Kısıtlanmış randomizasyon - Restricted randomization
Olarak istatistik , sınırlı randomizasyon meydana deney tasarımı ve bağlamında özellikle randomize deney ve kontrol randomize . Kısıtlı randomizasyon, randomizasyonun teorik faydalarını korurken, deneysel birimlere sezgisel olarak zayıf muamelelerden kaçınılmasına izin verir. Örneğin, bir kontrole kıyasla yeni önerilen bir obezite tedavisinin klinik denemesinde , bir deneyci, yeni tedavinin yalnızca en ağır hastalara tahsis edildiği randomizasyonun sonuçlarından kaçınmak isteyecektir.
Kavram, Frank Yates (1948) ve William J. Youden (1972) tarafından "tasarlanmış deneylerde kötü uzamsal tedavi modellerinden kaçınmanın bir yolu olarak" tanıtıldı .
İç içe geçmiş veri örneği
Her çalışmada 7 monitörlü gofret kullanan bir toplu işlem düşünün. Plan ayrıca 9 sitenin her birinde her bir plaka üzerinde bir yanıt değişkeninin ölçülmesini gerektirir . Örnekleme planının organizasyonu hiyerarşik veya iç içe geçmiş bir yapıya sahiptir: toplu iş akışı en üst düzeydir, ikinci düzey bireysel bir gofret ve üçüncü düzey gofret üzerindeki sahadır.
Toplu çalıştırma başına üretilen toplam veri miktarı 7 · 9 = 63 gözlem olacaktır. Bu verileri analiz etmeye yönelik bir yaklaşım , tüm bu noktaların ortalamasını ve standart sapmalarını hesaplamak ve bu sonuçları her çalışma için yanıtlar olarak kullanmak olacaktır.
Verileri yukarıda önerildiği gibi analiz etmek kesinlikle yanlış değildir, ancak bunu yapmak, aksi takdirde elde edilebilecek bilgileri kaybeder. Örneğin, gofret 1 üzerindeki bölge 1, gofret 2 veya başka herhangi bir gofret üzerindeki alan 1'den fiziksel olarak farklıdır. Aynısı, gofretlerin herhangi birindeki herhangi bir site için de geçerlidir. Benzer şekilde, tur 1'deki plaka 1, çalışma 2'deki plaka 1'den fiziksel olarak farklıdır ve bu böyle devam eder. Bu durumu açıklamak için, sitelerin gofretlerin içine yerleştirildiği, gofretlerin ise çalışmaların içine yerleştirildiği söylenir.
Bu iç içe geçmenin bir sonucu olarak, deneyde meydana gelebilecek randomizasyonla ilgili kısıtlamalar vardır. Bu tür kısıtlı rasgeleleştirme her zaman iç içe geçmiş varyasyon kaynakları üretir. Bu sayfada tartışılan iç içe geçmiş varyasyon veya kısıtlı randomizasyon örnekleri, bölünmüş grafik ve şeritli grafik tasarımlarıdır .
Bu tür bir örnekleme planıyla yapılan bir deneyin amacı, genellikle işlemdeki çalışmalar (veya gruplar) içindeki gofretler ve gofretler üzerindeki alanlardan kaynaklanan değişkenliği azaltmaktır. Bir parti içindeki gofretler ve gofretler üzerindeki alanlar istenmeyen varyasyonların kaynakları haline gelir ve bir araştırmacı , sistemi bu kaynaklar için sağlam hale getirmeye çalışır - başka bir deyişle, böyle bir deneyde gofretler ve alanlar gürültü faktörleri olarak ele alınabilir.
Levhalar ve siteler istenmeyen varyasyon kaynaklarını temsil ettiğinden ve amaçlardan biri bu varyasyon kaynaklarına yönelik süreç duyarlılığını azaltmak olduğundan , veri analizinde gofretleri ve siteleri rastgele etkiler olarak ele almak makul bir yaklaşımdır. Başka bir deyişle, iç içe geçmiş varyasyon, genellikle iç içe geçmiş rastgele efektleri veya iç içe geçmiş gürültü kaynaklarını söylemenin başka bir yoludur. "Wafer" ve "sahalar" faktörleri rastgele etkiler olarak ele alınırsa, varyans tekniklerinin analizi yoluyla her varyasyon kaynağına bağlı bir varyans bileşenini tahmin etmek mümkündür . Varyans bileşenlerinin tahminleri elde edildikten sonra, bir araştırmacı deney altındaki süreçteki en büyük varyasyon kaynağını belirleyebilir ve ayrıca en büyük kaynakla ilişkili olarak diğer varyasyon kaynaklarının büyüklüklerini belirleyebilir.
