Schur'un lemması - Schur's lemma

In matematik , Schur lemması bir ilköğretim ama son derece yararlı bir ifadedir temsil teorisi ait gruplar ve Cebirlerin . Grup durumda eğer söylüyor M ve N , iki sonlu boyutlu olan indirgenemez temsilleri bir grup G ve φ doğrusal bir dönüşümdür M için N grubu aksiyonu ile değiştirilirse, o zaman ya bu φ olduğu tersi veya φ = 0. M  =  N ve φ bir kendi kendine harita olduğunda önemli bir özel durum oluşur ; özellikle, bir grubun merkezindeki herhangi bir öğe , M üzerinde bir skaler operatör (kimliğin bir skaler katı) olarak hareket etmelidir . Lemma, Schur ortogonallik ilişkilerini kanıtlamak ve sonlu grupların temsil teorisinin temellerini geliştirmek için kullanan Issai Schur'un adını almıştır . Schur'un lemması , en yaygınları Jacques Dixmier'e bağlı olan Lie gruplarına ve Lie cebirlerine genellemeleri kabul eder .

Grupların temsil teorisi

Temsil teorisi, G grubundan bir vektör uzayının V genel lineer grubu GL(V) içine homomorfizmaların incelenmesidir ; yani, V'nin otomorfizm grubuna . (Burada kendimizi V'nin altında yatan alanın karmaşık sayıların alanı olduğu durumla sınırlayalım .) Böyle bir homomorfizme G'nin V üzerinde bir temsili denir . İlgili bir temsili V bir özel bir durumu olan grup eylem ile V , ancak altta yatan kümesinin yerine izin daha rasgele permütasyon V , biz tersi kendimizi sınırlamak lineer dönüşümler. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

ρ , G'nin V üzerinde bir temsili olsun . O durumda olabilir V bir sahiptir alt uzay , W , öyle ki her eleman için gr arasında G , ters çevrilebilir doğrusal harita ρ ( g ) korur veya düzeltmeleri B , yani (yani ρ ( g )) ( a ) 'de olduğu W için her ağırlık olarak w ve ( ρ ( g )) ( v ) 'de değil w herhangi v değil w . Diğer bir deyişle, her ρ ( g ): V → V doğrusal haritası , alanı W ile sınırlı olduğunda , aynı zamanda W , ρ ( g ): W → W'nin bir otomorfizmidir . W'nin G altında kararlı veya G'nin etkisi altında kararlı olduğunu söylüyoruz . W'yi kendi başına bir vektör uzayı olarak düşünürsek , o zaman G'nin W üzerinde açık bir temsili olduğu açıktır - bu, her bir ρ ( g ) haritasını W ile sınırlayarak elde ettiğimiz temsildir . Ne zaman W Bu özelliği vardır, diyoruz W verilen temsili bir ile subrepresentation ait V . G'nin alt temsili olmayan (kendisinden ve sıfırdan başka) temsili indirgenemez bir temsildir . Asal sayılar veya grup teorisindeki basit gruplar gibi indirgenemez temsiller, temsil teorisinin yapı taşlarıdır. Temsil teorisinin ilk soru ve teoremlerinin çoğu, indirgenemez temsillerin özellikleriyle ilgilidir.

Gruplar arasındaki homomorfizmalarla veya topolojik uzaylar arasındaki sürekli haritalarla ilgilendiğimiz için, G'nin temsilleri arasındaki belirli fonksiyonlarla ilgileniyoruz . Let V ve W, vektör uzayı olabilir ve izin ve temsillerini olmak G ile V ve W sırasıyla. Sonra bir tanımlayan G -linear harita f den V için W doğrusal bir harita olarak V için W olan equivariant etkisi altında , G ; her için, bir g olarak G , . Başka bir deyişle, f'nin G'nin eylemiyle gidip gelmesini istiyoruz . G- doğrusal haritalar, G'nin temsilleri kategorisindeki morfizmlerdir . ${\görüntüleme stili \rho _{V}}$${\görüntüleme stili \rho _{W}}$${\displaystyle \rho _{W}(g)\circ f=f\circ \rho _{V}(g)}$

Schur Lemması açıklayan bir teoremi olan G -linear haritalar iki indirgenemez temsilleri arasında bulunabilir G .

