Faktör deneyi - Factorial experiment
Olarak istatistik , bir tam faktöriyel bir deney , tasarımı iki ya da daha fazla faktöre olan ayrık olası değerler ya da "seviyeleri", ve her oluşan bir deney Deney üniteleri tüm bu faktörlerin arasında, bu seviyeleri tüm olası kombinasyonları üstlenirler. Tam faktöryel tasarım , tamamen çapraz tasarım olarak da adlandırılabilir . Böyle bir deney, araştırmacının her faktörün yanıt değişkeni üzerindeki etkisini ve ayrıca faktörler arasındaki etkileşimlerin yanıt değişkeni üzerindeki etkilerini incelemesine izin verir .
Faktöriyel deneylerin büyük çoğunluğu için, her faktörün yalnızca iki seviyesi vardır. Örneğin, her biri iki seviye alan iki faktörle, bir faktöriyel deney toplamda dört tedavi kombinasyonuna sahip olacaktır ve genellikle 2 × 2 faktöriyel tasarım olarak adlandırılır .
Tam faktöryel tasarımdaki kombinasyonların sayısı lojistik olarak uygulanabilir olamayacak kadar yüksekse , bazı olası kombinasyonların (genellikle en az yarısının) ihmal edildiği kesirli bir faktöriyel tasarım yapılabilir.
Tarih
Faktöriyel tasarımlar ile 19. yüzyılda kullanılmıştır John Bennet Lawes ve Joseph Henry Gilbert ait Rothamsted Deney İstasyonu .
Ronald Fisher 1926'da "karmaşık" tasarımların (faktöryel tasarımlar gibi) bir seferde bir faktör üzerinde çalışmaktan daha verimli olduğunu savundu. Fisher şöyle yazdı:
"Saha denemeleriyle bağlantılı olarak hiçbir aforizma, Nature'a her seferinde birkaç soru veya ideal olarak bir soru sormamız gerektiğinden daha sık tekrarlanmaz. Yazar, bu görüşün tamamen yanlış olduğuna ikna olmuştur."
Doğanın, "mantıklı ve dikkatlice düşünülmüş bir ankete" en iyi şekilde yanıt vereceğini öne sürüyor. Faktöriyel bir tasarım, birkaç faktörün etkisinin ve hatta aralarındaki etkileşimlerin, etkilerden herhangi birini tek başına aynı doğruluk derecesiyle belirlemek için gerekli olan aynı sayıda denemeyle belirlenmesine izin verir.
Frank Yates , Yates analizi ile özellikle tasarımların analizinde önemli katkılarda bulundu .
"Faktöriyel" terimi, Fisher'ın Deneylerin Tasarımı adlı kitabında kullandığı 1935'ten önce baskıda kullanılmamış olabilir .
Faktöriyel deneylerin avantajları
Birçok kişi yalnızca tek bir faktörün veya değişkenin etkisini inceler. Bu tür bir seferde tek faktör (OFAT) deneyleriyle karşılaştırıldığında, faktöriyel deneyler çeşitli avantajlar sunar
- Faktör tasarımları OFAT deneylerinden daha verimlidir. Benzer veya daha düşük maliyetle daha fazla bilgi sağlarlar. Optimal koşulları OFAT deneylerinden daha hızlı bulabilirler.
- Faktör tasarımları, ek faktörlerin hiçbir ek maliyet olmaksızın incelenmesine izin verir.
- Bir faktörün etkisi başka bir faktörün farklı seviyeleri için farklı olduğunda, bir OFAT deney tasarımı ile tespit edilemez. Bu tür etkileşimleri tespit etmek için faktör tasarımları gereklidir . Etkileşimler mevcut olduğunda OFAT kullanımı, tepkinin faktörlerle nasıl değiştiğine dair ciddi yanlış anlaşılmalara yol açabilir.
- Faktör tasarımları, bir faktörün etkilerinin diğer faktörlerin çeşitli düzeylerinde tahmin edilmesine izin vererek, bir dizi deneysel koşulda geçerli olan sonuçlar ortaya çıkarır.