İç içe geçmiş rastgele efektler
Bir deney veya işlemin iç içe geçmiş varyasyonu varsa, deney veya işlem, çıktısını etkileyen birden çok rastgele hata kaynağına sahiptir . Bir modelde iç içe geçmiş rastgele efektlere sahip olmak, bir modelde iç içe geçmiş varyasyona sahip olmakla aynı şeydir.
Bölünmüş arsa tasarımları
Bölünmüş arsa tasarımları, deney sırasında belirli bir tür kısıtlı rastgele seçim gerçekleştiğinde ortaya çıkar. Basit bir faktöryel deney , deneyin gerçekte gerçekleştirilme şekli nedeniyle bölünmüş grafik tipi bir tasarımla sonuçlanabilir.
Pek çok endüstriyel deneyde, genellikle üç durum meydana gelir:
- Geri kalan faktörlerin değiştirilmesi kolayken bazı ilgili faktörlerin “değiştirilmesi zor” olabilir. Sonuç olarak, deney için işlem kombinasyonlarının çalıştırılma sırası, bu 'değişmesi zor' faktörlerin sıralanmasıyla belirlenir.
- deneysel birimler, belirli bir tedavi kombinasyonundaki bir veya daha fazla faktör için bir parti olarak birlikte işlenir
- Deney üniteleri, aynı tedavi kombinasyonu için, o tedavi kombinasyonu için faktör ayarları sıfırlanmadan, birbiri ardına ayrı ayrı işlenir.
Bölünmüş arsa deneysel örnekler
Yukarıdaki üç durumdan biri altında çalıştırılan bir deney, genellikle bölünmüş grafik tipi bir tasarımla sonuçlanır. Bakır şeritler üzerindeki alüminyumun (susuz) elektrokaplamasını incelemek için bir deney düşünün. Üç ilgi faktörü şunlardır: akım (A); çözelti sıcaklığı (T); ve kaplama maddesinin (S) çözelti konsantrasyonu. Kaplama oranı ölçülen tepkidir. Deney için toplam 16 bakır şerit mevcuttur. Çalıştırılacak tedavi kombinasyonları (ortogonal olarak ölçeklendirilmiş) aşağıda standart sırayla listelenmiştir (yani, randomize edilmemişlerdir):
| Akım | Sıcaklık | Konsantrasyon |
|---|---|---|
| −1 | −1 | −1 |
| −1 | −1 | +1 |
| −1 | +1 | −1 |
| −1 | +1 | +1 |
| +1 | −1 | −1 |
| +1 | −1 | +1 |
| +1 | +1 | −1 |
| +1 | +1 | +1 |
Örnek: Değişmesi zor bazı faktörler
Deneyi, yukarıda listelenen ilk koşul altında, kaplama maddesinin (S) faktör çözelti konsantrasyonunun değişmesi zor olacak şekilde çalıştırmayı düşünün. Bu faktörün değiştirilmesi zor olduğundan, deneyci tedavi kombinasyonlarını rastgele hale getirmek ister, böylece çözelti konsantrasyon faktöründe minimum sayıda değişiklik olur. Diğer bir deyişle, muamele çalışmalarının rasgele hale getirilmesi, çözelti konsantrasyon faktörünün seviyesiyle bir şekilde sınırlandırılır.
Sonuç olarak, tedavi kombinasyonları, konsantrasyonun bir seviyesine (~ 1) karşılık gelen tedavi çalışmaları ilk önce yürütülecek şekilde rastgele hale getirilebilir. Her bakır şerit ayrı ayrı kaplanır, yani belirli bir işlem kombinasyonu için çözeltiye bir seferde yalnızca bir şerit yerleştirilir. Düşük çözelti konsantrasyonu seviyesindeki dört çalışma tamamlandıktan sonra, çözelti yüksek konsantrasyon seviyesine (1) değiştirilir ve deneyin kalan dört çalışması gerçekleştirilir (burada yine her şerit ayrı ayrı kaplanır).
Deneyin tam bir kopyası tamamlandıktan sonra, konsantrasyonu değiştirmeden ve kalan dört şeridi işlemeden önce, belirli bir çözelti konsantrasyonu seviyesi için işlenmiş dört bakır şerit seti ile ikinci bir kopya gerçekleştirilir. Kalan iki faktör için seviyelerin hala rastgele hale getirilebileceğini unutmayın. Ek olarak, replikasyon çalışmalarında ilk çalıştırılan konsantrasyon seviyesi de rastgele hale getirilebilir.