Lemma'nın Beyanı ve Kanıtı

Teorem (Schur's Lemma) : V ve W vektör uzayları olsun; ve izin ve indirgenemeyen temsilleri G ile V ve W sırasıyla. ${\görüntüleme stili \rho _{V}}$${\görüntüleme stili \rho _{W}}$

1. Eğer ve izomorfik değilse, aralarında önemsiz olmayan G- doğrusal haritalar yoktur .${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili W}$
2. Eğer (örneğin, cebirsel olarak kapalı alan üzerinde sonlu boyutlu ); ve ise , o zaman önemsiz olmayan tek G- doğrusal haritaları kimlik ve kimliğin skaler katlarıdır. (Kimliğin bir skaler katı bazen homothety olarak adlandırılır . )${\görüntüleme stili V=W}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \rho _{V}=\rho _{W}}$

Kanıt: varsayalım bir sıfırdan farklı G -linear gelen harita için . Bunu ispatlayacağız ve izomorfuz. Izin çekirdeğini veya boş alanı olmak içinde hepsinden altuzayı içinde kendisi için . (Bir alt uzay olduğunu kontrol etmek kolaydır.) Varsayımı ile olan G her için -linear, içinde ve seçim bölgesi . Ama bunu söylemek , sıfır uzayında olduğunu söylemekle aynı şeydir . Yani G'nin etkisi altında kararlıdır ; bir alt temsildir. Varsayımla indirgenemez olduğundan, sıfır olmalıdır; yani enjektif. ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili W}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili W}$${\görüntüleme stili V'}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili fx=0}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle V',f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))=(\rho _{W}( g))(0)=0}$${\displaystyle f(\rho _{V}(g)(x))=0}$${\görüntüleme stili \rho _{V}(g)(x)}$${\ Displaystyle f:V\sağ ok W}$${\görüntüleme stili V'}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili V'}$${\görüntüleme stili f}$

Özdeş bir argümanla da surjective olduğunu göstereceğiz ; çünkü , biz keyfi seçim için şu sonuca varabiliriz aralığında , gönderir aralığında başka bir yerde ; özellikle imajına gönderir . Aralığında Yani bir alt uzay olduğunu ve etkisi altında ahırda yüzden bir subrepresentation ve, sıfır veya örten olmalıdır. Varsayıma göre sıfır değildir, bu yüzden surjectivedir, bu durumda bir izomorfizmdir. ${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili \rho _{W}(g)}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili \rho _{V}(g)x}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili W'}$${\görüntüleme stili W}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili f}$

Halinde sonlu boyutlu bir cebirsel olarak kapalı alanın üzerine ve aynı gösterimi, bırakıldığında yukarı bir özdeğeridir olmak . (Cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayında her lineer dönüşüm için bir özdeğer vardır.) Let . O zaman if , karşılık gelen bir özvektördür . Bunun bir G- doğrusal haritası olduğu açıktır , çünkü G- doğrusal haritalarının toplamı veya farkı da G- doğrusaldır. Ardından , çekirdeğin bir alt temsil olduğu ve dolayısıyla ya sıfır ya da tümüne eşit olduğu sonucuna varmak için bir haritanın G- doğrusal olduğu gerçeğini kullandığımız yukarıdaki argümana geri döneriz ; sıfır olmadığı için (içerir ) tamamı V olmalıdır ve bu nedenle önemsizdir, yani . ${\görüntüleme stili V=W}$${\ Displaystyle \ lambda }$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle f'=f-\lambda I}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle \lambda ,f'(x)=0}$${\görüntüleme stili f'}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili f'}$${\displaystyle f=\lambda I}$

