgün topolojide önceden sıkıştırılmıştır ; bu Arzelà–Ascoli teoremidir .
• Bir metrik uzay ancak ve ancak tamamen sınırlı bir metrik uzaya homeomorfik ise ayrılabilir .
• Tamamen sınırlı bir altkümenin kapanışı yine tamamen sınırlıdır.

Kompakt setlerle karşılaştırma

Metrik uzaylarda, bir küme ancak ve ancak tam ve tamamen sınırlıysa kompakttır; seçim aksiyomu olmadan sadece ileri yön geçerlidir. Precompact setler, kompakt setlerle bir takım özellikleri paylaşır.

• Kompakt kümeler gibi, tamamen sınırlı kümelerin sonlu birleşimi tamamen sınırlıdır.
• Kompakt kümelerin aksine, tamamen sınırlı bir kümenin her alt kümesi yine tamamen sınırlıdır.
• Kompakt bir kümenin sürekli görüntüsü kompakttır. Önceden sıkıştırılmış bir kümenin düzgün sürekli görüntüsü önceden sıkıştırılmıştır.

topolojik gruplarda

Toplam sınırlılık kavramı metrik uzaylara yakından bağlı olmasına rağmen, topolojik grupların daha büyük cebirsel yapısı, bazı ayırma özelliklerinin değiş tokuş edilmesine izin verir . Örneğin, metrik uzaylarda, bir küme ancak ve ancak tam ve tamamen sınırlıysa kompakttır. Aşağıdaki tanım altında, aynısı herhangi bir topolojik vektör uzayı için de geçerlidir (mutlaka Hausdorff veya tam değil!).

Genel mantıksal biçimi tanımı : a alt kümesi , bir alan tamamen ancak ve ancak sınırlandırılmış olan belirli bir boyut vardır sonlu bir kapak gibi, her bir parça olduğu en boyutuna sahiptir ve daha sonra tamamen ve ancak eğer sınırlanan kendisinin bir alt kümesi olarak düşünüldüğünde tamamen sınırlıdır. ${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili E,}$ ${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili E.}$ ${\görüntüleme stili X}$

Kimliğin herhangi bir komşuluğu için bir altkümenin ( left ) -small , ancak ve ancak ve ancak bir topolojik grubun bir alt kümesinin ( left ) aşağıdaki eşdeğer koşullardan herhangi birini karşılıyorsa tamamen sınırlı olması durumunda çağrıldığını kabul ediyoruz: ${\ Displaystyle U\subseteq X}$${\görüntüleme stili S\alt küme X}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili (-S)+S\alt küme U.}$${\görüntüleme stili S}$ ${\görüntüleme stili X}$

1. Tanım : Kimliğin herhangi bir mahallesi için sonlu sayıda vardır ki,${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili 0,}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$${\textstyle S\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}\left(x_{j}+U\right):=\left(x_{1}+U\right)+\cdots +\left (x_{n}+U\sağ).}$
2. Herhangi bir mahalle için bir sonlu bir alt kümesi vardır , öyle ki (sağ taraf ise Minkowsky toplamı ).${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili 0,}$${\ Displaystyle F\subseteq X}$${\displaystyle S\subseteq F+U}$ ${\displaystyle F+U:=\{f+u:f\F'de,u\U'da\}}$
3. Herhangi bir mahallede için bir orada sonlu sayıda alt kümelerini var ve öyle ki , her bir -küçük.${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili 0,}$${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle S\subseteq B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$${\ Displaystyle B_{j}}$${\görüntüleme stili U}$
4. Herhangi bir için, filtre alt temel özdeşlik elemanın bir mahalle filtresi (her bölgelerinden oluşur in ) ve her durum için bir kapak vardır sonlu sayıda göre bir -küçük alt-${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {N}}}$${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili X}$${\ Displaystyle B\in {\Mathcal {B}},}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili X.}$
5. ${\görüntüleme stili S}$olan Cauchy sınırlanmış : Her mahalle için kimlik ve her bir sayılabilir sonsuz alt kümesi içinde orada farklı biri öyle ki (Eğer sonludur belki bu durum olup vacuously memnun ).${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili S,}$${\görüntüleme stili x,y\ben}$${\displaystyle xy\U.}$${\görüntüleme stili S}$
6. Aşağıdaki üç kümeden herhangi biri (yukarıdaki tanımlardan herhangi biri) tamamen sınırlı (solda) olma durumunu karşılar:
   1. Kapatma arasında yer${\displaystyle {\overline {S}}=\operatöradı {cl} _{X}S}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X.}$
      • Bu kümenin listede olması, aşağıdaki karakterizasyonun geçerli olduğu anlamına gelir: (solda) tamamen sınırlıdır, ancak ve ancak (solda) tamamen sınırlıysa (yukarıda belirtilen tanımlayıcı koşullardan herhangi birine göre). Aynı karakterizasyon aşağıda listelenen diğer kümeler için de geçerlidir.${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle \operatöradı {cl} _{X}S}$
   2. ( kimlik öğesi nerede) tarafından tanımlanan kanonik bölümün altındaki görüntüsü .${\görüntüleme stili S}$ ${\displaystyle X\to X/{\overline {\{0\}}},}$${\displaystyle x\mapsto x+{\overline {\{0\}}}}$${\görüntüleme stili 0}$
   3. Toplam ${\displaystyle S+\operatöradı {cl} _{X}\{0\}.}$