Deneyi bu şekilde çalıştırmak, bölünmüş bir arsa tasarımı ile sonuçlanır . Çözelti konsantrasyonu, tüm çizim faktörü olarak bilinir ve alt grafik faktörleri , mevcut ve çözelti sıcaklığıdır.
Bölünmüş arsa tasarımı, birden fazla boyutta deneysel birime sahiptir . Bu deneyde, bir boyutlu deney birimi, ayrı bir bakır şerittir. Ayrı şeritlere uygulanan muameleler veya faktörler, çözelti sıcaklığı ve akımıdır (bu faktörler, çözeltiye her yeni şerit yerleştirildiğinde değiştirildi). Diğer veya daha büyük boyutlu deney birimi, dört bakır şeritten oluşan bir settir. Dört şeritlik bir sete uygulanan işlem veya faktör, çözelti konsantrasyonudur (bu faktör, dört şerit işlendikten sonra değiştirilmiştir). Daha küçük boyutlu deneysel birim, alt plan deney birimi olarak adlandırılırken, daha büyük deneysel birim, tüm çizim birimi olarak adlandırılır .
Bu deney için 16 alt plan deney birimi vardır. Çözelti sıcaklığı ve akımı, bu deneydeki alt alan faktörleridir. Bu deneyde dört tam arsa deney birimi vardır. Çözelti konsantrasyonu, bu deneydeki tam grafik faktörüdür. İki boyutta deney birimi olduğu için, modelde iki hata terimi vardır, biri tam arsa hatası veya tam arsa deneysel birimine karşılık gelir ve diğeri alt grafik hatası veya alt grafik deney birimine karşılık gelir.
ANOVA şöyle bu deney için tablo, kısmen görünecektir:
| Kaynak | DF |
|---|---|
| Çoğaltma | 1 |
| Konsantrasyon | 1 |
| Hata (tam arsa) = Rep × Conc | 1 |
| Sıcaklık | 1 |
| Rep × Sıcaklık | 1 |
| Akım | 1 |
| Rep × Akım | 1 |
| Sıcaklık × Konsantrasyon | 1 |
| Rep × Sıcaklık × Konsantrasyon | 1 |
| Sıcaklık × Akım | 1 |
| Rep × Sıcaklık × Akım | 1 |
| Güncel × Konsantrasyon | 1 |
| Rep × Güncel × Konsantrasyon | 1 |
| Sıcaklık × Akım × Konsantrasyon | 1 |
| Hata (Alt Çizim) = Rep × Sıcaklık × Geçerli × Konsantrasyon | 1 |
İlk üç kaynak tam arsa seviyesinden, sonraki 12 kaynak ise alt plan kısmından. Bir normal olasılık grafiği 12 subplot vadeli tahminlerinin bakmak için kullanılabilecek istatistiksel olarak anlamlı terimler.
Örnek: toplu işlem
Deneyi, çözelti içine bir seferde dört bakır şeridin yerleştirildiği yukarıda listelenen ikinci koşul (yani bir toplu işlem) altında çalıştırmayı düşünün. Çözelti içindeki tek bir şeride belirli bir seviyede akım uygulanabilir. Aynı 16 tedavi kombinasyonu (bir replike edilmiş 2 3 faktöriyel), ilk senaryoda çalıştırıldığı gibi çalıştırılır. Bununla birlikte, deneyin gerçekleştirilme şekli farklı olacaktır. Çözelti sıcaklığı ve çözelti konsantrasyonunun dört işlem kombinasyonu vardır: (−1, −1), (−1, 1), (1, −1), (1, 1). Deneyci, rasgele olarak bu dört tedaviden birini yerleştirmek için seçer. Çözeltiye dört bakır şerit yerleştirilir. Dört şeritten ikisi rastgele olarak düşük akım seviyesine atanmıştır. Kalan iki şerit, yüksek akım seviyesine atanır. Kaplama gerçekleştirilir ve yanıt ölçülür. Sıcaklık ve konsantrasyonun ikinci bir işlem kombinasyonu seçilir ve aynı prosedür izlenir. Bu, dört sıcaklık / konsantrasyon kombinasyonunun tümü için yapılır.