Faktöriyel denemelerin avantajlarına örnek
İstatistikçi George Box , Neredeyse Her Şeyi İyileştirmek: Fikirler ve Denemeler adlı kitabında faktöriyel deneylerin faydalarına dair birçok örnek veriyor. İşte burada. Rulman üreticisi SKF'nin mühendisleri, daha ucuz bir "kafes" tasarımına geçmenin rulman ömrünü etkileyip etkilemeyeceğini öğrenmek istedi. Mühendisler, bir istatistikçi olan Christer Hellstrand'dan deneyin tasarlanması için yardım istedi.
Box aşağıdakileri bildirir. "Sonuçlar hızlandırılmış bir ömür testi ile değerlendirildi. ... Çalışmalar pahalıydı çünkü gerçek bir üretim hattında yapılması gerekiyordu ve deneyciler standart kafesle dört, değiştirilmiş kafesle dört çalışma yapmayı planlıyorlardı. Christer sordu mu? Test etmek istedikleri başka faktörler de vardı. Var dediler, ancak ek çalıştırmalar yapmanın bütçelerini aşacağını söylediler. Christer onlara iki ek faktörü "ücretsiz" olarak nasıl test edebileceklerini gösterdi - çalıştırma sayısını artırmadan ve azaltmadan Kafes etkisi tahmininin doğruluğu. 2 × 2 × 2 faktöriyel tasarım olarak adlandırılan bu düzenlemede, üç faktörün her biri iki seviyede çalıştırılır ve sekiz olası kombinasyonun tümü dahil edilir. Çeşitli kombinasyonlar uygun şekilde şu şekilde gösterilebilir: bir küpün köşeleri ... "" Her durumda, standart koşul bir eksi işaretiyle ve değiştirilen koşul bir artı işaretiyle gösterilir. Değişen faktörler, ısıl işlem, dış halka oskülasyonu ve kafes tasarımı. Rakamlar, yatakların göreceli ömür uzunluklarını gösterir. [Küp grafiğine] bakarsanız, kafes tasarımı seçiminin çok fazla fark yaratmadığını görebilirsiniz. … Ancak, kafes tasarımı için sayı çiftlerinin ortalamasını alırsanız, diğer iki faktörün ne yaptığını gösteren [aşağıdaki tabloyu] elde edersiniz. … Bu özel uygulamada, iki faktör (ler) dış halka oskülasyonu ve iç halka ısıl işlemlerinin birlikte artırılması durumunda bir rulmanın ömrünün beş kat artırılabileceği olağanüstü bir keşfe yol açtı. "
| Salınım - | Salınım + | |
|---|---|---|
| Isı - | 18 | 23 |
| Isı + | 21 | 106 |
"Bunun gibi rulmanların onlarca yıldır yapıldığını hatırlamak, bu kadar önemli bir gelişmeyi keşfetmenin bu kadar uzun sürmesi ilk başta şaşırtıcıdır. Muhtemel bir açıklama, çoğu mühendisin yakın zamana kadar sadece bir faktörü kullanmasıdır. bir zaman deneyi, etkileşim etkileri kaçırıldı. "
Misal
En basit faktöriyel deney, iki faktörün her biri için iki düzey içerir. Bir mühendisin, A ve B olmak üzere iki farklı motorun her biri tarafından kullanılan, 2000 veya 3000 RPM olmak üzere iki farklı hızda çalışan toplam gücü incelemek istediğini varsayalım. Faktöriyel deney dört deneysel birimden oluşacaktır: 2000 RPM'de motor A, 2000 RPM'de motor B, 3000 RPM'de motor A ve 3000 RPM'de motor B. Her faktörden seçilen tek bir seviyenin her kombinasyonu bir kez mevcuttur.
Bu deney 2 örneğidir 2 bu iki faktör (güç veya üst) veya #levels her biri için iki seviye (baz) dikkate için böyle isimlendirilen (ya da 2 X 2) faktöriyel deney, #factors 2 üreten 2 = 4 faktöryel puan.
Tasarımlar birçok bağımsız değişken içerebilir. Başka bir örnek olarak, üç girdi değişkeninin etkileri, bir küpün köşeleri olarak gösterilen sekiz deneysel koşulda değerlendirilebilir.