Ön-kompakt terimi genellikle Hausdorff topolojik vektör uzayları bağlamında ortaya çıkar. Bu durumda, aşağıdaki koşulların tümü de (solda) tamamen sınırlı olmaya eşdeğerdir : ${\görüntüleme stili S}$

7. Olarak tamamlayan bir kapağın bir kompakt.${\ Displaystyle {\widehat {X}}}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle \operatöradı {cl} _{\widehat {X}}S}$${\görüntüleme stili S}$
8. Üzerindeki her ultrafiltre bir Cauchy filtresidir .${\görüntüleme stili S}$

Tamamen sınırlı hakkın tanımı benzerdir: basitçe ürünlerin sırasını değiştirin.

Koşul 4'ün herhangi bir alt kümesinin tamamen sınırlı olduğu anlamına gelir (aslında, kompakt; yukarıdaki § Kompakt kümelerle karşılaştırma bölümüne bakın ). Hausdorff değilse , örneğin, kapalı olmayan bir kompakt tam kümedir. ${\displaystyle \operatör adı {cl} _{X}\{0\}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili \{0\}}$

Topolojik vektör uzayları

Herhangi bir topolojik vektör uzayı, toplama altında bir değişmeli topolojik gruptur, bu nedenle yukarıdaki koşullar geçerlidir. Tarihsel olarak, tanım 1(b), topolojik vektör uzayları için toplam sınırlılığın ilk yeniden formülasyonuydu ; John von Neumann'ın 1935 tarihli bir makalesine dayanmaktadır.

Bu tanım, zayıf topoloji ile donatılmış yerel dışbükey bir uzayda , ön kompakt kümelerin tam olarak sınırlı kümeler olması gibi çekici bir özelliğe sahiptir .

Ayrılabilir Banach uzayları için, prekompakt kümelerin (norm topolojisinde) zayıf yakınsak fonksiyonel dizileri açısından güzel bir karakterizasyonu vardır: eğer ayrılabilir bir Banach uzayı ise, eğer ve sadece her zayıf yakınsak fonksiyonel dizisi yakınsarsa prekompakttır. eşit olarak${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili S\alt küme X}$${\görüntüleme stili S.}$

Dışbükeylik ile etkileşim

• Dengeli gövde bir topolojik vektör alanı tamamen sınırlanmış alt kümesi yine tamamen sınırlıdır.
• Minkowsky toplam iki küçük (tamamen sınırlı) setleri kompakt (sırasıyla. Tamamen sınırlı) 'dir.
• Yerel dışbükey (Hausdorff) bir uzayda, tamamen sınırlı bir kümenin dışbükey gövdesi ve diskli gövdesi , ancak ve ancak tamamlanmışsa tamamen sınırlandırılır .${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili K}$

Ayrıca bakınız

• Kompakt alan
• Yerel olarak kompakt alan
• Kompakt olmama ölçüsü
• ortokompakt uzay
• parakompakt uzay
• Nispeten kompakt alt uzay

Referanslar

bibliyografya