Deneyi bu şekilde çalıştırmak aynı zamanda, tüm grafik faktörlerinin artık çözelti konsantrasyonu ve çözelti sıcaklığı olduğu ve alt grafik faktörünün güncel olduğu bir bölünmüş arsa tasarımıyla sonuçlanır.
Bu deneyde, bir boyutlu deney birimi yine tek bir bakır şerittir. Ayrı ayrı şeritlere uygulanan işlem veya faktör günceldir (bu faktör, çözelti içinde farklı bir şerit için her seferinde değiştirilmiştir). Diğer veya daha büyük boyutlu deney birimi yine dört bakır şeritten oluşan bir settir. Dört şeritlik bir sete uygulanan işlemler veya faktörler, çözelti konsantrasyonu ve çözelti sıcaklığıdır (bu faktörler, dört şerit işlendikten sonra değiştirildi).
Daha küçük boyutlu deney birimi yine alt plan deney birimi olarak adlandırılır. Bu deney için 16 alt plan deney birimi vardır. Akım, bu deneydeki alt grafik faktörüdür.
Daha büyük boyutlu deney birimi, tam arsa deneysel birimdir. Bu deneyde dört tam arsa deney birimi vardır ve çözelti konsantrasyonu ve çözelti sıcaklığı bu deneydeki tüm grafik faktörleridir.
İki boyutta deneysel birim vardır ve modelde iki hata terimi vardır: biri tam arsa hatası veya tam arsa deneysel birimine karşılık gelen, diğeri ise alt çizim hatası veya alt plan deney birimine karşılık gelen.
Bu deney için ANOVA kısmen aşağıdaki gibidir:
| Kaynak | DF |
|---|---|
| Konsantrasyon | 1 |
| Sıcaklık | 1 |
| Hata (tüm arsa) = Conc × Temp | 1 |
| Akım | 1 |
| Conc × Current | 1 |
| Sıcaklık × Akım | 1 |
| Conc × Temp × Current | 1 |
| Hata (alt alan) | 8 |
İlk üç kaynak tam arsa seviyesinden gelir ve sonraki 5 kaynak alt plan seviyesinden gelir. Alt grafik hata terimi için 8 derece serbestlik olduğundan , bu MSE akımı içeren her etkiyi test etmek için kullanılabilir.
Örnek: ayrı ayrı işlenen deneysel birimler
Denemeyi yukarıda listelenen üçüncü senaryo altında çalıştırmayı düşünün. Çözeltide bir seferde yalnızca bir bakır şerit vardır. Ancak, biri düşük akımda diğeri yüksek akımda olmak üzere iki şerit, aynı sıcaklık ve konsantrasyon ayarında birbiri ardına işlenir. İki şerit işlendikten sonra, konsantrasyon değiştirilir ve sıcaklık başka bir kombinasyona sıfırlanır. Bu sıcaklık ve konsantrasyon ayarı altında iki şerit birbiri ardına tekrar işlenir. Bu işlem 16 bakır şeridin tamamı işlenene kadar devam eder.
Deneyi bu şekilde çalıştırmak, aynı zamanda, tüm grafik faktörlerinin yine çözelti konsantrasyonu ve çözelti sıcaklığı olduğu ve alt grafik faktörünün güncel olduğu bir bölünmüş arsa tasarımıyla sonuçlanır. Bu deneyde, bir boyutlu deney birimi, ayrı bir bakır şerittir. Ayrı ayrı şeritlere uygulanan işlem veya faktör günceldir (bu faktör, çözelti içinde farklı bir şerit için her seferinde değiştirilmiştir). Diğer veya daha büyük boyutlu deney birimi, iki bakır şeritten oluşan bir settir. Bir çift iki şeride uygulanan muameleler veya faktörler, çözelti konsantrasyonu ve çözelti sıcaklığıdır (bu faktörler, iki şerit işlendikten sonra değiştirildi). Daha küçük boyutlu deney birimi, alt plan deney birimi olarak adlandırılır.
Bu deney için 16 alt plan deney birimi vardır. Akım, deneydeki alt grafik faktörüdür. Bu deneyde sekiz tam arsa deney birimi vardır. Çözelti konsantrasyonu ve çözelti sıcaklığı tüm grafik faktörleridir. Modelde iki hata terimi vardır, biri tam arsa hatası veya tam arsa deneysel birimine karşılık gelen ve diğeri de alt plan hatası veya alt grafik deney birimine karşılık gelir.
