Pasch'ın aksiyomu - Pasch's axiom

Pasch teoremi ile karıştırılmamalıdır .

İn geometrisi , PASCH en aksiyomu bir ifadedir düzlem geometrisi tarafından dolaylı olarak kullanılmıştır, Öklid elde edilemez, önkabullerinde Öklid bunları verdi. Temel rolü 1882'de Moritz Pasch tarafından keşfedildi .

Beyan

İki çizgi (siyah) bir üçgen kenarı içeride ve diğer kenarları içeride ve dışarıda buluşuyor

Aksiyom şunu belirtir:

PASCH en aksiyomu  -  Let A , B , C , bir yalan yok üç nokta olmak hattı ve izin bir bir satır olacak düzlem ABC noktalarının herhangi uymayan bir , B , C . a doğrusu AB doğru parçasının bir noktasından geçiyorsa, aynı zamanda AC doğru parçasının bir noktasından veya BC doğru parçasının bir noktasından geçer .

Segmentler olması AC ve BC hem hattı ile kesişen edilmez bir tarafından yazılmıştır Supplement ben, 1, kanıtlanır P. Bernays'ın .

Bu aksiyomun daha modern bir versiyonu aşağıdaki gibidir:

Pasch aksiyomunun daha modern bir versiyonu  -  Düzlemde, eğer bir çizgi bir üçgenin bir tarafını içeriden kesiyorsa, o zaman tam olarak bir diğer tarafı dahili olarak ve üçüncü tarafı da harici olarak keser , eğer üçgenin bir tepe noktasından geçmezse.

(Üçüncü kenarın bizim doğrumuza paralel olması durumunda, bir "sonsuzda kesişme"yi dışsal olarak sayarız.) Aksiyomun daha gayri resmi bir versiyonu sıklıkla görülür:

Pasch'ın aksiyomunun daha gayri resmi bir versiyonu  -  Bir üçgenin herhangi bir köşesinden geçmeyen bir çizgi üçgenin bir tarafıyla buluşuyorsa, o zaman başka bir tarafla buluşur.

Tarih

Pasch bu aksiyomu 1882'de yayınladı ve Öklid'in aksiyomlarının eksik olduğunu gösterdi. Aksiyom, Pasch'ın düzen kavramını düzlem geometrisine sokma yaklaşımının bir parçasıydı.

denklikler

Temel geometrinin diğer tedavilerinde, farklı aksiyom setleri kullanılarak Pasch aksiyomu bir teorem olarak kanıtlanabilir; aksiyomlardan biri olarak alındığında, düzlem ayırma aksiyomunun bir sonucudur. Hilbert , Öklid geometrisinin aksiyomatik tedavisinde Pasch'ın aksiyomunu kullanır . Hilbert sisteminde kalan aksiyomlar göz önüne alındığında, Pasch aksiyomunun mantıksal olarak düzlem ayırma aksiyomuna eşdeğer olduğu gösterilebilir.

Hilbert'in Pasch aksiyomunu kullanması

David Hilbert , Öklid geometrisi için aksiyomatik bir temel sağlayan Foundations of Geometry adlı kitabında Pasch'ın aksiyomunu kullanır . Baskıya bağlı olarak, II.4 veya II.5 olarak numaralandırılmıştır. Onun ifadesi yukarıda verilmiştir.

Hilbert'in tedavisinde, bu aksiyom düzen aksiyomlarıyla ilgili bölümde yer alır ve düzlem düzen aksiyomu olarak adlandırılır . O değil ifadesini (hatlar yerine çizgi parçaları olarak kabul) Bir üçgenin kenarları açısından belitini yapar beri çizgi iç ve dış kavşaklar hakkında konuşmak gerek yoktur a üçgenin kenarlarının ile ABC .

uyarılar

Pasch'ın aksiyomu, bir doğru üzerindeki dört noktanın sırası hakkında bir ifade olan Pasch'ın teoreminden farklıdır . Bununla birlikte, literatürde Pasch aksiyomunun Pasch teoremi olarak anıldığı birçok örnek vardır. Bunun dikkate değer bir örneği Greenberg'dir (1974 , s. 67).

Pasch'ın aksiyomu, projektif geometri için Veblen-Young aksiyomu ile karıştırılmamalıdır , bu şu şekilde ifade edilebilir:

Projektif geometri için Veblen-Young aksiyomu  -  Bir doğru bir üçgenin iki tarafını kesiyorsa, o zaman üçüncü tarafı da keser.

Veblen-Young aksiyomunun ifadesinde iç ve dış kesişmelerden bahsedilmemektedir ve bu aksiyom sadece doğruların kesişme özelliği ile ilgilidir . Projektif geometride (iç ve dış tanımlamak için gerekli olan) arasındalık kavramı geçerli değildir ve tüm çizgiler buluşur (böylece paralel çizgiler sorunu ortaya çıkmaz).

Notlar

Referanslar

  • Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projektif geometri: temellerden uygulamalara , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48364-3, MR  1629468
  • Faber, Richard L. (1983), Öklidyen ve Öklidyen Olmayan Geometrinin Temelleri , New York: Marcel Dekker, Inc., ISBN 978-0-8247-1748-3
  • Greenberg, Marvin Jay (1974), Öklid ve Öklid Olmayan Geometriler: Gelişim ve Tarih (1. baskı), San Francisco: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0454-6
    • Greenberg, Marvin Jay (2007), Öklid ve Öklid Olmayan Geometriler: Gelişim ve Tarih (4. baskı), San Francisco: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-9948-1
  • Hilbert, David (1903), Grundlagen der Geometrie (Almanca), Leipzig: BG Teubner
    • Hilbert, David (1950) [1902], The Foundations of Geometry (PDF) , Townsend, EJ, LaSalle, IL tarafından çevrildi: Open Court Publishing
    • Hilbert, David (1999) [1971], Foundations of Geometry , çeviren Unger, Leo (2. baskı), LaSalle, IL: Open Court Publishing, ISBN 978-0-87548-164-7
  • Moise, Edwin (1990), Gelişmiş Bir Bakış Açısından Temel Geometri (Üçüncü baskı), Addison-Wesley, Reading, MA, s. 74, ISBN'si 978-0-201-50867-3
  • Pambuccian, Victor (2011), "Sıralı geometrinin aksiyomatiği: I. Sıralı geliş uzayları.", Expositiones Mathematicae (29): 24-66, doi : 10.1016/j.exmath.2010.09.004
  • Pasch, Moritz (1912) [birinci baskı 1882], Vorlesungen uber neuere Geometrie (Almanca) (2. baskı), Leipzig: BG Teubner
  • Wylie, Jr., Clarence Raymond (1964), Geometrinin Temelleri , New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-070-72191-3
    • Wylie,Jr., CR (2009) [1964], Foundations of Geometry , Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47214-0

Dış bağlantılar