Bu, amaçlanan amacına ve mevcut kaynaklara bağlı olarak çoğaltma ile veya çoğaltma olmadan gerçekleştirilebilir. Üç bağımsız değişkenin bağımlı değişken ve olası etkileşimler üzerindeki etkilerini sağlayacaktır.
Gösterim
| Bir | B | |
|---|---|---|
| (1) | - | - |
| a | + | - |
| b | - | + |
| ab | + | + |
Faktöriyel deneyleri belirtmek için kullanılan gösterim, birçok bilgiyi aktarır. Bir tasarım 2 3 faktöriyel olarak gösterildiğinde , bu faktör sayısını (3) tanımlar; her faktörün kaç seviyesi vardır (2); ve tasarımda kaç deneysel koşul olduğu (2 3 = 8). Benzer şekilde, bir 2 5 tasarımının her biri iki seviyeli ve 2 5 = 32 deneysel koşulu olan beş faktörü vardır . Faktör deneyleri, farklı seviyelerde faktörleri içerebilir. Bir 2 4 3 tasarımının dördü iki seviyeli ve biri üç seviyeli olmak üzere beş faktörü vardır ve 16 × 3 = 48 deneysel koşula sahiptir.
Yerden tasarruf etmek için, iki seviyeli bir faktöryel deneydeki noktalar genellikle artı ve eksi işaretleri dizileriyle kısaltılır. Dizeler, faktör kadar çok simgeye sahiptir ve değerleri, her faktörün düzeyini belirler: geleneksel olarak, birinci (veya düşük) düzey ve ikinci (veya yüksek) düzey için. Bu deneyde noktaları böylece olarak temsil edilebilir , , ve .
Faktöriyel noktalar ayrıca (1), a, b ve ab ile kısaltılabilir; burada bir harfin varlığı, belirtilen faktörün yüksek (veya ikinci) seviyesinde olduğunu ve bir harfin olmaması, belirtilen faktörün olduğunu gösterir. düşük (veya birinci) seviyesindedir (örneğin, "a", faktör A'nın yüksek ayarında olduğunu, diğer tüm faktörler ise düşük (veya ilk) ayarlarında olduğunu gösterir). (1), tüm faktörlerin en düşük (veya ilk) değerlerinde olduğunu belirtmek için kullanılır.
Uygulama
İkiden fazla faktör için, 2 k- 1 faktöriyel deneyden, 2 k- 1 deneyini tekrarlayarak, ilk kopyayı yeni faktörün ilk (veya düşük) seviyesine atayarak, 2 k faktöriyel deney genellikle yinelemeli olarak tasarlanabilir. ve ikinci, ikinci (veya yüksek) seviyeye kopyalanır. Bu çerçeve, örneğin , üç seviyeli faktör için üç kopya tasarlamak, vb . Şeklinde genelleştirilebilir .
Faktöriyel bir deney, deneysel hatanın iki şekilde tahmin edilmesine izin verir . Deney kopyalanabilir veya etkilerin seyrekliği ilkesinden sıklıkla yararlanılabilir. Çoğaltma, küçük deneyler için daha yaygındır ve deneysel hatayı değerlendirmenin çok güvenilir bir yoludur. Faktör sayısı fazla olduğunda (tipik olarak yaklaşık 5 faktörden fazla, ancak bu uygulamaya göre değişir), tasarımın kopyalanması operasyonel olarak zor hale gelebilir. Bu durumlarda, tasarımın yalnızca tek bir kopyasını çalıştırmak ve belirli bir düzenden daha fazla faktör etkileşimlerinin (örneğin, üç veya daha fazla faktör arasında) ihmal edilebilir olduğunu varsaymak yaygındır. Bu varsayıma göre, bu tür yüksek dereceli etkileşimlerin tahminleri, tam bir sıfırın tahminleridir, dolayısıyla gerçekten de deneysel bir hata tahminidir.