Bu (üçüncü) yaklaşım için ANOVA kısmen aşağıdaki gibidir:
| Kaynak | DF |
|---|---|
| Konsantrasyon | 1 |
| Sıcaklık | 1 |
| Conc * Temp | 1 |
| Hata (tüm arsa) | 4 |
| Akım | 1 |
| Conc × Current | 1 |
| Sıcaklık × Akım | 1 |
| Conc × Temp × Current | 1 |
| Hata (alt alan) | 4 |
İlk dört terim, tüm arsa analizinden gelir ve sonraki 5 terim, alt grafik analizinden gelir. Her biri 4 serbestlik derecesine dayanan hem tüm grafik hem de alt grafik etkileri için ayrı hata terimlerine sahip olduğumuzu unutmayın.
Bu üç senaryodan da görülebileceği gibi, basit faktöryel tasarımlara karşı bölünmüş arsa tasarımlarındaki en büyük farklardan biri , deneydeki farklı boyutlardaki deneysel birimlerin sayısıdır. Bölünmüş plot tasarımları, birden fazla boyutta deney birimine, yani birden fazla hata terimine sahiptir. Bu tasarımlar farklı boyutlarda deneysel birimler ve farklı varyanslar içerdiğinden, çeşitli ortalama karşılaştırmalarının standart hataları bir veya daha fazla varyansı içerir. Bölünmüş plan tasarımı için uygun modelin belirlenmesi, deneysel birimin her bir boyutunu tanımlayabilmeyi içerir. Deneysel birim tasarımı yapısına göre bu şekilde tanımlanır (örneğin, bir tamamen rasgele bir tasarımla bir karşı randomize tam blok tasarımdır ve örneğin tedavi yapısı (tam 2) 3 faktöriyel, bir çözünürlük V yarım fraksiyonu, bir iki- kontrol grubu ile yol tedavi yapısı , vb.). Birden fazla boyutlu deney birimine sahip olmanın bir sonucu olarak, bölünmüş arsa tasarımlarını analiz etmek için kullanılan uygun model karma bir modeldir .
Bir deneyden elde edilen veriler modelde kullanılan tek bir hata terimi ile analiz edilirse, sonuçlardan yanıltıcı ve geçersiz sonuçlar çıkarılabilir.
Şerit arsa tasarımları
Bölünmüş arsa tasarımına benzer şekilde, bir şerit arsa tasarımı , deney sırasında bir tür sınırlı rasgeleleştirme meydana geldiğinde ortaya çıkabilir. Basit bir faktöriyel tasarım, deneyin nasıl yapıldığına bağlı olarak bir şerit arsa tasarımıyla sonuçlanabilir. Strip-plot tasarımları genellikle, her işlem adımının bir toplu işlem olduğu iki veya daha fazla işlem adımı üzerinden gerçekleştirilen deneylerden kaynaklanır, yani deneyin her işlem kombinasyonunun tamamlanması, her işlemde birlikte işlenen deneysel birimlerle birden fazla işlem adımı gerektirir. adım. Bölünmüş arsa tasarımında olduğu gibi, şerit arsa tasarımları, deneydeki rasgeleleştirme bir şekilde kısıtlandığında ortaya çıkar. Strip-plot tasarımlarında ortaya çıkan kısıtlı randomizasyonun bir sonucu olarak, birden fazla boyutta deneysel birim vardır. Bu nedenle, tasarımda ilgili faktörleri test etmek için kullanılan farklı hata terimleri veya farklı hata varyansları vardır. Geleneksel bir şerit plan tasarımında üç boyutta deney birimi vardır.
Strip-plot örneği: iki adım ve üç faktör değişkeni
Yarı iletken endüstrisinden aşağıdaki örneği düşünün. Bir deney, bir implant aşaması ve bir tavlama aşaması gerektirir. Hem tavlama hem de implant aşamalarında test edilecek üç faktör vardır. İmplant işlemi, bir grupta 12 plaka barındırır ve belirli koşullar altında tek bir plaka implante etmek pratik değildir ve bunu yapmak implanterin ekonomik kullanımını temsil etmez. Tavlama fırını 100 gofrete kadar işleyebilir.
İmplant aşamasındaki üç faktör için iki seviyeli bir faktöryel tasarım için ayarlar (A, B, C) gösterilir ve anneal adımındaki üç faktör için iki seviyeli faktör tasarımı belirtilir (D, E, F ). Ayrıca , implant faktörleri ve tavlama faktörleri arasındaki etkileşim etkileri de mevcuttur . Bu nedenle, bu deney, her biri etkilerin önemini tahmin etmek için benzersiz bir hata terimine sahip olan üç boyutta deneysel birim içerir.