Modüllerin dilinde formülasyon

Eğer E ve K ikisi basit modül bir halka üzerinde , R daha sonra herhangi bir, homomorfizmi f : M → K arasında R -modüller ya tersi ya da sıfırdır. Özellikle, basit bir modülün endomorfizm halkası bir bölme halkasıdır .

f'nin bir modül homomorfizmi olması koşulu şu anlama gelir:

${\displaystyle f(rm)=rf(m){\text{ tümü için }}m\in M{\text{ ve }}r\R.}$

Bir grubun herhangi bir temsili yana grubu versiyonu, modül versiyonunun özel bir durumdur G eşdeğer üzerinde bir modül olarak görülebilir grubu, halka içinde G .

Schur'un lemması aşağıdaki özel durumda sıklıkla uygulanır. R'nin bir k alanı üzerinde bir cebir olduğunu ve M = N vektör uzayının R'nin basit bir modülü olduğunu varsayalım . O zaman Schur'un lemması, M modülünün endomorfizm halkasının k alanı üzerinde bir bölme cebiri olduğunu söylüyor . Eğer M , sonlu boyutlu olan bu bölme cebri sonlu boyutludur. Eğer k Karmaşık sayıların bir alandır, tek seçenek bu bölünme cebir karmaşık sayılar olmasıdır. Böylece M modülünün endomorfizm halkası "mümkün olduğunca küçüktür". Başka bir deyişle, M'nin R'den gelen tüm dönüşümlerle değişebilen tek doğrusal dönüşümleri , özdeşliğin skaler katlarıdır.

Bu, daha genel olarak, sayılamayan cebirsel olarak kapalı bir alan üzerindeki herhangi bir cebir ve en fazla sayılabilir boyutlu olan herhangi bir basit modül için geçerlidir: tüm dönüşümlerden gelen bu değişmenin tek doğrusal dönüşümleri , kimliğin skaler katlarıdır. ${\görüntüleme stili R}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili R}$

Alan cebirsel olarak kapalı olmadığında, endomorfizm halkasının mümkün olduğu kadar küçük olduğu durum hala özellikle ilgi çekicidir. Bir -cebir üzerindeki basit bir modülün , eğer endomorfizm halkası ile izomorfik ise kesinlikle basit olduğu söylenir . Bu genel olarak alan üzerinde indirgenemez olmaktan daha güçlüdür ve modülün cebirsel kapanışı üzerinde bile indirgenemez olduğunu ima eder . ${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili k}$

Lie grupları ve Lie cebirlerinin temsilleri

Şimdi Schur'un lemmasını, genellikle Lie grupları ve Lie cebirlerinin temsilleri bağlamında belirtildiği gibi tanımlıyoruz. Sonucun üç kısmı var.

İlk olarak, varsayalım ve herhangi alanın üzerine bir Lie grubunun veya Lie cebir indirgenemez temsilleri olduğunu ve bir olduğunu intertwining haritası . O zaman ya sıfırdır ya da bir izomorfizmdir. ${\görüntüleme stili V_{1}}$${\ Displaystyle V_{2}}$${\displaystyle \phi :V_{1}\rightarrow V_{2}}$${\görüntüleme stili\phi }$

İkincisi, eğer cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde bir Lie grubunun veya Lie cebirinin indirgenemez bir temsiliyse ve iç içe geçmiş bir haritaysa, o zaman kimlik haritasının bir skaler katıdır. ${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle \phi :V\sağ ok V}$${\görüntüleme stili\phi }$

Üçüncü olarak, varsayalım ve aşırı bir Lie grubunun veya Lie cebir indirgenemez temsilleri olan cebirsel kapalı alan ve sıfırdan farklı olan intertwining haritalar . Sonra bazı skaler için . ${\görüntüleme stili V_{1}}$${\ Displaystyle V_{2}}$${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}:V_{1}\rightarrow V_{2}}$${\displaystyle \phi _{1}=\lambda \phi _{2}}$${\ Displaystyle \ lambda }$

İkinci ifadenin basit bir sonucu olarak, bir Abelian grubun her karmaşık indirgenemez temsilinin tek boyutlu olduğudur .