Birçok faktör olduğunda, çoğaltma olmasa bile birçok deneysel çalıştırma gerekli olacaktır. Örneğin, iki düzeyde 10 faktörle deneme, her biri 2 10 = 1024 kombinasyon üretir . Bir noktada bu, yüksek maliyet veya yetersiz kaynaklar nedeniyle imkansız hale gelir. Bu durumda, kesirli faktöryel tasarımlar kullanılabilir.
Herhangi bir istatistiksel deneyde olduğu gibi, bir faktöryel deneydeki deneysel çalışmalar, önyargının deneysel sonuçlar üzerindeki etkisini azaltmak için rastgele hale getirilmelidir . Uygulamada, bu büyük bir operasyonel zorluk olabilir.
Faktör deneyleri, her faktörün ikiden fazla seviyesi olduğunda kullanılabilir. Bununla birlikte, üç seviyeli (veya daha fazla) faktöriyel tasarımlar için gereken deneysel çalıştırma sayısı, iki seviyeli muadillerinden önemli ölçüde daha fazla olacaktır. Bu nedenle, bir araştırmacı ikiden fazla seviyeyi değerlendirmek isterse faktör tasarımları daha az çekicidir.
Analiz
Faktöriyel bir deney, ANOVA veya regresyon analizi kullanılarak analiz edilebilir . Bir "A" faktörünün ana etkisini hesaplamak için, A'nın düşük (veya birinci) seviyesinde olduğu tüm deneysel çalışmaların ortalama yanıtını, A'nın yüksek (veya ikinci) olduğu tüm deneysel çalışmaların ortalama yanıtından çıkarın. ) seviyesi.
Faktöriyel deneyler için diğer yararlı keşif analizi araçları arasında ana etki grafikleri, etkileşim grafikleri , Pareto grafikleri ve tahmini etkilerin normal bir olasılık grafiği bulunur.
Faktörler sürekli olduğunda, iki seviyeli faktöriyel tasarımlar etkilerin doğrusal olduğunu varsayar . Bir ederse kuadratik etkisi faktör için beklenen, daha karmaşık deney böyle bir şekilde kullanılması gerektiğini , merkezi kompozit tasarım . İkinci dereceden etkilere sahip olabilecek faktörlerin optimizasyonu, yanıt yüzeyi metodolojisinin birincil hedefidir .
Analiz örneği
Montgomery, faktöriyel bir deneyin analizine ilişkin aşağıdaki örneği verir:
Bir mühendis, bir kimyasal üretmek için bir işlemin filtrasyon hızını (çıktı) artırmak ve işlemde kullanılan formaldehit miktarını azaltmak ister. Formaldehidi azaltmaya yönelik önceki girişimler, filtrasyon oranını düşürmüştür. Mevcut filtreleme hızı saatte 75 galondur. Dört faktör dikkate alınır: sıcaklık (A), basınç (B), formaldehit konsantrasyonu (C) ve karıştırma hızı (D). Dört faktörün her biri iki seviyede test edilecektir.
Bundan sonra, eksi (-) ve artı (+) işaretleri, faktörün sırasıyla düşük veya yüksek seviyede çalıştırıldığını gösterecektir.
| Bir | B | C | D | Filtrasyon hızı |
|---|---|---|---|---|
| - | - | - | - | 45 |
| + | - | - | - | 71 |
| - | + | - | - | 48 |
| + | + | - | - | 65 |
| - | - | + | - | 68 |
| + | - | + | - | 60 |
| - | + | + | - | 80 |
| + | + | + | - | 65 |
| - | - | - | + | 43 |
| + | - | - | + | 100 |
| - | + | - | + | 45 |
| + | + | - | + | 104 |
| - | - | + | + | 75 |
| + | - | + | + | 86 |
| - | + | + | + | 70 |
| + | + | + | + | 96 |
Her faktör için düşük (-) ve yüksek (+) ayarlar için filtreleme oranlarını gösteren ana etkilerin grafiği.
Belirli bir faktör çifti için dört olası düzey kombinasyonunun her birinde ortalama filtrasyon oranını gösteren etkileşim etkilerinin grafiği.
