Gerçek doğrunun küme teorisi - Set theory of the real line

Gerçek doğrunun küme teorisi , küme teorisinin gerçek sayıların yönlerine uygulanmasıyla ilgili bir matematik alanıdır .

Örneğin, bir bütün olduğunu bilir sayılabilen kümeler reals olan boş yani var, Lebesgue ölçümünü 0; bu nedenle Lebesgue null olmayan bir kümenin mümkün olan en az boyutu sorulabilir. Bu değişmez , ifade edilen boş kümeler idealinin tekdüzeliği olarak adlandırılır . Bununla ve diğer ideallerle ilişkili pek çok değişmezler vardır , örneğin yetersiz kümeler ideali , artı idealler açısından bir karakterizasyona sahip olmayan daha fazlası. Eğer sürekli hipotezi (CH) tutar, o zaman bu değişmezler eşittir az sayılamaz, kardinal . Örneğin , sayılamayacağını biliyoruz , ancak CH altındaki bazı gerçek setlerinin boyutu en fazla olabilir . ${\ displaystyle non ({\ mathcal {N}})}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle non ({\ mathcal {N}})}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Bir varsayar Öte yandan, Martin'in Axiom (MA) tüm ortak değişmezler eşit olduğunu, "büyük" olduğunu , sürekliliğinin kardinalitesi . Martin'in Axiom'u ile tutarlıdır . Aslında, Martin'in Aksiyomu, belirli bir sınıfın belirli zorlamalarını yapma ihtiyacını ortadan kaldıran zorlayıcı bir aksiyom olarak görülmelidir ( ccc'yi tatmin edenler , çünkü MA'nın büyük sürekliliğe sahip tutarlılığı, tüm bu tür zorlamaları (belirli bir boyuta kadar) yaparak kanıtlanmıştır. Her değişmez, bir miktar ccc zorlamasıyla büyük yapılabilir, dolayısıyla her biri MA verildiğinde büyüktür. ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}> \ aleph _ {1}}$

Biri belirli zorlamalarla sınırlanırsa, bazı değişmezler büyük olurken diğerleri küçük kalacaktır. Bu etkilerin analiz edilmesi, değişmezler arasındaki hangi eşitsizliklerin kanıtlanabilir ve hangilerinin ZFC ile tutarsız olduğunu belirlemeye çalışan, bölgenin en önemli işidir. Ölçü idealleri (sıfır kümeler) ve kategori (yetersiz kümeler) arasındaki eşitsizlikler Cichon'un diyagramında yakalanmıştır . 1980'lerde Arnold Miller'ın çalışmasından başlayarak, başka hiçbir eşitsizliğin kanıtlanamayacağını göstermek için 17 model (zorlayıcı yapılar) üretildi. Bunlar, sahadaki seçkin işçilerden ikisi olan Tomek Bartoszynski ve Haim Judah'ın kitabında ayrıntılı olarak analiz ediliyor.

İlginç bir sonuç, gerçek çizgiyi yetersiz setlerle (nerede ) kapatabilirseniz o zaman ; tersine, gerçek doğruyu sıfır kümelerle kapatabilirseniz, en az yetersiz olmayan kümenin boyutu en azından olur ; bu sonuçların her ikisi de, yetersiz bir küme ve bir boş küme birleşimi olarak bir ayrışmanın varlığından kaynaklanmaktadır . ${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ aleph _ {1} \ leq \ kappa \ leq {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle non ({\ mathcal {N}}) \ geq \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Bölgenin çözülmemiş en büyük sorunlarından biri,

${\ displaystyle {\ mathfrak {d}} <{\ mathfrak {a}},}$

1998'de Saharon Shelah tarafından kanıtlandı .

Ayrıca bakınız

• Cichoń'un diyagramı
• Kardinal değişmez

Referanslar

• Bartoszynski, Tomek & Judah, Haim Küme teorisi: Gerçek çizgi A'nın yapısı üzerine .. K. Peters Ltd. (1995). ISBN   1-56881-044-X
• Miller, Arnold Ölçü ve kategorinin bazı özellikleri Amerikan Matematik Derneği İşlemleri, 266 (1): 93-114, (1981)