Yukarıdaki örnekteki deneysel birimlerin her birine gerçek fiziksel anlam vermek için, implant ve tavlama adımlarının her bir kombinasyonunu ayrı bir gofret olarak düşünün. İlk olarak sekiz gofretlik bir parti implant aşamasından geçer. A, B ve C faktörlerinde tedavi kombinasyonu 3, ilk implant tedavisi çalışmasıdır. Bu implant tedavisi aynı anda sekiz gofretin tamamına uygulanır. İlk implant tedavisi bittikten sonra, başka bir sekiz gofret seti, faktör A, B ve C'nin tedavi kombinasyonu 5 ile implante edilir. Bu, sekiz gofretlik son parti, A, B ve faktörlerin 6 tedavi kombinasyonu ile implante edilene kadar devam eder. C. İmplant faktörlerinin sekiz tedavi kombinasyonunun tümü çalıştırıldıktan sonra, tavlama adımı başlar. Çalıştırılacak ilk tavlama tedavisi kombinasyonu, D, E ve F faktörlerinin tedavi kombinasyonudur 5. Bu tavlama tedavisi kombinasyonu, sekiz gofret setine uygulanır ve bu sekiz gofretin her biri, sekiz implant tedavi kombinasyonundan birinden gelir. Bu ilk gofret partisi tavlandıktan sonra, ikinci tavlama işlemi, sekiz gofretlik ikinci bir partiye uygulanır ve bu sekiz gofret, sekiz implant tedavi kombinasyonunun her birinden gelir. Bu, sekiz gofretlik son parti D, E ve F faktörlerinin belirli bir kombinasyonu ile implante edilene kadar devam eder.
Deneyi bu şekilde çalıştırmak, üç boyutta deneysel birim içeren bir şerit plan tasarımıyla sonuçlanır. Birlikte implante edilen sekiz gofret seti, A, B ve C implant faktörleri ve bunların tüm etkileşimleri için deneysel birimdir. İmplant faktörleri için sekiz deneysel birim vardır. Farklı bir sekiz gofret seti birlikte tavlanır. Bu farklı sekiz gofret seti, ikinci boyut deneysel birimdir ve D, E ve F tavlama faktörleri ve bunların tüm etkileşimleri için deneysel birimdir. Üçüncü boyuttaki deney birimi, tek bir gofrettir. Bu, implant faktörleri ve tavlama faktörleri arasındaki tüm etkileşim etkileri için deneysel birimdir.
Aslında, şerit plan tasarımının yukarıdaki açıklaması , bu deneyin bir bloğunu veya bir kopyasını temsil etmektedir . Deney replikasyon içermiyorsa ve implant modeli yalnızca ana etkileri ve iki faktörlü etkileşimleri içeriyorsa , üç faktörlü etkileşim terimi A * B * C (1 serbestlik derecesi), içindeki etkilerin tahmini için hata terimini sağlar. implant deney birimi. Tavlama deney birimi için benzer bir modeli çağırmak, tavlama deney birimi içindeki etkiler için hata terimi (1 serbestlik derecesi) için üç faktörlü etkileşim terimi D * E * F üretir.
Ayrıca bakınız
- Hiyerarşik doğrusal modelleme
- Karışık tasarım varyans analizi
- Çok düzeyli model
- İç içe geçmiş durum kontrol çalışması
Referanslar
- "İç içe geçmiş varyasyonu (kısıtlı rasgeleleştirme) nasıl hesaba katabilirim?" . (ABD) Ulusal Standartlar ve Teknoloji Enstitüsü: Bilgi Teknolojisi Laboratuvarı . Erişim tarihi: Mart 26, 2012 .
daha fazla okuma
Bu tasarımların ve uygun analiz prosedürlerinin daha ayrıntılı bir tartışması için, bakınız:
- Milliken, GA; Johnson, DE (1984). Dağınık Verilerin Analizi . 1 . New York: Van Nostrand Reinhold.
- Miller, A. (1997). "Kesirli Faktoriyellerin Strip-Plot Yapılandırması". Teknometri . 39 (2): 153–161. doi : 10.2307 / 1270903 . JSTOR 1270903 .
Dış bağlantılar
Bu makale , Ulusal Standartlar ve Teknoloji Enstitüsü web sitesindeki kamu malı materyalleri içermektedir : https://www.nist.gov .