A: C etkileşim grafiğindeki paralel olmayan çizgiler, faktör A'nın etkisinin faktör C düzeyine bağlı olduğunu gösterir. A: D etkileşimi için benzer sonuçlar geçerlidir. Grafikler, faktör B'nin filtreleme hızı üzerinde çok az etkiye sahip olduğunu göstermektedir. Varyans analizi (ANOVA) her 4 faktör ve aralarında tüm olası etkileşim açısından da dahil olmak üzere, aşağıdaki tabloda gösterilmiştir katsayı tahminleri elde edilir.
| Katsayılar | Tahmin |
|---|---|
| Tutmak | 70.063 |
| Bir | 10.813 |
| B | 1.563 |
| C | 4.938 |
| D | 7.313 |
| A: B | 0.063 |
| AC | 9,063 |
| M.Ö | 1.188 |
| A: D | 8.313 |
| B: D | 0,188 |
| CD | 0,563 |
| ABC | 0.938 |
| A: B: D | 2.063 |
| A: C: D | 0,813 |
| B: C: D | −1.313 |
| A: B: C: D | 0.688 |
16 gözlem ve 16 katsayı olduğu için (kesişim, ana etkiler ve etkileşimler), bu model için p değerleri hesaplanamaz. Katsayı değerleri ve grafikler, önemli faktörlerin A, C ve D olduğunu ve etkileşim terimleri A: C ve A: D olduğunu göstermektedir.
ANOVA'da A, C ve D için katsayıların tümü pozitiftir, bu da süreci üç değişkenin de yüksek değere ayarlı olarak çalıştırılmasını önerir. Bununla birlikte, her değişkenin ana etkisi, diğer değişkenlerin seviyeleri üzerindeki ortalamadır. Yukarıdaki A: C etkileşim grafiği, faktör A'nın etkisinin faktör C düzeyine bağlı olduğunu ve bunun tersi olduğunu göstermektedir. Faktör A (sıcaklık), faktör C + düzeyinde olduğunda filtrasyon hızı üzerinde çok az etkiye sahiptir. Ancak Faktör A, faktör C (formaldehit) - düzeyinde olduğunda filtrasyon hızı üzerinde büyük bir etkiye sahiptir. + Seviyesinde A ve - seviyesinde C kombinasyonu en yüksek filtreleme oranını verir. Bu gözlem, bir seferde tek faktörlü analizlerin önemli etkileşimleri nasıl gözden kaçırabileceğini gösteriyor. Mühendis, yalnızca A ve C faktörlerini aynı anda değiştirerek A faktörünün etkisinin C faktörünün seviyesine bağlı olduğunu keşfedebilir.
En iyi filtreleme hızı, A ve D yüksek seviyede ve C düşük seviyede olduğunda görülür. Bu sonuç aynı zamanda formaldehitin azaltılması amacını da karşılar (faktör C). B önemli görünmediğinden modelden çıkarılabilir. A, C ve D faktörlerini ve A: C ve A: D etkileşim terimlerini kullanarak ANOVA'nın gerçekleştirilmesi, tüm terimlerin anlamlı olduğu (p-değeri <0.05) aşağıdaki tabloda gösterilen sonucu verir.
| Katsayı | Tahmin | Standart hata | t değeri | p değeri |
|---|---|---|---|---|
| Tutmak | 70.062 | 1.104 | 63.444 | 2,3 × 10 −14 |
| Bir | 10.812 | 1.104 | 9.791 | 1,9 × 10 −6 |
| C | 4.938 | 1.104 | 4.471 | 1,2 × 10 −3 |
| D | 7.313 | 1.104 | 6.622 | 5,9 × 10 −5 |
| AC | 9,063 | 1.104 | 8,206 | 9,4 × 10 −6 |
| A: D | 8.312 | 1.104 | 7.527 | 2 × 10 −5 |
Ayrıca bakınız
- Kombinatoryal tasarım
- Deney tasarımı
- Ortogonal dizi
- Plackett-Burman tasarımı
- Taguchi yöntemleri
- Welch'in t testi
Notlar
Referanslar
- Box, GE ; Hunter, WG; Avcı, JS (2005). Deneyciler için İstatistikler: Tasarım, Yenilik ve Keşif (2. baskı). Wiley. ISBN 978-0-471-71813-0 .