Casimir elemanına uygulama

Varsayalım bir Lie cebiri ve bir evrensel zarflama cebir arasında . Cebirsel olarak kapalı bir alanın indirgenemez bir temsili olsun . Evrensel zarflama cebirinin evrensel özelliği , aynı vektör uzayı üzerinde hareket etmenin bir temsiline kadar uzanmasını sağlar . Schur lemmasının ikinci kısmından, eğer merkezine aitse , o zaman kimlik operatörünün bir katı olması gerektiği sonucu çıkar. Karmaşık bir yarıbasit Lie cebiri olduğu durumda , önceki yapının önemli bir örneği, içinde (ikinci dereceden) Casimir öğesi olandır . Bu durumda, nerede , en yüksek ağırlık cinsinden açıkça hesaplanabilen bir sabittir . Casimir elemanının eylemi, yarıbasit Lie cebirlerinin sonlu boyutlu temsilleri için tam indirgenebilirliğin ispatında önemli bir rol oynar. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {Son} (V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\görüntüleme stili\pi }$${\ Displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\görüntüleme stili x}$${\ Displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\görüntüleme stili \pi (x)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\görüntüleme stili x}$ ${\görüntüleme stili C}$${\displaystyle \pi (C)=\lambda _{\pi }I}$${\displaystyle \lambda _{\pi }}$${\görüntüleme stili\pi }$

Ayrıca bkz . Schur tamamlayıcısı .

Basit olmayan modüllere genelleme

Schur'un lemmasının tek modül versiyonu, M modüllerini içeren ve mutlaka basit olmayan genellemeleri kabul eder . Onlar modül-teorik özellikleri arasındaki ilişkileri ifade M ve özellikleri Endomorfizma halkasının içinde M .

Bir modülün endomorfizm halkası yerel bir halka ise güçlü bir şekilde ayrıştırılamaz olduğu söylenir . Sonlu uzunluktaki modüllerin önemli sınıfı için aşağıdaki özellikler eşdeğerdir ( Lam 2001 , §19):

• Bir modül E olduğu ayrıştırılamaz ;
• M kuvvetle ayrıştırılamaz;
• M'nin her endomorfizmi ya sıfır potansiyellidir ya da tersine çevrilebilir.

Genel olarak, Schur'un lemması tersine çevrilemez: Basit olmayan modüller vardır, ancak bunların endomorfizm cebiri bir bölme halkasıdır . Bu tür modüller zorunlu olarak ayrıştırılamazlar ve bu nedenle sonlu bir grubun karmaşık grup halkası gibi yarı basit halkalar üzerinde var olamazlar. Bununla birlikte, tamsayılar halkası üzerinde bile , rasyonel sayılar modülü , özellikle rasyonel sayılar alanı olan bir bölme halkası olan bir endomorfizm halkasına sahiptir. : Alan böler grubunun dizi karakteristik bile grubu halkaları için, örnekler vardır Jacobson radikal ve yansıtmalı kapak arasında tek boyutlu temsili alternatif grup , üç öğe içeren alan üzerinde beş nokta ile ilgili alana sahip endomorfizm halkası olarak üç element ile.

Ayrıca bakınız

• Quillen'ın lemması

Notlar

Referanslar

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999). Soyut Cebir (2. baskı). New York: Wiley. s. 337. ISBN 0-471-36857-1.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Lam, Tsit-Yuen (2001). Değişmez Halkalarda İlk Kurs . Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-0-387-95325-0.
• Sengupta, Ambar (2012). Sonlu grupları temsil etmek: yarı basit bir giriş . New York. doi : 10.1007/978-1-4614-1231-1_8 . ISBN'si 9781461412311. OCLC  769756134 .
• Shtern, AI; Lomonosov, VI (2001) [1994], "Schur lemma" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press